VIII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Простое решение логических задач
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
ВВЕДЕНИЕ
Все время, в жизни, мы непрерывно сталкиваемся с решением больших и маленьких логических проблем. Без умения правильно, логически рассуждать, поступать разумно, жить трудновато.
Каждый день мы, сами того не замечая, решаем логические задачи. Логические задачи также развивают умение анализировать и обобщать данные, искать возможные пути решения, формировать стратегию, проверять данные на достоверность.
Целью моего исследования является развитие своих способностей умения рассуждать и делать правильные выводы. Это у меня вызывает и сохраняет интерес к математике. Логически обоснованное решение – лучший способ раскрытия творческих способностей.
Актуальность. В наше время очень часто успех человека зависит от его способности четко мыслить, логически рассуждать и ясно излагать свои мысли.
Гипотеза: я предположила, что для успешного решения логических задач существуют некоторые методы и приёмы.
Задачи: ознакомление с понятиями «логика» и «математическая логика»; изучение основных методов решения логических задач.
Методы исследования:
Изучение теоретического материала.
Наблюдение.
Опрос.
Эксперимент.
Анализ.
Актуальность данной темы в том, что в наше время успех человека зависит от его способности логически рассуждать и точно излагать свои мысли.
ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ
Что такое «логическая задача»
Логика - одна из древнейших наук.
Основоположником логики как науки является древнегреческий философ и ученый Аристотель (384-322 гг. до н. э.). Он впервые разработал теорию дедукции, то есть теорию логического вывода. Именно он обратил внимание на то, что в рассуждениях мы из одних утверждений выводим другие, исходя не из конкретного содержания утверждений, а из определенной взаимосвязи между их формами, структурами.
Уже тогда в Древней Греции были созданы школы, в которых люди учились дискутировать. Ученики этих школ учились искусству поиска истины и убеждения других людей в своей правоте. Они учились из множества фактов отбирать нужные, строить цепочки рассуждений, связывающие отдельные факты между собой, делать правильные выводы.
Уже с этих времен было принято считать, что логика есть наука о мышлении, а не о предметах объективной истинности.
Что же представляют собой логические задачи? Логические задачи или, как их еще иногда называют, нечисловые, представляют собой текстовые задачи, в которых требуется распознать объекты или расположить их в определенном порядке по имеющимся свойствам. При этом часть утверждений задачи может выступать с различной истинностной оценкой (быть истинной или ложной). А любые вычисления и построения играют вспомогательную роль или вообще отсутствуют. То есть – логические задачи отличаются от обычных тем, что в них чаще не требуется умение вычислять, а требуется умение рассуждать.
Чтобы научиться решать типовые логические задачи, простые и нестандартные математические задачи, важно знать основные приемы и методы их решения. Ведь решить одну и ту же задачу и прийти к правильному ответу во многих случаях можно разными способами.
Существуют разные типы логических задач и разные способы их решения: Каждый из этих способов обладает своими достоинствами.
Виды логических задач: задачи на соответствие и исключение неверных вариантов, задачи на упорядочивание множеств, задачи о лгунах, числовые ребусы, игровые задачи, задачи на переливания, взвешивания.
Основные методы решения логических задач:
Метод рассуждения
Метод таблиц
Метод схем
Метод графов
Желательно отрабатывать решение каждого вида задач постепенно, поэтапно.
Итак, мы узнаем, как разными способами можно решать логические задачи. Познакомившись подробно, разберёмся в каких случаях удобнее использовать тот или другой метод.
2. Метод рассуждения
Идея метода: последовательные рассуждения и выводы из утверждений, содержащихся в условии задачи. Этим способом обычно решают несложные логические задачи.
Задача 1. Вадим, Сергей и Михаил изучают различные иностранные языки: китайский, японский и арабский. На вопрос, какой язык изучает каждый из них, один ответил: "Вадим изучает китайский, Сергей не изучает китайский, а Михаил не изучает арабский". Впоследствии выяснилось, что в этом ответе только одно утверждение верно, а два других ложны. Какой язык изучает каждый из молодых людей?
