VIII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Задачи на концентрацию
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
Задачи на концентрацию являются основными задачами в школьном курсе химии, но различные способы решения таких задач можно рассматривать на уроках математики ещё с шестого класса, используя арифметический способ и понятие процента и десятичной дроби. Затем продолжить в седьмом классе изучив понятие пропорции, а так же умение решать задачи алгебраическим способом, то есть уравнением. И, наконец, в восьмом классе рассмотреть возможность решения таких задач с помощью систем уравнений.
При подготовке ГИА необходимо вспомнить и систематизировать типы и способы решения таких задач.
Арифметический способ
При изучении темы «Проценты» в 6 классе решение задач на концентрацию считаются задачами повышенной сложности и могут быть предложены особо подготовленным учащимся.
Задача 1. Имеется 735 г шестнадцатипроцентного раствора йода в спирте. Нужно получить десятипроцентный раствор йода. Сколько граммов спирта нужно долить для этого к уже имеющемуся раствору?
Решение:
1) Найдем, сколько чистого йода содержится в растворе.
735 · 0,16 = 117,6 (г).
2) В новом растворе йода останется такое же количество, но он будет составлять уже 10 % раствора.
Если 117,6 г – это 10 %, то весь раствор имеет массу 117,6 · 10 = 1176 (г).
3) Найдем, сколько спирта нужно долить для получения нового раствора.
1176 – 735 = 441 (г).
О т в е т: 441 г.
Алгоритм:
Найти массу чистого вещества в растворе. Эта масса будет сохраняться в новом растворе.
Найти массу нового раствора в соответствии с процентным содержанием в нем вещества.
Найти разность масс нового и старого растворов. [3]
Решение с помощью пропорции
Познакомившись с понятием пропорции в 7 классе, подобные задачи можно решать используя это понятие.
Задача 2. К 200 г 30 %-ного раствора соли долили 50 г воды. Какова концентрация полученного раствора?
Р е ш е н и е.
Составим соответствующую пропорцию, приняв за х массу соли в растворе:
200 г – 100 %
х г – 30 % , тогда х = = 60 г соли.
Масса нового раствора 200 + 50 = 250 г, но масса соли в нём не изменилась, т. е. получим
250 г – 100 %
60 г – х % , тогда х = = 24 % концентрация полученного раствора.
О т в е т: получили 24 %-ный раствор.
Задача 3. Смешали 12 л 15 %-ного раствора соляной кислоты и 10 л 10 %-ного раствора. Каково процентное содержание кислоты в полученном растворе? Ответ округлить до 0,1 %.
Р е ш е н и е
С помощью пропорций найдём массу кислоты в каждом растворе:
12 л – 100 %
х л – 15 %, х = = 1,8 л кислоты в первом растворе и
10 л – 100 %
х л – 10 %, х = = 1 л кислоты во втором растворе, всего 2,8 литра.
Так как масса кислоты не меняется, а общая масса растворов 12 + 10 = 22 л, то получим
22 л – 100 %
2,8л – х %, х = ≈ 12,7 %.
О т в е т: 12,7 % кислоты.[4]
Алгебраический способ
Задача 4. Сколько граммов воды надо добавить к 50 г раствора, содержащего 8 % соли, чтобы получить 5 %-ный раствор?
Начнём решение этой задачи не с составления уравнения, а с вопросов, которые помогут уяснить условие и осознанно подойти к ее решению, используем так же при этом понятие пропорции.
Вопросы:
1) Сколько граммов соли содержится в имеющемся растворе?
(50 · 0,08 = 4 г.)
2) Если к имеющемуся раствору добавить воды, изменится ли массовая составляющая соли? (Нет.)
3) При добавлении воды изменится ли процентное содержание соли в растворе? (Да.)
4) Если к имеющемуся раствору добавить х г воды, какова станет масса всего раствора? (50 + х). Сколько граммов соли в нем будет? (4 г.)
5) Каково процентное содержание соли в новом растворе? (5 %.)
6) Какую пропорцию, согласно полученным результатам, можно составить?
4 г соли – 5 %
(50 + х) г раствора – 100 %.
Имеем уравнение:
5 (50 + х) = 400, откуда х = 30.
О т в е т: 30 г.
Алгоритм.
Поскольку при добавлении к раствору какого-либо вещества масса другого вещества не изменяется, а меняется его процентное содержание, то сначала необходимо найти массу неизменяющегося вещества.
Затем за х обозначить массу добавляемого вещества и составить пропорцию, в которой масса неизменного вещества будет составлять новое количество процентов, а масса всего раствора 100 %. [2]
Решим данные задачи по составленному выше алгоритму.
Задача 5. Сколько граммов воды нужно выпарить из 80 г 6 %-ного раствора соли, чтобы получить раствор, содержащий 10 % соли?
Решение:
Масса соли в имеющемся растворе равна 80 · 0,06 = 4,8 г. В новом растворе соль будет составлять 10 %.
Пусть х г воды нужно выпарить, тогда масса нового раствора будет равна (80 – х) г.
Составим пропорцию:
4,8 г соли – 10 %;
(80 – х) г раствора – 100 %.
Получаем уравнение:
10 (80 – х) = 4,8 · 100, откуда х = 32.
Ответ: 32 г.
Задача 6. Сколько граммов 75%-ного раствора кислоты надо добавить к 30 г 15%-ного раствора этой же кислоты, чтобы получить 50%-ный раствор?
