VIII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Математика в искусстве и архитектуре
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
«Как и все другие науки, математика возникла из практических нужд людей: из измерения площадей земельных участков и вместимости сосудов, из счисления времени и из механики.» (Ф. Энгельс)
В школе нам не преподают то, что выходит за рамки ФГОСа для того, чтобы узнать больше того, что написано в учебниках о важности точных наук в нашей жизни, а в данном случае мы говорим о важности математики. Ее значимости в повседневности, интересных исторических фактах . а так же выдающихся ученых и их открытиях.
Впереди нас ждут ОГЭ и ЕГЭ, и у нас абсолютно нет времени, стать ближе к математике, полюбить ее. В итоге мы задаемся вопросом: «Для чего нам математика? Научились прибавлять и умножать, зачем же все остальное? Какое место в нашей жизни она занимает?» Поэтому в нашей исследовательской работе мы хотим показать неразрывную связь между жизнью человека и математическими науками, их необходимости не только для выполнения домашнего задания, а еще и для использования в повседневной жизни.
Все вышеперечисленное и преданность профессии нашего учителя математики, послужили причинойнашего исследования.
Задачей нашего исследования является отслеживание взаимосвязи искусства и математики.
С целью, которую мы поставили перед собой, решались следующие задачи:
- Доказать, что есть весьма весомая связь математики и искусства;
- Показать всем насколько живопись зависит от геометрических законов;
- Попытаться понять самим и дать понять другим значимость законов математики и расчетов в архитектуре
Методы исследования:
- проработка, оценка научных источников;
- изучение научной литературы, учебников и источников в интернете по теме нашего исследования.
Объект исследования – Весомое влияние математики на искусство.
Витрувианский человек
Есть довольно много художников, для которых математика занимает особое место в жизни. Одним из них является Леонардо да Винчи. В искусстве он был не только художником – творцом, но и инженером, естествоиспытателем, математиком, провозглашая, что нет достоверности в науках там, где нельзя приложить, ни одной из математических наук, и в том, что не имеет связи с математикой.
В итрувианский человек – это величайшее творение Леонардо да Винчи в одном из его дневников. Да Винчи изучал трактат Витрувия, римского архитектора I века до н.э., "Десять книг об архитектуре" и по содержащимся в нем соображениям Витрувия о пропорциях человеческого тела сделал этот набросок.
Рисунок иллюстрирует анатомические соотношения, предложенные Витрувием, но Да Винчи добавляет, конечно, и кое-что свое. Некоторые комментарии художника содержатся на самом листе с рисунком, но вообще его очень интересно и так изучать.
В трактате Витрувия о пропорциях человеческого тела, точнее, мужчины, он пишет, что хороший архитектор должен знать и придерживаться правильных соотношений частей здания также, как природа придерживается гармонических соотношений в теле человека.
длина ступни = 1/6 роста
локтевая часть руки (локоть) = 1/4 роста
грудь = 1/4 роста
ладонь (ширина ладони) = 1/6 локтя
палец = 1/4 ладони
центр тела - пупок
человек с распростертыми руками и ногами описывается кругом с центром в пупке
человек с распростертыми руками описывается квадратом
размах рук равен высоте
ладонь = 1/6 локтя
палец = 1/24 локтя
Витрувий рассчитал размеры тела, пропорции головы и лица, склад человеческой фигуры и способ измерения длины, осуществляемый на участках тела.
-пал. - 1.875 см
-лад. - 7.5 см,
-ступ. - 30 см,
-лок. - 45 см.
Про размеры женской фигуры Витрувий не говорит немного, но указывает, что они "изящнее". Архитектурная соразмерность колонн дорического ордера – связь диаметра к высоте - основаны на мужских пропорциях стопы 1/6, а "нежного" коринфского - на женских, 1/8. (Потом в архитектуре эти цифры изменились на 1/7 и 1/9 соответственно.)
Данное изображение и комментарии к нему часто называют «каноническими пропорциями». Иллюстрация чернилами с помощью пера и акварелью карандашом с железным стержнем, ширина рисунка- 24,5 см; длина- 34,3 см.
В данное время иллюстрация хранится в галерее Академии в Венеции. Она является как научным трактатом, так и шедевром искусства, также иллюстрация является предметом интереса Леонардо Да Винчи к симметрии.
М атематика в музыке
Бытует мнение о природе человека – будто люди делятся на «рассудительных» физиков и «чувствительный» лириков.