Решение. Имеется три утверждения. Если верно первое утверждение, то верно и второе, так как юноши изучают разные языки. Это противоречит условию задачи, поэтому первое утверждение ложно. Если верно второе утверждение, то первое и третье должны быть ложны. При этом получается, что никто не изучает китайский. Это противоречит условию, поэтому второе утверждение тоже ложно. Остается считать верным третье утверждение, а первое и второе -- ложными. Следовательно, Вадим не изучает китайский, китайский изучает Сергей.
Ответ: Сергей изучает китайский язык, Михаил -- японский, Вадим -- арабский.
Метод решения с помощью таблиц
Задача 1. Перед соревнованиями по плаванию каждого из четырех участников А, Б, В, Г спросили, на какое место он рассчитывает. А сказал: «Я буду первым», Б сказал: «Я не буду последним», В сказал: «Я не буду ни первым, ни последним» и Г сказал: «Я буду последним». После заплыва оказалось, что только один из них ошибочно предсказал результат. Кто из пловцов ошибся?
Решение. Составим таблицу, в которой знаком «плюс» укажем предполагаемые результаты.
|
Пловец |
Места |
|||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
А |
+ |
|
|
|
|
Б |
+ |
+ |
+ |
|
|
В |
|
+ |
+ |
|
|
Г |
|
|
|
+ |
Предположим, что ошибся А, тогда он мог занять 2-е или 3-е место (4-е место занял пловец Г, который, если ошибся А, правильно предсказал свой результат, так как по условию ошибся только один пловец). В этом случае возможны следующие
варианты распределения мест:
а) А – 2, Б – 1, В – 3, Г – 4; б) А – 3, Б – 1, В – 2, Г – 4.
Докажем, что действительно ошибся пловец А. Если бы ошибся Б, т.е. занял 4-е место, то ошибся бы и пловец Г, что противоречит условию задачи. Если бы ошибся В, тогда он должен быть или первым или последним. В таком случае ошибся бы еще один пловец – А или Г. Если бы ошибся Г, то ошибся бы еще один пловец, в противном случае последнее место не занял бы никто. Так как по условию задачи мог ошибиться только один пловец, то Г не ошибся.
Ответ: ошибся пловец А.
Задача 2. В летний лагерь приехали отдыхать три друга: Миша, Володя и Петя. Известно, что каждый из них имеет одну из следующих фамилий: Иванов, Семенов, Герасимов. Миша – не Герасимов. Отец Володи – инженер. Володя учится в 6 классе, Герасимов учится в 5 классе. Отец Иванова – учитель. Какая фамилия у каждого из трех друзей?
Решение. Начертим таблицу и заполним последний столбец таблицы, исходя из условий:
|
Имя |
Фамилия |
||
|
Иванов |
Семенов |
Герасимов |
|
|
Миша |
+ |
- |
- |
|
Володя |
- |
+ |
- |
|
Петя |
- |
- |
+ |
Ответ: Миша – Иванов, Володя – Семенов, Петя – Герасимов.
Метод решения с помощью схем
Это задачи, в которых с помощью сосудов известных емкостей требуется отмерить некоторое количество жидкости, а также задачи, связанные с операцией взвешивания на чашечных весах.
Задача. Из восьмилитрового ведра, наполненного молоком, надо отлить 4 литра с помощью двух пустых бидонов: трехлитрового и пятилитрового.
Ответ:
1. Переливаем из восьмилитрового ведра 5 литров молока в пятилитровое.
2. Переливаем из пятилитрового ведра 3 литра в трёхлитровое.
3. Переливаем их теперь в восьмилитровое ведро. Итак, теперь трёхлитровое ведро пусто, в восьмилитровом 6 литров молока, а в пятилитровом - 2 литра молока.
