VIII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

Комбинаторика в военном деле

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Козубенко А.М. 1

---

1МсСВУ

Ананьева Е.А. 1

---

1МсСВУ

Работа в формате PDF

705.8 KB

Автор работы награжден дипломом победителя II степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

Введение

Одним из важных и значимых разделов математики является комбинаторика. Люди, владеющие техникой решения комбинаторных задач, а, следовательно, умеющие рассуждать, перебирать различные варианты решений задач, часто находят выход, казалось бы, из самой безвыходной ситуации.

Актуальность выбранной мной темы исследования обусловлена необходимостью углубления знаний при решении комбинаторных задач. Общество все глубже начинает изучать себя и стремится сделать прогнозы о самом себе. Способность жить и работать в сложном, постоянно меняющемся мире, с неизбежностью требует развития вероятностно – статистического мышления у меня, как у представителя подрастающего поколения.

Исходя из результатов проведенного опроса, мною была сформулирована проблема: часто ли мы используем раздел математики комбинаторику в практической жизни военных.

Цель работы: формирование любви к математике и военному делу путём создания познавательных комбинаторных задач и их анимация.

Объект исследования: военное дело

Предмет исследования: область математики – комбинаторика.

Для достижения этой цели были поставлены следующие задачи:

Изучить тему «Комбинаторика».

Исследовать решение комбинаторных задач, связанных с практической деятельностью человека, и показать практическое применение комбинаторики в военном деле в виде составления задач с их решением.

Составленные задачи представить в виде анимации и апробировать.

Популяризировать разработанный материал.

Обобщить результаты исследования и сделать выводы о проделанной работе.

Гипотеза: моих знаний по комбинаторике недостаточно, поэтому я захотел узнать об этом больше и выяснить, какие задачи можно решать и создавать по военной тематике с анимацией и убедиться, что комбинаторика – это раздел математики, имеющий широкий спектр практической направленности.

В ходе работы были использованы следующие методы исследования:

сбор и анализ информации;

поиск материалов в библиотеках и в Интернете;

опрос респондентов, интернет опрос;

проведение экспериментов;

обработка и интерпретация результатов.

При изучении темы «Комбинаторика» были проанализированы учебник, пособия, научные публикации и электронные ресурсы.

Н.Я.Виленкин в учебнике «Математика, 6 класс» даёт начальные сведения о комбинаторике и первую формулу перестановки.[1].

М.В. Ткачёва и Н.Е. Фёдорова в книге: «Элементы статистики и вероятность: учеб. Пособие для 7-9 кл.» под редакцией Т.А. Бурмистрова в первой главе рассказывают об истории развития комбинаторики, приводит решения задач разного вида и по каждой теме даётся множество задач разного уровня[2].

А.Г.Мордкович. в книге: «События. Вероятности. Статистическая обработка данных: дополнительные параграфы к курсу для 7-9 классов» на большом количестве примеров изложил начальные понятия, идеи и методы комбинаторики. Даны задачи с решениями и ответами, а также упражнения с возрастающей степенью сложности для самостоятельной работы [3].

В статье «Комбинаторные задачи» (Интернет 00047b01-d5f19af4) описаны задачи практического характера, которые помогли нам составить новые задачи[4].

Но, несмотря на подробное описание комбинаторных задач, лишь в некоторых источниках уделяется внимание задачам на военную тематику. Поэтому исследовательская работа содержит 20 комбинаторных практических задач, составленных мной, а для некоторых произведено видео.

Основная часть. Глава I. Комбинаторные задачи в жизни военных

1.1 Исторические сведения о комбинаторике

Комбинаторика – раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов. Слово комбинаторика происходит от латинского слова combinare, которое означает соединять, сочетать.

С необходимостью решать задачи путем составления и комбинирования люди столкнулись очень давно. В Древнем Китае увлекались составлением так называемых магических квадратов. В XII веке нашей эры в Западной Европе начала развиваться торговля с Востоком. А это в свою очередь привело к проникновению в Европу арабской науки. Леонардо Пиза́нский - первый крупный математик средневековой Европы, работавший под псевдонимом Фибоначчи (сын удачи), систематизировал арабскую арифметику. Труд Фибоначчи содержал и новые комбинаторные задачи.

В XIII веке в жизни общества большое место занимали азартные игры. Они дали толчок к развитию комбинаторики. Позднее Готфрид Вильгельм Лейбниц в 1966 году опубликовал диссертацию «О комбинаторном искусстве», в которой была заключена идея логических исчислений, математической логики, приобретшей в наши дни огромное теоретическое и практическое значение[2].

Начало использования математических знаний в военном деле относится к глубокой древности. Известно, что в Древнем Вавилоне арифметические сведения использовались при подсчете необходимых запасов для армии.

Для создания армии в начале XX века необходимо было наряду с подготовкой командного состава решить ряд научных и инженерно-технических проблем. Вопросы касались появления собственной авиации, бронетанковых сил, организацией проводной и радиосвязи. Решение вопросов требовало не только привлечения известных и уже хорошо разработанных математических методов, но и создания новых методов исследования. Так обозначились целые направления в военном деле, в которых использовалась комбинаторика.

