VIII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Софизмы и парадоксы в математике и их философия
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
"Предмет математики настолько серьезен,
что полезно не упускать случая
сделать его немного занимательным»
Б. Паскаль
Введение.
В жизни часто можно услышать такую фразу: «Дважды два - пять». Мне захотелось узнать, откуда эта фраза появилась и можно ли найти объяснение этому утверждению. На самом деле оказалось, что в математике есть задачи, которые не похожи на другие, они как-будто бы правильные и в то же время - неправильные. Это софизмы и парадоксы. Меня заинтересовала эта тема, и я решил детально рассмотреть подобные задачи и выяснить, имеют ли они какое-нибудь логическое объяснение или же это лишь вымысел?
Считаю выбранную мной тему актуальной. Софизмы развивают логику мышления, помогают лучше разобраться в математике, развивают навыки правильного мышления.
Цель исследования:
Познакомиться с софизмами и парадоксами, показать значимость математических софизмов при изучении математики, показать, почему получаются абсурдные выводы.
Объект исследования: математические софизмы и парадоксы.
Задачи исследования:
1. Дать определение понятиям «софизм» и «парадокс», их отличие.
2. Классифицировать различные виды софизмов.
3. Понять, как найти ошибку в софизмах.
4. Рассмотреть наиболее известные парадоксы, понять их логику.
5. Обобщить исследуемый материал.
Предмет исследования:
Софизмы и парадоксы в математике.
Глава I. Софизмы и парадоксы.
1.1. Немного из истории.
Софисты - древнегреческие платные преподаватели красноречия, представители одноименного философского направления, распространенного в Греции в 4 - 5 веках до н.э. Изначально софистами назывались мыслители и мудрецы, позднее учителя красноречия. Они обучали и просвещали древнегреческий народ, старались способствовать достижению нравственности, присутствия духа, способности ума ориентироваться во всяком деле.
Наиболее яркими представителями этого философского учения были старшие софисты: Протагор Абдерский, Антифонт, Горгий из Леонтин, Гиппий из Элиды, Продик Кеосский и Критий Афинский.
Софисты не были учеными, но это были мыслители (sofos - по-гречески мудрость), люди, авторитетные в различных вопросах. Их задачей было научить убедительно защищать любую точку зрения. Умение, которое должно было быть достигнуто с их помощью, заключалось в том, что человек учился отстаивать многообразные точки зрения.
Исторически сложилось, что с понятием софизма связывают идею о намеренной фальсификации. Задача софиста, по признанию Протагора, представить наихудший аргумент как наилучший путем хитроумных уловок в речи, в рассуждении, не заботясь об истине, а об успехе спора или о практической выгоде. Благодаря стремлению софистов добиться в споре победы любой ценой, они превращали спор в пустую, хитроумную, кажущуюся мудрость. Пользуясь тем, что противник не очень глубоко знает предмет, о котором идет речь, недостаточно внимателен и наблюдателен, поэтому не может отличить ложь от истины. В результате такого поединка противник должен был согласиться с софистами и признать себя побежденным, хотя истина была на его стороне.
По мнению Диогена (конец 2-го, начало 3-го века до н.э.) «Он (Протагор) первый заявил, что о всяком предмете можно сказать двояко и противоположным образом … о мысли он не заботился, спорил о словах, и повсеместное нынешнее племя спорщиков берет свое начало от него».
1.2. Понятие софизма и парадокса.
Софизм - (от греческого sophisma, «мастерство, умение, хитрая выдумка, уловка») - умозаключение или рассуждение, обосновывающее какую-нибудь заведомую нелепость, абсурд или парадоксальное утверждение, противоречащее общепринятым представлениям. Софизм основан на преднамеренном, сознательном нарушении правил логики. Каким бы ни был софизм, он всегда содержит одну или несколько замаскированных ошибок.
Термин «софизм» впервые ввел Аристотель, охарактеризовавший софистику как мнимую, а не действительную мудрость.
Согласно словарю Ожегова С.И. « Софизм - формально кажущееся правильным, но по существу ложное умозаключение, основанное на преднамеренно неправильном подборе исходных положений».
Парадокс по своему определению близок к софизму. Согласно словарю Ожегова С.И. «Парадокс - странное, расходящееся с общепринятым мнением, высказывание, а также мнение, противоречащее (иногда только на первый взгляд) здравому смыслу».
