Задача пифагоровых троек. Формула Евклида

VIII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке

Задача пифагоровых троек. Формула Евклида

Горюноов Д.А. 1
1МБОУ "Гимнаия №2 Квантор"
Акимова Т.Д. 1
1МБОУ "Гимназия №2 Квантор"
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

В восьмом классе все школьники изучают одну из самых важных теорем геометрии – теорему Пифагора и теорему, обратную теореме Пифагора.

В ходе этого изучения происходит знакомство с пифагоровыми тройками чисел – такими комбинациями из трёх целых чисел a, b c, которые удовлетворяют соотношению Пифагора: а2 + в2 =с2. В учебнике геометрии приводятся без вывода формулы для натуральных чисел a, b c:

a = 2kmn; b =k(m2 - n2); c = k(m2 + n2).

У меня сразу появилось желание вывести эти формулы, совершить «личное открытие», углублять знания, полученные мною самостоятельно в таких разделах математики как теория чисел, алгебраическая геометрия, комплексные числа.

В данной работе представлено два различных вывода формул пифагоровых троек и рассмотрены некоторые свойства этих троек. Первый вывод является довольно наглядным, второй считаю наиболее красивым. Свойства пифагоровых троек я доказывал самостоятельно.

Пифагоровы тройки имеют огромное количество свойств, связывающих их с такими разделами математики, как теория чисел, алгебраическая геометрия, комплексный анализ, поэтому исследование этой темы помогает осознать взаимосвязь разделов математики. Выбор темы этим и обусловлен. Сначала появились идеи для работы во всех перечисленных разделах, но появилась тема, которая объединила всё. Основной материал разделов я разобрал самостоятельно, поэтому здесь и говорится только об интересной задаче, которая имеет много различных решений, через которые частично и представлены основные методы.

Цель работы: вывести формулы Пифагора различными способами, изучить свойства пифагоровых троек чисел и доказать некоторые из них самостоятельно.

Основная часть

Теория чисел, или высшая арифметика, — раздел математики, первоначально изучавший свойства целых чисел. В современной теории чисел рассматриваются и другие типы чисел — например, алгебраические и трансцендентные, а также функции различного происхождения, которые связаны с арифметикой целых чисел и их обобщений (+ то, что изучает элементарная теория чисел)

Главное их свойство, которое рассматривает теория чисел, - это делимость. Первый круг задач теории чисел - разложение чисел на множители. Основными «кирпичиками» в таком разложении являются простые числа, т. е. числа, делящиеся только на 1 и на себя; теорема, называемая основной теоремой арифметики, гласит: всякое натуральное число раскладывается на простые множители единственным способом.

Алгебраическая геометрия — раздел математики, который объединяет алгебру и геометрию. Главным предметом изучения классической алгебраической геометрии, а также в широком смысле и современной алгебраической геометрии, являются множества решений систем алгебраических уравнений. Современная алгебраическая геометрия во многом основана на методах общей алгебры для решения задач, возникающих в геометрии.

Пифагорова тройка - это комбинация из трёх целых чисел (a, b c или x, y , z), удовлетворяющих соотношению Пифагора: x2 + y2 = z2.

При умножении этих чисел на одно и то же число получается другая пифагорова тройка. Пифагорова тройка называется примитивной, если не может быть получена таким способом из какой-либо другой пифагоровой тройки, то есть x, y, z являются взаимно простыми числами.

Сама задача пифагоровых троек сводится к поиску всех возможных целых решений следующего уравнения a2 + b2 = c2 (все числа целые, поэтому уравнение называется диофантовым).

Приведём решение этого диофантового уравнения методами алгебраической геометрии.

a2 + b2 = c2

Пусть y = a / c, x = b / c. Здесь и далее c ≠ 0.

x2 + y2 = 1 - окружность с радиусом 1 с центром в точке (0, 0) - рис.1

Теперь можно сказать, что задача эквивалентна поиску всех рациональных x и y на окружности.

рис.1

Точки на окружности отсекаются прямыми, содержащими хорды окружности.

y = kx + m - уравнение прямой с угловым коэффициентом. Прямая будет проходить через точку D (её координаты известны и удобны для решения системы).

Теперь для нахождения Q-точек окружности:

Важно отметить, что если k– рациональное, то y, x также будут рациональными и наоборот. Это просто доказать, выразив k из уравнения прямой.

Решая систему методом подстановки, выражаем x через k.

x = 2k/(k2+1), затем y = (k2-1)/(k2+1).

Так как y, x рациональные, k тоже рациональное и следовательно равно m/n, где mиn целые числа. Подставляем значения k, получаем:

x = 2mn/(n2 + m2),

y = (m2 - n2)/(m2+n2),

где mиn целые числа. Вспоминаем, что y = a / c, x = b / c, получаем:

a = 2mn,

b = m2-n2,

c = m2+n2,

где m и n целые числа{\displaystyle m>n} {\displaystyle m-n}m > n, (m - n) нечётно, m и nвзаимнопростые.