Еще с давних пор дипломаты, стремясь к тайне переписки, изобретали сложные шифры, а секретные службы других государств пытались эти шифры разгадать. Стали применять шифры, основанные на комбинаторных принципах, например, на различных перестановках букв с использованием ключевых слов и т. д.

Самыми распространёнными видами комбинаций являются перестановки объектов, их выборка из множества (сочетание) и распределение (размещение).

1.2 Правила и методы решения комбинаторных задач

1.2.1 Метод перестановки

Число различных перестановок из n элементов обозначается P_n и вычисляется по формуле: P_n=n! (1), где n - количество элементов перестановки. Типичная смысловая нагрузка: «Сколькими способами можно переставить n объектов?» [1].

Доказательство методом индукции: пусть n различных элементов можно расставить по n позициям f(n) способами. Есть n различных способов поставить элемент на первую позицию, и f(n-1) способов расставить оставшиеся элементы по n-1 позициям, отсюда выходит, что f(n)=n*f(n-1) (мы тут использовали правило умножения), если продолжить мысль дальше, то f(n-1)=(n-1)*f(n-2). Тогда можно разложить f(n) следующим образом f(n)=n*(n‑1)*f(n‑2)=n*(n‑1)*(n-2)*f(n‑3)=..=n*(n‑1)*..*3*2*f(1), f(1) – количество способов расставить 1 элемент на 1 позицию, т. е. 1. В итоге получается, что максимальное количество перестановок n*(n‑1)*..*2*1=n! n! = n (n‑1)·…·2 · 1

Задача 1.Во время учений на поле боя перед танком вооруженных сил России расположилось 3 боевые машины предполагаемого противника. Сколько вариантов поочерёдного уничтожения боевых машин противника у танкиста вооруженных сил РФ.

Для составления анимации к данной задаче была использована программа Photoshop, рисунки скачены из Интернета.

Задача 2. Сколькими способами могут разместиться четыре члена экипажа в салоне танка Т-34 в ходе учебно-боевой деятельности (Если учитывать, что члены экипажа универсальны).

1.2.2. Перестановки с повторениями.

Пусть среди элементов (а_1; а_{2; …..}а_n) содержится лишь k различных элементов (k<n), причём первый из них повторяется n₁ раз, второй n₂ раз, …k-ый n_k раз. Очевидно, что n₁+n₂+… n_k=n. Тогда число всех возможных перестановок из таких nэлементов обозначается символом и находится по формуле: = (2).

Задача 3. Сколько всех возможных перестановок букв можно сделать в слове «бомбометание»?

1.3.1 Правило сложения

Если элемент A можно выбрать n способами, а элемент B можно выбратьmспособами, то выбор элемента A или B можно осуществить n + m способами.

А + В = n + m (3)

1.3.2 Правило умножения

Доказательство. Если объект А можно выбрать n способами, а после каждого такого выбора другой объект можно выбрать (независимо от выбора объекта A ) m способами, то пары объектов A и B можно выбрать n · m способами[2].

Пусть A = { , , ..., }, B= { , , ..., } и - число элементов множества A. Составим произведение A x B множеств A и B, т.е. множество пар ( , ).

A, В: А · В =

……………………………….

Тогда правило произведения записывается следующим образом:

А · В = n · m, где n способами можно выбрать объект А и m способами – объект В (4).

Задача 5. Из военного городка в место дислокации ведут 2 дороги, из места дислокации до пункта временного назначения – три дороги, из пункта временного назначения до боевой цели – 2 дороги. Колонна военной техники должна проехать из военного городка через место дислокации, через пункт временного назначения до боевой цели. Сколькими способами колонна военной техники может проехать до боевой цели?

Задача 6. В танковую часть после окончания учёбы прибыли 9 командиров танков,11 механиков – водителей, 10 наводчиков и 13 заряжающих. Какие имеются возможности у прибывших командиров танков для подбора членов своих экипажей из числа прибывших танкистов?

1.4.1 Размещение (порядок имеет значение)

Пусть рассматривается совокупность из n упорядоченных, т.е. пронумерованных элементов (a₁; a₂;…a_n). Будем составлять из этих n элементов всевозможные упорядоченные группы по m элементов в каждой группе, где m – любое натуральное число, не превосходящее n. Эти группы будем считать различными, если они отличаются друг от друга хотя бы одним элементом или даже только порядком следования элементов в группе (у каждого элемента в упорядоченной группе есть свое учитываемое место). Такие группы называются размещениями из n элементов по m элементов в каждом размещении. Их общее число обозначается символом ,и находится оно по формуле: (5)

Задача 7. Командование дало задание дать возможность каждому курсанту во взводе (20 курсантов) побывать командиром или заместителем в течение 1 дня в паре с каждым из курсантов. Необходимо оценить, сколько вариантов расписания можно составить на первый день для выполнения задания в кратчайшие сроки?

Задача 8. Три наступающих танка независимо друг от друга практически одновременно обнаружили четыре объекта противника и независимо друг от друга произвели по ним по одному выстрелу. Сколько имеется всего комбинаций обстрела объектов противника танками. Сколько вариантов поочерёдного уничтожения объектов противника наступающими танками?

