VIII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Золотое сечение - гармоничная пропорция
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение:
Вообще с начало учебы меня всегда привлекала математика. Это необходимая в жизни наука. Уже с глубокой древности люди использовали ее при составлении календаря и измерении расстояний, в строительстве и путешествиях, в расчетах при торговле.
Цифры окружают нас с самого первого дня.
Математика важна в любой профессии. С цифрами работают экономисты и бухгалтеры, инженеры и архитекторы. Музыканты отбивают ритм, художники используют масштаб и проекции, водители прокладывают маршрут и рассчитывают расход бензина.
Математика - царица наук и так считаю не только я, а и великие люди жившие в разное время (приложение 1). И её понятие, и исследование требует много труда.
Однажды мне в руки попал журнал «Занимательные головоломки», из которого я впервые узнал о золотом сечении. Я решил более подробно изучить данное понятие и проверить на практике его «волшебные свойства». Оказывается и в интернете много интересной информации касающейся данной темы.
Так перед собой я поставил следующие цели и задачи:
Сформировать понятие пропорция, найти определение Золотого сечения, изучить литературу, связанную с Золотым сечением.
Показать практическое применение этого понятия, провести эксперименты с элементами Золотого сечения.
Учиться анализировать и делать выводы.
Углубляясь в теорию, я узнал, что за число обозначает золотое сечение (это число Ф) и какое оно имеет значение. Узнал, как его можно получить, также наткнулся на интересные факты и особенности золотого числа, несколько раз проводил математические манипуляции с золотым числом, что приводило к интересным результатам.
Узнал о логарифмической спирали, которая замечательна, её можно часто встретить в природе.
Изучив теорию, я решил проверить о золотом сечении на практике. Золотую пропорцию проверял в природе, и в архитектуре своего города. Результат подтвердил число Ф = 1,618.
Божественная пропорция
Дошедшей до нас античной литературе понятие об удивительной пропорции приведено в «Началах» Евклида. Считается, что она была известна уже Пифагору - древнегреческий философ и математик (VI в. до н.э.). Уже во II книге «Начал» Евклид строит золотое сечение, а в дальнейшем применяет его для построения некоторых правильных многоугольников и многогранников (приложение 2)
Но золотое сечение было известно и до Евклида. В частности, знали о нем Пифагор и его ученики (VI век до н. э.) (приложение 2). В философской школе Пифагора помимо философии и математики изучали и гармонию. Занимаясь теорией гармонии, пифагорейцы пришли к заключению, что качественные отличия звуков обусловлены количественными различиями между длинами струн. Это вдохновило их, и они постарались пойти дальше — выразить все закономерности мира через числа, полагая, что в основу мирового порядка бог положил именно число. Поэтому пифагорейцы в числах и их отношениях (а последние рассматривались как отношения отрезков) искали магическое, сверхъестественное. И в геометрии не обошлось без мистики. Здесь особо следует отметить любовь пифагорейцев к звёздчатому пятиугольнику, составленному из диагоналей правильного пятиугольника. Звёздчатый пятиугольник для нас интересен в первую очередь тем, что каждая из пяти линий, составляющих эту фигуру, делит другую в отношении золотого сечения. В самом деле, так как треугольники ACD и ABE подобны, то АС : АВ = AD : АЕ. Но AD = ВС, а АЕ = АС, и поэтому АС : АВ = ВС : АС — уже известная нам пропорция золотого сечения. Именно это свойство звёздчатого пятиугольника и могли использовать пифагорейцы для построения правильного пятиугольника, ибо строить золотое сечение они, безусловно, умели.
К началу эпохи Возрождения усилился интерес к золотому сечению.
Он был вызван, в первую очередь, многочисленными применениями золотого сечения как в самой геометрии, так и в искусстве, особенно в архитектуре. Следствием этого явилось появление книги «Божественная пропорция», автором которой был крупнейший математик XV века итальянец Лука Пачоли. В своем труде Пачоли приводит тринадцать свойств золотого сечения, которое он снабжает такими эпитетами, как «исключительное», «несказанное», «превосходнейшее», «замечательнейшее», «сверхъестественное» и так далее. Впрочем, название книги само говорит об отношении автора к описываемому предмету. Небезынтересно, что иллюстрировал книгу один из инициаторов её написания, друг Пачоли, великий Леонардо да Винчи (приложение 2). Между прочим, именно он ввёл сам термин «золотое сечение».
Пропорции пирамиды Хеопса, многих храмов, барельефов, а также предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона точно подчиняются закону золотого сечения (приложение 2).
