VIII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Параллелограмм Вариньона
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
1. Введение.
Цель: исследовать приемы решений планиметрических задач с использованием теоремы Вариньона и следствий из нее.
Задачи:
1.Изучить теорему Вариньона.
2.Сравнить решение планиметрических задач ,применяя теорему Вариньона и традиционный способ решения.
3.Сравнить затраченные временные ресурсы на решение задач с помощью теоремы Вариньона и обычным способом.
4.Практически применить в решении олимпиадных задач и задач ОГЭ и ЕГЭ теоремы Вариньона.
Гипотеза: решать планиметрические задачи с помощью теоремы Вариньона намного эффективнее по сравнению с традиционным способом.
Актуальность: новейшие технологии в математический дисциплинах требуют применения прогрессивных и эффективных способов решения задач.
Объект исследования: параллелограмм Вариньона, бимедианы четырехугольника, теорема Вариньона и ее свойства
Предмет исследования: планиметрические задачи
Методы исследования:
1.Анализ, систематизация и обобщение данных из различных источников информации.
2.Самостоятельное решение задач.
В математике самыми трудными считаются геометрические задачи. Почти каждая геометрическая задача нестандартна. Надо подумать, какие нужно сделать дополнительные построения, какими воспользоваться теоремами, при этом очень непросто из их огромного количества выбрать ту, которая наилучшим образом поможет в решении.
2.Теорема Вариньона и её доказательство.
Пьер Вариньон— французский математик и механик. Обучался в иезуитском колледже и университете в Кане, где стал магистром в 1682 году. Основной вклад Вариньон совершил в статику и механику. В 1687 году в своей работе «Проект новой механики…» Вариньон дал точную формулировку закона параллелограмма сил, развил понятие момента сил и вывел теорему, получившую имя Вариньона.
Пьер Вариньон
Теорема Вариньона
Четырехугольник, образованный путем последовательного соединения середин сторон выпуклого четырехугольника, является параллелограммом, и его площадь равна половине площади данного четырехугольника.
Дано:
ABCD – выпуклый четырехугольник
AK=KB; BL=LC; CM=MD; AN=ND
Доказать:
1) KLMN – параллелограмм;
2) S KLMN = S ABCD:2
Доказательство:
1. Рассмотрим одну из сторон четырехугольника KLMN, например KL. KL – средняя линия треугольника ABC (по определению),следовательно, KL ∥ AC. Аналогично, так как MN – средняя линия треугольника ADC,то MN ∥ AC. Так как KL ∥ AC и MN ∥ AC следовательно, KL ∥ NM и KL=MN=AC:2. Таким образом, KLMN – параллелограмм. Этот параллелограмм называется параллелограммом Вариньона данного четырехугольника.
2. Средняя линия треугольника отсекает от него треугольник, площадь которого в четыре раза меньше площади исходного треугольника,
3. т.е. S KBL = S ABC:4, S MDN=S ADS:4. Следовательно, S 1+S 3=S ABCD:4. Аналогично, S 2+S 4= S ABCD:4. Следовательно, S 1+S 3 + S 2+S 4 = S ABCD :4 + S ABCD:4 = S ABCD:2.
Т.е., S KLMN = S ABCD:2. Что и требовалось доказать.
3. Свойства параллелограмма Вариньона :
1. Каждая пара противоположных сторон параллелограмма Вариньона параллельна диагонали в исходном четырехугольнике.
2. Сторона параллелограмма Вариньона вдвое короче диагонали в исходном четырехугольнике, к которому он параллелен.
3. Площадь параллелограмма Вариньона равна половине площади исходного четырехугольника. Это верно для выпуклых, вогнутых и скрещенных четырехугольников при условии, что площадь последнего определяется как разность площадей двух треугольников, из которых он состоит.
4. Периметр параллелограмма Вариньона равен сумме диагоналей исходного четырехугольника.
5. Диагонали параллелограмма Вариньона - это бимедианы исходного четырехугольника.
Определение: Бимедианы четырехугольника - это отрезки, соединяющие середины противоположных сторон (диагонали параллелограмма Вариньона)
4. Следствия из теоремы Вариньона.
Следствие 1: Параллелограмм Вариньона является ромбом тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике 1) диагонали равны 2) бимедианы перпендикулярны.