А если промахнутся? Тогда 5 вариантов у каждого.

Размещения с повторениями

Составляя любое размещение из двух элементов, на первое место в таком размещении можно поставить любой из данных трёх элементов (три варианта). На второе место – тоже любой из трёх элементов (тоже три варианта). Комбинируя каждый элемент, стоящий на первом месте, с каждым элементом, стоящим на втором месте, получим 3²=9 всех возможных комбинаций. То есть = 3² = 9.

А теперь легко понять, что если всех элементов не три, а n, и из них составляются все возможные размещения с повторениями по m элементов в каждом размещении, то их общее число найдётся по формуле:

= n^m (6)

Задача 9. В организации устанавливается телефонная сеть с трёхзначными телефонными номерами. Сколько всего можно установить телефонных номеров ? Сколько из них будет тех, которые содержат: 1) три разные цифры? 2) две одинаковые цифры? 3) три одинаковые цифры?

Аналогичная задача была составлена для внутренней телефонной связи МсСВУ с видеороликом, который создан с помощью программы Atter Effects.

Задача 10. В суворовском военном училище установлена телефонная сеть с трёхзначными телефонными номерами, где на первой позиции используются только цифры 1, 2 и 3. Сколько всего можно установить телефонных номеров? Сколько из них будет тех, которые содержат: 1) три разные цифры?2) две одинаковые цифры? 3) три одинаковые цифры?

Задача 11. Номера военных машин состоят из двух букв (всего используется 30 букв) и четырёх цифр (используются все 10 цифр). Сколько всего машин можно пронумеровать таким образом, чтобы никакие другие две машины не имели одинакового номера?

Задача 12 При передаче зашифрованного сообщения радист может использовать короткие и длинные сигналы. Какое количество коротких и длинных сигналов последовательно потребуется использовать радисту для шифрования всех букв русского алфавита так, чтобы последовательность сигналов для каждой буквы не повторялась (Твёрдый знак не учитывается)?

К данной задаче прилагается аудио звук для 4 букв из двух коротких и длинных сигналов.

1.5.1 Сочетание

Сочетаниями из n элементов по mэлементов в каждом сочетании называются (в отличие от размещений) всевозможные неупорядоченные группы по m элементов в каждой группе. Неупорядоченные - это значит, что важно, какие элементы содержатся в каждом сочетании, а каком порядке они там находятся – это неважно. Различные размещения отличаются друг от друга хотя бы одним элементом. Общее их количество обозначается символом , и находится оно по формуле: = (7)

Задача 13. Сколькими способами можно составить две команды для выполнения разведывательных задач по 3 человека в каждой из 7 человек личного состава?

Задача 14. Во взводе суворовского училища 1 замкомвзвода, 3 командира отделения и 16 суворовцев. Сколькими способами можно составить наряд из одного командира отделения и двух суворовцев?

Данная задача сопровождается видеороликом, составленным с помощью программы Atter Effects.

Задача 15. Из 20 суворовцев, в число которых входят Малыхин и Бадаев, надо отправить в наряд трех человек. Сколькими способами это можно сделать, если: а) Малыхин и Бадаев должны пойти в наряд обязательно;

б) Малыхин и Бадаев должны остаться;

в) Малыхин должен пойти в наряд, а Бадаев – остаться?

Задача16. В подразделении имеются десять подготовленных солдат и три опытных сержанта. Сколькими различными способами можно составить разведывательную группу из одного сержанта и трёх солдат?

Задача 17. У каждого взвода в Суворовском училище 2 воспитателя, которые назначают командиров взвода из числа 20 суворовцев каждого взвода, каждый командир взвода в свою очередь назначает 3 командиров отделения взвода. Сколько вариантов неповторяющихся комбинаций воспитателя взвода, командира взвода и командиров отделения взвода?

Задача 18. Замок к хранилищу особо важных документов в Суворовском училище имеет специальное устройство, управляемое пятью дисками, окружности которых разбиты на 12 частей и обозначены первыми двенадцатью буквами русского алфавита. Для того, чтобы открыть замок с помощью всех дисков, набирается определённое пятибуквенное сочетание (ключ). Сколько максимально необходимо сделать попыток, чтобы, не зная буквенное сочетание, открыть замок хранилища. Какое при этом необходимо затратить время, если для набора одной комбинации тратить 10с.?

1.5.2 Сочетания с повторениями

Задачи на сочетания с повторениями решаем по формуле = (8)

Задача 19. В коробке имеются патроны трех видов калибра: 9мм, 5,45 мм и 7,62 мм. Офицер берёт 6 патронов. Сколько возможных вариантов выбора у него есть?

Для задачи сделана анимация для видео и произведено само видео.

Были выведены формулы для промежуточных переменных, учитывая, что 0 х 27, и р = , где р – количество патронов 5.45 мм, а - количество патронов 7.62 мм. Для счёта были использованы программа «График функции онлайн – Reshish» и онлайн калькулятор.

Задача 20 (к 75 литию победы в Великой Отечественной войне). Наступление на Берлин во время Великой Отечественной войны начали три фронта: 1 Белорусский фронт (Г.К. Жуков), 1 Украинский фронт (И.С. Конев) и 2 Белорусский фронт (К.К. Рокоссовский). Сколько способов было для наступления и какой вариант был выбран главнокомандующим?