4. Переливаем 2 литра молока из пятилитрового ведра в трёхлитровое, а потом наливаем 5 литров из восьмилитрового в пятилитровое. Теперь в восьмилитровом 1 литр молока, в пятилитровом - 5, а в трёхлитровом - 2 литра молока.
5. Доливаем дополна трёхлитровое ведро из пятилитрового и переливаем эти 3 литра в восьмилитровое ведро. В восьмилитровом ведре стало 4 литра, так же, как и в пятилитровом. Задача решена.
Метод решения с помощью графов
Задача 1. Между девятью планетами солнечной системы установлено космическое сообщение. Рейсовые ракеты летают по следующим маршрутам: Земля – Меркурий; Плутон – Венера; Земля – Плутон; Плутон – Меркурий; Меркурий – Вене; Уран – Нептун; Нептун – Сатурн; Сатурн – Юпитер; Юпитер – Марс и Марс – Уран. Можно ли долететь на рейсовых ракетах с Земли до Марса ?
Решение: Нарисуем схему условия: планеты изобразим точками, а маршруты ракет – линиями.
Теперь сразу видно, что долететь с Земли до Марса нельзя.
Задача 2. Доска имеет форму двойного креста, который получается, если из квадрата 4x4 убрать угловые клетки.
Можно ли обойти ее ходом шахматного коня и вернуться на исходную клетку, побывав на всех клетках ровно по одному разу ?
Решение: Занумеруем последовательно клетки доски:
А теперь с помощью рисунка покажем, что такой обход таблицы, как указано в условии, возможен:
В качестве примера я предложила рассмотреть две непохожие задачи. Однако решения этих задач объединяет общая идея – графическое представление решения. При этом и картинки, нарисованные для каждой задачи, оказались похожими: каждая картинка – это несколько точек, некоторые из которых соединены линиями.
Такие картинки и называются графами. Точки при этом называются вершинами, а линии – ребрами графа. Только не каждая картинка такого вида будет называться графом. Например, если нарисовать в тетради пятиугольник, то такой рисунок графом не будет. Рисунок такого вида, как в предыдущих задачах, называется графом, если есть какая-то конкретная задача, для которой такой рисунок построен.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Целью данной работы было рассмотреть методы решения логических задач.
Работа посвящена логическим задачам, встречающимся в текстах математических олимпиад базового уровня по математике.
Чтобы успешно их решать, нужно знать способы решения, иметь развитое логическое мышление, обладать графической культурой. Задачи на логическое мышление, как правило, требуют не столько большого объема знаний, сколько умения эти знания применить. Находить нестандартные подходы, проявлять сообразительность, умение рассуждать и анализировать.
Были изучены материалы учебно-методической литературы, материалы из интернета. Решено множество задач. Подтвердилась гипотеза исследования: решение логических задач развивает мышление, расширяет кругозор.
По результатам исследования можно сделать следующие выводы: существуют разные типы логических задач и разные способы их решения.
Более подробно были изучены четыре метода решения. Каждый из этих способов обладает своими достоинствами при решении задач определенного типа.
Логика помогает нам не только при решении математических задач, но и в повседневной жизни: правильно строить свои мысли, и верно их выражать, убеждать других людей, отстаивать свою точку зрения. Логика помогает людям и в их профессиональной деятельности. Например, следователю очень важно уметь логически мыслить, чтобы правильно восстановить цепь событий для раскрытия преступления. Также, знание логики необходимо работникам печати и средств массовой информации, медицинским работникам.
Решение логических задач – это не только увлекательный, но и полезный способ времяпровождения. Логические задачи - это зарядка для ума!
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Перельман Я.И. «Занимательная математика». – М.: СЗКЭО, 2018.
Астахов А. «Математические олимпиады в стране сказок». – М.: Белый город, 2016.
Интернет-ресурсы