Дано: ABCD – четырехугольник; KLMN – параллелограмм Вариньона; AC=BD
Доказать: KLMN – ромб
Доказательство: Так как AC=BD (диагонали исходного четырехугольника равны по условию), то стороны параллелограмма Вариньона будут равны KL=LM=MN=NK (используя свойство средних линий треугольников, образованных при пересечении диагоналей исходного четырехугольника). Параллелограмм c равными сторонами является ромбом.
Следствие 2: Параллелограмм Вариньона является прямоугольником тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике: 1) диагонали перпендикулярны; 2) бимедианы равны
Дано: четырехугольник ABCD; KLMN – параллелограмм Вариньона; диагонали AC и BD – перпендикулярны
Доказать: KLMN – прямоугольник
Доказательство: Так как диагонали AC и BD – перпендикулярны, то стороны параллелограмма Вариньона будут перпендикулярны. Следовательно, параллелограмм Вариньона является прямоугольником.
Следствие 3: Параллелограмм Вариньона является квадратом тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике 1) диагонали равны и перпендикулярны; 2) бимедианы равны и перпендикулярны
Дано: четырехугольник ABCD; KLMN – параллелограмм Вариньона; диагонали AC и BD – перпендикулярны; AC=BD
Доказать: KLMN – квадрат
Доказательство : Так как диагонали исходного четырехугольника AC и BD равны и перпендикулярны, то стороны параллелограмма Вариньона будут равны и перпендикулярны. Следовательно, параллелограмм Вариньона является квадратом.
5. Основная часть работы. Применение теоремы Вариньона при решении задач.
Эффективность и удобство применения теоремы Вариньона рассмотрю на задачах , которые я составила сама и подобрала из сборников ОГЭ прошлых лет.
Задача 1.
Докажите, что если диагонали четырехугольника равны, то его площадь равна произведению средних линий .
Дано: ABCD – четырехугольник; AC = BD
Доказать: S ABCD = KM*LN
Доказательство: Так как диагонали AC = BD, параллелограмм Вариньона является ромбом, площадь ромба равна половине произведения его диагоналей. Что и требовалось доказать.
Задача 2
Найдите площадь четырехугольника ABCD ,если его диагонали равны 12 см и 14 см , а его бимедиана равняется 9 см
Дано:AC–диагональ=12см
BD-диагональ=14см
KP=9см
Найти:SABCD
Решение: 1)построим внутри ABCD параллелограмм Вариньона - MKNP
По теореме Вариньона SMKNP= 0,5SABCD
Т.к. бимедиана является диагональю параллелорамма MKNP =) она разделяет параллелограмм на 2 треугольника- PMK и PNK =)
SMKNP=SPMK + SPNK
2)MK = 0,5 BD т.к. BD является средней линией треугольника DAB = 7см
PM = 0,5 AC т.к. является средней линией треугольника ADC = 6см
3) По теореме Герона S=√p(p-a)(p-b)(p-c),где p=a+b+c/2- полупериметр треугольника =11см
SMKNP = √11(11-7)(11-6)(11-9)=√11*4*5*2=√440=2√110*2 =4√110 =)
SABCD = 4√110*2=8√110см
Ответ :SABCD =8√110см
Задача 3
Докажите , что площадь параллелограмма ,образованного прямыми , проходящими через вершины выпуклого четырехугольника и параллельными его диагоналям , в два раза больше площади исходного четырехугольника
Решение:
SABCD=SLMNK+SLKD+SALM+SBMN+SKNC
Так как AMOL,MONB,CKON,DKOL-параллелограммы , то
SALM=SMOL,SMBN=SMON,SNCK=SKON,SLKD=SLOK
Отсюда получаем , что SABCD=2SKLMN,что и требовалось доказать.
Задача 4
В четырехугольнике ABCD обозначены точки E и F – середины диагоналей AC и BD соответственно. Докажите , что SELFN<0,5SABCD
Доказательство :
1) Достаточно доказать, что точки E и F лежат строго внутри параллелограмма Вариньона KLMN, поскольку SKLMN=0,5SABCD.
Очевидно , что T1T2=KL=0,5AC и AE=EC=0,5AC .