Но это мнение не совсем правдиво. И музыка, которая якобы является воплощением чувствительности, в полной мере может это проиллюстрировать.
Мысль о том, что возможно «поверить алгеброй гармонию», по праву присваивают Пифагору.
С древних времен музыку употребляли для проведения ритуалов в разных народностях, но до Пифагора никто не взялся разобраться и понять, почему одна мелодия приятна на слух, а другую невозможно слушать.
Для исследования Пифагор воспользовался инструментом, имя которому монохорд. Ученый сам его и изобрел.
Придавив струну инструмента в определенных местах, Пифагор заметил, что между получаемыми отрезками и длиной всей струны есть некая математическая закономерность. На выходе получаются гармонические тоны только тогда, когда соотношение длин звучащего отрезка и всей струны являет собой соотношение целых чисел, к примеру, 3:2, 2:1, 4:3. Эти гармоничныесоотношения формы, выражают равновесие и мелодичность, и в этом виде они занимают место в культуре разных народов.
Если придавить струну по центру, разбив ее на две равные части, то тон, который получится, составит с первым тоном октаву. Частота колебаний половины струны составляет с частотой колебаний целой струны данное соотношение- 2:1.
Если разделить струну на три одинаковые части, получится соотношение 3:1. Разделение струны на 4 части даст соотношение 4:1. Если кто – то знаком с таблицей обертонов и их соотношения, то он без проблем поймет, что правило деления струны совпадает с этим соотношением.
Вероятно, что параграф арифметики, посвященный дробям, восходит к Пифагорейскому учению о музыке. Ученому математику приписывается данное высказывание: «Изучайте монохорд, и вам откроются тайны мироздания».
Всего лишь одна струна дает человеку возможность понять не только феномен вибрации, но и законы Вселенной.
Следуя учению Пифагора, Вселенная являет собой гигантский монохорд, струна которого натянута от земли до самых небес. верхний конец струны соединен с абсолютным духом, а нижний - с абсолютной материей.
Изучение музыки как точной науки ведет к познанию всех проявлений бытия. Пифагор использовал открытый им закон гармонических интервалов ко всем природным явлениям, стремясь доказать, что и стихии, и планеты, и созвездия связаны между собой гармоническими отношениями.
Пифагор является автором учения о «музыке сфер»: он уверен, что каждое небесного тело движется через к пространству в космосе рождая звук. Эти звуки может услышать специально развивший слух для этого. Только в таком случае «музыка сфер» будет звучать для избранного красивыми интервалами монохорда.
Для учеников Пифагора, как и для него самого выражение «музыка сфер» было больше, чем метафора. Великий ученый был уверен, что слышит, как плывут планеты по своим небесным орбитам. Тема связи звука с небесными телами на много столетий тревожила умы великих мыслителей. И только недавно, воспользовавшись математическими принципами, основанными на вычислении скорости планет, ученые смогли соотнести различные звуки с некоторыми планетами. Результат поражает: эти звуки гармонически связанны. Может быть, маловероятное умение Пифагора слышать «музыку сфер» имело место быть?
П о сей день мы видим в гармонике лишь феномен в музыке.
Но ведь гармоники порождаются любой формой вибрации.
Возможности человека до конца не изучены. Но существует факт, что наше ухо может воспринять колебания в пределах от 16 до 25 000 Гц, означает ли это, что за этим ограниченным диапазоном нет бесконечного количества звуковых волн, которые человек не может уловить.
Вибрация порождает гармоники независимо от того, что именно является ее источником. А поскольку Вселенная, по сути, и состоит из вибраций, то каждый заключенный в ней объект — от электрона, вращающегося вокруг ядра атома, до планеты, вращающейся вокруг звезды, — обладает собственным основным тоном и обертонами.
На острове Кротон располагалась школа Пифагора, где он посвящал неофитов в тайны Вселенной.
Обучение в ней состояло из четырех этапов. На первом уровне, где главным учебным пособием служил монохорд, ученики-«акустики» овладевали умением распознавать и затем воспроизводить различные музыкальные интервалы. Второй уровень— ступень «математиков» — был посвящен собственно цифрам и вычислениям. Он же был этапом духовного и физического очищения и достижения полного контроля над эмоциями и помыслами. Ученик мог перейти на следующий уровень лишь при условии, что и разум его, и тело достойны воспринять священное знание. На третьем этапе «избранные» ученики приобщались к таинствам духовного перерождения и исцеления музыкой.
