VIII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
"Красивые" задачи в математике
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
Мaтемaтикa – один из интереснейших школьных предметoв. Ее принято считать наукой строгой, определенной. Тем более удивительно, что именнo нa уроках математики мы столкнулись с выражением «красивые задачи». Очевидным стало возникновение вопроса: «красивыe» задачи в мaтeматике – какие они?»
Четких формулировок и определений «красивой» математической задачи в изученной литературе не оказалось, поэтому возник определенный исследовательский интерес – какие математические задачи считать «красивыми», как определить грань между «красивой» задачей и задачей обычной?
Актуальность выбранной темы была подтверждена в ходе обсуждения ее с руководителем, который одобрил выбор темы исследования. Действительно, дать определение «красивой» задачи, подобрать такие задачи, классифицировать их определенным образом весьма интересно и полезно.
Были определены:
Объектная область исследования - учебный предмет «математика».
Объект исследования – решение математических задач.
Предмет исследования – математические задачи определенного типа.
Цель нашего исследования - из множества математических задач выбрать определенные («красивые») задачи и классифицировать их по некоторым признакам, что позволит использовать их в качестве материала для математического саморазвития.
Задачи:
изучить научную литературу, научные публикации по данной теме.
Определить понятие «красивая» задача в математике.
Классифицировать найденные задачи.
Методы исследования: теоретические, эмпирические, математические.
Ожидаемые результаты: Исследование сущности и классификация «красивых» математических задач.
Глава I. «Красота» в математике
Математику принято считать строгой наукой, при изучении которой нет места эмоциям, хотя очень многие заинтересованы этим предметом.
Известно, что решение задачи – одно из основных средств математического обучения. Основная цель математической задачи – развитие творческого и математического мышления, и, вместе с тем – эстетического восприятия, вкуса. Существует широко распространенное мнение, что математика движима почти исключительно эстетическими мотивами, а попытки раскрыть содержание понятий «чувство красоты», «красивая задача» предпринимаются многими математиками. Например, Г. Биркгоф дал интересную характеристику эстетической привлекательности математического объекта:
,
где М – мера красоты,
О – мера порядка,
С – мера усилий, затрачиваемых для понимания сущности объекта1.
Из этой формулы следует, что для ученика красивыми математическими объектами будут те, восприятие которых сопряжено с наименьшими усилиями с его стороны. Эстетическая мера объекта будет увеличиваться с упорядочиванием структуры.
Многие планиметрические задачи напрямую связаны с понятием «красивая», то есть «доставляющая наслаждение, приятная внешним видом, гармоничностью, стройностью». Восприятие эстетической стороны такой задачи начинается с условия и чертежа.
Например, задача построения с помощью циркуля фигуры, изображенной на рисунке (рис. 1), привлекает внимание, прежде всего, условием - красивым узором. Но затем возникают фантазии на данную тему, и получаются оригинальные узоры, построение которых возможно лишь с помощью циркуля.
Решение «красивых» задач должно быть наглядно, неожиданно, просто. Задачи, удовлетворяющие такому требованию неизменно вызывают интерес, побуждают к поиску более коротких и простых путей решения, что способствует развитию творческого начала.
Как отмечают некоторые авторы, «красивая» математическая задача должна отвечать определенным требованиям:
1) условие задачи должно быть интересным; если задача геометрическая, то чертеж к ней – красивым;
2) задача должна содержать нестандартный элемент, отличающий ее от большинства задач по данной теме, предлагаемых в учебниках. При этом нестандартность может проявляться как в самом условии, так и в методах решения. Особый интерес в этом смысле представляют задачи, имеющие несколько различных методов решения, и многовариантные задачи, имеющие несколько ответов;
3) задача должна быть доступна как по формулировке условия, так и по сложности и объему используемого в решении материала;
4) в решении красивой задачи не должны использоваться не всем известные приемы и способы решения;
5) в решении задачи должна быть спрятана «изюминка», чтобы оно было наглядно и удивительно просто.
Обучаясь в среднем звене и готовясь к математическим олимпиадам, сталкиваешься со множеством «красивых» задач, отвечающих указанным признакам; становится понятным, что их можно классифицировать на несколько групп:
1) «красивые» задачи по решению;
2) «красивые» задачи по чертежу;
3) «красивые» задачи по содержанию;
4) «красивые» олимпиадные задачи.
Содержание данной классификации раскроем далее.
Глава II. Классификация красивых задач
2.1 «Красивые» задачи по содержанию
Некоторые «красивые» задачи привлекают учеников примечательной особенностью, находящейся в содержании поставленной задачи. Приведем пример:
Маленький Петя подпилил все ножки у квадратного табурета и четыре отпиленных кусочка потерял (рис. 2). Оказалось, что длины всех кусочков различны и что табурет после этого стоит на полу, пусть наклонно, но по-прежнему касаясь, пола всеми четырьмя концами ножек. Дедушка решил починить табурет, однако нашел только три кусочка с длинами 8, 9 и 10 см. Какой длины может быть четвертый кусочек?
Решение. Пусть А, В, С, D – концы исходных ножек табуретки, а А1, В1, С1, D1 – подпиленных. А1А + В1В = С1С + D1D. Поскольку табуретка стоит, касаясь пола четырьмя ножками, то точки А1, В1, С1 и D1 лежат в одной плоскости. Табуретка квадратная, значит, плоскости АВА1В1 и СDС1D1 параллельны. Следовательно, А1В1 // С1D1. Аналогично, В1С1 // А1D1. таким образом, четырехугольник А1В1С1D1 – параллелограмм, и его диагонали пересекаются в точке О1. Пусть О – центр квадрата АВСD. Заметим, что отрезок ОО1 – средняя линия как в трапеции АСС1А1, так и в трапеции ВDD1В1, а значит , А1А+ С1С= 2ОО1= В1В+ D1D.