Задачи с решениями в виде сборника прилагаются (Приложении 1).

Глава 2. Опытно-экспериментальная работа в ходе исследовательской работы по теме «Комбинаторика в военном деле»

Опытно-экспериментальная работа проводилась в три этапа:

1)подготовительный; 2) основной; 3) контрольный.

2.1 Подготовительный этап

На первом этапе исследовательской работы был проведен опрос суворовцев 7 классов по теме: «Сложность и важность умения решать комбинаторные задачи в наше время». Всего в опросе приняло участие более 80 человек. Сравнительный анализ результатов опроса показал, что суворовцы затрудняются решать комбинаторные задачи.

Были предложены следующие вопросы:

1. Знакомы ли вы с комбинаторными задачами практического характера?

2. Испытываете ли вы трудности при решении комбинаторных задач?

3. Хотелось ли вам увидеть наглядное, компактное, запоминающееся представление о решении комбинаторных задач?

4. Как вы считаете, пригодится ли вам в вашей будущей профессии умение решать комбинаторные задачи практического характера?

По результатам проведенного анкетирования суворовцев было выявлено следующее: 1) Обучающиеся 7-х классов мало знакомы с комбинаторными задачами (94 %). 2) Встречаются трудности при решении таких задач (67%) 3) Хотели бы увидеть наглядное, компактное, запоминающееся представление о решении комбинаторных задач (88%). 4) Несмотря на низкий уровень знаний в области комбинаторики, обучающиеся считают, что умение решать комбинаторные задачи пригодится в жизни и будет полезным в дальнейшем (58 % опрошенных).

На данном этапе исследовательской работы было установлено, что суворовцы недостаточно хорошо знают о комбинаторных задачах, сложности их решения и важности в реальной жизни, а именно в военном деле. Поэтому целесообразно дополнительно знакомиться со способами решения задач, составлять материал на военную тематику и создавать анимацию для лучшего запоминания способов решения.

2.2 Формирующий этап

На формирующем этапе при составлении условия задач я использовал весь собранный мною материал, а также проводил некоторые эксперименты.

Эксперимент 1: в тире десять мишеней, в две из них можно было пострелять из ружья. Я, Антон, (А) первым пришёл в тир, и у меня есть возможность пострелять в первую мишень, а после - во вторую. Через некоторое время пришёл в тир мой друг Глеб (Г) и решили посчитать, сколькими способами мы можем стрелять поочерёдно в эти мишени.

Таких способов 4 (см.табл.1).

Таблица 1

Затем к нам присоединился Никита (Н), и туже задачу со стрельбой в две мишени мы решили провести уже для троих (см таблицу 2). Оказалось, способов 8.

Таблица 2

Когда к нам присоединился Саша, то я предположил, что если они захотят подсчитать число способов, которыми мы вчетвером можем стрелять в две мишени, то способов будет 16.

Когда я был один в тире, то я стрелял сначала в первую мишень, а затем во вторую, т.е. число способов стрельбы для меня оказалось равной 2. Я заметил закономерность: число способов распределения на две группы для одного человека равна 2 = 2¹, для двух человек равно 4 = 2², для трёх равно 8 = 2³, поэтому для четырёх, скорее всего, будет равно 2⁴ = 16. Я составил таблицу:

Таблица 3

Предлагаю доказательство для n элементов на две группы.

Доказательство. 1)Доказываем методом индукции. f(1) = 2, f(n) = 2f(n -1) = 2 · 2 · f(n -2) = …= 2^m· f(n -m) = 2^{n -1} · f(1) = 2ⁿ. Таким образом, если у нас добавляется ещё один человек, то количество вариантов становится в два раза больше, чем предыдущий.

2)Так как каждое разбиение n элементов на две группы однозначно определяется составом элементов в одной из групп (будем считать, что если элемент не попал в первую группу, то они автоматически образуют вторую группу), подсчитаем все варианты составления одной группы. Будем условно считать, что в этой группе для каждого из n элементов есть своя ячейка,

которую соответствующий элемент может занять, а может и не занять. Таким образом, вариантов «занять» или «не занять» каждым элементом свою ячейку 2. Согласно правилу произведения комбинаций (вариантов) из «занятых» и «незанятых» n ячеек будет 2 · 2 · 2 ·… · 2 = 2ⁿ. Таким образом, мы получили формулу размещения с повторениями [2].

2 эксперимент был проведён на дополнительных занятиях по математике. В 1 и 3 взводах 4 роты было предложено решать задачи без анимации, а в 2 и 4 взводах суворовцы решали те же задачи, но уже с помощью анимации.

Более 65% суворовцев 1 и 3 взводов решали эту задачу методом перебора. Когда была представлена анимация к данной задаче в 2 и 4 взводах и формулы для решения задач методом перестановки, то уже аналогичные задачи решали правильно более 90 % обучающихся, и увеличивалась скорость решения.

