VIII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Магический квадрат
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
Магические квадраты… От этого словосочетания сразу веет волшебством. Великие учёные древности считали количественные отношения основой сущности мира. Они увидели, что числа имеют какую-то самостоятельную жизнь, свои тайны. Позже выяснилось, что располагая числа правильными рядам, складывая слева направо и сверху вниз, каждый раз получаются равные числа. Так в ходе времени образовался магический квадрат, который мы встречаем по сей день.
Я выбрала эту тему для исследования, потому что считаю её актуальной и познавательной. При выборе темы исследования у меня появилось желание узнать, влияет ли дата моего рождения на мой характер. Это и стало гипотезой данной работы.
Актуальность моего исследования заключается в умение составлять магические квадраты 3х3, повышать и развивать интерес к новым загадочным головоломкам, развивать любознательность и логическое мышление.
Цель данной работы – знакомство с различными магическими квадратами, способов заполнения магических квадратов 3х3.
Данная цель исследования предполагает решение следующих задач:
определить, что такое магический квадрат;
узнать какие магические квадраты существуют;
3) научиться составлять магический квадрат 3х3;
4) определить влияет ли дата моего рождения на мой характер.
Предмет исследования: история магических квадратов, их разновидности, особенности построения.
Объектом исследования данной работы является магический квадрат.
В своей работе я применяла такие методы исследования:
1) Исследовательский
2) Описательный
3) Метод анализа и обобщения (при работе с информацией)
4) Метод анализа и сравнения.
1. История появления магических квадратов
Магические квадраты возникли в глубокой древности в Китае. Вероятно, самым «старым» из дошедших до нас магических квадратов является таблица Ло Шу (около 2200 г. до н. э.). Она имеет размер 3x3 и заполнена натуральными числами от 1 до 9. В этом квадрате сумма чисел в каждой строке, столбце и диагонали равна 15. Согласно одной из легенд, прообразом Ло Шу стал узор из связанных черных и белых точек, украшавший панцирь огромной черепахи, которую встретил однажды на берегу реки Ло-Шуй мифический прародитель китайской цивилизации Фуси. Жители Поднебесной считали таблицу Ло Шу священной, у них даже не возникало мысли о составлении аналогичных квадратов большего размера, поэтому последние стали появляться только три тысячелетия спустя.
В средневековой Европе, как и на Востоке, магическим квадратам часто приписывали различные мистические свойства. Поэтому не удивительно, что они пользовались особой популярностью у прорицателей, астрологов и врачевателей. Бытовало даже поверье, что выгравированный на серебряной пластине магический квадрат защищает от чумы.
Название «магические» квадраты получили от арабов, которые усмотрели в их свойствах нечто мистическое, и потому принимали квадраты за своеобразные талисманы, защищавшие тех, кто их носит, от многих несчастий. К удивительным квадратам проявляли интерес и средневековые арабские математики, приводившие их примеры в своих сочинениях. Из Китая магические квадраты распространились сначала в Индию, затем в Японию и другие страны. На востоке их считали волшебными, полными тайного смысла символами, и использовали при заклинаниях.
В наше время магические квадраты продолжают привлекать к себе внимание не только специалистов, но и любителей математических игр и развлечений. За последнее столетие значительно возросло число книг по занимательной математике, в которых содержатся головоломки и задачи, связанные с необычными квадратами. Для их успешного решения требуются не столько специальные знания, сколько смекалка и умение подмечать числовые закономерности. Решение таких задач не только доставит удовольствие тем, кто интересуется математикой, но и послужит прекрасной «гимнастикой для ума».
2. Что такое магический квадрат и его виды
Магическим квадратом (МК)1 n-го порядка называется квадратная таблица размером n х n, заполненная натуральными числами от 1 до n2, суммы которых по всем строкам, столбцам и обеим диагоналям одинаковы.
Магический квадрат имеет по горизонтали – строки, по вертикали – столбцы и клетки диагонального направления.
Строка
Диагональ
Столбец
Клетки магического квадрата заполняются цифрами, сумма которых по строкам, столбцам и диагоналям должны иметь постоянное значение т.е. постоянную магического квадрата.