Парадокс в более современном значении - это два противоположных утверждения, для каждого из которых имеются представляющиеся убедительными аргументы.
Парадоксы возникают в науке там, где теория не описывает процессы должным образом. Разрешение таких парадоксальных явлений ведет к возникновению новых теорий.
Глава II. Классификация софизмов.
Все софизмы можно разделить на:
- логические;
- терминологические;
- психологические;
- математические.
Наиболее типичными источниками логических софизмов является нарушение правил логики:
1. «Все люди суть разумные существа, жители планет не суть люди, следовательно, они не суть разумные существа».
2. «Все металлы - простые вещества, бронза - металл: бронза - простое вещество».
Терминологические софизмы.
Терминологические источники софизмов выражаются в неточном или неправильном словоупотреблении и построении фразы.
1. Ошибка омонимии. Например: доктор как врач и как ученая степень.
2. Ошибка выражения, заключающаяся в неправильном для понимания смысла построении фразы. Например: сколько будет дважды два плюс пять. Здесь можно понять, как 2*2+5 = 9 или 2*(2+5) = 14.
В устную речь математиками введены понятия: сумма, произведение, разность и т.д.
2*2+5 = 9 - сумма произведения два на два и пяти. 2*(2+5) = 14 - удвоенная сумма двух и пяти.
Психологические софизмы.
Во всяком обмене мыслей предполагается взаимодействие как минимум двух лиц. Убедительность софизма зависит от психологических свойств сторон. Правдоподобность софизма зависит от ловкости того, кто его защищает, и от уступчивости оппонента, а эти свойства зависят от различных особенностей обеих индивидуальностей.
Математические софизмы.
Математический софизм - утверждение, в доказательстве которого кроются незаметные и довольно тонкие ошибки. Это правдоподобное рассуждение, приводящее к неправдоподобному результату.
1. Арифметические софизмы - выражения чисел, имеющие ошибку, незаметную с первого взгляда.
2. Алгебраические софизмы - ошибки в числовых выражениях и уравнениях, скрытые намеренно.
3. Геометрические софизмы - вывод, заведомо неправильный, который касается геометрических фигур и действий над ними.
Глава III. Математические софизмы.
3.1. Арифметические софизмы.
Арифметические софизмы - это числовые выражения, имеющие неточность или ошибку, незаметную с первого взгляда.
1. «Пять равно шести».
Запишем тождество: 35 + 10 - 45 = 42 + 12 - 54, произведем действия, вынесем общий множитель за скобку: 5(7 + 2 - 9) = 6(7 + 2 - 9).
Разделим на одно и то же выражения обе части равенства, получим: 5 = 6.
Разбор софизма: Ошибка допущена при делении верного равенства на число (7 + 2 - 9) равное нулю. Но делить можно любое равенство на число отличное от нуля.
2. «Дважды два пять».
Возьмем верное числовое равенство: 4 : 4 = 5 : 5, вынесем за скобки в каждой части его общий множитель, получим:
4 * (1 : 1) = 5 * (1 : 1), числа в скобках равны, поэтому 4 = 5 или 2 * 2 = 5
Разбор софизма: Ошибка допущена при вынесении общего множителя за скобки.
Вместо 4 * (1 : 1) = 5 * (1 : 1), должно быть 4 * (1 : 4) = 5 * (1 : 5)
3. «Один рубль не равен ста копейкам».
Известно, что любые два равенства можно перемножить почленно, не нарушая при этом равенства: a = b и c = d, то a*c = b*d.
Применим это правило к двум очевидным равенствам:
1 рубль = 100 копейкам, 10 рублей = 1000 копеек. Перемножим эти равенства почленно, получим: 10 рублей = 100 000 копеек, разделив обе части равенства на 10, получим: 1 рубль = 10 000 копеек.
Разбор софизма: Ошибка состоит в нарушении действий с именованными величинами. Все действия, совершаемые над величинами, должны совершаться и над их размерностями.
3.2. Алгебраические софизмы.
Алгебра - раздел математики, принадлежащий к числу старейших ветвей этой науки, наряду с арифметикой и геометрией.
Алгебра возникла в результате поисков общих приемов для решения однотипных арифметических задач. Приемы эти заключаются в составлении и решении уравнений. А алгебраические софизмы - это намеренно скрытые ошибки в уравнениях и числовых выражениях.
1. «Сумма любых двух одинаковых чисел равна нулю».
Возьмем любое произвольное число «а» не равное нулю и запишем уравнение: x = a.
