VIII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Текстовые задачи в курсе алгебры основной щколы
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
ВВЕДЕНИЕ
Для формирования математической культуры школьников чрезвычайно важно глубокое и прочное усвоение основ курса математики. Принципиально иную организацию собственной познавательной деятельности школьников предполагает формирование высокой математической культуры выпускников современной школы, в ходе которой у них определяются умения изучать математику самостоятельно и творчески, а значит, создаются основания к активному использованию математических знаний в будущем.
Эффективному использованию учебных задач способствует активизация самостоятельно-познавательной деятельности школьников при изучении курса математики, которые являются первостепенным средством зарождения у школьников системы базовых математических знаний, умений и навыков, ведущей формой учебной деятельности в процессе изучения математики, средством их математического развития.
Уровень подготовленности учащихся к следующей за обучением практической деятельности в любой сфере производства, культуры, в чем-то зависит от продуктивности использования задач в обучении математике.
Действительно, в современном мире все в большей степени необходимы не только базовые общие и специальные знания, но и способность трудится оригинально и творчески, проявлять деловую инициативу, способность к постоянному самообучению и самообразованию. Все перечисленные качества человека характеризуют эффективность его приспособления к разнообразию и изменчивости современного производства. Решая математические текстовые задачи, представленные в обдуманной математической системе, школьники не только динамично овладевают содержанием курса математики, но и обретают умения мыслить не стандартно. Все это проявляется в умении трансформировать задачную ситуацию с целью создать условия использования того или иного метода, приема; в умении создавать новые приемы для решения задач; в умении выделять и накапливать вероятно полезную информацию; в умении конструировать и моделировать потенциально важную информацию; в умении создавать на базе данной задачи новые; в умении осуществлять самоконтроль, исследовать результаты решения.
Без решения задачи очень трудно овладеть теорией, так как конкретно в процессе решения задач взаимосвязи базовых математических понятий и свойств между собой и окружающим миром становятся понятнее и очевиднее.
Как показывает практика и анализ математической подготовки учащихся, текстовые задачи вызывают затруднения. Поэтому рационализация умений решать текстовые алгебраические задачи — актуальная проблема методики преподавания математики.
Цель исследования:
- разработать приемы, способствующие совершенствованию умения решать текстовые задачи.
Для достижения цели было необходимо:
-проанализировать литературу по теме исследования;
-выявить затруднения, которые испытывают учащиеся в ходе решения текстовых задач;
- проанализировать методы обучения решению текстовых задач;
- разработать методические приемы, способствующие совершенствованию умения учащихся решать текстовые математические задачи.
Объект исследования: процесс обучения алгебре в 7-9 классах основной школы.
Предмет исследования: процесс обучения решению текстовых задач в курсе алгебры основной школы.
Гипотеза: мы исходили из предложения, что целенаправленная работа не над всей задачей, а над отдельными компонентами, входящими в структуру ее решения, будет способствовать совершенствованию умения учащихся решать текстовые задачи.
Работа состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы. В первой главе изложены теоретические основы решения текстовых задач: понятие «текстовая задача» рассмотрена роль таких задач в обучении математике, их топология, приемы решения и моделирование в процессе решения текстовых задач.
Во второй главе рассмотрены методические особенности формирования умения решать текстовые задачи: подготовленная работа, этапы решения текстовых задач и методические особенности обучения решению текстовых задач по учебникам «Алгебра», 7-9 класс под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского, М.С. Якира.
МЕТОДИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ФОРМИРОВАНИЯ УМЕНИЯ РЕШАТЬ ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ
§1 Пропедевтика обучения решению текстовых задач
Решение задач важный этап в обучении математике школьников, поэтому работать по этому вопросу учитель начинает еще с начальной школы, помогая понять простые виды задач и уметь их классифицировать в зависимости от их сюжетных линий. Чтобы понять суть методов решения различных задач, методически важно начать с приемов помогающих успешному прочтению текста задачи. Затем основываясь на понимании смысла условия помочь учащимся классифицировать задачи, после чего определить вид вспомогательных моделей, которые будут использоваться в той или иной задаче. Далее учитель помогает найти взаимосвязи между условием и требованием задачи, переводя тест задачи на математический язык. Рассмотрим этапы работы над обучением решению таких задач подробнее [1].
Первый этап пропедевтики.
Первый этап очень важен, так как фундаментально готовит детей к пониманию и осмыслению задачи. Выделяют несколько моментов входящих в первый этап. Это понимание текста задачи, способность увидеть условие и вопросы задачи (требования), овладение способами сжатой записи текста задачи и создания вспомогательной модели в виде рисунка (чертежа).