Полного описания всех возможных магических квадратов не получено и до сего времени, однако отмечено, что магических квадратов 2х2 не существует. Существует единственный магический квадрат 3х3, так как остальные магические квадраты 3х3 получаются из него либо поворотом вокруг центра, либо отражением относительно одной из его осей симметрии.
Нормальный МК - магический квадрат, заполненный целыми числами от 1 до n2 (рис. 1)
Полумагический квадрат - квадрат, заполненный числами от 1 до n2.
называется полумагическим, если сумма чисел по горизонталям и вертикалям равна магической постоянной, а по диагоналям это условие не выполняется (рис. 2)
Ассоциативный, или симметричный МК, такой МК, у которого сумма любых двух чисел, симметрично расположенных относительно центра квадрата, равна одному и тому же числу: 1+n2 (рис. 3)
Пандиагональный (дьявольский) МК - такой магический квадрат, в котором сумма чисел по разломанным диагоналям также равна константе квадрата (рис. 4)
Идеальный МК - магический квадрат, который одновременно пандиагональный и ассоциативный (рис. 5)
Совершенный МК - магический пандиагональный квадрат порядка 4k (рис. 6)
Бимагический квадрат - такой магический квадрат, который остаётся магическим при замене всех его элементов на их квадраты. Бимагических квадратов 3,4,5 порядка не существует (рис. 7)
Нетрадиционный квадрат – если в таблицу заносится не строго натуральный ряд чисел (рис. 8)
Латинский квадрат или судоку - мудрость востока называют квадратnхn клеток, в которых написаны числа 1,2,3… при том так, что в каждой строке и каждом столбце встречаются цифры по одному разу (рис. 9)
3. Магический квадрат 3х3
Полного описания всех возможных магических квадратов не получено и до сего времени. Можно попробовать перебрать различные варианты расстановки чисел от 1 до 9 в клетках таблицы. Если повезет — вы получите магический квадрат. Однако при этом надо иметь в виду, что всего существует почти 400 000 перестановок в этом квадрате, 9х8х7х6х5х4х3х2х1.
Гораздо интереснее составить такой магический квадрат с помощью рассуждений. Найдём наименьшую магическую константу Волшебного квадрата 3х3 и числа, расположенного посередине этого квадрата
Первый способ:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9= (1+9) + (2+8)+ (3+7)+ (4+6) + 5 = 45
45 : 3 = 15
Магическая константа равна 15, чтобы квадрат был магическим, в каждом столбце и на каждой диагонали сумма чисел тоже должна быть равна 15.
Всего в квадрате три строки. Значит, в каждой строке магического квадрата сумма чисел должна быть равна 45 : 3 = 15. Выпишем все возможные представления числа 15 в виде суммы трех слагаемых от 1 до 9: 9+5+1, 9+4+2, 8+6+1, 8+5+2, 8+4+3, 7+6+2, 7+5+3, 6+5+4.
Заметим, что число, стоящее в центре таблицы, должно встречаться в выписанных суммах четыре раза (столбец, строка и две диагонали). Каждое число, стоящее в углу таблицы, должно встречаться в суммах три раза (строка, столбец, диагональ). А число, стоящее на одном из оставшихся четырех мест, должно встречаться в суммах только два раза (строка и столбец).
Поскольку в полученных суммах четыре раза встречается только число 5, оно и должно стоять в центре таблицы.
Трижды встречаются в суммах числа 2, 4, 6 и 8. Значит, они должны стоять в углах таблицы, причем так, чтобы 2 и 8 были на одной диагонали (2+5+8=15), а 4 и 6—на другой. Остальной процесс - простая арифметика (Приложение 4, рис. 10)
Второй способ: Постоянная магического квадрата также определяется по формуле, где n число строк, а М – магическая константа:
Давайте построим волшебный квадрат 3х3, зная, что магическая константа равна 2.