2) Пусть точка Е совпадает с точкой G и лежит вне KLMN. Но тогда GC=0,5AC>T1T2 ,
А T1T2=0,5AC- противоречие
Если же E=T1,то T1С=0,5AC=T1T2 , чего также быть не может.
3) Значит, точка Е лежит внутри KLMN .
Аналогично показываем , что точка F лежит внутри параллелограмма KLMN.
Тогда SELFN<SKLMN=0,5SABCD , что и требовалось доказать .
Задача 5
Докажите , что 1)середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба. И наоборот , 2 )середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника.
Доказательство:
1)Диагонали прямоугольника равны , поэтому середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба( из следствия 1);
стороны прямоугольника перпендикулярны , поэтому бимедианы перпендикулярны , тогда середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба.
2) Диагонали ромба перпендикулярны , поэтому середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника ( из следствия 2);
Стороны ромба равны, поэтому середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника.
Задача 6
В выпуклом четырехугольнике ABCD отмечены середины противоположных сторон BC и AD - точки L и N соответственно . Диагональ AC проходит через середину отрезка LN . Найдите площадь четырехугольника ABCD , если площадь треугольника ACD равна S .
Решение : 1) Пусть K и M – середины сторон AB и CD. Тогда KNLM - параллелограмм Вариньона , поэтому отрезок KM содержит середину O отрезка LN. Стороны треугольника KOL – средние линии треугольника ACD , поэтому
SKOL=1/4SACD=1/4S.
Аналогично, SMON= 1/4SABC, а так как треугольники KOL и MON равны , то SADC=4SKOL=4SMON=SACD=S.
Следовательно, SABCD = SABC+SACD=S+S=2S
Ответ : SABCD=2S
Задача 7
Одна из средних линий четырехугольника ABCD равна а . Его диагонали равны 3/2а и 5/2а. Найдите площадь четырехугольника ABCD.
Решение : 1)Пусть в четырехугольнике ABCD LN =a, AC=3/2a,BD=5/2a.
Тогда , KL=1/2AC=3/4a и KN=1/2BD=5/4a
2) По формуле Герона площадь треугольника KLN = √3/2a*a/2*3a/4*a/4=3a²/8
Значит , SABCD=4SKLN=3a²/2
Ответ : SABCD=3a²/2
Задача 8
В четырехугольнике отрезки , соединяющие середины противоположных сторон , равны. Докажите , что диагонали исходного четырехугольника перпендикулярны.
Доказательство: для доказательства будем использовать теорему Вариньона
1) ▲ BEF ~ ▲BAC и ▲DHG ~ ▲DAC =) EF||HG||AC. Аналогично со сторонами EH и FG
2) Т.к. EG=FH, то из этого следует , что четырехугольник EFGH является параллелограммом Вариньона и прямоугольником (следствие2) =) EF⊥EH, FG⊥GH
3) Т.к. ▲ BEF ~ ▲BAC =) EF||AC и ▲AEH~ ▲ABD =)BD||EH
Поэтому EF⊥EH и AC⊥BD ч.т.д.
Задача 9
Докажите , что сумма длин двух отрезков , соединяющих середины противоположных сторон произвольного четырехугольника , меньше суммы длин его диагоналей
Доказательство:
1) Рассмотрим произвольный четырехугольник ABCD , где точки K,L,M,N – середины сторон AB,BC,CD,AD
2) NM является средней линией для▲ADC ,а LK средняя линия для▲ABC =)NM||CA||LK . Аналогично с ▲CDB и ▲ADB =) ML||DB||NK
3) NM=LK=1/2CA и ML=NK=1/2DB(по свойству средней линии ▲) =)
KLMN-параллелограмм Вариньона
4) т.к. сторона должна быть меньше суммы двух других=) KM<KL+LM и LN<LM+MN=) KM+LN<2NM+2LM=)KM+LN<AC+BD ч.т.д.
