Исследование зависимостей в расположении замечательных точек треугольника

VIII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке

Исследование зависимостей в расположении замечательных точек треугольника

Корягин А.Л. 1
1МАОУ "СОШ № 4 им. В.Г.Некрасова" г. Сатки Челябинской обл., 9 А
Сапожникова Н.А. 1
1МАОУ "СОШ № 4 им. В.Г.Некрасова" г. Сатки Челябинской обл.
Автор работы награжден дипломом победителя I степени
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Введение

Четыре замечательные точки треугольника – традиционный материал школьного учебника математики. С этими точками связаны различные теоремы и задачи-теоремы, а также многие задачи, как в учебнике, так и в материалах итоговой аттестации. Этим объясняется актуальность темы при изучении геометрии.

Цель проекта: исследовать зависимости в расположении замечательных точек треугольника.

Задачи проекта:

Изучить известные свойства замечательных точек треугольника.

Исследовать с помощью средств компьютерной среды GeoGebra зависимость между геометрическим местом точек (ГМТ), полученным при движении одной из вершин треугольника и ГМТ, которое при этом движении описывают замечательные точки треугольника.

Провести анализ полученных данных и сделать выводы.

Сформулировать и доказать полученное в результате экспериментов утверждение.

Объект исследования - треугольник и его замечательные точки

Предмет исследования - зависимости в их расположении

Гипотеза: все замечательные точки треугольника описывают ГМТ, подобное ГМТ, полученного при движении одной вершины треугольника и фиксированных двух других.

Методы исследования: изучение литературы, моделирование, эксперимент, анализ и синтез.

1. Теоретическая часть

1.1. Известные свойства четырёх замечательных точек треугольника

Замечательные точки треугольника – точки, местоположение которых однозначно определяется треугольником и не зависит от того, в каком порядке берутся стороны и вершины треугольника.

Теорема: Все биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая называется инцентром и является центром вписанной в треугольник окружности. Для треугольника любого вида инцентр расположен внутри.

Теорема: Все медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая называется центроидом и делятся точкой пересечения в отношении 2:1, считая от вершины. Для треугольника любого вида центроид расположен внутри.

Центроид является центром тяжести треугольника.

Теорема: Высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке, которая называется ортоцентром. Ортоцентр может располагаться: внутри треугольника, вне его или совпадать с вершиной, соответственно в остроугольном, тупоугольном и прямоугольном треугольниках.

Теорема: Серединные перпендикуляры треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром описанной около него окружности.

Она может располагаться внутри треугольника, вне его или лежать на его стороне.

Т еорема. Ортоцентр, центроид и центр описанной окружности лежат на одной прямой, которую называют прямой Эйлера.

2. Практическая часть

2.1. Динамические апплеты и геометрическое место точек

Геометрическое место точек – фигура речи в математике, употребляемая для определения геометрической фигуры как множества точек, обладающих некоторым свойством.

Компьютерная среда GeoGebra позволяет создавать небольшие программы – динамические апплеты (динамические модели). Динамические модели позволяют наблюдать и анализировать изменения объекта. В данном случае - геометрического места точек, которое описывают замечательные точки треугольника в остро, прямо и тупоугольном треугольниках, при движении одной вершины треугольника по окружности фиксированного радиуса и фиксированных двух других вершинах.

2.2. Эксперименты

2.2.1 Зависимость между ГМТ вершины треугольника и ГМТ центроида

В экспериментах № 1–3 (см. Приложение) были рассмотрены зависимости между ГМТ вершины треугольника и ГМТ центроида. В результате эксперимента получили, что ГМТ вычерчивает окружность, также, как и подвижная вершина, но меньшего радиуса.

2.2.2. Зависимость между ГМТ вершины треугольника и ГМТ инцентра

В экспериментах № 4 – 6 (см. Приложение), были рассмотрены зависимости между ГМТ вершины треугольника и ГМТ инцентра. В результате получили, что ГМТ – это замкнутая кривая, отличная от окружности.

2.2.3. Зависимость между ГМТ вершины треугольника и ГМТ ортоцентра

В экспериментах № 7 – 9 (см. Приложение), были рассмотрены зависимости между ГМТ вершины треугольника и ГМТ ортоцентра. В результате получили, что ГМТ – это замкнутая кривая, отличная от окружности.