Составленные мною задачи позволяют ещё раз окунуться в историю Побед моей Родины, осмыслить жизнь людей, посвятивших себя служению Отечеству, а также позволяют раскрыть перед нами практическую значимость математики, дают возможность задуматься о значимости раздела математики «Комбинаторика».

Для Интернет – пользователей предлагаем викторину – пазл «Факториалы» для углубления знаний о комбинаторных задачах .

Задания были собраны в сборник «Комбинаторика в военном деле» (Приложения 1), на 12 страницах. Данный материал был апробирован на уроках, при проведении внеклассных мероприятий, а пазл представлен на сайте https://learningapps.org.

Мы установили, что 100 % обучающихся проявляли интерес к задачам, для которых создавали видео. Суворовцы стали больше проявлять инициативы и самостоятельности при изучении математики.

2.3 Завершающий этап

На контрольном этапе был проведен повторный опрос среди суворовцев, содержащий те же вопросы, что были заданы на подготовительном этапе. Обучающиеся показали положительную динамику уровня знания и умения решать комбинаторные задачи, желание видеть наглядное, компактное, представление о решении комбинаторных задач, которая представлена на сравнительной диаграмме (Рис.

Результаты сравнительного анализа полученных экспериментальных данных дали возможность доказать, что выдвинутая нами гипотеза о том, что моих знаний по комбинаторике недостаточно, поэтому я захотел узнать об этом больше и выяснить, какие задачи можно решать и создавать по военной тематике с анимацией и убедиться, что комбинаторика – это раздел математики, имеющий широкий спектр практической направленности и других метапредметных знаний, если в преподавании данных предметов учащимся 7-9-х классов применять сборник «Комбинаторика в военном деле», нашла своё подтверждение.

Заключение

Исследовательская работа «Комбинаторика в военном деле» помогает формировать определённые знания по теме «Комбинаторика» и интерес к военному делу путём составления и создания анимации комбинаторных задач.

В результате выполнения данной работы мы пришли к следующим выводам:

1) глубже изучив раздел математики «Комбинаторика», выяснил, что существует множество способов решения комбинаторных задач, и с помощью этих методов научился составлять, решать текстовые задачи и создавать анимации к ним;

2) убедился, что решение задач с познавательным содержанием на военную тематику в школе развивает интерес к математике и военному делу;

3) рассмотрев использование комбинаторики в жизни военных, мы показали практическую значимость комбинаторики как области математики.

В дальнейшем я предполагаю продолжить работу над изучением значимости задач на вероятность в жизни военных и рекомендую использовать этот материал учителям, учащимся и всем интересующимся математикой.

Список литературы

Н.Я.Виленкин в учебнике «Математика, 6 класс»

М.В. Ткачёва и Н.Е. Фёдорова в книге: «Элементы статистики и вероятность: учеб. Пособие для 7-9 кл.» под редакцией Т.А. Бурмистрова

А.Г.Мордкович. в книге: «События. Вероятности. Статистическая обработка данных: дополнительные параграфы к курсу для 7-9 классов»

Савина Л.Н., Попырев А.В. «КОМБИНАТОРИКА» издательство Елабужский государственный педагогический институт 1999г

Интернет

- http:\www.mathclub.zala.ru/0921.html

- http:\www.mathprofi.ru/files/dopolnitelnye_zadachi_po_kombinatorike.pdf

- https://studopedia.su/4_11845_dokazatelstvo-formuli-.html

Приложение 1

“Ум и разум являются могучими орудиями боевой силы...”

И. Маслов

Задача 1.Во время учений, на поле боя, перед танком вооруженных сил России расположилось 3 боевые машины предполагаемого противника. Сколько вариантов поочерёдного уничтожения боевых машин противника у танкиста вооруженных сил РФ.

Решение. 1 способ

2 способ.

2 способ.

Число различных перестановок из n элементов обозначается P_nи вычисляется по формуле:

P_n=n! , где n - количество элементов перестановки.

n=3, P_n = 3! = 1*2*3 = 6 (вариантов)

Ответ: у танкиста вооруженных сил РФ 6 вариантов поочерёдного уничтожения боевых машин противника.

Для составления анимации к данной задаче была использована программа Photoshop, рисунки скачены из Интернет.

Задача 2. Сколькими способами могут разместиться четыре члена экипажа в салоне танка Т-34 в ходе учебно-боевой деятельности (Если учитывать, что члены экипажа универсальны).

Решение. 1 способ. Ведём обозначение. 1 – первый член экипажа, 2 – второй член экипажа, 3 – третий член экипажа, 4 – четвёртый член экипажа.

1234 2134 3124 4123

1243 2143 3142 4132

1342 2314 3214 4213

1324 2341 3241 4231

1432 2431 3412 4312

1423 2413 3421 4321

2 способ.

4! = 4 ·3·2 ·1 = 24.

Ответ: 24 способа.

Задача 3. Сколько всех возможных перестановок букв можно сделать в слове «бомбометание»?

Решение. В слове «бомбометание» всего 12 букв, из которых буква б повторяется 2 раза, буква о – два раза, буква м – два раза, буква е – два раза . Поэтому искомое число Nперестановок в слове «бомбометание» - это число перестановок с повторениями. Согласно формуле,

N = Р₁₂ (2;2;2;2)= = 29 937600

Ответ:29 937600 перестановок.

