VIII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Сюрпризы биссектрисы треугольника
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
ВВЕДЕНИЕ
Актуальность исследования заключается в том, что на экзаменах по геометрии предлагаются задачи, для решения которых надо знать и уметь применить свойства, о которых в школьных учебниках даже не упоминается, но они значительно упрощают решение.
Для решения этой проблемы были рассмотрены некоторые малоизвестные, но очень важные свойства биссектрисы треугольника.
Объект исследования: биссектриса треугольника.
Предмет исследования: малоизвестные свойства биссектрисы треугольника.
Методы исследования: анализ учебников и справочной математической литературы; построения с помощью циркуля и линейки; компьютерное моделирование математических объектов с помощью ИГС GeoGebra; анализ, сравнение, сопоставление и обобщение объектов, полученных в результате моделирования; обобщение найденных с помощью компьютерного моделирования закономерностей; проверка выдвинутых гипотез; аналитические рассуждения.
Гипотеза: выполнив работу, будут найдены свойства биссектрисы угла треугольника, которые помогут решать задачи.
Цель работы – установление свойств биссектрисы угла треугольника, которые не изучаются в школе, но применяются при решении задач по геометрии и облегчают их решение.
Задачи исследования:
провести анализ информации о свойствах биссектрисы треугольника из различных источников информации;
обобщить свойства биссектрисы угла и биссектрисы угла треугольника, которые изучаются в школьном курсе геометрии;
привести примеры их применения при решении задач по математике;
привести пример задачи, для решения которой недостаточно знать известные со школьного курса геометрии свойства и приводящей к новому, неизвестному свойству биссектрисы угла треугольника;
доказать это неизвестное свойство биссектрисы угла треугольника – лемму о дважды биссектрисе;
исследовать лемму о дважды биссектрисе для остроугольных, прямоугольных и тупоугольных треугольников;
найти и решить задачи на применение леммы о дважды биссектрисе треугольника;
установить наличие других малоизвестных свойств биссектрисы треугольника.
В учебной литературе вопрос о свойствах биссектрисы угла треугольника освещён в недостаточной мере для решения задач. Так, Г.Б. Филипповский в своей статье «Лемма о дважды биссектрисе» рассматривает лишь одно из малоизвестных свойств биссектрисы.
Для раскрытия темы работы автором было проведено моделирование леммы о дважды биссектрисе и задач, а также проведен эксперимент «Исследование леммы о дважды биссектрисе в остроугольном, прямоугольном и тупоугольном треугольниках». Решенные в работе задачи были предложены на элективных курсах по математике.
ГЛАВА 1. СЮРПРИЗЫ БИССЕКТРИСЫ ТРЕУГОЛЬНИКА
1.1 Некоторые предварительные замечания. Линии в треугольнике
1) Медиана – отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
2) Биссектриса – отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противоположной стороне этого треугольника.
3) Средняя линия – отрезок, параллельный одной из его сторон и проходящий через середины сторон.
4
1) 2) 3) 4)
) Высота – перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону [2].
1.2 Свойства биссектрисы треугольника в школьных учебниках геометрии
В школьных учебниках геометрии описываются следующие свойства биссектрисы треугольника [2].
Все биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
В равнобедренном треугольнике биссектриса угла при его вершине является и медианой, и высотой.
Биссектриса делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилегающим сторонам: .
Биссектриса делит площадь треугольника пропорционально прилежащим сторонам.
Точка пересечения биссектрис является центром окружности, вписанной в этот треугольник.
Любителям геометрии известно достаточно много фактов «из жизни» биссектрисы треугольника. Сюда следует отнести и свойство биссектрисы, выражающееся равенством , которое изучается в школе.
З накомство с тетрадью с печатной основой «Бенефис биссектрисы внутреннего угла треугольника», созданной учениками нашей школы на занятиях элективного курса по геометрии в 2014 году, вызвало удивление [1]. Одно свойство, а имеет 11 способов доказательства!
Это был первый неожиданный для меня сюрприз биссектрисы угла треугольника!
Особое внимание обратил на задачу, в которой говорится об интересном свойстве биссектрисы угла треугольника, которое стало вторым сюрпризом биссектрисы треугольника (ПРИЛОЖЕНИЕ 1. Свойство о медиане, биссектрисе и высоте треугольника, проведенных из одной вершины).
1.3 От задачи к гипотезе
Задача. В остроугольном ∆АВС из вершины С проведены высота, биссектриса и отрезок, проходящий через центр описанной окружности до пересечения с противоположной стороной. Углы А и В равны соответственно 68˚и 34˚. Сравнить углы HCL, LCM и HCM и сформулировать гипотезу.
Р ешение.
ΔACB ‒ ∠C = 180˚ ‒ (∠A + ∠B) = 78˚;
ΔACH, ∠H = 90˚, ∠A = 68˚; ∠ACH = ∠H ‒ ∠A = 22˚;
ΔACL, CL – биссектриса ∠ACB, ∠ACL = = 39˚.
∠HCL = ∠ACL ‒ ∠ACH = 39˚ ‒ 22˚ = 17˚.
∠COB – центральный угол, ∠CAB – вписанный угол, которые опираются на одну и ту же дугу. ∠COB = 2∠CAB = 68˚ × 2 = 136˚, ΔCOB – равнобедренный, ∠OCB = = 22˚.
∠LCM = ∠LCB ‒ ∠MCB = 39˚ ‒ 22˚ = 17˚.
∠HCL = ∠LCM = 17˚.
Значит, CL – биссектриса ∠HCM, то есть угла, стороны которого являются высотой и отрезком, проходящим через центр описанной окружности, проведенные из той же вершины данного треугольника.
Назовем эту гипотезу леммой о дважды биссектрисе в треугольнике.
1.4 Исследование леммы о дважды биссектрисе в остроугольном, прямоугольном и тупоугольном треугольниках
В ИГС Geogebra было выполнено моделирование леммы о дважды биссектрисе в остроугольном, прямоугольном и тупоугольном треугольниках и проведено исследование, в результате которого было установлено, что ∠OAL = ∠LAH в любом виде треугольника.
Вывод. На основании этих наблюдений можно сделать вывод о том, что лемма о дважды биссектрисе работает в любом треугольнике и в любом угле треугольника.
1.5 Лемма о дважды биссектрисе
Г ипотеза. Биссектриса AL остроугольного неравнобедренного ∆АВС является также биссектрисой угла ОАН, где O – центр окружности, описанной около треугольника АВС, АН – его высота.
Доказательство.
Угол AOC – центральный, значит ∠AOC = 2∠