Применение фракталов

VIII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке

Применение фракталов

Фарафонтова С.М. 1
1МАОУ СОШ № 73 г. Челябинска
Потеева Е.В. 1
1МАОУ СОШ № 73 г. Челябинска
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Введение

В прошлом веке наука начала стремительно развиваться, огромное количество разнообразных явлений природы были описаны с помощью математики, законов физики. На основе простых геометрических фигур - прямых, окружностей, многоугольников, многогранников, сфер строились геометрические модели разных природных конструкций. Но для описания характеристики сложных объектов, таких как разряд молнии в воздухе, пористые материалы, форма облаков, снежинки, пламя костра, контуры дерева, кровеносно-сосудистая система человека, поток скоростей в турбулентном потоке жидкости, очертание береговых линий материков данные геометрические фигуры не применимы. Нужны были новые геометрические понятия. Одним из таких понятий, изменившим традиционные представления о геометрии, явилось понятие фрактала.

Тема моей исследовательской работы называется «Применение фракталов». Фракталы завораживают своей красотой, многообразием, удивительными рисунками. Невозможно провести четкие грани при изучении этой темы между математикой, физикой, информатикой. Актуальность ее изучения очевидна. Целью моей работы является изучение применения фракталов. Для этого я должна решить следующие задачи:

провести анализ литературных источников, интернет источников;

дать определение основным понятиям, описать свойства фракталов;

познакомиться с историей возникновения фракталов;

изучить типы (модели) фракталов, их особенности;

определить сферы применения фракталов;

выполнить практическую часть работы .

Объектом исследования является применение фракталов, предмет исследования – фрактальная геометрия. Гипотеза исследования состоит в следующем: фракталы имеют широкое применение в разных сферах жизни.

Методы исследования: анализ, синтез, поиск, моделирование.

Основная часть

1. Основные сведения о фрактальной геометрии

1.1 Определение основных понятий, свойства фракталов

Фрактал (лат. fractus —дроблёный, сломанный, разбитый) - множество, обладающее свойством самоподобия (объект, в точности или приближённо совпадающий с частью себя самого, то есть целое имеет ту же форму, что и одна или более частей). Урбен Леверье определял фрактал, как «геометрическую фигуру, в которой один и тот же фрагмент повторяется при каждом уменьшении масштаба».

Среди свойств фракталов выделяют следующие: 1) фрактальное множество имеет тонкую структуру (содержит произвольно малые масштабы); 2) увеличение масштаба фрактала не ведёт к упрощению структуры; фрактал имеет некоторую форму самоподобия; 3) фрактальная размерность его больше чем топологическая размерность.

В обычной геометрии линия имеет одно измерение, поверхность — два измерения, а пространственная фигура трехмерна. Фракталы же — это не линии и не поверхности, с ростом размеров возрастает и объем фрактала, но его размерность — величина дробная, а потому граница фрактальной фигуры не линия: при большом увеличении становится видно, что она размыта и состоит из спиралей и завитков, повторяющих в малом масштабе саму фигуру. Такая геометрическая регулярность называется самоподобием. Она и определяет дробную размерность фрактальных фигур. Топологическая размерность - это геометрическая размерность, принимающая только целые значения.

1.2 История возникновения фрактальной геометрии

Рис. 1 Пыль Кантора

Предвестниками фрактальной геометрии были фигуры, созданные еще в 19 веке. Г. Кантор брал линию и удалял центральную треть и после этого повторял то же самое с оставшимися отрезками - «Пыль Кантора». (Рис. 1)

Рис. 2 Кривая Пеано

Д. Пеано нарисовал особый вид линии. Он брал прямую и заменял ее на 9 отрезков длиной в 3 раза меньшей, чем длина исходной линии. Далее он делал то же самое с каждым отрезком получившейся линии. Эта фигура заполняла всю плоскость. (Рис. 2).

