Геометрия и оригами

VIII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке

Геометрия и оригами

Скуридина А.Ю. 1
1МБОУ СОШ №12 "Центр образования"
Федосеева М.В. 1
1МБОУ СОШ №12 "Центр образования"
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Введение

В настоящее время математическое образование является основным для людей многих профессий, поэтому большое внимание уделяется изучению основ арифметики, алгебры и геометрии. Особое место занимает изучение основных понятий геометрии и повышение уровня математических знаний в целом.

Изучение геометрии способствует формированию и развитию логического, алгоритмического и образного мышления. Рассмотрение геометрических элементов тесно связано с художественным восприятием мира.

Искусство оригами как нельзя лучше подходит для решения данных задач. Еще в XIX веке немецкий педагог Ф.Фребель основал интегрированный курс обучения математике при помощи оригами, на основе которого можно улучшить и упрочить геометрические знания и умения.

Оригами – это искусство изготовления бумажных фигурок путем складывания квадратного листа бумаги без применения ножниц и клея.

Родиной оригами по праву считается Япония. Слово оригами состоит из двух частей: «ори» - сложенная, «ками» - бумага. В качестве основы оригами был выбран квадрат, который в Древней Японии считался воплощением мира, находящего под куполом неба. Поэтому именно квадрат способен бесконечно меняться и преобразовываться, воссоздавая множество новых форм.

Тем не менее в первых книгах по оригами, значительное место отводилось фигуркам, изготовление которых возможно только в результате надрезов бумаги при складывании – кирикоми оригами.

Постепенно менялись требования и к геометрической основе, и теперь для оригами могут быть использованы разные основы: треугольник, прямоугольник, многоугольники, круг.

Искусство оригами тесно связано с понятиями, изучаемыми в геометрии. И применение элементов оригами при изучении геометрии может сделать решение задач более наглядным.

Гипотеза: использование техники оригами при доказательстве теорем и решении геометрических задач делает решение более наглядным и способствует развитию образного мышления при изучении отдельных тем геометрии.

Цель работы: рассмотреть технику оригами, и научиться ее применять при доказательстве теорем и решении геометрических задач.

Задачи:

1. ознакомиться с техникой оригами;

2. проанализировать связь оригами и геометрии на примере основных элементов оригами, решении геометрических задач.

3. познакомить с техникой оригами и способами решения геометрических задач с помощью оригами одноклассников.

Объектом исследования является техника оригами

Предметом исследования является применение техники оригами при доказательстве теорем и решении геометрических задач

Основная часть

Применение оригами при доказательстве теорем

Рассмотрим применение оригами при доказательстве некоторых теорем геометрии.

Теорема: Сумма углов треугольника равна 180˚.

Доказательство: Вырежем из бумаги треугольник любой формы и перегнем его сначала по линии АВ так, чтобы основание треугольника легло на себя (рисунок 1).

Перегнув затем треугольник по линиям DH и CQ так, чтобы точки Е и F попали в точку В, получим прямоугольник CQHD и наглядно убедимся, что все три угла треугольника (1,2,3) составляют в сумме два прямых.

Рисунок 1 Доказательство теоремы о сумме углов треугольника.

Теорема: Накрест лежащие углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей, равны.

Доказательство:

В озьмём лист бумаги с двумя параллельными сторонами и секущей АВ. Сравним накрест лежащие углы – углы 1 и 2 (рисунок 2.1).

Рисунок 2. Доказательство теоремы о накрест лежащих углах.

Согнём лист по секущей АВ (рисунок.2.2). Совместим вершины накрест лежащих углов – точки А и В. Углы 1 и 2 совпали при наложении, следовательно . ے1= ے2 (рисунок 2.3). Значит накрест лежащие углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей, равны.

Теорема: Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую в отношении 2:1, считая от вершины.

Доказательство:

На треугольном листе бумаги путем совмещения двух вершин углов устанавливается засечка – таким образом определяется середина стороны (рисунок.3).

На следующем этапе проводится линия сгиба через вершину угла и намеченную середину противолежащей стороны. Эта линия сгиба является медианой треугольника.

В треугольнике можно провести методом перегибания бумаги только три медианы, которые в данном случае являются линиями сгибов.

Совместив вершину треугольника с точкой пересечения медиан, можно убедится в выполнении соотношения 2:1.

Рисунок 3. Доказательство теоремы о медианах треугольника.

Применение оригами при построении правильных многоугольников

Рассмотрим применение оригами при построении правильных многоугольников.

Построение правильного треугольника представлено на рисунке 4.

Рисунок 4. Построение правильного треугольника.

Построение правильного пятиугольника представлено на рисунке 5.

Рисунок 5. Построение правильного пятиугольника.

Геометрические задачи и оригами.

Задача 1. Вписать в квадрат равнобедренный треугольник, имеющий с квадратом одну общую вершину.

Ответить на вопросы:

А) чему равны углы АСF и AEC?

Б) чему равна сторона EC по отношению к стороне BC исходного квадрата?

Впишем в квадрат равнобедренный треугольник с помощью оригами (рисунок 6).

Рисунок 6.

Задание А) ;

;

;

Задание Б) обозначим BC=a. Рассмотрим треугольник ABC, B=90°.

AC= , AG=AC-CG=т.к. BC=CG=a.

AEC: AG=EG, т.к. AGE=90°, EAG=45°, значит AEG=45°.

ECG: EC= = .

Задача 2. Вписать в квадрат равносторонний треугольник, имеющий с квадратом одну общую вершину.