Умножим обе его части на (- 4а), получим равенство: - 4ах = - 4а2.
Прибавим к обеим частям равенства «х2», получим: - 4ах + х2 = - 4а2 + х2 , преобразуем равенство:
- 4ах + х2 + 4а2 = х2 (х - 2а)2 = х2 х - 2а = х
Заменим в последнем равенстве «х» на равное ему число «а», получим:
а - 2а = а, или: а = - а, откуда а + а = 0
Делаем вывод: сумма двух произвольных одинаковых чисел «а» равна нулю.
Разбор софизма: Ошибка состоит в том, что равенство квадратов не означает равенства значений, возведенных в квадрат. а - 2а ≠ а
2. «Два разных натуральных числа равны между собой».
Решим систему уравнений:
х + 2у = 6 (1)
у = 4 - х/2 (2)
подставим «у» из 2-го уравнения в 1-е, получим:
х + 2(4 - х/2) = 6
х + 8 - х = 6, отсюда 8 = 6
Разбор софизма: Уравнение (2) можно записать как х + 2у = 8, тогда исходная система запишется в виде:
х + 2у = 6 (1)
х + 2у = 8 (2)
В этой системе уравнений коэффициенты одинаковы, а правые части не равны между собой. Из этого следует, что система не имеет ни одного решения. Графически это означает, что прямые параллельны.
3. «Расстояние от Земли до Солнца равно толщине волоска».
а - расстояние от Земли до Солнца;
b - толщина волоска
v = (а + b)/2 - среднее арифметическое между расстоянием от Земли до Солнца и толщиной волоска.
а + b = 2v a = 2v - b a - 2v = - b
Перемножим по частям два последних равенства, получим:
a2 - 2av = b2 - 2bv; Прибавим к каждой части равенства v2 ; получим:
a2 - 2av + v2 = b2 - 2bv + v2 или
(а - v)2 = (b - v)2 или (а - v) = (b - v), значит: а = b
Разбор софизма:
Как и в первом примере, ошибка заключается в том, что равенство квадратов не означает равенства чисел, возводимых в квадрат. В данном примере среднеарифметическое расстояние от Земли до Солнца гораздо больше толщины волоска и выражение (b - v) будет отрицательным.
3.3. Геометрические софизмы.
Геометрические софизмы - это умозаключения или рассуждения, обосновывающие какую-нибудь заведомую нелепость, абсурд или парадоксальное утверждение, связанное с геометрическими фигурами и действиями над ними.
1. «Хорда, не проходящая через центр окружности, равна диаметру».
Дана окружность.
АВ - диаметр окружности
ВD - хорда, не проходящая через центр окружности
АС - хорда, проходящая через точку F, середину хорды ВD
Точки D и С соединены отрезком прямой.
Рассмотрим треугольники АВF и DFC. В этих треугольниках FB = FD по построению ∟А = ∟D (вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу), ∟AFB = ∟DFC, как вертикальные углы. Если же сторона и два угла одного треугольника равны стороне и двум углам другого треугольника, то такие треугольники равны. Значит, AFВ = DFC, а в равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны, поэтому можно сделать вывод, что AB = DC.
Разбор софизма: Неточность формулировки второго признака равенства треугольников. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, такие треугольники равны.
В рассматриваемом случае ∟А не принадлежит стороне FB, значит треугольники не равны и хорда, не проходящая через центр окружности не равна диаметру этой окружности.
2. «Через точку, лежащую вне прямой, к этой прямой можно провести два перпендикуляра».
Рассмотрим треугольник АВС. Используя стороны АВ и ВС этого треугольника, как диаметры, построим полуокружности. Эти полуокружности пересекаются со стороной АС в точках Е и D. Соединим точки Е и D прямыми с точкой В. Углы АЕВ и ВDC прямые, как вписанные, опирающиеся на диаметры. Следовательно, ВЕ перпендикулярна АС и BD перпендикулярна АС. Вывод: Через точку В проходят два перпендикуляра к прямой АС.
Разбор софизма: Рассуждения о том, что из точки на прямую можно опустить два перпендикуляра, ошибочны. Они опирались на неправильно выполненный чертеж. При правильном построении полуокружности пересекаются со стороной АС в одной точке, и поэтому ВЕ совпадает с BD. Значит, из одной точки на прямую нельзя опустить два перпендикуляра.