Числа Фибоначчи
В эпоху средневековья математика развивалась медленно, и крупных математиков тогда было очень мало. Интерес представляет для нас сочинение "Liber abacci" ("Книга об абаке"), написанная знаменитым итальянским математиком Леонардо из Пизы под прозвищем Фибоначчи (сын Боначчи)(приложение 4) ,который был, значительным математиком средневековья. Эта книга представляет собой объемный труд, содержащий почти все арифметические и алгебраические сведения того времени и сыгравший значительную роль в развитии математики в Западной Европе в течение нескольких следующих столетий. В частности, именно по этой книге европейцы познакомились с индусскими ("арабскими") цифрами. В ней Фибоначчи впервые в Европе привел отрицательные числа, которые рассматривал, как "долг", дал приемы извлечения кубических корней, привел "числа Фибоначчи".
Одна из задач гласила «Сколько пар кроликов в один год от одной пары
родится?». Размышляя на эту тему, Фибоначчи выстроил такой ряд цифр:
Месяцы: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Кролики : 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377
"Некто поместил пару кроликов в некоем месте, огороженном со всех сторон стеной, чтобы узнать, сколько пар кроликов родится при этом в течение года, если природа кроликов такова, что через месяц пара кроликов производит на свет другую пару, а рожают кролики со второго месяца после своего рождения".
Ясно, что если считать пару кроликов новорожденными, то на 2-й месяц мы будем по прежнему иметь одну пару; на 3-й месяц – 1+1=2; на 4-й – 2+1=3. Пары (ибо из двух имеющихся пар потомство дает лишь одна пара); на 5-й месяц – 3+2=5 пар (лишь два родившиеся на 3-й месяц пары дадут потомство на пятый месяц); на 6-й месяц – 5+3=8 пар (ибо потомство дадут только те пары, которые родились на 4-м месяце) и т. д.
Таким образом, если обозначить число пар кроликов, имеющихся на n месяце через F k, F1=1, F2=1, F3=2, F4=3, F5=5, F6=8, F7=13, F8=21 и т. д. причем образование этих чисел регулируется общим законом:
Fn=Fn-1+Fn-2
При всех n>2, ведь число пар кроликов на n-м месяце равно числу Fn-1 пар
кроликов на предшествующем месяце плюс число вновь родившихся пар, которое совпадает с числом Fn-2 пар кроликов, родившихся на (n-2) – ом месяце (ибо лишь эти пары кроликов дают потомство).
Числа Fn, образующие последовательность 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,
89, 144, 233, …называются числами Фибоначчи, а сама последовательность – последовательностью Фибоначчи.
Суть последовательности Фибоначчи заключается в том, что, после двух первых членов 1,1 каждое следующее число, получается сложением двух предыдущих.
Данная последовательность асимптотически стремится к некоторому постоянному соотношению (все медленнее и медленнее приближаясь к нему). Однако это соотношение иррационально, то есть представляет собой число с бесконечной, непредсказуемой последовательностью десятичных цифр в дробной части. Его невозможно выразить точно десятичной дробью. Если какой-либо член последовательности Фибоначчи разделить на предшествующий ему (например, 13:8), результатом будет величина, колеблющаяся около иррационального значения 1.61803398875... и через раз то превосходящая, то не достигающая его. Но даже затратив на это Вечность, невозможно узнать соотношение точно, до последней десятичной цифры.
Ф – число обозначающее золотое сечение
Золотое сечение», называемое также «золотая пропорция» или «золотое соотношение», было обнаружено во многих самых знаменитых творениях человечества — от древнегреческого Парфенона до творений Сальвадора Дали.
Именно это число обозначает - Золотое Сечение –
Ф =1,6180339887 4989484820 4586834365 6381177203 0917980576 2862135448 6227052604 6281890244 9707207204 1893911374 8475408807 5386891752 1266338622 2353693179 3180060766 7263544333 8908659593 9582905638 3226613199 2829026788 0675208766 8925017116 9620703222 1043216269 5486262963
Кратко мы будем записывать его в виде 1.618
Парфенон, в точности повторяет пропорции золотого сечения. Причем это касается как прямоугольника, образующую основу Парфенона, так и прямоугольников фасада (приложение 3).
Иллюстрация золотого сечения с Золотым сечением. А
СВ/АСДелим отрезок АВ на две части, так чтобы АВ/АС=АС/СВ
или
СВ/АС=АС/АВ
62% 38%
А С В
Первое отношение приблизительно равно 1,6, второе – 0, 6.
Золотая пропорция, деление в крайнем и среднем отношении.
Это такое деление целого на две неравные части, при котором большая часть так относится к целому, как меньшая к большей.
АВ/АС=АС/СВ
Частное от указанного деления называется золотым числом. Как правило его обозначают буквой Ф (фи)
= 1, 618
Деление отрезка прямой по золотому сечению при помощи циркуля и линейки.