2.2.4.Зависимость между ГМТ вершины треугольника и ГМТ центра описанной окружности

В экспериментах № 10 – 12 (см. Приложение), были рассмотрены зависимости между ГМТ вершины треугольника и ГМТ центра описанной окружности. В результате получили, что ГМТ – это отрезок, лежащий на серединном перпендикуляре, проведенном к противолежащей стороне.

2.2.5. Итоги экспериментов

Наблюдения в ходе экспериментов позволяют сформулировать и доказать следующие утверждения:

Утверждение 1: При движении одной из вершин треугольника по траектории, задаваемой некоторой геометрической фигурой F, центроид треугольника описывает фигуру F´, подобную фигуре F с коэффициентом подобия .

Доказательство:

П усть ВС - неподвижная сторона треугольника АВС, вершина А движется по траектории, заданной фигурой F (то есть А - произвольная точка фигуры F), АМ - медиана, G - центроид треугольника АВС. по свойству медиан. Так как А - произвольная точка фигуры F, то множество точек G образует фигуру F´, гомотетичную фигуре F с коэффициентом 1/3 и центром М. А, значит, фигуры Fи F´ подобны с коэффициентом 1/3.

Утверждение 2: При движении одной из вершин треугольника по траектории, задаваемой некоторой геометрической фигурой F, центр описанной окружности движется по отрезку, являющемуся частью серединного перпендикуляра к стороне, противолежащей подвижной вершине.

Доказательство:

Ц ентр описанной окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров. При движении одной вершины сторона треугольника, противолежащая ей, остаётся неподвижной, а, значит, серединный перпендикуляр к этой стороне не подвергается преобразованию. Следовательно, все его точки пересечения с подвижными сторонами треугольника лежат на этой фиксированной прямой.

Заключение

В результате проделанной работы:

изучены известные свойства замечательных точек треугольника;

созданы динамические апплеты для экспериментов с ГМТ, образованных замечательными точками треугольника;

с помощью апплетов проведены эксперименты и проверена выдвинутая гипотеза.

Выводы:

ГМТ, описываемое центроидом, также является окружностью подобно ГМТ, описываемому подвижной вершиной;

ГМТ, описываемое инцентром, - замкнутая кривая, отличная от окружности;

ГМТ, описываемое ортоцентром, - также замкнутая кривая, иногда с самопересечениями;

ГМТ, описываемое точкой пересечения серединных перпендикуляров - отрезок, являющийся частью серединного перпендикуляра к стороне, противолежащей подвижной вершине треугольника.

Таким образом, гипотеза о подобии фигуры, описываемой замечательными точками треугольника, и фигуры, по которой происходит движение одной вершины, подтвердилась только для центроида, при этом размеры отличаются в 3 раза (коэффициент подобия). Этот факт был доказан с помощью гомотетии относительно центра фиксированной стороны.

Литература:

Зеленяк, О.П.Решение задач по планиметрии. Технология алгоритмического подхода на основе задач-теорем. Моделирование в среде Turbo Pascal [текст] / О.П. Зеленяк. – Киев, Москва: ДиаСофтЮП, ДМК Пресс, 2008. - 336 c.

Гордин Р.К. Это должен знать каждый матшкольник [текст] / Р.К. Гордин. – М.: МЦНМО, 2003.

Смирнова Е.С. Планиметрия: виды задач и методы их решений: Элективный курс для учащихся 9 - 11 классов [текст] /Е.С. Смирнова. - М.: МЦНМО, 2016. - 416 с.

Приложение.

Эксперименты

№ Экспери-мента

Вид замечательной точки треугольника

Вид треугольника

ГМТ

1.

Центроид

Остроугольный

 

2.

Прямоугольный

 

3.

Тупоугольный

 

№ Экспери-мента

Вид замечательной точки треугольника

Вид треугольника

ГМТ

4.

Инцентр

Остроугольный

 

5.

Прямоугольный

 

6.

Тупоугольный

 

№ Экспери-мента

Вид замечательной точки треугольника

Вид треугольника

ГМТ

7.

Ортоцнтр

Остроугольный

 

8.

Прямоугольный

 

9.

Тупоугольный

 

10.

Центр описанной окружности

Остроугольный

 

11.

Прямоугольный

 

12.

Тупоугольный

 
Просмотров работы: 23