Рассмотрев большое количество различных математических софизмов, я пришел к выводу, что в софизмах часто присутствуют следующие завуалированные ошибки:
- деление на 0;
- неправильные выводы из равенства дробей;
- неправильное извлечение квадратного корня из квадрата выражения;
- нарушение правил действия с именованными величинами;
- проведение преобразований над математическими объектами, не имеющими смысла;
- выводы и вычисления по неверно построенным чертежам;
- неверная трактовка теорем в геометрии.
Изучение математических софизмов помогает развивать логику и навыки правильного мышления, приучают тщательно следить за точностью формулировок, правильностью чертежей, за законностью математических операций. Также развивают наблюдательность, вдумчивость.
Из года в год появляются новые софизмы, наиболее интересные остаются в истории, о многих быстро забывают. В современном мире есть много людей, употребляющих софизмы в обычной жизни, даже не зная, что это такое. Но есть и такие люди, которые целенаправленно изучают софизмы - политики, представители СМИ, чтобы вводить людей в заблуждение или просто развивать свои навыки правильности рассуждений.
Глава IV. Логические парадоксы.
Парадокс - это положение, резко расходящееся с общепринятыми, устоявшимися мнениями. Это два противоположных, несовместимых утверждения, для каждого из которых имеются кажущиеся убедительными аргументы. Наиболее резкая форма парадокса - антиномия. Это рассуждение, доказывающее правильность двух утверждений, одно из которых является отрицанием другого. До наших дней сохранились парадоксы, составленные древнегреческими философами. Известны парадоксы (апории) Зенона Элейского, жившего в 5 веке до нашей эры.
Апория - кажущееся непреодолимым затруднение, возникающее при обнаружении противоречий в ходе решения проблемы. В апориях Зенона раскрываются противоречия в понятиях движения, множества, пространства и времени. Я рассмотрел несколько апорий Зенона.
1. Ахиллес и черепаха.
Представим, что Ахиллес бежит со скоростью, в 10 раз превышающей скорость черепахи, и находится от нее на расстоянии в тысячу шагов позади. Пока Ахиллес пробежит тысячу шагов, черепаха сделает только сто. Пока Ахиллес преодолеет еще сотню шагов, черепаха успеет сделать десять и т. д. Этот процесс будет продолжаться до бесконечности, и хотя расстояние будет все более и более сокращаться, оно никогда не исчезнет полностью. Следовательно, быстроногий Ахиллес никогда не догонит медлительную черепаху.
Действительно, невозможно себе представить Ахиллеса, преодолевающего расстояние в одну тысячную миллиметра. Таким образом, апория Зенона оказывается правильной в теории, но абсолютно неверной на практике.
2. Летящая стрела.
Летящая стрела всегда остается на месте, т.к. в любой момент времени она находится в состоянии покоя, а поскольку она в состоянии покоя в любой момент времени, она находится в состоянии покоя всегда.
Это еще одна апория Зенона.
Наши глаза видят, что стрела летит, движется. Но если задать себе вопрос: где сейчас находится летящая стрела? Можно ответить: она сейчас здесь, там, тут. Эти ответы означают не полет стрелы, а ее неподвижность. Как же ответить на вопрос так, чтобы в ответе отразился ее полет, а не неподвижность? Это ответ: Она сейчас везде и нигде.
Но быть везде и нигде одновременно невозможно. Здесь мы наталкиваемся на логическое противоречие, на нелепость. Получается, что движение стрелы можно увидеть, но его нельзя помыслить, вследствие чего оно невозможно, как и любое движение вообще.
В своих апориях Зенон столкнул данные органов чувств (уверяющих нас, что быстроногий Ахиллес догонит черепаху, а стрела долетит до цели) и умозрение (которое не может помыслить движение или множественность объектов мира, не впадая при этом в противоречие).
3. Мешок зерна.
Большая масса мелких, просеянных зерен при падении на землю всегда производят шум. Этот шум складывается из шума отдельных зерен, значит каждое зерно и каждая малейшая часть зерна должны, падая, производить шум. Однако, отдельное зерно падает на землю бесшумно. Значит, падающий на землю мешок зерна не должен производить шум, т.к. он весь состоит из множества зерен, каждое из которых падает бесшумно.
4. Парадокс лжеца.
Авторство этого парадокса приписывают древнегреческому жрецу и провидцу Эпимениду. Критянин Эпименид сказал: «Все критяне лжецы».