И еще немного полезной информации о появлении 12-ричной музыкальной системе:
Розенкрейцеровская музыкальная теория исходила из вполне оригинальных представлений. Они считали, что Божественный свет, излучающийся истинным черным солнцем, спрятанного под короной, отражается от центральной части Земли, где якобы расположен «трон люцифера". Проходя "с Небес на Землю", Свет обретает 7-ричную форму (по числу "небесных сфер, а с Земли на Небо, отраженным - 12-ричную (первоначальные 7 и возникшие из-за смещения 5). Это и послужило возникновению двух разных нотных систем: 7-ричная - "тональная", "орфическая" или "белая", и 12-ричная - "атональная", "дионисическая" или "черная". (Это представление отразилось в устройстве пианино: 7 белых и 5 черных клавиш октавы...).
Золотое сечение
Иоганн Кеплер как то сказал, что геометрия владеет двумя сокровищами: теоремой Пифагора и "Золотым сечением".
Золотое сечение – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему a : b= b : c или с : b= b : а.
Древнейшим литературным памятником, в котором встречается "Золотое сечение", являются "Начала" Евклида (3 в. до н. э.). Известно, что о золотом сечении знали Пифагор и его ученики (6 в. до н. э.). Как следствие многочисленных применений золотого сечения как в геометрии, так и в искусстве в эпоху Возрождения появилась книга "Божественная пропорция", а сам термин был введен Леонардо да Винчи в 15 веке. Пропорция золотого сечения лежит в основе многих творений Фидия, Тициана, Рафаэля и других.
В эпоху Возрождения золотое сечение было очень популярно среди художников, скульпторов и архитекторов. В большинстве живописных пейзажей линия горизонта делит полотно по высоте в отношении золотой пропорции, а при выборе размеров картин старались, чтобы отношение ширины к высоте тоже равнялось золотой пропорции.
Картину, построенную с использование золотого сечения, мы воспринимаем как правильную и красивую. На пересечении линий золотого сечения, находятся особые зрительные центры. Они расположены на расстоянии примерно 3/8 и 5/8 от краев изображения.
П рактическое знакомство с золотым сечением начинают с деления отрезка прямой в золотой пропорции с помощью циркуля и линейки.
Деление отрезка прямой по золотому сечению. BC = 1/2 AB; CD = BC
Из точки B восставляется перпендикуляр, равный половине AB. Полученная точка C соединяется линией с точкой A. На полученной линии откладывается отрезок BC, заканчивающийся точкой D. Отрезок AD переносится на прямую AB. Полученная при этом точка E делит отрезок AB в соотношении золотой пропорции.
Отрезки золотой пропорции выражаются бесконечной иррациональной дробью AE = 0,618..., если AB принять за единицу, BE = 0,382... Для практических целей часто используют приближённые значения 0,62 и 0,38. Е сли отрезок AB принять за 100 частей, то большая часть отрезка равна 62, а меньшая – 38 частям.
Свойства золотого сечения описываются уравнением:
x2 – x – 1 = 0.
Решение этого уравнения:
Свойства золотого сечения создали вокруг этого числа романтический ореол таинственности и чуть ли не мистического поклонения.
Второе золотое сечение
Болгарский журнал «Отечество» (№10, 1983 г.) опубликовал статью Цветана Цекова-Карандаша «О втором золотом сечении», которое вытекает из основного сечения и даёт другое отношение 44: 56.
Такая пропорция обнаружена в архитектуре, а также имеет место при построении композиций изображений удлинённого горизонтального формата.
Построение второго золотого сечения:
Д еление осуществляется следующим образом. Отрезок AB делится в пропорции золотого сечения. Из точки C восставляется перпендикуляр CD. Радиусом AB находится точка D, которая соединяется линией с точкой A. Прямой угол ACD делится пополам. Из точки C проводится линия до пересечения с линией AD. Точка E делит отрезок AD в отношении 56: 44.
Золотой треугольник:
Для нахождения отрезков золотой пропорции, восходящего и нисходящего рядов, можно пользоваться пентаграммой.
Построение правильного пятиугольника и пентаграммы
Для построения пентаграммы необходимо построить правильный пятиугольник. Способ его построения разработал немецкий живописец и график Альбрехт Дюрер (1471...1528).