Вспомним, как строится волшебный 3х3 квадрат по наименьшей константе 15. По крайним полям записываются чётные числа
2, 4, 6, 8, а в середине число 5 (15:3)
По условию надо построить квадрат по магической константе 21. В центре искомого квадрата должно быть число 7, т.е. 21:3. Найдём, насколько больше каждый член искомого квадрата каждого члена с наименьшей магической константой 7 – 5 = 2.
Строим искомый волшебный квадрат ( Приложение 4, рис. 11)
21 – (4 + 6) =11
21 – (6 + 10) = 5
21 – (8 + 10) = 3
21 – (4 + 8) = 9
Если можешь построить один магический квадрат, то нетрудно построить их любое количество. Поэтому запомним приёмы построения магического квадрата 3х3 с константой 15.
Существует единственный магический квадрат 3х3, так как остальные магические квадраты 3х3 получаются из него либо перестановкой строк или столбцов либо путем поворота исходного квадрата на 90° или на 180°
4. Магический квадрат Пифагора
Квадрат Пифагора – это очень мощный аналитический инструмент. Он позволяет выявить основные особенности личности, обусловленные датой рождения. Сохранившиеся исторические источники свидетельствуют, что знаменитый математик Пифагор долго учился потаенным знаниям у египетских жрецов. У них, говорят, в племени дагонов сохранились фрагменты наук о предыдущей цивилизации. Пифагор изучил в Египте, а потом привез в Европу цифровые матрицы, известные ранее только узкому кругу избранных. В адаптированном варианте тайные таблицы дошли до наших дней и ныне известны как квадрат Пифагора. Пифагор постиг истину связи числа рождения с судьбой человека.
Представленный вам магический квадрат Пифагора пришёл именно из тех лет, когда нумерология только начинала свой долгий путь. При помощи этой таблицы и некоторых несложных подсчётов, можно увидеть характер по квадрату Пифагора свой и своих близких. Все манипуляции числовой квадрат Пифагора обуславливает, как решение уравнения, а это вполне научное действие.
Для примера я взяла дату своего рождения 26.10.2007 г. Сложим цифры дня, месяца и года рождения (без нулей): 2+6+1+2+7=18. Далее складываем цифры результата: 1+8=9. Затем из первой суммы вычитаем удвоенную первую цифру дня рождения: 18-4=14. И вновь складываем цифры последнего числа: 1+4=5. Получили числа 26.10.2007,18,9,14,5.
И составляем магический квадрат так, чтобы все единицы этих чисел вошли в ячейку 1, все двойки – в ячейку 2 и т.д. Нули при этом во внимание не принимаются. В результате квадрат будет выглядеть следующим образом:
|
111 |
4 |
7 |
|
22 |
5 |
8 |
|
0 |
6 |
9 |
Согласно расшифровки (Приложение 4) показатели моего характера следующие:
1. У меня покладистый характер.
2. Бионергии достаточно.
3. Цифра 3 отсутствует в дате моего рождения.
4. Болезни настигнут меня только в пожилом возрасте.
5. Совершаю ошибки, но редко.
6. Я обычный человек, который думает об образовании.
7. Талант не явно выражен, но при желании его можно развить.
8. Развитое чувство ответственности.
9. необходимо умственное развитие.
Заключение
В результате данной работы я расширила свои знания о магических квадратах, выяснила, что такое магический квадрат, как они появились, какие виды магических квадратов существуют. Я узнала: способы построения квадрата 3х3, новые понятия, например магический квадрат, магическая константа.
С целью подтверждения выдвинутой гипотезы я составила магический квадрат Пифагора, используя дату моего рождения. Я проанализировала и выявила следующее: исходя из полученных данных, я могу сказать, что магический квадрат Пифагора, который составляется по дате рождения, может частично определить свойства характера человека. Безусловно, не следует слепо верить всему магическому. Возможно, некоторые черты характера и заложены в дате рождения человека, но человек всегда может найти способы что-то изменить в своей судьбе.
Выполняя эту работу, я много узнала о Магических квадратах, однако так же многое мною осталось не изучено. Я считаю, что «точку» в моей работе ещё ставить рано, я буду стремиться к дальнейшему исследованию способов заполнения магических квадратов.
Библиография
М. М. Постников «Магические квадраты. Выпуск 131» Издательство: «URSS» (2017).