BC = 1/2 AB; CD = BC
Из точки В восставляется перпендикуляр, равный половине АВ. Полученная точка С соединяется линией с точкой А. На полученной линии откладывается отрезок ВС, заканчивающийся точкой D. Отрезок AD переносится на прямую АВ. Полученная при этом точка Е делит отрезок АВ в соотношении золотой пропорции. Отрезки золотой пропорции выражаются бесконечной иррациональной дробью AE = 0,618..., если АВ принять за единицу, ВЕ = 0,382... Для практических целей часто используют приближенные значения 0,62 и 0,38. Если отрезок АВ принять за 100 частей, то большая часть отрезка равна 62, а меньшая – 38 частям (было показано выше).
Свойства золотого сечения описываются уравнением:
-х-1=0
Х1,2= = 1,618
Решение этого уравнения:
Положительный корень уравнения приближенно равен 1,618.
|
Х1,2=Ф =(1± √5)/2 = 1,618 |
Ф – число обозначающее золотое сечение
Особенности золотого числа
Интересные факты
При помощи калькулятора, можно получить поразительные манипуляции с золотым числом.
Например, если его возвести в квадрат, то десятичные разряды останутся неизменными.
Ф = = 1,6180339887……
= 2,6180339887………..
Если разделим единицу на золотое число, то :
= 0,6180339887……
Ещё более удивительно следующее выражение:
Сокровище Геометрии
Великий астроном XVI в. Иоганн Кеплер (приложение 5) назвал золотое сечение одним из сокровищ геометрии. Он первый обращает внимание на значение золотой пропорции для ботаники (рост растений и их строение).
Кеплер называл золотую пропорцию продолжающей саму себя «Устроена она так, – писал он, – что два младших члена этой нескончаемой пропорции в сумме дают третий член, а любые два последних члена, если их сложить, дают следующий член, причем та же пропорция сохраняется до бесконечности».
Построение ряда отрезков золотой пропорции можно производить как в сторону увеличения (возрастающий ряд), так и в сторону уменьшения (нисходящий ряд).
1855 г. немецкий исследователь золотого сечения профессор Цейзинг опубликовал свой труд «Эстетические исследования». Цейзинг измерил около двух тысяч человеческих тел и пришел к выводу, что золотое сечение выражает средний статистический закон.
Он абсолютизировал пропорцию золотого сечения, объявив ее универсальной для всех явлений природы и искусства.
Деление тела точкой пупа – важнейший показатель золотого сечения.
Пропорции мужского тела колеблются в пределах среднего отношения 13 : 8 = 1,625 и несколько ближе подходят к золотому сечению, чем пропорции женского тела, в отношении которого среднее значение пропорции выражается в соотношении 8 : 5 = 1,6.
У новорожденного пропорция составляет отношение 1 : 1, к 13 годам она равна 1,6, а к 21 году равняется мужской.
Пропорции золотого сечения проявляются и в отношении других частей тела – длина плеча, предплечья и кисти, кисти и пальцев и т.д.
Справедливость своей теории Цейзинг проверял на греческих статуях. Наиболее подробно он разработал пропорции Аполлона Бельведерского. Подверглись исследованию греческие вазы, архитектурные сооружения различных эпох, растения, животные, птичьи яйца, музыкальные тона, стихотворные размеры (приложения 6,7).
Цейзинг дал определение золотому сечению, показал, как оно выражается в отрезках прямой и в цифрах. Когда цифры, выражающие длины отрезков, были получены, Цейзинг увидел, что они составляют ряд Фибоначчи.
Логарифмическая спираль
Математические структуры играют ключевую роль в «динамике роста» многих организмов. В сущности, этот рост происходит по схеме воспроизводства, когда, исходя из данной формы, на различных уровнях появляются подобные ей формы.
Важнейшая характеристика этого процесса:
Ряд образованный числами
1,Ф, , ,…… ,….(геометрическая прогрессия – каждый член получается при умножении предшественника).
1
Ф
=1+Ф
=Ф+ = Ф+1+Ф = 1+2Ф
= + =1+Ф+1+2Ф=2+3Ф
= + = 1+2Ф+2+3Ф = 3+5Ф
= + =2+3Ф+3+5Ф=5+8Ф
Одновременно существует «дополнительный ряд», в котором каждый член, начиная с третьего, является суммой двух предыдущих чисел. Такого рода числовые ряды называются рядами Фибоначчи, а их члены – соответственно – числами Фибоначчи)
Возможность добавлять элементы путем сложения, при сохранении формы, - есть способ создания логарифмической спирали, замечательным образом моделирующей многие природные законы роста.