Эпименид сам критянин. Следовательно, он лжец. Но если Эпименид лгун, тогда его заявление, что все критяне лгуны - ложно. Значит критяне не лгуны. Но Эпиминид, как определено условием, критянин, следовательно, он не лгун, и поэтому его утверждение «все критяне лгуны» - истинно.
Это значит, что если высказывание правдиво, то, основываясь на его содержании, оно является ложью, но если это высказывание изначально ложно, то его и утверждение - ложь. Получается, ложно, что это высказывание - ложь. Следовательно, высказывание правдиво. Этот вывод возвращает нас к началу наших рассуждений.
Парадокс "Лжец" произвел громадное впечатление на греков. И легко понять почему. Вопрос, который в нем ставится, с первого взгляда кажется совсем простым: лжет ли тот, кто говорит только то, что он лжет? Но ответ "да" приводит к ответу "нет", и наоборот. И размышление ничуть не проясняет ситуацию. За простотой и даже обыденностью вопроса оно открывает какую-то неясную и неизмеримую глубину.
Ходит даже легенда, что некий Филит Косский, отчаявшись разрешить этот парадокс, покончил с собой. Говорят также, что один из известных древнегреческих логиков, Диодор Кронос, уже на склоне лет дал обет не принимать пищу до тех пор, пока не найдет решение "Лжеца", и вскоре умер, так ничего и не добившись.
В средние века этот парадокс был отнесен к так называемым неразрешимым предложениям и сделался объектом систематического анализа.
В наше время парадокс лжеца рассматривается в качестве одной из формулировок парадокса Рассела.
5. Парадокс Рассела.
Парадокс Рассела был открыт в 1901 году британским философом Бертраном Расселом, а позже его независимо открыл немецкий математик Эрнст Цермело (иногда этот парадокс называют «парадоксом Рассела-Цермело»). У парадокса Рассела есть несколько формулировок:
- Парадокс всемогущества – способно ли всемогущее существо создать что-либо, что может ограничить его всемогущество?
- Например, в какой-то стране вышел закон о том, что мэрам всех городов запрещено жить в своём городе, и разрешено жить только в «Городе мэров». Где, в таком случае, будет жить мэр этого города?
- Парадокс брадобрея – в деревне только один брадобрей, и ему приказано брить всех, кто не бреется сам, и не брить тех, кто сам бреется. Вопрос: кто должен брить брадобрея?
Не менее интересны и современные парадоксы.
6. Парадокс учебы.
Английскими студентами была сочинена песенка:
Чем больше учишься, тем больше знаешь.
Чем больше знаешь, тем больше забываешь.
Чем больше забываешь, тем меньше знаешь.
Чем меньше знаешь, тем меньше забываешь.
Чем меньше забываешь, тем больше знаешь.
Так для чего учиться?
7. Парадокс интернета.
Вероятность существования нужной информации в Интернете возрастает, а возможность ее найти уменьшается.
8. Парадокс ценности.
Почему вода стоит дешевле алмазов, хотя потребность человека в ней гораздо больше, чем в алмазах?
9. Медицинский парадокс.
Бесплатная медицина начинается с платных бахил.
Платная медицина начинается с бесплатных бахил.
10. Парадокс переводчика.
Я вынужден был перевести этот текст на русский язык, поскольку не сумел прочитать его в оригинале - на английском.
В логике было создано много способов разрешения и преодоления парадоксов. Но до сих пор ни один из них не лишен возражений и не является общепризнанным. Существует большое количество литературы, где рассматриваются различные способы и разнообразные подходы решения логических парадоксов. Это говорит о том, что логика, как наука, является незавершенной, она постоянно развивается. А парадоксы приоткрывают завесу над чем-то еще не вполне известным и понятным, заставляют искать новые подходы в развитии логики.
Глава V. Различие и сходство между софизмами и логическими парадоксами.
Внешне парадоксы похожи на софизмы, так как тоже приводят рассуждения к противоречиям, к взаимно исключающим заключениям. Главное различие между ними, по словам писателя Даниила Гранина, заключается в том, что софизм - это ложь, обряженная в одежды истины, а парадокс - истина в одеянии лжи. Это, конечно, образное выражение, и связь софизма и парадокса более сложная. Парадокс может быть следствием, заключением некоторых софизмов. Парадоксальный вывод заставляет искать источник парадокса, заставляет искать другой путь возможных рассуждений. «Нельзя не верить потерпевшему, - говорит обвинитель, - ибо невозможно измыслить столь чудовищное обвинение». «Невозможно, согласен, - возражает защитник, - но если невозможно измыслить, как же можно было совершить?»