Пусть O – центр окружности, A – точка на окружности и E – середина отрезка OA. Перпендикуляр к радиусу OA, восставленный в точке O, пересекается с окружностью в точке D. Пользуясь циркулем, отложим на диаметре отрезок CE = ED. Длина стороны вписанного в окружность правильного пятиугольника равна DC. Откладываем на окружности отрезки DC и получим пять точек для начертания правильного пятиугольника. Соединяем углы пятиугольника через один диагоналями и получаем пентаграмму. Все диагонали пятиугольника делят друг друга на отрезки, связанные между собой золотой пропорцией.
К аждый конец пятиугольной звезды представляет собой золотой треугольник. Его стороны образуют угол 36° при вершине, а основание, отложенное на боковую сторону, делит её в пропорции золотого сечения.
Построение золотого треугольника
Проводим прямую AB. От точки A откладываем на ней три раза отрезок O произвольной величины, через полученную точку P проводим перпендикуляр к линии AB, на перпендикуляре вправо и влево от точки P откладываем отрезки O. Полученные точки d и d1 соединяем прямыми с точкой A. Отрезок dd1 откладываем на линию Ad1, получая точку C. Она разделила линию Ad1 в пропорции золотого сечения. Линиями Ad1 и dd1 пользуются для построения «золотого» прямоугольника.
М агический квадрат
Одной из значимых достопримечательностей Барселоны, Является Собор Святого Семейства – никто из посетителей не пропустит гравюру, высеченную в стене. Это квадрат. Он состоит из Шестнадцати клеток, а в этих клетках числа. Дело в том, что в сумме числа по горизонтали дают число 33. Так же при сложении чисел по вертикали в линию и по диагонали тоже дают 33. 4 -е клетки в центре, в углах, тоже дают число 33.
Этот ребус или шарада известен как "магический квадрат". В Испании бытует достаточно много историй, связывающих создателя Собора Святого Семейства с тайными сообществами. По легенде Антонио Гауди входил в сообщество масонов, в иерархии которых именно тридцать три ступени.
"Магические квадраты" фигурируют в искусстве всего мира. У разных квадратов, разное количество клеток, и в сумме в линию, столбик получается одинаковое число.
Похожие ребусы использовали еще в античности для шифрования текста в целях безопасности хранения важной информации. В средние века думали, что такого рода защита обладает помимо всего прочего еще и магической силой.
Наверняка вы слышали о картине немецкого художника Альбрехта Дюрера -«Меланхолия». Этой гравюрой чаще интересуются представители точных наук, нежели художники. Об этой работе Дюрера не очень-то много информации. Есть один человек, который вроде бы описал данный феномен. Это Дэн Браун «Утраченный символ».
М ы эту книгу не читали, в голове сюжета нет. Трудно было себе представить квадрат пока неожиданно не увидели картину «Меланхолия» — посмотрите внимательно на числа под колокольчиком:
Смысл обычных «магический квадратов» нам всем ясен: если сложить числа отдельно по диагонали, в столбик и в линию, то сумма будет равна определенному числу. В этом квадрате вроде та же система. На выходе получаем 34. Но причуда заключается в том, что это данное число будет неизменным при абсолютно любом рассмотрении. Сложим ли мы верхний квадрат слева получим 34, то же ждет верхний квадрат справа, ну и не обделил Дюрер правый и левый нижние квадратики. Чуть не забыли про квадрат в центре — снова 34. И это не все! Сложите цифры, расположившиеся по углам 1,13, 16 и 4, вуаля- 34! Все думаете вы? Нет. Еще можно соединить линию от единицы до шестнадцати, и увидим совершенно симметричную (и даже в зеркальном отражении!!) фигуру:
Посмотрите внимательно, внизу квадрата изображены числа пятнадцать и четырнадцать. Дюрер представил свою картину «Меланхолия» в 1514 году. А вот цифры по углам снизу — 4 и 1 — зашифрованные имя и фамилия художника: D – 4 буква Алфавита; А — 1 буква алфавита. (Дюрер Альбрехт)
. Все эти научные хитросплетения, считают исследователи феномена художника, показывают нам то, что Дюрер рассчитывал «магический квадрат», не просто подбирая нужные числа, а проводя ряд вычислений. Мы можем только догадываться, каких именно. Быть может, используя «конхоиду» или «раковину», так Дюрер называл ее в одной из своих монографий: « Руководство по измерению циркулем и линейкой»
И обратите внимание на камень на гравюре — усеченный с двух углов параллелепипед, боковыми гранями которого являются 2 правильных треугольника и 6 пятиугольников:
Предлагаем начертить 16 клеточек и вставить в них числа от 1 до 16 не нарушая порядка. Давайте попробуем поменять местами 1 и 16, 4 и 13 (это углы), 6 и 10, и 7 и 11 (квадрат в середине). И еще те, что стоят рядом 2 и 3, и 14 и 15. Готово! У нас получился наимагический квадрат высшей степени. Ну как вам? Гениально!