Умения считаются сформированными, если самостоятельно прочитав задачу, возможно сделать краткую запись или построить чертеж. Ежедневная систематическая работа в данном направлении влечет за собой стойкий навык в этом направлении.
Второй этап пропедевтики
Чтобы достичь словесного выражения смены величин необходимо, выполнять соответствующие упражнения. К таким упражнениям можно обращаться на каждом уроке в рамках изучаемой темы или в разделе повторения.
Рассмотрим несколько примеров, в которых требуется задать вопросы после прочтения текста задачи.
Задача 1. Рассмотрим задачу из сборника Шевкина А.: «В бочке было 40 ведер воды. Когда из нее отлили несколько ведер, то воды осталось в 7 раз больше, чем отлили. Сколько ведер отлили?» [19]
Задания:
Определим те величины, которые связаны отношениями:
- количество воды в ведре в 7 раз больше осталось, чем отлили;
- отлили в 7 раз меньше, чем осталось.
2) Как понять составленные выражения: 40-x=7x? 7х?
Задача 2. Рассмотрим задачу из учебника по математике для 7 класса авторов Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С.: «Найдите три последовательных натуральных числа, если удвоенный квадрат большего из них на 79 больше суммы двух других» [12].
Подготовиться к осмысленному решению задач методом составления уравнений позволит прочно усвоить методы решения «чисто арифметических» задач [19]. Тем самым, этот вид задач можно рассмотреть в связи прикладной направленностью курса школьной математики.
§2 Этапы решения задачи и приемы их выполнения
Выбирая тот или иной метод решения задачи, необходимо рассматривать этапы работы над задачей. Рассмотрим основные этапы работы над задачей:
анализ содержания задачи;
составления плана решения задачи;
решение задачи, выполнение плана;
проверка полученного решения задачи.
Арифметический метод.
Задача 3. Ученики приобрели одинаковые тетради. Один приобрел 5 штук, второй 3 штуки, третий – 4. Вместе они заплатили 13 р. 56 к. Сколько заплатил каждый ученик?
Решение.
Анализ задачи.
Задача повествует об учениках, купивших тетради. Один купил 5 штук, другой – 3 штуки, а третий – 4. Сказано, что общая стоимость тетрадей 13 р. 56 к. необходимо узнать, сколько потратили ученики по отдельности. Сделаем краткую запись задачи.
1 -й ученик – 5 т., ? р.
2-й ученик – 3 т., ? р. 13р. 56 к.
3-й ученик – 4 т, ? р.
Поиск пути решения задачи и составление алана ее решения.
Сначала надо узнать, сколько стоит одна тетрадь и за сколько заплатит каждый ученик в отдельности, что поможет дать ответ на вопрос задачи. По условию известно количество тетрадей, приобретенных учениками по отдельности. Так же в условии сказано общая стоимость тетрадей, купленных всеми учениками и зная их количество можно узнать, сколько стоит одна тетрадь. Общее количество тетрадей найдем, зная из условия количество тетрадей, купленных каждым учеником.
Составим план для решения данной задачи:
Какое количество тетрадей купили всего?
Какова стоимость одной тетради?
Сумма, заплаченная первым учеником?
Сумма, заплаченная вторым учеником?
Сумма, заплаченная третьим учеником?
Решение задачи по намеченному плану:
5т.+3т.+4т.=12т.;
13 р. 56 к. : 12 = 1 р.13к.;
1р.13 к.*5=5р.65к.;
1р.13к. * 3= 3р.39к.;
1р.13к.*4=4 р.52 к.
Проверка решения задачи.
Суммируем полученные данные и получим: 5р.65к. +3р.39к. +4р.52к. = 13р.56к. Расхождения с условием задачи нет. Следовательно задача имеет верное решение.
Ответ: первый ученик заплатил 5р.65к., второй – 3р.39к., третий – 4 р.52к.
Алгебраический метод
Задача 4. Рассмотрим задачу из учебника по математике для 7 классов авторов Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С.: «За первый день Вася прочел 8/15 страниц книги, за второй 5/12 страниц этой книги, а за третий оставшиеся 12 страниц. Сколько страниц в книге?» [12]
Рассмотрим решение данной задачи:
Анализ задачи.
В задаче говорится о книге, которую прочитал Вася. Известно, что книгу он читал три дня, при чем, не известно, сколько страниц в первый и второй день было прочитано. Сказано, что в первый день он прочитал 8/15 страниц книги, во второй 5/12 страниц всей книги. В третий день было прочитано 12 страниц. Требование задачи заключается в том, чтобы узнать количество страниц в книге.