На самом деле, с помощью знания этих формул можно решить множество задач по поиску всех прямоугольных треугольников с заданным условием.{\displaystyle m}{\displaystyle n}

Привожу второй вывод формул с помощью комплексных чисел. Для вывода формул опять решаем уравнение a2 + b2 = c2 в целых числах.

Гауссовы целые числа (гауссовы числацелые комплексные числа) — это комплексные числа, у которых как вещественная, так и мнимая часть — целые числа.

a2 + b2 = c2

(a + bi)(a - bi) = c

По основной теореме арифметики в гауссовых числах:
a + bi = (m + ni)2

a + bi = m2 + 2mni + n2

a + bi = m2 + n2+ 2mni

Вещественные и мнимые части двух чисел равны, значит:

a = m2 - n2

b = 2mn

с выражается из исходного уравнения.

c = m2+n2

Уравнение a2 + b2 = c2решено.

Пифагоровы тройки обладают красивыми свойствами, например:

Существует бесконечно много пифагоровых троек, в которых гипотенуза и больший из катетов отличаются ровно на единицу (такие тройки заведомо примитивны).

Существует бесконечно много примитивных пифагоровых троек, в которых гипотенуза и больший по длине катет отличается ровно на два.

Существует бесконечно много пифагоровых троек, в которых два катета отличаются ровно на единицу. Например, 202 + 212 = 292.

Некоторые свойства пифагоровых троек с доказательством:

Свойство 1. В точности одно из чисел a и b нечётноc всегда нечётно.

Доказательство проведём методом от противного (следует помнить, что речь идёт о примитивных пифагоровых тройках, все числа взаимнопростые).

Если a и b чётные, то и c чётное, что не удовлетворяет условию примитивности тройки.

Если a и b нечётные, то это приводит к противоречию при подстановке.

Пустьa = 2m + 1, b = 2n + 1.

2(2m2+2n2+2n+2m+1) = c2

2m2+2n2+2n+2m+1 - число нечётное

Получается c2 делится на 2, но не делится на 4, что невозможно.

Предположение неверно и верно то, что требовалось доказать.

Свойство 2. В точности одно из чисел a и b делится на 3.

a2 + b2 = c2

Если и a, и b, и c делятся на 3, то тройка становится сократимой, что не соответствует условию примитивности.

Если ни a, ни b не делится на 3, то и c не делиться. Рассмотрим этот случай.

Число не делится на 3, значит его можно записать в виде:

a = 3k ± 1, b = 3m ± 1. Получается:

9k2 ± 6k + 1 + 9m2 ± 6m + 1 = c2

2 + 3(3k2 ± 2k + 3m2 ± 2m) = с2

с2 при делении на 3 даёт остаток 2, а квадрат числа при делении на 3 может давать 1 или 0 в остатке. Возникло противоречие, предположение неверно, а значит хотя бы одно из чисел a, b делится на 3.

Свойство 3. В точности одно из чисел a и b делится на 4.

Это очевидно, если вспомнить, что m и n разной чётности (для того, чтобы тройка оставалась несократимой, иначе числа a, b, c будут делиться на 2), ведь a = 2mn, а одно из чисел m и n четно, получаем, что a делится на 4.

Что и требовалось доказать.

Свойство 4. В точности одно из чисел делится на 5.

При делении на 5 квадрат целого числа может давать в остатке 0, 1 или 4 (можно проверить, посчитав: (5m)2, (5m± 1)2, (5m ± 2)2).

Возможны три случая (остальные повторяю друг друга):

a = 5k ± 1, b = 5m ± 2;

a = 5k ± 1, b = 5m ± 1;

a = 5k ± 2, b = 5m ± 2.

Подставляем полученные значения, получаем, что с2 при делении на 5 даёт остаток 1) 1 + 4 = 5, 2) 1 + 1 = 2, 3) 4 + 4 = 8, 8 3 (mod 5).

2 и 3 противоречит утверждению в начале доказательства. Предположение, что ни a, ни b не делятся на 5 неверно, а верно, что здесь либо a, либо b делится на 5.

В 1 случае получается, что с делится на 5.

Значит хотя бы одно из чисел a, b, c делится на 5.

В работе

- представлены решения уравнения a2 + b2 = c2, называющиеся формулами Евклида, разными способами;

- представлены некоторые свойства, при доказательстве которых используются различные приёмы: доказательство "от противного", доказательство с помощью свойств делимости, доказательство с применением арифметики остатков;

- представлены интересные свойства без доказательств

В итоге, изучен вопрос генерации пифагоровых троек, их свойства с доказательствами, проделанными самостоятельно, что и являлось целью работы. Теперь я продолжу исследования в представленных разделах.

Литература:

1. А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др. Алгебра 8 и 9 класс, М.: «Мнемозина», 2014;

2. Л. С. Атанасян и др. Геометрия 7-9 классы , М.: «Просвещение», 2014;

3. https://ru.wikipedia.org/;

4. В. Серпинский «Пифагоровы треугольники», Государственное учебно-педагогическое издательство министерства просвещения РСФСР, 1959;

5. Я. И. Перельман «Занимательная алгебра», М.: ОЛМА Медиа Групп, 2013.

Просмотров работы: 33