Не все так просто. Ведь нужно было додуматься до того, что и как менять. Конечно же абсолютная симметрия при замене чисел приводит к мысли о простоте и гениальности решения. Если быть абсолютно честными, имея под боком интернет и доступ к любому научному труду, нужно лишь немного задуматься, а для Дюрера это решение целого математического механизма, для которого он воспользовался своей конхоидой, чтобы прийти к тому, что и как менять.
Невооруженным глазом видно исправление на гравюре, которое Дюрер намеренно оставил таким очевидным:
П ри изменении чисел в рассматриваемом нами квадрате с 1 до 16 по порядку не меняются только боковые 5 и 9 слева и 8, и 12 справа. Оказывается, Дюрер и их хотел поменять местами, но это не оказалось нужным. Почему он оставил свою ошибку? Какую цель преследовал? Подсказка для нас ? Игры разума? А Вы заметили год, который не случайно вписался в квадрат (1514)? — тоже замысел или Дюрер для Большего эффекта специально ждал наступления нужной даты, а все математические вычисления сделал гораздо раньше?
Все возможно. Даже тонкости высшей математики можно было бы объяснить тщеславием художника, страдавшего нарциссизмом и регулярно писавшим свои автопортреты, чтобы им могли любоваться.
Вернемся к Дюреровской «Меланхолии», и его замысловатым квадратам. Картина предназначалась для императора Максимилиана I. Император являлся супругом Марии Бургундской. Ознакомьтесь с его портретом, кстати тоже работы Дюрера:
Е го Величество -Максимилиан I считал себя меланхоликом. Во времена его правления считалось, что меланхолики находятся под влиянием планеты Сатурн. Загадочный «магический квадрат» должен был стать талисманом, отгоняющим мрачное влияние Сатурна, одновременно притягивая положительную энергию Юпитера. На самом деле информации об этой гравюре много. Можно долго писать и рассуждать — но это в другой раз. Тема нашего исследования Математика. И в данном случае она нам более интересна, чем живопись.
Заключение
Математика окружает нас со всех сторон.
Иногда эту теорию можно выразить в терминах математики, ведь она неразрывно связана практически со всеми разновидностями современно искусства и искусства древних времен.
Мы не задумываемся, насколько наша жизнь связана с математикой. Даже такие направления деятельности человека, как музыка, живопись, архитектура без математических законов не могут существовать и развиваться.
В этой работе мы постарались показать, как тесно математика переплетается со всем, что нас окружает. Эта исследовательская работа дает более широкие представления о математике и ее использовании в разных областях деятельности человека и отвечает на вопрос: «Зачем изучать математику?». Но даже это капля в море. Представленные нами материалы будут открытием для многих учащихся и покажут математику с новой стороны, с которой они ее еще ни разу не видели.
Список литературы:
А. Дюрер «Дневники.Письма.Трактаты»- Государственное издательство 'Искусство'.1953г.
Олег Ершов «ВИТРУВИАНСКИЙ ЧЕЛОВЕК ИЛИ ЗАГАДКИ ВСЕЛЕННОЙ» - М. Издательские решения, 2005г.
Н. М. Карпушина «Научно-практический журнал Математика для школьников». №3 2005года
https://www.rulit.me/books/enciklopedicheskoe-izlozhenie-masonskoj-germeticheskoj-kabbalisticheskoj-i-rozenkrejcerovskoj-simvol-read-323988-81.html
http://www.astromyth.ru/Additional/VitruvianMan.htm
https://proshkolu.ru/user/epichin/blog/106863/
http://n-t.ru/tp/iz/zs.htm
https://www.surwiki.admsurgut.ru/wiki/index.php?title=%D0%97%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D1%82%D0%BE%D0%B5_%D1%81%D0%B5%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5._%D0%97%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D1%82%D0%BE%D0%B9_%D1%82%D1%80%D0%B5%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%BA
http://math.vzms.org/document/42.html
https://www.dailyartmagazine.com/art-and-math/
http://mathworld.wolfram.com/DuerersMagicSquare.html
https://witchykitchen.ru/magicheskij-kvadrat-dyurera/