Рис. 3 Бенуа Мандельброт

Фрактальная геометрия возникла в 1975 году благодаря книге Бенуа Мандельброта «Фрактальная геометрия природы». (Рис. 3) По его словам, «новая геометрия способна описать многие из неправильных и фрагментированных форм в окружающем нас мире и породить вполне законченные теории, определив семейство фигур - фракталов».

История фрактальной геометрии связана с такими именами как Вейерштрасс, Безикович, Кох, Серпинский, Жулиа, Фату. Понятие фрактальной (дробной) размерности появилось в 1919 году в работе Ф.Хаусдорфа.

2. Классификация фракталов

Фракталы разделяют на три большие группы: геометрические, алгебраические, стохастические. (Рис. 4)

Рис. 4 Классификация фракталов

2.1 Геометрические фракталы

Построение геометрических фракталов происходит в несколько этапов: строится основа, которая делится на части, некоторые из них заменяются на фрагмент основы в масштабе. Процесс повторяется многократно. Рассмотрим наиболее известные геометрические фракталы (Приложение I):

1) Снежинка Коха. Отрезок делится на три равные части, центральная достраивается до правильного треугольника и затем выкидывается. Получается ломаная линия из четырех отрезков. К каждому из них применяется такая же операция, и так далее до бесконечности. Мандельброт исследовал вопрос об измерении длины береговой линии Великобритании. В качестве модели он использовал фрактал, напоминающий границу снежинки, и убедился, что она имеет бесконечную длину.

2) Дракон Хартера (Кривая дракона). Отрезок повернем на 90 вокруг одной из вершин, добавим полученный отрезок к исходному. Повторим процедуру.

3) Треугольник Серпинского. В равностороннем треугольнике провести средние линии, выкинуть центральный из четырех полученных маленьких треугольников. Дальше эти же действия нужно повторить.

4) Кривая Пеано. Квадрат разбивают на четыре равных квадрата и соединяют их центры тремя отрезками. Убирают внутренние стороны квадратов и из четырех их копий составляют фигуру.

5) Ковер Серпинского. Берется квадрат, разбивается на девять равных квадратов, средний из которых выбрасывается, а с остальными повторяется та же операция до бесконечности.

6)Кривая Леви. Получается, если взять половину квадрата, а затем каждую сторону заменить таким же фрагментом.

7)Кривая Минковского. В основе - отрезок, а генератором являетсяломанаяиз восьми звеньев, два равных звена продолжают друг друга.

2.2 Алгебраические фракталы

Это самая крупная группа фракталов. Они строятся на основе алгебраических формул. Как правило, создание алгебраических фракталов происходит с помощью компьютерных технологий. К данной группе можно отнести: фрактал Мандельброта, фрактал Ньютона, множество Жюлиа и другие (Приложение II). Алгебраические фракталы напоминают изображения животных, растений и других биологических объектов.

2.3 Стохастические фракталы

Они образуются путем многократных повторений случайных изменений каких-либо параметров. В результате получаются объекты очень похожие на природные фракталы — несимметричные деревья, изрезанные лагунами береговые линии островов и многое другое. Двумерные стохастические фракталы используются преимущественно при моделировании рельефа местности и поверхности моря. Плазма – это типичный представитель этой группы фракталов. (Приложение III)

3. Применение фракталов

Мандельброт использовал «пыль Кантора» для моделирования стационарного шума в телефонии. Нередко то, что мы наблюдаем в природе, интригует нас бесконечным повторением одного и то же узора, увеличенного или уменьшенного во сколько угодно раз. Например, у дерева есть ветви. На этих ветвях есть ветки поменьше. «Разветвление» повторяется бесконечно много раз, становясь все меньше и меньше. То же самое можно заметить, разглядывая фотографию горного рельефа. Так проявляется характерное для фракталов свойство самоподобия. (Приложение IV)

Структуры, похожие на фракталы, можно обнаружить в окружающей нас природе: границы облаков, границы морских побережий, трещины в некоторых породах, зимние узоры на стекле. Возможность использования фракталов для моделирования облаков получила подтверждение в работе Лавджоя, который построил график зависимости фрактального периметра облаков и дождевых областей от их фрактальной же площади. Теории фракталов используется для изучения структуры Вселенной.