Построение правильного треугольника представлено на рисунке 4. В результате на квадрате будут получены следующие сгибы-линии (рисунок 7).

Рисунок 7.

Математическое обоснование

Рассмотрим треугольник AEM и определим градусные меры углов этого треугольника.

(по построению)

, т.к. АВ=AD как стороны квадрата, .

– равнобедренный, отсюда .

Все углы равны, значит треугольник АМЕ – равносторонний.

Инструкционно-технологические карты

В результате изученных приемов оригами были разработаны инструкционно-технологические карты. Приложение 1

Заключение

Метод оригами, рассмотренный в данной работе, оживляет и заметно облегчает освоение целого ряда абстрактных, и потому сложных для освоения многими учащимися геометрических понятий, делает их изучение более ясным и доступным, убеждает в правильности классических рассуждений, теорем, и, самое главное, побуждает к дальнейшим исследованиям.

В данной работе были рассмотрены приемы применения оригами при доказательстве некоторых теорем геометрии, а также решение задач с использованием оригами. На основании рассмотренного материала были выполнены инструкциооно-технологические карты, которые можно использовать при самостоятельном изучении некоторых теорем геометрии, а также в качестве дополнительного пособия на уроках геометрии.

Список использованных источников и литературы.

1. С. Н. Белим Задачи по геометрии, решаемые методами оригами. – М.: изд. «Аким», 1998г., 66с.

2. О. В. Весновская, Методика использования оригами в изучении геометрии школьного курса, Ярославский педагогический вестник № 2–2010

3. О. Мандражи, М. Федунов, Оригаметрия как новая математическая теория, издательская группа «ОСНОВА» № 7 (31) июль 2013;

4. Г.Г. Шеремет, Оригами как средство развития интеллектуальных и творческих способностей детей [Текст] / Г. Г. Шеремет // Информационно-методический журнал Пермского областного детского центра «Восхождение», выпуск 5. – Пермь : Восхождение, 2006. – С. 40–44.

Приложение 1

Инструкционно-технологическая карта

Тема: «Сумма углов треугольника»

Теорема: Сумма углов треугольника равна 180°.

№ п.п

Описание операции

Графическое изображение

1

Взять треугольную заготовку

 

2

Сделать перегиб, из вершины В под прямым углом к стороне АС. Для этого необходимо следить чтобы сторона АС при перегибе не смещалась

 

3

Наметить высоту ВН

 

3

Согнуть треугольник по линии DE, соединив вершину А с точкой Н

 

4

Согнуть треугольник по линиям DF и EK, совместив вершины А и С с точкой Н.

 

5

Получим прямоугольник FDEK и наглядно убедимся, что все три угла треугольника (1,2,3) составляют в сумме два прямых

 

Инструкционно-технологическая карта

Тема: «Свойство прямоугольного треугольника»

Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы

№ п.п

Описание операции

Графическое изображение

1

Взять квадратную заготовку

 

2

Наметить середину стороны ВС квадрата, совместив вершины В и С

 

3

Перегнуть квадрат, совместив вершину D c полученной меткой

 

3

Перегнуть квадрат, совместив вершину А с меткой на стороне ВС

 

4

ΔADN – прямоугольный, острый угол которого 30°.

 

5

Совместив точки A и D, получим точку Х, а потом отогнём в первоначальное положение. ΔADX равнобедренный и углы при основании равны 30°.

 
 

ےXDN=60°ےXND=60°, значит ΔXDN равносторонний, т.е. DN = NX = AX = 1/2 AN.

Катет DN лежит против угла 30° и равен 1/2 гипотенузы AN.

 

Инструкционно-технологическая карта

Тема: «Медианы, биссектрисы и высоты треугольника»

Медиана

Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой треугольника.

№ п.п

Описание операции

Графическое изображение

1

Взять треугольную заготовку

 

2

Найти середину стороны АС треугольника, совместив вершины А и С

 

3

Перегните треугольник по линии, соединяющей вершину В и намеченную точку на стороне АС

 

4

Медиана ВМ

 

Биссектриса

Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны, называется биссектрисой треугольника

№ п.п

Описание операции

Графическое изображение

1

Взять треугольную заготовку

 

2

Совместить стороны АВ и ВС, начиная от вершины В и сделать перегиб.

 

4

Биссектриса ВТ

 

Высота

Перпендикуляр проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону, называется высотой треугольника

№ п.п

Описание операции

Графическое изображение

1

Взять треугольную заготовку

 

2

Сделать перегиб, из вершины В под прямым углом к стороне АС. Для этого необходимо следить чтобы сторона АС при перегибе не смещалась

 

4

Высота ВН

 

Инструкционно-технологическая карта

Тема: «Свойство медиан треугольника»

Теорема: медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

№ п.п

Описание операции

Графическое изображение

1

Взять треугольную заготовку

 

2

Найти середину стороны АС треугольника, совместив вершины А и С

 

3

Перегните треугольник по линии, соединяющей вершину В и намеченную точку на стороне АС

 

4

Медиана ВМ

 

5

Выполнить перегибы для нахождения медиан на сторонах АВ и ВС

 

6

Получили точку пересечения медиан, причем одну

 

7

Проверим выполнение соотношения .

Сделать сгиб, совместив вершину В с точкой О.

 

8

Проверить равенство ОМ=ОР. Сделать сгиб совместив точку Р с М

 

9

Получаем доказательство отношения, что точка пересечения медиан делит медиану в отношении 2:1, начиная с вершины.

 
Просмотров работы: 33