Составим краткую запись задачи:
1 день - ? стр., 8/15
2 день - ? стр., 5/12
3 день – 12 стр.
Всего - ? стр.
Составление плана решения задачи.
Возьмем за х количество страниц в книге, для удобства вычисления, так как эта задача на нахождение части от числа. Далее, зная тип задачи, будем оформлять поиск количества страниц за каждый день. Чтобы найти количество страниц в книге суммируем прочитанные страницы за каждый день.
Решения задачи на основе, составленного плана.
Пусть х – количество страниц в книге. Тогда в первый день Вася прочитал 8/15х, а во второй 5/12х. По условию известно, что в третий день прочитано оставшиеся 12 страниц. Составим и решим уравнение: х-(8/15х+5/12х)=12;
х-(32/60х+25/60х)=12;
х-57/60х=12;
1/20х=12;
х=240. Значит в книге 240 страниц.
Проверка решения задачи.
Проверим полученный результат. Вычислим количество страниц прочитанных в первый день: 8/15х=8/15*240=128 стр. Вычислим количество страниц, прочитанных во второй день: 5/12х=5/12*240=100 стр. Проверим суммарное количество страниц за три дня: 128+100+12=240. Следовательно, задача решена, верно.
Чтобы процесс задачи был целенаправленным и осознанным при решении каждой задачи в обязательном порядке необходимо отражать все этапы, которые при знании приемов решения помогают в успешном решении [18].
2.1. Анализ содержания задачи
Прочитав задачу, осмыслив ее текст, происходит понимание сюжетных линий задачи. При этом полное осознание отдельных объектов задачи, не обязательно наступает сразу. Главным в этом приеме является выявление количественных и качественных характеристик, связывающих отдельные величины.[7].
Однако существует ряд приемов, необходимых для реализации данного этапа. Рассмотрим один из них.
Важным приемом этого этапа является анализ текста задачи, или рассмотрение ее вспомогательной модели. Существует два пути поиск решения задачи аналитический и синтетический, к первому относится поиск от вопроса задачи к данным, а ко второму от данных к вопросу [15].
План решения задачи замыкает поиск пути ее решения. Составить план решения, значит определить порядок, выполнения арифметических действий. Рассмотрим задачу, где поиск решения задачи осуществляется аналитическим путем.
Отметим, что при решении задач разными методами работа на этом этапе имеет свои специфические особенности [17].
2.3. Осуществление плана решения задачи
Суть данного этапа заключается в непосредственном решении задачи и нахождении ответа на поставленные вопросы. В записи решения и ответа в задаче важно опираться на общепринятые математические сокращения, в том числе систему Си и метрические меры. Необходимо помнить, что в этих сокращениях точка не ставится, а если рядом с математическими сокращениями нет чисел, то обозначение пишется полностью. Если в задании числовые значения заменены буквенными, то при работе с ними так же сокращения не используются. Остальные значения не имеют условных обозначений и записываются на усмотрение решающего задачу.
2.4. Проверка решения задачи
Понять, верно ли изучена задача, проверить, не противоречит ли ответ условиям данной задачи и есть назначение данного этапа. При этом надо помнить, что этот этап обязателен при решении текстовых задач. Так, логическое рассуждение, имеет смысл на этапе проверки решения, на других этапах оно не гарантируют верного решения.
Задача 5. Рассмотрим задачу, взятую из сборника задач Виноградовой Е.П.: «Проценты содержания спирта в трех растворах составляют геометрическую прогрессию. Если смешать первый, второй и третий растворы в весовом отношении 2:3:4, то получится раствор, содержащий 32% спирта. Если же смешать их в весовом отношении 3:2:1, то получится раствор, содержащий 22% спирта. Сколько процентов спирта содержит первый раствор?» [5]
Решение. Пусть в первом растворе содержание спирта х%, во втором – у% и в третьем - z% спирта. Это означает, что в 1 г первого раствора содержит г спирта, в 1 г второго раствора - г и в 1 г третьего раствора - г спирта. Если возьмем 2 г первого раствора, 3 г второго и 4 г третьего, то получим 9 г смеси, содержащей (2·+3·+4·) г спирта. По условию задачи полученная смесь содержит 32% спирта, т.е в 9 г. смеси содержит 9·(32/100) г спирта. Из этого условия получаем уравнение =.
Совершенно аналогично получаем еще одно уравнение: =.
Учитывая, что числа х, у, z составляют геометрическую прогрессию, составим третье уравнение у2=хz. Преобразовав первые два уравнения, получим систему уравнений:
2 х+3у+4z=288,
3х+2у+z=132;
y2=хz.