Разделить софизмы и парадоксы очень трудно. Некоторые софизмы носят переходный характер от софизма к парадоксу. Например, софизм «Мешок зерна» истолковывается, как неясное указание на существование порогов восприятия. Человек слышит не все звуки, а только достигающие определенной силы. Отдельное зерно при падении производит настолько слабый шум, что человеческий слух его не воспринимает. Шум падения многих зерен улавливает человеческий слух.
«Если бы Зенон был знаком с теорией звука, он не измыслил бы, конечно, своего аргумента», - так писал немецкий философ Т. Брентано.
Глава VI. Значение софизмов и парадоксов для развития логики человеческого мышления.
Осмысление логических ошибок, которые содержатся в софизмах, явилось важным моментом в развитии логики и культуры в целом. Деятельность первых софистов сыграла важную историческую роль для человечества. Философские мысли об общих проблемах Вселенной (космосе, мироздании) вернулись к проблемам человеческой жизни, человеческих отношений. Этот поворот философской мысли был обоснован Сократом в его труде «Познай самого себя». В отличие от софистов, учение Сократа говорит о том, что должны существовать общие, объективные истины для всех людей. Он не считал себя обладателем этих истин. Считал, что истина должна родиться в ходе диалога или коллективного обсуждения какого-либо вопроса. «Я знаю, что я ничего не знаю, … но мое отличие, что я могу это осознать».
Значение софизмов и логических парадоксов для развития науки и человеческого мышления велико. С их появлением начали зарождаться элементы современной логики.
Первые парадоксы были открыты еще до возникновения логики как особой науки. Многие парадоксы были обнаружены в средние века. Позднее они оказались забытыми и были вновь открыты уже в нашем веке.
Средневековым логикам не были известны многие понятия, как например, «множество» и «элемент множества», введенные в науку только во второй половине XIX века.
Современная логика указала принципиально новые приемы обращения с софизмами и парадоксами, основанными на современных знаниях.
Глава VII. Выводы.
Софизмы - это смесь философии и математики, которая помогает развивать логику, находить ошибку в рассуждениях.
Исследовать софизмы было очень интересно и необычно. Понять софизм, решить его и найти ошибку порой получается не сразу. Некоторые рассмотренные мной софизмы давались с трудом, приходилось разбирать их по нескольку раз, а некоторые показались очень простыми. На уловку софиста очень просто попасться из-за безукоризненности его рассуждений.
Математические софизмы приучают внимательно и настороженно продвигаться вперед, тщательно следить за точностью формулировок, правильностью чертежей, за допустимостью обобщений, за законностью выполняемых операций. Моей задачей было научиться искать ошибки в рассуждениях других людей, научиться грамотно строить свои рассуждения и логические объяснения. Думаю, что я справился с этой задачей. В своей работе я рассмотрел лишь некоторые наиболее известные софизмы. На самом деле их очень много. Может быть, я продолжу изучение этой темы в будущем.
В качестве основного вывода приведу высказывание Н.И. Лобачевского: «Если нашел ошибку в софизме, значит, ты ее осознал, а сознание ошибки предупреждает от ее повторения в дальнейших математических рассуждениях».
Таким образом, цель исследования была достигнута. В результате проведенной работы я познакомился с некоторыми софизмами, классифицировал их в соответствии с разделами математики. Научился решать задачи на софизмы, находить в них ошибку. Попытался разобраться в парадоксах, понять их логику.
Развивая логическое мышление при решении софизмов, можно добиться больших успехов в решении математических задач.
Список источников информации.
1. Большая математическая энциклопедия/Якушева Г.М. и др. – М.: ОЛМА-ПРЕСС, 2005.
2. Математические софизмы Книга для учащихся 7-11 классов. Авторы: А.Г. Мадера,
3. Нагибин Ф.Ф. Математическая шкатулка. Государственное учебно-педагогическое издательство министерства просвещения РСФСР 1961.
4. Перельман Я. И. Занимательная геометрия - Д.: ВАП, 1994.
5. Энциклопедический словарь юного математика - М.: Педагогика, 1985.
6. Ресурсы интернета
http://slovari.yandex.ru/
http://ru.wikipedia.org/wiki/Софизм