Фракталы применяются в физике твердого тела, исследовании турбулентных потоках в жидкостях, шаровых молний, космической пыли. . В качестве еще одного примера такого рода можно привести знаменитое Красное пятно в атмосфере Юпитера. Гольфстрим не является единым морским течением с четкой границей — он делится на множество извилистых ответвлений, причем эти ветви, в свою очередь, также делятся и ветвятся. (Приложение IV)

Различные древовидные фракталы применялись не только для моделирования деревьев растений, но и бронхиального дерева (воздухоносные ветви в легких), работы почек, кровеносной системы. Система кровообращения состоит из множества капилляров и сосудов. Строение легких и почек напоминает по структуре деревья с ветвистой кроной. Фракталы — подходящее средство для исследования работы систем организма, таких как сердце и головной мозг, наблюдаемые на электрокардиограмме и энцефалограмме. (Приложение V)

Объем головного мозга млекопитающих колеблется от 0,3 до 3000 мл, причем у мелких животных его кора выглядит относительно или совершенно гладкой, тогда как у крупных животных она покрыта видимыми складками, независимо от положения животного на эволюционной лестнице. Зоологи утверждают, что отношение количества белого вещества к количеству серого вещества приблизительно одинаково у всех млекопитающих. Количественная характеристика такой складчатости не под силу стандартной геометрии, но прекрасно вписывается в рамки геометрии фрактальной. 

Главное применение фракталов – современная компьютерная графика. Фракталы находят применение в компьютерном дизайне, в алгоритмах сжатия информации. Реальный мир хорошо описывается фрактальной геометрией. В сфере телекоммуникации используются антенны, имеющие фрактальные формы для передачи данных на расстояние. Фракталы используются при анализе колебаний курса валют в экономике.

Фракталы помогают художникам передавать их мысли, чувства, настроения, воплощая их невероятные фантазии. (Приложение V)

4. Практическая часть

В ходе исследования данной темы я расширила свои знания в области математики, увидела красоту фрактальной геометрии, и мне захотелось провести свой эксперимент по созданию фракталов. В этом мне помогли краски и бумага. (Рис. 5)

Рис. 5 Фракталы Фарафонтовой Светланы

С помощью фотокамеры смартфона и двух зеркал, находящихся напротив друг друга, мне удалось получить еще фрактал с моим изображением. (Рис. 6)

Рис. 6 Фрактал, смоделированный при помощи зеркал и смартфона

Также я провела практическую работу совместно с тремя шестыми классами, в которой приняли участие 67 человек. После изучения теории фракталов, я предложила ребятам создать с помощью фломастеров, восковых мелков собственные фракталы. Наиболее интересные рисунки фракталов сверстников находятся в Приложении VI.

В результате проведенной практической работы выяснилось, что слово «фрактал» учащиеся не слышали, никогда не задумывались о природе фракталов, прослушав определения и свойства фракталов, лишь малая часть учеников (16 человек, что составляет 24% всех участвующих) смогла изобразить фрактальные рисунки, соответствующие свойствам фракталов.

Я думаю, что любой человек никогда не задумывался, да и вряд ли слышал о понятии фракталов. Но, погрузившись в исследование данной темы, я осознала, что не только расширила свои знания о необычном понятии фрактала, его повсеместном присутствии, но и получила хорошую обратную связь от моих сверстников, побудив интерес к ее изучению.

Заключение

Идеи фрактальной геометрии помогают ученым исследовать многие загадочные явления окружающей природы. Фракталы стремительно вторгаются во многие области физики, биологии, медицины, экономики, географии. Моделирование сложных физических процессов позволяет глубже их изучать. Методы обработки изображений и распознавания образов, использующие новые понятия, дают возможность исследователям применить этот математический аппарат для количественного описания огромного количества природных объектов и структур.