Т. Ушакова «Тренировочные упражнения. Математика. Магические квадраты». Издательство: «Литера ИД» (2017).
Ю. В. Чебраков «Магические квадраты» С Петербург (1995).
Сайты в Интернете
https://all-psih.ru/magicheskij-kvadrat-pifagora.html
http://ru.wikipedia.org/wiki
http://xreferat.ru/54/540-1-magicheskie-kvadraty.html
http://www.krugosvet.ru/articles/15/1001543/print.htm
http://www.kspu.ru/magazine/no4/pub/pr3-4.htm
Приложение 1
|
4 |
9 |
2 |
|
3 |
5 |
7 |
|
8 |
1 |
6 |
Рисунок 1.Нормальный магический квадрат.
|
8 |
6 |
4 |
2 |
|
6 |
4 |
2 |
8 |
|
4 |
2 |
8 |
6 |
|
2 |
8 |
6 |
4 |
Рисунок 2.Полумагический квадрат.
|
1 |
15 |
24 |
8 |
17 |
|
9 |
18 |
2 |
11 |
25 |
|
12 |
21 |
10 |
19 |
3 |
|
20 |
4 |
13 |
22 |
6 |
|
23 |
7 |
16 |
5 |
14 |
Рисунок 3.Ассоциативный, или симметричный МК.
Приложение 2
|
1 |
15 |
24 |
8 |
17 |
|
9 |
18 |
2 |
11 |
15 |
|
12 |
21 |
10 |
19 |
3 |
|
20 |
4 |
13 |
22 |
6 |
|
23 |
7 |
16 |
5 |
14 |
Рисунок 4.Пандиагональный (дьявольский) МК.
|
4 |
23 |
7 |
15 |
18 |
|
12 |
20 |
1 |
24 |
8 |
|
21 |
9 |
13 |
17 |
5 |
|
18 |
2 |
25 |
6 |
14 |
|
10 |
11 |
19 |
3 |
22 |
Рисунок 5.Идеальный МК.
|
19 |
8 |
11 |
25 |
7 |
|
12 |
1 |
4 |
18 |
0 |
|
16 |
5 |
8 |
22 |
4 |
|
21 |
10 |
13 |
27 |
9 |
|
14 |
3 |
6 |
20 |
2 |
Рисунок 6.Совершенный МК.
Приложение 3
|
22 |
3 |
81 |
42 |
34 |
47 |
17 |
59 |
64 |
|
37 |
54 |
15 |
71 |
76 |
57 |
32 |
20 |
7 |
|
33 |
38 |
8 |
55 |
72 |
77 |
52 |
13 |
21 |
|
68 |
73 |
43 |
12 |
26 |
4 |
63 |
51 |
29 |
|
2 |
16 |
58 |
46 |
41 |
36 |
24 |
66 |
80 |
|
53 |
31 |
19 |
78 |
56 |
70 |
39 |
9 |
14 |
|
61 |
69 |
30 |
5 |
10 |
27 |
74 |
44 |
49 |
|
75 |
65 |
50 |
25 |
6 |
11 |
67 |
28 |
45 |
Рисунок 7.Бимагический квадрат.
|
3 |
61 |
19 |
37 |
|
43 |
31 |
5 |
41 |
|
7 |
11 |
73 |
29 |
|
67 |
17 |
23 |
13 |
Рисунок 8.Нетрадиционный квадрат.
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
2 |
1 |
4 |
3 |
|
3 |
4 |
1 |
2 |
|
4 |
3 |
2 |
1 |
Рисунок 9. Латинский квадрат (судоку)
Приложение 4
|
4 |
11 |
6 |
|
9 |
7 |
5 |
|
8 |
3 |
10 |
Рисунок 10.
|
2 |
4 |
|
|
5 |
||
|
6 |
8 |
|
4 |
6 |
|
|
7 |
||
|
8 |
10 |
Рисунок 11.
РАСШИФРОВКА КВАДРАТА ПИФАГОРА
Цифра 1 (эгоизм). Количество единиц определяет интенсивность эгоизма.