Выражаем у и z через х из первых двух уравнений: у=48-2х, z=36+х.
Подставляя эти выражения в третье уравнение системы, приходим у уравнению х2-76х-768=0, корни которого х1=64 и х2=12. Так как оба корня положительны, можно считать, что они удовлетворяют условию задачи, т.е. задача имеет два решения. Но значение х1=64 не удовлетворяет условию задачи, так как соответствующее значение у1=48-2х1 отрицательно. Таким образом, первый раствор содержит 12% спирта.
Ответ: первый раствор содержит 12% спирта.
Решая задачи, методически правильно, провести проверку, которая покажет, верно ли вы ее решили. Существуют различные приемы проверки: установление соответствия между числами, полученными в результате решения задачи и данными в условии задачи; составление и решение задачи, обратной данной; решение задачи различными способами; решение задачи различными методами; прикидка (грубая проверка).
Алгоритм решения текстовых задач
Изучая данную тему целесообразно повесить в классе алгоритм, помогающий в решении задач данного типа. При ознакомлении с алгоритмом ребята понимают, что он очень полезен при решении сложных задач и служит им помощником.
Алгоритм решения задач:
Обозначить неизвестную величину переменной (при решении задач с помощью системы уравнений вводят несколько переменных);
Выразить через нее другие величины;
Составить уравнение (или систему уравнений), показывающее зависимость неизвестной величины от других величин;
Решить уравнение (или систему уравнений);
Сделать проверку при необходимости;
Выбрать из решений уравнения (или системы уравнений) те, которые подходят по смыслу задачи;
Оформить ответ.
§3. Методические особенности обучения решению текстовых задач по учебникам «Алгебра» для 7-9 классов под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского, М.С. Якира
В школе, решая текстовые задачи, как правило, реализуются все выделенные этапы: анализ текста задачи, выбор варианта решения и проработка плана ее решения, проверка полученного ответа. Обучая решению текстовых задач, авторы учебников для 7-9 классов А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якира уделяют особое внимание каждому этапу решение задач.
Так, в учебнике 7 класс в теме «Текстовые задачи» обособляется в отдельный этап решения перевод словесной формулировки условия на математический язык [12].
Точные математические выражения и предложения, содержащие буквы, используются с целью решения текстовых задач. С их поддержкой требование задачи, записанное в обыкновенном стиле, переходит в общематематический стиль.
Присутствие в постановлении текстовых задач литеры, применяются с целью обозначения названия определенных чисел аналогичных этому, равно тому, как в геометрии буквы используют с целью обозначения точек.
Рассмотрим некоторые примеры перевода русского текста на математический язык.
Задача 6. Задача взята в сборнике задач Шевкина А.: «Когда Маша прочитала несколько страниц, то ей осталось прочитать на 40 страниц больше, чем она уже прочитала. Сколько страниц она прочитала сначала, если в книге 90 страниц?» [19]
Обозначим за х – количество страниц, которые уже прочитала Маша, тогда ей осталось прочитать (х+40) страниц, на 40 страниц больше. х+(х+40) – количество страниц в книге, которое по условию составляет 90 страниц. Составим уравнение: х+(х+40)=90.
Задача 7. Партию и 35 ящиков бананов нужно было развести по нескольким магазинам, заказавшим по одинаковому числу ящиков. Однако два магазина отказались от заказа, и поэтому каждый магазин получил на 2 ящика больше, чем предполагалось вначале. Сколько было магазинов [3]?
Обозначим искомое число буквой х. Тогда каждый магазин должен был получить 35/х ящиков, а поскольку число магазинов, получивших бананы, равно х-2, то фактически каждый из них получил 35/(х-2) ящиков. По условию, это число на 2 больше, чем 35/х, так что выполняется равенство
=
То есть по этому учебнику на первых порах учат составлять уравнения с одним или несколькими неизвестными, оперируя различными действиями. Чтобы анализировать взаимосвязь между объектом и составлять уравнения.
Упражнения так же направлены на составление уравнений, без их решения.
В предыдущем пункте мы переводили тексты задач на математический язык. Однако эти задачи не были решены – неизвестные числа мы не нашли. Здесь мы доведем решения задач до конца. При этом будут применяться разнообразные рассуждения, и прежде всего – основные свойства числовых равенств.
Например, если к двум равным числам прибавить третье число, то получатся равные числа, если первое равно второму, то и второе равно первому и т.п. Можно сказать иначе: если к обеим частям верного равенства прибавить одно и то же число, то получится также верное числовое равенство; если левую и правую часть верного равенства поменять местами, то получится также верное равенство [10].
