Сюрпризы биссектрисы треугольника

VIII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке

Сюрпризы биссектрисы треугольника

Долгобородов С.В. 1
1Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение "Средняя общеобразовательная школа № 24"
Паршева В.В. 1
1МБОУ «СОШ № 24»
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность исследования заключается в том, что на экзаменах по геометрии предлагаются задачи, для решения которых надо знать и уметь применить свойства, о которых в школьных учебниках даже не упоминается, но они значительно упрощают решение.

Для решения этой проблемы были рассмотрены некоторые малоизвестные, но очень важные свойства биссектрисы треугольника.

Объект исследования: биссектриса треугольника.

Предмет исследования: малоизвестные свойства биссектрисы треугольника.

Методы исследования: анализ учебников и справочной математической литературы; построения с помощью циркуля и линейки; компьютерное моделирование математических объектов с помощью ИГС GeoGebra; анализ, сравнение, сопоставление и обобщение объектов, полученных в результате моделирования; обобщение найденных с помощью компьютерного моделирования закономерностей; проверка выдвинутых гипотез; аналитические рассуждения.

Гипотеза: выполнив работу, будут найдены свойства биссектрисы угла треугольника, которые помогут решать задачи.

Цель работы – установление свойств биссектрисы угла треугольника, которые не изучаются в школе, но применяются при решении задач по геометрии и облегчают их решение.

Задачи исследования:

провести анализ информации о свойствах биссектрисы треугольника из различных источников информации;

обобщить свойства биссектрисы угла и биссектрисы угла треугольника, которые изучаются в школьном курсе геометрии;

привести примеры их применения при решении задач по математике;

привести пример задачи, для решения которой недостаточно знать известные со школьного курса геометрии свойства и приводящей к новому, неизвестному свойству биссектрисы угла треугольника;

доказать это неизвестное свойство биссектрисы угла треугольника – лемму о дважды биссектрисе;

исследовать лемму о дважды биссектрисе для остроугольных, прямоугольных и тупоугольных треугольников;

найти и решить задачи на применение леммы о дважды биссектрисе треугольника;

установить наличие других малоизвестных свойств биссектрисы треугольника.

В учебной литературе вопрос о свойствах биссектрисы угла треугольника освещён в недостаточной мере для решения задач. Так, Г.Б. Филипповский в своей статье «Лемма о дважды биссектрисе» рассматривает лишь одно из малоизвестных свойств биссектрисы.

Для раскрытия темы работы автором было проведено моделирование леммы о дважды биссектрисе и задач, а также проведен эксперимент «Исследование леммы о дважды биссектрисе в остроугольном, прямоугольном и тупоугольном треугольниках». Решенные в работе задачи были предложены на элективных курсах по математике.

ГЛАВА 1. СЮРПРИЗЫ БИССЕКТРИСЫ ТРЕУГОЛЬНИКА

1.1 Некоторые предварительные замечания. Линии в треугольнике

1) Медиана – отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

2) Биссектриса – отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противоположной стороне этого треугольника.

3) Средняя линия – отрезок, параллельный одной из его сторон и проходящий через середины сторон.

4

1) 2) 3) 4)

Высота – перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону [2].

1.2 Свойства биссектрисы треугольника в школьных учебниках геометрии

В школьных учебниках геометрии описываются следующие свойства биссектрисы треугольника [2].

Все биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

В равнобедренном треугольнике биссектриса угла при его вершине является и медианой, и высотой.

Биссектриса делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилегающим сторонам: .

Биссектриса делит площадь треугольника пропорционально прилежащим сторонам.

Точка пересечения биссектрис является центром окружности, вписанной в этот треугольник.

Любителям геометрии известно достаточно много фактов «из жизни» биссектрисы треугольника. Сюда следует отнести и свойство биссектрисы, выражающееся равенством , которое изучается в школе.

З накомство с тетрадью с печатной основой «Бенефис биссектрисы внутреннего угла треугольника», созданной учениками нашей школы на занятиях элективного курса по геометрии в 2014 году, вызвало удивление [1]. Одно свойство, а имеет 11 способов доказательства!

Это был первый неожиданный для меня сюрприз биссектрисы угла треугольника!

Особое внимание обратил на задачу, в которой говорится об интересном свойстве биссектрисы угла треугольника, которое стало вторым сюрпризом биссектрисы треугольника (ПРИЛОЖЕНИЕ 1. Свойство о медиане, биссектрисе и высоте треугольника, проведенных из одной вершины).

1.3 От задачи к гипотезе

Задача. В остроугольном ∆АВС из вершины С проведены высота, биссектриса и отрезок, проходящий через центр описанной окружности до пересечения с противоположной стороной. Углы А и В равны соответственно 68˚и 34˚. Сравнить углы HCL, LCM и HCM и сформулировать гипотезу.

Р ешение.

ΔACB ‒ ∠C = 180˚ ‒ (∠A + ∠B) = 78˚;

ΔACH, ∠H = 90˚, ∠A = 68˚; ∠ACH = ∠ A = 22˚;

ΔACL, CL – биссектриса ∠ACB, ∠ACL =   = 39˚.

HCL = ∠ACL  ACH = 39˚  22˚ = 17˚.

COB  центральный угол, ∠CAB – вписанный угол, которые опираются на одну и ту же дугу. ∠COB = 2∠CAB = 68˚ × 2 = 136˚, ΔCOB  равнобедренный, ∠OCB =   = 22˚.

LCM = LCB ‒ MCB = 39˚ ‒ 22˚ = 17˚.

HCL = LCM = 17˚.

Значит, CL – биссектриса HCM, то есть угла, стороны которого являются высотой и отрезком, проходящим через центр описанной окружности, проведенные из той же вершины данного треугольника.

Назовем эту гипотезу леммой о дважды биссектрисе в треугольнике.

1.4 Исследование леммы о дважды биссектрисе в остроугольном, прямоугольном и тупоугольном треугольниках

В ИГС Geogebra было выполнено моделирование леммы о дважды биссектрисе в остроугольном, прямоугольном и тупоугольном треугольниках и проведено исследование, в результате которого было установлено, что ∠OAL = ∠LAH в любом виде треугольника.

Вывод. На основании этих наблюдений можно сделать вывод о том, что лемма о дважды биссектрисе работает в любом треугольнике и в любом угле треугольника.

1.5 Лемма о дважды биссектрисе

Г ипотеза. Биссектриса AL остроугольного неравнобедренного ∆АВС является также биссектрисой угла ОАН, где O – центр окружности, описанной около треугольника АВС, АН – его высота.

Доказательство.

Угол AOC – центральный, значит AOC = 2

Просмотров работы: 52