1 - утонченный эгоист (только я должен жить, я, я, я,)
11 - близок к эгоизму (все время себя хвалит, как на продажу, боится переоценить)
111 - хороший характер (покладистый)
1111 - очень волевой, сильный
11111 - диктатор, самодур
111111 - (очень редко) человек жесткий, в то же время для близкого человека может совершить невозможное, с ним очень трудно.
Цифра 2 (биоэнергия, поведение человека в семье). Соответственно, количество двоек определяет интенсивность проявления способности.
0 двоек – нет биоэнергии, канал биоэнергии открыт для интенсивного набора, эти люди любят старые вещи, неплохо относятся к окружающим, стараясь этим самим подпитаться от других, воспитаны от природы.
2 - биоэнергии достаточно для жизни, но сейчас, на данном этапе маловато. Спорт обязателен, чувствителен к изменениям в атмосфере.
22 - биоэнергии достаточно (уже может лечить других)
222 - хороший экстрасенс
2222 - этих людей любит противоположный пол и очень любят люди со знаком 666.
Цифра 3 (порядочность). Нет троек – очень чистоплотный или пунктуальный, что-то выделяет их из окружающей среды своим языком (все время чистят)
3 - этих людей не беспокоит порядок, но относительно, (хочу - делаю, хочу -нет) все зависит от настроения.
33 - склонность к наукам (хорошие математики, физики, химики, ученые)
333 - склонность к наукам (с увеличенной силой, невозможная педантичность, есть не реализованной в науке)
Цифра 4 (здоровье). Пустой квадрат – этот человек будет болеть очень сильно (особенно, если при расчете много двоек)
4 - в основном болезни настигают только в пожилом возрасте.
44 - темперамент живой, человек крайне здоровый.
444 - уровень сопротивляемости инфекциям и заболеваниям очень высок.
Цифра 5 (интуиция). Пустой квадрат – открытый канал при рождении, поэтому этот человек всегда пытается что-то предпринять, что-то доказать, всегда голова в раздумье, сам в эксперименте, в расчете. Жизненный опыт показывает, что с этим человеком трудно жить. Все достается (пробивает) своей головой.
5 - интуиция есть, ошибки происходят, но редко.
55 - сильно развита интуиция – следователь и юрист.
555 - это ясновидение. Такой человек всегда знает, как поступать в любых ситуациях.
5555 - есть возможность проникнуть в другие измерения, контролирует время и пространство.
Цифра 6 (отвечает за склонность человека к физическому труду и склонность к власти). Пустой квадрат – человек пришел приобрести ремесло, физический труд необходим, но он его не любит.
6 - обычный человек, который думает об образовании, не исключая возможности физического труда.
66 - трудолюбие, но физическая работа — не более, чем увлечение.
666 - нужно быть очень осторожным. Привлекательная и темпераментная личность, но от партнера потребует значительных денежных трат.
6666 - в прошлых жизнях работал тяжело и много.
,
Цифра 7 (называется знаком везения или знаком ангела. Семерок нет -в этой жизни возьмет меньшее от судьбы. Он будет талантлив в следующих жизнях.
7 - талант не явно выражен, при желании, можно развить.
77 - для них нет закрытых дверей судьбы. Такой человек обладает всем — хорошим и плохим. Имеет вкус, хорошо рисует, очень талантлив. В случае неприятностей выходит сухим из воды.
777 - сталкиваются с особыми трудностями.
7777 - сигнал тревоги. Нужно быть предельно осторожным.
Цифра 8 (чувство долга). Пустой квадрат — человек что-то возьмет, но не спешит отдавать.
8 - развитое чувство ответственности.
88 - всегда поможет другим, ответственность высока.
888 - существует для народа.
8888 - парапсихолог, большой талант в точных науках.
Цифра 9 – отвечает за ум, память и способность к ясновидению. Все эти качества представляют собой звенья одной цепочки: полученные человеком знания.
9 - необходимо умственное развитие.
99 - лентяй, но с умной головой.
999 - ум и удачливость на его стороне.
9999 - исключительный ум, но человек груб и немилосерден.
1 МК- магический квадрат