VIII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Задача пифагоровых троек. Формула Евклида
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
В восьмом классе все школьники изучают одну из самых важных теорем геометрии – теорему Пифагора и теорему, обратную теореме Пифагора.
В ходе этого изучения происходит знакомство с пифагоровыми тройками чисел – такими комбинациями из трёх целых чисел a, b c, которые удовлетворяют соотношению Пифагора: а2 + в2 =с2. В учебнике геометрии приводятся без вывода формулы для натуральных чисел a, b c:
a = 2kmn; b =k(m2 - n2); c = k(m2 + n2).
У меня сразу появилось желание вывести эти формулы, совершить «личное открытие», углублять знания, полученные мною самостоятельно в таких разделах математики как теория чисел, алгебраическая геометрия, комплексные числа.
В данной работе представлено два различных вывода формул пифагоровых троек и рассмотрены некоторые свойства этих троек. Первый вывод является довольно наглядным, второй считаю наиболее красивым. Свойства пифагоровых троек я доказывал самостоятельно.
Пифагоровы тройки имеют огромное количество свойств, связывающих их с такими разделами математики, как теория чисел, алгебраическая геометрия, комплексный анализ, поэтому исследование этой темы помогает осознать взаимосвязь разделов математики. Выбор темы этим и обусловлен. Сначала появились идеи для работы во всех перечисленных разделах, но появилась тема, которая объединила всё. Основной материал разделов я разобрал самостоятельно, поэтому здесь и говорится только об интересной задаче, которая имеет много различных решений, через которые частично и представлены основные методы.
Цель работы: вывести формулы Пифагора различными способами, изучить свойства пифагоровых троек чисел и доказать некоторые из них самостоятельно.
Основная часть
Теория чисел, или высшая арифметика, — раздел математики, первоначально изучавший свойства целых чисел. В современной теории чисел рассматриваются и другие типы чисел — например, алгебраические и трансцендентные, а также функции различного происхождения, которые связаны с арифметикой целых чисел и их обобщений (+ то, что изучает элементарная теория чисел)
Главное их свойство, которое рассматривает теория чисел, - это делимость. Первый круг задач теории чисел - разложение чисел на множители. Основными «кирпичиками» в таком разложении являются простые числа, т. е. числа, делящиеся только на 1 и на себя; теорема, называемая основной теоремой арифметики, гласит: всякое натуральное число раскладывается на простые множители единственным способом.
Алгебраическая геометрия — раздел математики, который объединяет алгебру и геометрию. Главным предметом изучения классической алгебраической геометрии, а также в широком смысле и современной алгебраической геометрии, являются множества решений систем алгебраических уравнений. Современная алгебраическая геометрия во многом основана на методах общей алгебры для решения задач, возникающих в геометрии.
Пифагорова тройка - это комбинация из трёх целых чисел (a, b c или x, y , z), удовлетворяющих соотношению Пифагора: x2 + y2 = z2.
При умножении этих чисел на одно и то же число получается другая пифагорова тройка. Пифагорова тройка называется примитивной, если не может быть получена таким способом из какой-либо другой пифагоровой тройки, то есть x, y, z являются взаимно простыми числами.
Сама задача пифагоровых троек сводится к поиску всех возможных целых решений следующего уравнения a2 + b2 = c2 (все числа целые, поэтому уравнение называется диофантовым).
Приведём решение этого диофантового уравнения методами алгебраической геометрии.
a2 + b2 = c2
Пусть y = a / c, x = b / c. Здесь и далее c ≠ 0.
x2 + y2 = 1 - окружность с радиусом 1 с центром в точке (0, 0) - рис.1
Теперь можно сказать, что задача эквивалентна поиску всех рациональных x и y на окружности.
рис.1
Точки на окружности отсекаются прямыми, содержащими хорды окружности.
y = kx + m - уравнение прямой с угловым коэффициентом. Прямая будет проходить через точку D (её координаты известны и удобны для решения системы).
Теперь для нахождения Q-точек окружности:
Важно отметить, что если k– рациональное, то y, x также будут рациональными и наоборот. Это просто доказать, выразив k из уравнения прямой.
Решая систему методом подстановки, выражаем x через k.
x = 2k/(k2+1), затем y = (k2-1)/(k2+1).
Так как y, x рациональные, k тоже рациональное и следовательно равно m/n, где mиn целые числа. Подставляем значения k, получаем:
x = 2mn/(n2 + m2),
y = (m2 - n2)/(m2+n2),
где mиn целые числа. Вспоминаем, что y = a / c, x = b / c, получаем:
a = 2mn,
b = m2-n2,
c = m2+n2,
где m и n целые числа , {\displaystyle m>n} {\displaystyle m-n}m > n, (m - n) нечётно, m и nвзаимнопростые.
На самом деле, с помощью знания этих формул можно решить множество задач по поиску всех прямоугольных треугольников с заданным условием.{\displaystyle m}{\displaystyle n}
Привожу второй вывод формул с помощью комплексных чисел. Для вывода формул опять решаем уравнение a2 + b2 = c2 в целых числах.