Построим золотой прямоугольник так, чтобы большая его сторона имела длину Ф, а меньшая - равнялась единице. Теперь откладываем квадрат со стороной 1. Получившийся слева прямоугольник также является золотым. Если мы повторим операцию с этим вновь образованным прямоугольником, то получим ещё один золотой прямоугольник (меньших размеров). Продолжая эту операцию до бесконечности, мы построим множество уменьшающихся золотых прямоугольников. Спираль, вписанная в них, называется логарифмической. Эта кривая замечательна. Согласно ей, например, развивается морская раковина Nautilus pompilius (приложение 6).
Золотое сечение в архитектуре Ульяновска
Изучив теорию, которая меня поразила, я решил сам исследовать волшебное число. Сначала мое внимание привлек памятник, который находится в центре нашего города на площади Ленина. Это и есть памятник В.И. Ленину.
Составив пропорцию я получил 4,8/2,9=1,6(55172).
Далее мне захотелось посмотреть , а получится ли получить данное число изучив Храм во имя Святителя Николая Чудотворца города Инзы Ульяновской области.
Составив пропорцию я получил 10,5/6,5=1,6(51515).
Далее я провел измерения с куриными яйцами (золотое сечение в природе) и банковской картой (золотое сечение в предметах обихода). Результаты отражены в приложении 10.
Проведя исследования я сделал вывод:
во всем, что нас окружает присутствует золотое сечение: в зданиях, вазах, фотографиях и картинах. Она явно преобразует окружающие нас предметы в лучшую и более красивую сторону.
Заключение
В результате работы подтвердилась гипотеза о том, что «золотое сечение» действительно гармонично и человек в окружающем мире постоянно сталкивается с предметами, имеющими в своей основе «золотые пропорции».
В ходе работы были решены следующие задачи:
1. Ознакомился с историей вопроса.
2. Систематизировал теоретические сведения о золотом сечении.
3. Исследовал присутствие золотого сечения в окружающей жизни, обнаружили, что «золотые пропорции» активно используются в современной жизни: природе, в архитектуре, в быту и т.д.
Список используемой литературы
1. Журнал « Занимательные головоломки» выпуск №2 .
2. Журнал « Занимательные головоломки» выпуск №3 .
3. В. Лаврус «Золотое сечение».- электронная библиотека. «Наука и техника».
4. http://bapachi.by
5. http://economic-definition.com
П риложение 1
В Геометрии нет царской дороги
Евклид
Математика –это язык, на котором написана книга природы.
Г. Галилей
Вдохновение нужно в геометрии не меньше, чем в поэзии.
А.С. Пушкин
Приложение 2
Е вклид в «Началах»
Ввел понятие о золотом делении
описал способ построения золотого сечения помощью циркуля и линейки.
Пифагор
Ввел понятие о золотом делении
Леонардо да Винчи ввел сам термин золотое сечение
Пирамиды Хеопса
Приложение 3
Приложение 4
Леона́рдо Пиза́нский (1770 г- ок.1250) - первый крупный математик средневековой Европы . Наиболее известен под прозвищем Фибона́ччи. Отец Фибоначчи по торговым делам часто бывал в Алжире, и Леонардо изучал там математику у арабских учителей. Позже Фибоначчи посетил Египет, Сирию, Византию, Сицилию.
Приложение 5
Иоганн Кеплер - немецкий математик, астроном, механик, оптик, первооткрыватель законов движения
Деятельность Цейзинг (1810 – 1876 гг) в области математики представлена исключительно работами по математической эстетике. Исходя из высказываемой уже и до него мысли, что удовлетворять глазу и духу человека может только деление отрезка линии в крайнем и среднем отношении, он распространил эту мысль на деление всякого предмета. Он поставил себе смелую задачу обнаружить его правильность по возможности на всех представляемых громадной областью форм частных случаях.
Приложение 6
Золотое сечение в природе
Морская раковина Nautilus pompilius
Приложение 7
Среди придорожных трав растет ничем не примечательное растение – цикорий. Приглядимся к нему внимательно. От основного стебля образовался отросток. Тут же расположился первый листок.
Отросток делает сильный выброс в пространство, останавливается, выпускает листок, но уже короче первого, снова делает выброс в пространство, но уже меньшей силы, выпускает листок еще меньшего размера и снова выброс. Если первый выброс принять за 100 единиц, то второй равен 62 единицам, третий – 38, четвертый – 24 и т.д. Длина лепестков тоже подчинена золотой пропорции. В росте, завоевании пространства растение сохраняло определенные пропорции. Импульсы его роста постепенно уменьшались в пропорции золотого сечения.
Предметы быта.
Приложение 8
Памятник Ленину
4,8/2,9=1,6(55172)
Приложение 9
Храм во имя Святителя Николая Чудотворца - Инза
10,5/6,5=1,6(51515)
Приложение 10
В се банковские карточки и дисконтные карты магазинов одинакового размера и формы. Таких же размеров пропуск в школу.