Задача 4. На завтрак солдат может выбрать плюшку, слойку, кекс, пирог, а запить их он может кофе, соком или кефиром. Сколько вариантов завтрака у солдата?

Решение.1 способ.

Расчет количества комбинаций неповторяющегося завтрака:

2 способ. Для комбинаторных задач с умножением можно построить дерево вариантов, но такое дерево строить станет намного сложнее, именно поэтому используется метод умножения, чтобы запись была короче. Рассмотрим этот метод на примере предыдущей задачи.

Если элемент A можно выбрать m способами, а после каждого выбора элемента A элемент B можно выбрать k способами, тогда, упорядоченную пару элементов (A, B) можно выбрать m*k способами.

А(m)*B(k) - количество вариантов

А - напиток можно выбрать m способами - 3 вида напитка.

B - хлебобулочное изделие можно выбрать k способами - 4 вида хлебобулочных изделий.

3 * 4 = 12

Ответ: у солдата 12 вариантов завтрака.

Задача 5. Из военного городка в место дислокации ведут 2 дороги, из места дислокации до пункта временного назначения – три дороги, из пункта временного назначения до боевой цели – 2 дороги. Колонна военной техники должна проехать из военного городка через место дислокации, через пункт временного назначения до боевой цели. Сколькими способами колона военной техники может проехать до боевой цели?

Решение. Если элемент A можно выбрать m способами, а после каждого выбора элемента A элемент B можно выбрать k способами, тогда, упорядоченную пару элементов (A, B) можно выбрать m*k способами…

А-В – 2 способа проехать; В-С – 3 способа проехать; С-D – 2 способа проехать. А-D = 2*3*2= 12 способов проехать.

Ответ: Колонна военной техники может проехать из военного городка до боевой цели 12- ю способами.

Задача 6. В танковую часть после окончания учёбы прибыли 9 командиров танков,11 механиков – водителей, 10 наводчиков и 13 заряжающих. Какие имеются возможности у прибывших командиров танков для подбора членов своих экипажей из числа прибывших танкистов?

Решение. 9 · 11 ·10 · 13 = 12 870.

Ответ: 12 870 вариантов подбора членов своих экипажей из числа прибывших танков.

Задача 7.

Командование дало задание дать возможность каждому курсанту во взводе (20 курсантов) побывать командиром или заместителем в течение 1 дня в паре с каждым из курсантов. Необходимо оценить, сколько вариантов расписания можно составить на первый день для выполнения задания в кратчайшие сроки?

1 способ.

Распределение должностей в паре командир-заместитель = 2 (или командир или заместитель по 1 разу).

Расчет количества комбинаций неповторяющихся пар командир-заместитель во взводе:

Итого количество комбинаций неповторяющихся пар командир-заместитель во взводе = 19 + 18 + 17 + 16 + 15 + 14 + 13 + 12 + 11 + 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 190 (пар).

Количество неповторяющихся пар во взводе с новым командиром = 190 * 2 = 380 (пар).

Количество дней необходимое для каждого командира неповторяющейся пары командир-заместитель = 1 день*380 пар=380 дней.

2 способ.

Для каждого из N уже найденных вариантов есть (N - 1) вариантов второго места, и общее количество комбинаций становится N*(N - 1).

В нашем случае N=20 (Человек во взводе)

20 * (20 - 1) = 20 * 19 = 380 (пар).

Количество дней необходимое для каждого командира неповторяющейся пары командир-заместитель = 1 день*380 пар=380 дней.

3 способ.

По формуле размещения = 20*19 = 380.

Ответ: для выполнения задания командования потребуется 380 дней.

Задача 8. Три наступающих танка независимо друг от друга практически одновременно обнаружили четыре объекта противника и независимо друг от друга произвели по ним по одному выстрелу. Сколько имеется всего комбинаций обстрела объектов противника танками(умножение). Сколько вариантов поочерёдного уничтожения объектов противника наступающими танками? (размещение)

А если промахнутся? Тогда 5 вариантов у каждого

Решение. 1) 4 · 4 · 4 = 64 всего комбинаций обстрела объектов противника танками.А если они промахнутся, то вариантов 5 · 5 · 5 = 125 (вариантов)/

2) вариантов поочерёдного уничтожения объектов противника наступающими танками.

Ответ: 64 комбинаций без промаха и 125 комбинаций с промахом, 24 варианта.

Задача 9. В организации устанавливается телефонная сеть с трёхзначными телефонными номерами. Сколько всего можно установить телефонных номеров (размещение с повторением)? Сколько из них будет тех, которые содержат: 1) три разные цифры? (размещение) 2) две одинаковые цифры? 3) три одинаковые цифры?

Решение. Всех возможных трёхзначных телефонных номеров будет, очевидно, 1000: это номера 000, 001, 002, … 999 или = 10³ = 1000. Но так как телефонный номер 000 не существует, поэтому можно установить только 999 номеров.