Ясно, кроме того, что равенство не нарушается, если его левую и правую часть мы заменим на равное выражение.
Таким образом, решение текстовой задачи ограничивается составлением уравнения, которое рассматривается как математическая модель условия задачи. Представляется, что отделение этапа составления уравнения из всего процесса решения целесообразно с методической точки зрения. С одной стороны важно научить школьников составлению уравнений. С другой стороны, обособление такого этапа как средства формулирования умения решать текстовые задачи, упрощает работу, так как освобождает ученика от полного решения задачи [14]. В дальнейшем в учебнике 8-9 классов решение текстовых задач является как бы закреплением изучения различных видов уравнений.
То есть сначала изучается новая тема, например, «Квадратные уравнения», которая включает в себя: понятие квадратного уравнения, целые корни квадратных уравнений, теорему Виета, дробные корни квадратных уравнений, выделение полного квадрата, решение произвольных квадратных уравнений, примеры решения квадратных уравнений, частные случаи квадратных уравнений. И только после того, как они основательно изучили тему «Квадратные уравнения», решаются задачи приводящие к решению квадратных уравнений. Особое внимание при решении задач следует уделять самому переводу их текста на математический язык.
Таким образом, в учебнике А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского, М.С. Якира при изучении различных видов уравнений, сначала изучается новый вид уравнений, со всеми его особенностями, а долее решаются текстовые задачи на составление уравнений этого вида [14].
Большое разнообразие разно уровневых задач, вошедших в учебники, поможет заинтересовать учеников математикой, осуществить дифференциацию и индивидуальный подход. Сочетание традиционных и современных методов обучения, логичность и доступность подачи материала дают возможность достичь высокого уровня математической подготовки.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Приведем основные результаты проделанной работы.
Анализ алгебраической подготовки школьников позволяет выявить необходимость совершенствования умения решать текстовые задачи.
В выпускной квалификационной работе рассматриваются теоретические основы решения текстовых задач: исследуется понятие текстовой задачи и их роль в обучении математике, представлены классификация задач, методы их решения, отдельное внимание уделено моделированию в процессе решения текстовых задач.
Методические особенности формирования умения решать текстовые задачи рассматриваются в процессе подготовительной работы и на отдельных этапах решения задачи, таких как анализ содержания, поиск пути решения и составления плана решения, реализация плана решения и проверка правильности решения.
Следует отметить, что в практике обучения решению текстовых задач алгебраическим методом сложилась традиция реализация всех этих этапов решения. Однако проведенное исследование показывает целесообразность изолированной работы над отдельными этапами решения. «Поэтапное» формирование умения решать текстовые задачи составляет методическую основу представленной работы.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Блажина Е.В. Текстовые задачи в школьном курсе математики / Е.В. Блажина // Открытый урок. Первое сентября [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://festival.1september.ru/articles/604951 (дата обращения 21.02.2017).
Буцко Е.В., Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7 класс. Методическое пособие.- М.: Вената – Граф, 2018.
Буцко Е.В., Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 8 класс. Методическое пособие.- М.: Вената – Граф, 2018.
Буцко Е.В., Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 9 класс. Методическое пособие.- М.: Вената – Граф, 2018.
Виноградова Е. П. Математика: текстовые задачи и методы их решения: учебно-методическое пособие / Е. П. Виноградова. – Орск : Издательство ОГТИ, 2008.
Информационный образовательный портал ЕГЭ и ГИА [Электронный ресурс]. – Электрон. дан. – URL: http://egeigia.ru (дата обращения: 21.12.2016).
Мерзляк А.Г, Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7-й класс.- М.: Вената – Граф, 2018.
Мерзляк А.Г, Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 8-й класс.- М.: Вената – Граф, 2018.
Мерзляк А.Г, Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 9-й класс.- М.: Вената – Граф, 2018.
Овечкина А.В. Обучение учащихся решению задач реальной математики в средней школе / А.В. Овечкина //Информационно-коммуникационные технологии в педагогическом образовании. КГПА, 2017.- №4.
Попов Н.И. Использование специальной методики при обучении решению математических задач / Н.И. Попов, А.Н. Марасанов // Вестник МГОУ. Серия: Педагогика. – 2014. – № 1. – С. 86 89.
Шевкин А.В. Текстовые задачи по математике: 511 / А.В. Шевкин – М. : ИЛЕКСА, 2018.
Шевкин, А.В. Роль текстовых задач в школьном курсе математики / А.В. Шевкин // Математика. 2005. - № 17.