Гауссовы целые числа (гауссовы числа, целые комплексные числа) — это комплексные числа, у которых как вещественная, так и мнимая часть — целые числа.
a2 + b2 = c2
(a + bi)(a - bi) = c
По основной теореме арифметики в гауссовых числах:
a + bi = (m + ni)2
a + bi = m2 + 2mni + n2
a + bi = m2 + n2+ 2mni
Вещественные и мнимые части двух чисел равны, значит:
a = m2 - n2
b = 2mn
с выражается из исходного уравнения.
c = m2+n2
Уравнение a2 + b2 = c2решено.
Пифагоровы тройки обладают красивыми свойствами, например:
Существует бесконечно много пифагоровых троек, в которых гипотенуза и больший из катетов отличаются ровно на единицу (такие тройки заведомо примитивны).
Существует бесконечно много примитивных пифагоровых троек, в которых гипотенуза и больший по длине катет отличается ровно на два.
Существует бесконечно много пифагоровых троек, в которых два катета отличаются ровно на единицу. Например, 202 + 212 = 292.
Некоторые свойства пифагоровых троек с доказательством:
Свойство 1. В точности одно из чисел a и b нечётно, c всегда нечётно.
Доказательство проведём методом от противного (следует помнить, что речь идёт о примитивных пифагоровых тройках, все числа взаимнопростые).
Если a и b чётные, то и c чётное, что не удовлетворяет условию примитивности тройки.
Если a и b нечётные, то это приводит к противоречию при подстановке.
Пустьa = 2m + 1, b = 2n + 1.
2(2m2+2n2+2n+2m+1) = c2
2m2+2n2+2n+2m+1 - число нечётное
Получается c2 делится на 2, но не делится на 4, что невозможно.
Предположение неверно и верно то, что требовалось доказать.
Свойство 2. В точности одно из чисел a и b делится на 3.
a2 + b2 = c2
Если и a, и b, и c делятся на 3, то тройка становится сократимой, что не соответствует условию примитивности.
Если ни a, ни b не делится на 3, то и c не делиться. Рассмотрим этот случай.
Число не делится на 3, значит его можно записать в виде:
a = 3k ± 1, b = 3m ± 1. Получается:
9k2 ± 6k + 1 + 9m2 ± 6m + 1 = c2
2 + 3(3k2 ± 2k + 3m2 ± 2m) = с2
с2 при делении на 3 даёт остаток 2, а квадрат числа при делении на 3 может давать 1 или 0 в остатке. Возникло противоречие, предположение неверно, а значит хотя бы одно из чисел a, b делится на 3.
Свойство 3. В точности одно из чисел a и b делится на 4.
Это очевидно, если вспомнить, что m и n разной чётности (для того, чтобы тройка оставалась несократимой, иначе числа a, b, c будут делиться на 2), ведь a = 2mn, а одно из чисел m и n четно, получаем, что a делится на 4.
Что и требовалось доказать.
Свойство 4. В точности одно из чисел делится на 5.
При делении на 5 квадрат целого числа может давать в остатке 0, 1 или 4 (можно проверить, посчитав: (5m)2, (5m± 1)2, (5m ± 2)2).
Возможны три случая (остальные повторяю друг друга):
a = 5k ± 1, b = 5m ± 2;
a = 5k ± 1, b = 5m ± 1;
a = 5k ± 2, b = 5m ± 2.
Подставляем полученные значения, получаем, что с2 при делении на 5 даёт остаток 1) 1 + 4 = 5, 2) 1 + 1 = 2, 3) 4 + 4 = 8, 8 ≡ 3 (mod 5).
2 и 3 противоречит утверждению в начале доказательства. Предположение, что ни a, ни b не делятся на 5 неверно, а верно, что здесь либо a, либо b делится на 5.
В 1 случае получается, что с делится на 5.
Значит хотя бы одно из чисел a, b, c делится на 5.
В работе
- представлены решения уравнения a2 + b2 = c2, называющиеся формулами Евклида, разными способами;
- представлены некоторые свойства, при доказательстве которых используются различные приёмы: доказательство "от противного", доказательство с помощью свойств делимости, доказательство с применением арифметики остатков;
- представлены интересные свойства без доказательств
В итоге, изучен вопрос генерации пифагоровых троек, их свойства с доказательствами, проделанными самостоятельно, что и являлось целью работы. Теперь я продолжу исследования в представленных разделах.
Литература:
1. А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др. Алгебра 8 и 9 класс, М.: «Мнемозина», 2014;
2. Л. С. Атанасян и др. Геометрия 7-9 классы , М.: «Просвещение», 2014;
3. https://ru.wikipedia.org/;
4. В. Серпинский «Пифагоровы треугольники», Государственное учебно-педагогическое издательство министерства просвещения РСФСР, 1959;
5. Я. И. Перельман «Занимательная алгебра», М.: ОЛМА Медиа Групп, 2013.