1) Номеров с тремя разными цифрами будет, очевидно, столько, сколько существует всех возможных соединений (комбинаций) из 10 цифр 0,1,2,…9 по три цифры в каждом соединении. Так как в этих соединениях важен порядок следования цифр (например, 137 и 173 – это разные номера), то этими соединениями будут размещения. А значит, их общее количество N₁ можно найти по формуле (6):

3) Пропуская вопрос (2), ответим на вопрос (3). Номеров с тремя одинаковыми цифрами будет, очевидно, 9. Это номера 111, 222, … 999. То есть N₃= 9.

2) Все остальные номера – с двумя одинаковыми цифрами. Следовательно, их общее количество N₂ = 999 – (N₁ + N₃ ) = 999 – (720 + 9) = 270.

Ответ: 999 номеров.1)720 телефонных номеров с тремя разными цифрами; 2)270 телефонных номеров с двумя одинаковыми цифрами; в) 9 телефонных номеров с тремя одинаковыми цифрами.

Задача 10. В суворовском военном училище установлена телефонная сеть с трёхзначными телефонными номерами, где на первой позиции используются только цифры 1, 2 и 3. Сколько всего можно установить телефонных номеров? Сколько из них будет тех, которые содержат: 1) три разные цифры? (размещение) 2) две одинаковые цифры? 3) три одинаковые цифры?

Решение. Всех возможных трёхзначных телефонных номеров будет, очевидно, 3 · 10 · 10 = 300.

1)Номеров с тремя разными цифрами будет, очевидно, столько, сколько существует всех возможных соединений (комбинаций) из 10 цифр 0,1,2,…9 по три цифры в каждом соединении, учитывая, что на первом месте только цифры 1, 2 и 3. Так как в этих соединениях важен порядок следования цифр (например, 137 и 173 – это разные номера), то этими соединениями будут размещения. А значит, их общее количество N₁ можно найти по формуле (7):

= 3 · = 3 · = 3 · 8 · 9 = 216.

3) Пропуская вопрос (2), ответим на вопрос (3). Номеров с тремя одинаковыми цифрами будет, очевидно, 3. Это номера 111, 222, 333. То есть N₃ = 3.

2)Все остальные номера – с двумя одинаковыми цифрами. Следовательно, их общее количество N₂ = 300– (N₁ + N₃) = 300 – (216 + 3) = 81.

Ответ: 1)216 телефонных номеров с тремя разными цифрами; 2) 81 телефонный номер с двумя одинаковыми цифрами; в) 3 телефонного номера с тремя одинаковыми цифрами.

Задача 11. Номера военных машин состоят из двух букв (всего используется 30 букв) и четырёх цифр (используются все 10 цифр). Сколько всего машин можно занумеровать таким образом, чтобы никакие две машина не имели одинакового номера?

Решение: Различных пар букв будет столько, сколько можно составить размещений с повторениями из 30 букв по две в каждом размещении. То есть, согласно формуле, их будет: = 30² = 900.

Аналогично различных троек цифр будет: =10⁴=10000.

(впрочем, это и так очевидно). Комбинируя (соединяя) теперь каждую пару букв с каждой тройкой цифр, получим искомое общее число N различных номеров военных машин: N= 900 · 10000 = 9 000 000.

Ответ: 9 000 000 различных номеров.

Задача 12 При передаче зашифрованного сообщения радист может использовать короткие и длинные сигналы. Какое количество коротких и длинных сигналов последовательно потребуется использовать радисту для шифрования всех букв русского алфавита так, чтобы последовательность сигналов для каждой буквы не повторялась (Твёрдый знак не учитывается)?

1 способ. Сигнал- короткий (.) Сигнал – длинный ( ).

Всего – 32 буквы

1 знак для буквы = (.) + ( ) = 2 буквы.

2 знака для буквы = (. ) + ( .) +(..) + ( ) = 4 буквы.

3 знака для буквы = (...)+ (.. ) +(. .) + ( ..) + ( ) + ( .) +( . ) +(. ) = 8 букв.

4 знака для буквы = (....)+ (... ) +(.. .) +(. ..) +( ...) + ( .) + . ) +( . )+ (. (.. ) + (. . ) + (. .) + ( .. ) +( . .) + ( ..) = 16 букв.

5 знаков для буквы= (.....)+ (.... ) +(... .) +(.. ..) +(. ...) +( ....)+(... ) (.. . ) + (.. .)+(. . .)+( .. .)+( . ..) + ( ...) + (. .. ) +(. ..) + ( .. )+ ( .. )+ (.. + (. . ) + (. . )+ (. .) +( . .) + ( . .)+( ..)+( .. )+( .. )+( .)+ . ) . ) . ) . ) = 32 буквы.

2 способ.

Если при выборе А элементов из n, элементы возвращаются обратно и упорядочиваются, то говорят, что это размещения с повторениями и вычисляется по формуле.

(5), где Aⁿ - количество букв , А - варианты сигнала, n - количество знаков для буквы

2¹=2 буквы; 2²=2*2=4 буквы; 2³=2*2*2=8 буквы; 2⁴=2*2*2*2=16 буквы

2⁵=2*2*2*2*2=32 буквы

Ответ: Радисту для шифрования всех букв русского алфавита потребуется использовать комбинацию из 5 коротких и длинных сигналов.