х г — количество 75%-ного раствора кислоты, которое надо добавить;
(30 + х) г — масса получившегося 50%-ного раствора кислоты;
0,75х г — количество кислоты в х г 75%-ного раствора;
0,15 ∙ 30 г — количество кислоты в 30 г 15%-ного раствора;
0,5(30 + х) г — количество кислоты в 50%-ном растворе. Имеем уравнение:
кол-во кислоты кол-во кислоты кол-во кислоты
в 75%-ном + в 15%-ном = в 50%-ном
растворе растворе растворе
0,75х + 0,15 ∙ 30 = 0,5(30 + х)
0,75х + 0,15 ∙ 30 = 0,5(30 + х), откуда х = 46 г.
Ответ: 46 грамм.[1]
Решение задач с помощью систем уравнений
Задачи такого типа последние годы встречаются на Основном Государственном Экзамене и Едином Государственном Экзамене.
Задача 7. В колбу налили некоторое количество 60% -ного раствора соли и некоторое количество 80%-ного раствора этой же соли. Получили 35 мл раствора, содержащего 72% соли. Сколько миллилитров каждого раствора налили в колбу? Решим задачу, используя следующий план:
Обозначим буквами количество 60%-ного и 80%-ного растворов соли, налитых в колбу.
Запишем уравнение, связывающее эти две величины и общее количество раствора.
Определим количество соли в получившемся растворе.
Запишем уравнение, связывающее количество соли в 60%-ном, 80%-ном и получившемся растворах.
Составим систему и решим ее.
1) Пусть взяли х мл 60 %-ного раствора соли и у мл 80 %-ного раствора.
2) x + у = 35.
3) 0,6x + 0,8у (количество соли в получившемся растворе).
4) 0,6x + 0,8у = 35 ∙ 0,72.
0,6x + 0,8у = 25,2.
5)
Решив эту систему, получим, что х = 14 и у = 21.
Ответ: 14 мл 60 %-ного раствора и 21 мл 80 %-ного раствора.
Рассмотрим арифметический способ, который использовался в старину.
1) Найдем разность между процентным содержанием соли в каждом из имеющихся растворов и полученном растворе:
72 % – 60 % = 12 %;
80 % – 72 % = 8 %.
2) Эти результаты показывают, что 60 %-ного раствора нужно взять 8 частей, а 80 %-ного – 12 частей, то есть растворы должны быть взяты в отношении 2 : 3.
Поскольку в результате получим 35 мл раствора, то 60 %-ного взяли 14 мл, а 80 %-ного – 21 мл. [5]
Задача 8. Сразу после сбора урожая процентное содержание воды в бананах составляет 75%. После их перевозки процентное содержание воды в них становится равным 70%. Сколько килограммов бананов надо приобрести, чтобы после перевозки осталось 2500 кг бананов? [6]
Решение. Определим содержание так называемого «сухого вещества»: после сбора урожая его содержится 25%, после перевозки – 30%. Его масса после перевозки составит 2500 : 100 · 30 = 750 кг, но т. к. она остаётся неизменной и после сбора урожая это 25%, то нужно собрать 3000 кг бананов.
О т в е т: 3000 кг.
Задача 9. Смешав 25-процентныйи и 95-процентный растворы кислоты добавив 20 кг чистой воды, получили 40-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 20 кг воды добавили 20 кг 30-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 50-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 25-процентного раствора использовали для получения смеси? [7]
Заключение
Задачи, которые мы решили,— это так называемая задача на концентрацию. Концентрацией раствора называют отношение массы содержащегося в нем сухого вещества к массе раствора, выраженное в процентах. С процентами приходится иметь дело и при решении многих других задач, например задач на вычисление прибыли с банковских вкладов, дохода от инвестиций, на расчет объемов выполненных работ. Все такие задачи нетрудно решить, если вы умеете выражать проценты обыкновенной или десятичной дробью и решать главную задачу на проценты — находить процент от заданной величины. Иногда удобно решать их или с помощью пропорции или системой уравнений. И тот и другой способы широко применяются при решении химических задач.
Литература
1. Дорофеев Г. В., Суворова С. Б. и др. Алгебра: учебник для 8 класса общеобразовательных учреждений. — М.: Просвещение, 2010. — 288 с.
2. Дюмина Т. Ю. Алгебра. 8 класс: поурочные планы по учебнику под редакцией Г. В. Дорофеева. I полугодие.— Волгоград: Учитель, 2008. —205 с.
3. Дюмина Т. Ю. Математика. 6 класс: поурочные планы по учебнику Г. В. Дорофеева, С. Б. Суворовой, И. Ф. Шарыгина и др. Часть 1. — Волгоград: Учитель, 2006. — 235 с.
4. Калинина М. Ф. Алгебра. 7 класс: поурочные планы по учебнику под редакцией Г. В. Дорофеева. — Волгоград: Учитель, 2008. — 223 с.
5. Дюмина Т. Ю. Алгебра. 8 класс: поурочные планы по учебнику под редакцией Г. В. Дорофеева. II полугодие.— Волгоград: Учитель, 2009. —263 с.
6. Под редакцией Лысенко Ф.Ф. и Калабухова С.Ю. Математика 9 класс. Подготовка к ОГЭ-2016. 40 тренировочных вариантов. – Ростов-на-Дону: Легион, 2015. – 400 с.
7. Под ред. Ященко И.В. ЕГЭ. Математика. Профильный уровень: типовые экзаменационные варианты: 36 вариантов. – М.: Издательство «Национальное образование», 2016. – 256 с.