Многие крупные достижения науки о фракталах стали возможны только с использованием методов вычислительной математики, которая немыслима без применения современных компьютеров. Компьютерная графика воссоздает на экране монитора бесконечное разнообразие фрактальных форм, пейзажей, ландшафтов, облаков.

В процессе написания работы я изучила интересную литературу по данной теме, просмотрела много сайтов, огромное количество фрактальных изображений. Действительно, красота и их многообразие поражает и притягивает своей загадочностью, необычностью форм и красок.

В работе рассмотрены основные понятия, история фрактальной геометрии, виды фракталов, их многогранное применение в разных сферах жизни. Изучив литературные источники по данной теме, я убедилась, что, действительно, фракталы описывают реальный мир иногда даже лучше, чем физика или математика, они неисчерпаемы, удивительны.

Итогом исследовательской работы стало создание собственных фракталов не только на бумаге, но и с помощью технических средств, учитывая их свойства. Я считаю, что цель моей работы достигнута, задачи выполнены, а гипотеза подтверждена.

Список  литературы:

1. Азевич А.И. В мир информатики. Симфония фракталов [Электронный ресурс] / А.И. Азевич // Информатика. – 2002. - № 24. Режим доступа: http://is.ifmo.ru. (дата обращения: 10.12.2019).

2. Божокин С.В. Фракталы и мультифракталы: учеб. пособие / С.В. Божокин, Д.А.Паршин. – Ижевск: НИЦ Регулярная и хаотическая динамика, 2001. – 128с.

3. Кроновер P. M. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории. / Р.М. Кроновер. – М.: Постмаркет, 2000. — 352 с.

4. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы / Б. Мандельброт. –М.: Институт компьютерных исследований, 2002. – 656 с.

5. Морозов А. Д. Введение в теорию фракталов : учеб. пособие / А.Д. Морозов. –Н. Новгород: Изд-во Нижегор. ун-та, 1999. – 139 с.

6. Фрактал / Википедиа: [сайт]. - Режим доступа: https://ru.wikipedia.org/ (дата обращения: 12.12.2019).

   
   
   
   
   
   
   

Приложение I Геометрические фракталы

 

Рис. 1 Снежинка Коха

 

Рис. 2 Дракон Хартера (Кривая дракона)

Рис. 3 Треугольник Серпинского

 

Рис. 4 Кривая Пеано

 

Рис. 5 Ковер Серпинского

Рис. 6 Кривая Леви

 

Рис. 7 Кривая Минковского

 

Приложение II Алгебраические фракталы

Рис. 1 Фрактал Мандельброта

 

Рис. 2 Фрактал Ньютона

 

Рис. 3 Множество Жюлиа

Приложение III Стохастические фракталы

Рис. 1 Плазма

Приложение IV Применение фракталов в природе, в физических явлениях

Рис. 1 «Разветвление» деревьев, горный рельеф, берега рек и морей.

Рис. 2 Фракталы в растительном и животном мире - подсолнух, хвост павлина, капуста Романеско, папоротник

Рис. 3 Турбулентные потоки жидкостей, шаровая молния, космическая пыль, Красное пятно в атмосфере Юпитера

Приложение V Применение фракталов в других сферах

Рис. 1 Фракталы в строении человека, медицине - строение бронхиального дерева, кровеносной системы, внутренних органов человека

Рис. 2. Современная компьютерная графика, сжатие информации

Рис. 3 Фракталы в экономике – колебание курсов валют

Рис. 4 Фракталы в искусстве

Приложение VI Фрактальные рисунки шестиклассников

Рис 1. Чуманина Евгения 6Б

Рис. 2 Нагибина Екатерина 6Д

Рис. 3 Власова Александра 6Б

Рис. 4 Кокшарова Ева 6Б

Рис. 5 Девятова Софья 6Б

Рис. 6 Воронина Василиса 6Б

Просмотров работы: 72