Теперь переберем возможные длины отпиленной части, расположенной по диагонали от потерянной. При этом получим, что длина отпиленной части удовлетворяет одному из равенств:
8+x=9+10, 9+x=8+10, 10+x=8+9, x=7, x=9,x=11.
Поскольку длины всех кусков различны, одна из них равна 9, то остаются только варианты 7 и 11.
Ответ: 7,11.
2.2 «Красивые» задачи по чертежу
Задачи на построение чертежей, вызывают интерес именно условием - красивый чертеж. Возникает возможность фантазировать на данную тему, в результате получаются оригинальные чертежи.
Задача
Зигзаг разделил правильный девятиугольник на треугольники, как показано на рисунке (рис. 3). Какая часть площади больше: закрашенная или незакрашенная?
Решение. Проведем в девятиугольнике еще несколько диагоналей (рис. 4).
Девятиугольник разбился на 13 треугольников. На рисунке образовалось много параллелограммов и трапеций с диагоналями. Расставим номера треугольников, причем одинаковым номером отметим равные треугольники разных цветов. 12 из них разбились на пары, а тринадцатому, который оказался закрашенным, пары не хватило. Значит, закрашенная часть площади девятиугольника больше его незакрашенной части.
Ответ: закрашенная.
2.3 «Красивые» задачи по решению
Нестандартность решения может проявляться и в методах решения. Особый интерес в этом смысле представляют задачи, имеющие несколько различных методов решения, и многовариантные задачи, имеющие несколько ответов.
Задача
Дан острый угол А, вершина которого недоступна (находится за пределами чертежа). Постройте биссектрису данного угла.
Эту задачу можно решить, как минимум, двумя способами, каждый из которых по-своему красив.
Способ 1 опирается на тот факт, что три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. Взяв две произвольные точки В и С на сторонах данного угла, получим треугольник АВС (с одной недоступной вершиной), две биссектрисы которого можно построить. Точка пересечения этих биссектрис лежит на искомой биссектрисе. Аналогично можно найти и вторую точку (рис. 5).
Способ 2 использует свойство углов с соответственно параллельными сторонами: проведя на равных расстояниях от сторон данного угла прямые А1В1и А1С1, параллельные соответственно сторонам АВ и АС, так чтобы точка их пересечения лежала внутри угла, получим угол В1А1С1, равный данному. Очевидно, что биссектриса В1А1С1 лежит на искомой биссектрисе угла ВАС (рис. 6).
2.4 «Красивые» олимпиадные задачи
Приведем пример «красивой» олимпиадной задачи.
Задача
Дана белая доска размером 100*100 клеток (рис. 7). Двое по очереди красят ее клетки в черный цвет, причем первый всегда закрашивает квадрат 2*2, а второй—три клетки, образующие «уголок». Уже покрашенную клетку второй раз красить нельзя. Проигрывает тот, кто не может сделать очередной ход. Кто выигрывает при правильной игре: первый или второй?
Ответ: второй
Решение. В одном из углов доски второй игрок своим первым ходом закрашивает три клетки в прямоугольнике 2x3, а три оставшиеся клетки из этого прямоугольника объявляет резервом. В дальнейшем второй игрок делает все возможные ходы, не затрагивая резерва. Если такой ход становится невозможным, то закрашиваются клетки резерва. Ясно, что ответного хода у первого игрока нет.
Заключение
Работа по выбранной теме осуществлялась в соответствии с планом исследования, а именно: были определены объектная область, объект и предмет исследования, сформулирована гипотеза, поставлены цели и задачи, а также определены ожидаемые результаты. Были указаны используемые методы исследования, определена проблема, обоснована актуальность.
Анализируя выполнение поставленных задач, можно сказать следующее:
В ходе исследования дано определение «красивой» математической задачи, проведена классификация таких задач по определенным признакам, а именно:
- задачи, «красивые» по решению;
-задачи, «красивые» по содержанию;
-задачи, «красивые» по чертежу;
-«красивые» олимпиадные задачи.
Изучена литература по вопросу исследования, всего изучено 10 научных публикаций и других источников.
В ходе данного исследования были использованы заявленные методы (теоретические, эмпирические, математические).
Анализируя планируемые ожидаемые результаты исследования, можно отметить, что как основной результат работы проведена классификация «красивых» математических задач.
Список литературы
Бахтина, Т.П. Раз задачка, два задачка...-М.:Аскар,2001.
Биркгоф Г. Математика и психология. — М., 1977.
Ковалёва, С.П. Олимпиадные задания по математике 9 класс – В.: Учитель 2005.
Леман, И. Увлекательная математика/ Пер. с нем. Ю.А. Данилова. М., 1985.
Лихтарников, Л.М. Задачи мудрецов: Кн. для учащихся. – М.: Просвещение: АО «Учебная литература», 1996.
Прасолов, В.В. Задачи по планиметрии. – М.: Наука, 1986.
Фарков, А.В. Математические олимпиады в школе – М.: Айрис пресс, 2002.
Фарков, А.В. Математические олимпиады в школе 5-11 класс – М.:Айрис пресс, 2005.
Фарков, А.В. Готовимся к олимпиадам по математике – М.: Экзамен, 2006.
Математические олимпиады и олимпиадные задачи – http://www.zaba.ru.
Международный математический конкурс «Кенгуру» - http://.Kenguru.sp.ru.-
Московская математическая олимпиада школьников -http://olympiadas.mccme.ru/m
Прилоджения
Рис. 1
Рис. 2
Рис. 3
Рис. 4
Рис. 5
Рис. 6
Р ис. 7
1Биркгоф Г. Математика и психология. — М., 1977.