Задача 13. Сколькими способами можно составить две команды для выполнения разведывательных задач по 3 человека в каждой из 7 человек личного состава?

Решение. 1 способ. Количество вариантов для первой команды(сочетание) - , количество вариантов для второй команды(сочетание) , методом умножения получаем общее количество - , но при этом мы посчитали и вариант (1 2 3) (4 5 6), и вариант (4 5 6)(1 2 3), т. е. по сути один и тот же вариант посчитали два раза. Поэтому по причине того, что нам не важен номер команды, мы должны поделить на количество перестановок 2 команд по двум позициям (2!). окончательный ответ

2 способ. Количество вариантов на позицию без команды — 7 (7 человек на одну позицию), количество вариантов в первую команду , во вторую только 1. Т.к. нам не важен номер команды, то мы должны поделить на количество перестановок 2 команд по 2 позициям (2!). Методом умножения получаем окончательный вариант 7*(6*5*4:3:2):2=70

Ответ: 70 способов.

Задача 14. Во взводе суворовского училища 1 замкомвзвода, 3 командира отделения и 16 суворовцев. Сколькими способами можно составить наряд из одного командира отделения и двух суворовцев?

Решение. Одного командира отделения из трёх можно выбрать 3-мя разными способами. Для любого из этих способов выбора командира отделения и двух суворовцев (порядок тройки не важен) из 16-ти можно выбрать = = = 120 числом способов. Тогда по правилу произведения весь наряд, то есть одного командира отделения и двух суворовцев, можно выбрать 3 ˑ 120 = 360 способами.

Ответ: 360 способами.

Задача 15. Из 20 суворовцев, в число которых входят Малыхин и Бадаев, надо отправить в наряд трех человек. Сколькими способами это можно сделать, если: а) Малыхин и Бадаев должны пойти в наряд обязательно;

б) Малыхин и Бадаев должны остаться;

в) Малыхин должен пойти в наряд, а Бадаев – остаться?

Решение. Выбираем три элемента из 20; порядок выбора не имеет значения (все трое идут в наряд).а) Малыхин и Бадаев идут в наряд, еще одного нужно выбрать из других 18 солдат; количество способов: = 18.

б) Малыхин и Бадаев не идут в наряд; троих идущих в наряд нужно выбрать из других 18 суворовцев; количество способов: = = = 816 способов.

в) Малыхин идет в наряд, а Бадаев остается. Еще двоих, идущих в наряд с Малыхиным, нужно выбрать из других 18 солдат (Малыхина и Бадаева не считаем); количество способов: = = = 153.

Ответ: а) 18 способов; б) 816 способов; в) 153 способа.

Задача16. В подразделении имеются десять подготовленных солдат и три опытных сержанта. Сколькими различными способами можно составить разведывательную группу из одного сержанта и трёх солдат?

Решение.

= = = 120 2) 3 · 120 = 360 способов

Ответ: 360 способов.

Задача 17. У каждого взвода в Суворовском училище 2 воспитателя, которые назначают командиров взвода из числа 20 суворовцев каждого взвода, каждый командир взвода в свою очередь назначает 3 командиров отделения взвода. Сколько вариантов неповторяющихся комбинаций воспитателя взвода, командира взвода и командиров отделения взвода?

Решение. = 38 760

Ответ: 38 760 вариантов

Задача 18. Замок к хранилищу особо важных документов в Суворовском училище имеет специальное устройство, управляемое пятью дисками, окружности которых разбиты на 12 частей и обозначены первыми двенадцатью буквами русского алфавита. Для того чтобы открыть замок с помощью всех дисков набирается определённое пятибуквенное сочетание (ключ). Сколько максимально необходимо сделать попыток, чтобы, не зная буквенное сочетание, открыть замок хранилища. Какое при этом необходимо затратить время, если для набора одной комбинации тратить 10с.?

Решение. 1) 12 · 12 ·12 · 12 ·12 = 248 832 варианта по 10 сек. на каждый.

2 488 320 с = 41 472 мин = 691,2 час = 28 дней 19 час 12 мин необходимо затратить, если для набора одной комбинации тратить 10 с.

Ответ: 28 дней 19 час 12 мин.

Задача 19. В коробке имеются патроны трех видов калибра: 9мм, 5,45 мм и 7,62 мм. Офицер берёт 6 патронов. Сколько возможных вариантов выбора у него есть?

Решение. По условию задачи требуется составить комбинацию из k=6 элементов, которые выбираются (возможны повторения) из объектов n=3 типов. Всего возможных наборов патронов будет (по формуле сочетаний с повторениями): = = = =28.

Ответ: 28 вариантов.

Задача 20 В Великой Отечественной войне в наступлении на Берлин наиболее оптимальным было участие трёх фронтов : 1-й Белорусский фронт (Г.К. Жуков), 1-й Украинский фронт (И.С. Конев) и 2-й Белорусский фронт(К.К. Рокоссовский). Сколько вариантов вступления в Берлинскую битву этих фронтов могло быть использовано и какой вариант был выбран Верховным главнокомандующим?

Решение. 3! = 1 · 2 · 3 =6.

Ответ: 6 способов, выбрали 2 вариант.