Задача 10
Дан выпуклый четырехугольник ABCD. Найдите площадь ABCD , если KL=6,KM=4√3 , ∠MKL=30°
Решение:1)Пусть точки K , L , M и N – середины AВ , BC , CD и AD, тогда получившийся четырехугольник KLMN – параллелограмм Вариньона =) SABCD=2SKLMN
2) Проведем высоту MF к основанию KL, тогда SKLMN = KL*MF
▲KMF – прямоугольный и имеет ∠MKL=30° =) катет , лежащий против ∠=30° равен половине гипотенузы =) ML=0,5KM=2√3
SKLMN=6*2√3=12√3
SABCD=12√3*2=24√3
Ответ:SABCD=24√3
6. Заключение.
В процессе исследования я узнала о Пьере Вариньоне, его достижениях, рассмотрела доказательство его теоремы для различных видов четырёхугольников. Я убедились в том, что теорема Вариньона помогает быстро и оригинально решать задачи, открывать и доказывать новые свойства четырёхугольников, что параллелограмм Вариньона может быть использован при решении геометрических задач различной сложности.
Таким образом, выдвинутая гипотеза: с помощью теоремы Вариньона решать планиметрические задачи будет намного легче и быстрее мною подтверждена, и цель работы: «Исследовать приемы решений планиметрических задач с использованием теоремы Вариньона и следствий из нее» была достигнута.
Проведенное исследование помогло мне систематизировать и углубить теоретические и практические знания по геометрии. Считаю выбранную тему актуальной и перспективной, т.к. геометрия важна в различных областях науки, а полученные знания могут быть применимы на олимпиадах, ОГЭ и ЕГЭ по математике, пользуясь теоремой Вариньона можно значительно сэкономить время на решение. В дальнейшем планирую поработать над утверждениями, обратными теореме Вариньона для различных видов четырёхугольников и изучить применение теоремы Вариньона при решении физических задач по теме «Механика».
7. Список использованных источников и литературы.
1. Атанасян, Л. С. Геометрия 7– 9 : учебник / Л .С. Атанасян. – М.: Просвещение, 2016. – 384 с.
2. Вавилов, В. Бимедианы четырехугольника//Математика / В. Вавилов, П. Красников.- 2006 - №22.
3. Зив, Б. Г. Задачи к урокам геометрии 7-11 кл / Б .Г. Зив. – СПб. : Изд-во АКАЦИЯ, 1995. – 624 с.
4. Глейзер, Г.И. История математики в школе 9-10 кл / Г.И.Глейзер. – М.: Просвещение, 1983. –351 с.
5. Ильин, В. Применение теоремы о средней линии треугольника к решению задач / В. Ильин // Газета Математика /. Объединение педагогических изданий 1 сентября. – 1998. – № 48.
6. Коксетер, Г. С. Новые встречи с геометрией / Г. С. Коксетр , С. Л. Грейтцер . – М.: Наука,1978.
7. Куланин, Е. Д. 3000 конкурсных задач по математике / Е .Д. Куланин. – М.: Рольф, 1997. – 608 с.
8. Нагибин, Ф.Ф. Математическая шкатулка / Ф. Ф. Нагибин , Е.С. Канин. – М.: Дрофа, 2006. – 270 с.
9. Прасолов, В.В. Задачи по планиметрии / В. В. Просолов. – М.: Наука, 1995.-Т.1,2.
10. Фарков, А.В. Учимся решать олимпиадные задачи. Геометрия. 5-11 кл. / А. В. Фарков – М.: Айрис-пресс, 2006. – 128 с.
11. Филипповский, Г.Б. Параллелограмм Вариньона решает задачи Г. Б. Филипповский // Журнал Математика в школе. – 2006. – № 4. – с. 45-49.
12. Энциклопедия Математика. – М.: Изд-во Аванта +, 2000.- Т.11. – 688 с.
13. Geretschlager, R. Kalinowski Jozef, Svrcek Jaroslav A Central European Olympiad, The Mathematical Duel [ электронный ресурс] / R. Geretschlager , J. Kalinowski , J. Svrcek .-2018.- Vol. 7. – Режим доступа : https://books.google.com. –Загл. с экрана.
14. Bits of Math [Электронныйресурс]. - community blogs ,2015-.- Режим доступа : https://artofproblemsolving.com, свободный.- Загл.с экрана.
15. Russia 2004 problem [Электронныйресурс]. - community blogs ,2011-.- Режим доступа : https://artofproblemsolving.com, свободный.- Загл.с экрана.