VIII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Способы вычисления площадей фигур на квадратной решетке
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
На уроке математики при решении задачи на нахождение площади пятиугольника меня заинтересовал вопрос: а как можно вычислить площадь различных фигур на квадратной решетке? И я решил изучить эту проблему.
Работа посвящена изучению различных способов решения задач на нахождение площадей фигур, более подробно представлены задачи на нахождение площади фигур на квадратной решетке.
Чтобы вычислить площадь изображённой фигуры, необходимо сделать дополнительные построения: разбить данную фигуру на несколько треугольников, прямоугольников. Возникли вопросы: в чём заключается особенность таких задач, существуют ли специальные методы и приёмы решения задач на вычисление площади фигур, изображённых на квадратной решетке. Для этого были изучены: дополнительная литература, Интернет-ресурсы по данной теме. На одном из сайтов я нашел формулу Пика. Это метод меня заинтересовал, и я его изучил и решил задания, используя данную формулу. Задачи решались очень быстро и легко.
В связи с этим возникла гипотеза:равна ли площадь фигуры, вычисленная по формуле Пика площади фигуры, вычисленной при разбивании фигуры на части. Я решил проверить, каким способом решаются задачи быстрее, легче.
Проблема: Существует ли самый результативный способ нахождения площади фигуры на квадратной решетке?
Цель работы: Изучение способов решения задач на квадратной решетке и выбор самого лучшего.
Задачи:
изучить литературу по теме исследования;
выбрать и изучить способы нахождения площадей фигур на квадратной решетке; подобрать задачи;
провести эксперимент, решив различные задачи
сделать выводы.
Объект исследования: фигуры на квадратной решетке.
Предмет исследования: задачи на вычисление площади многоугольника на квадратной решетке.
Методы исследования:
теоретический: изучение литературы;
эмпирический: эксперимент, анализ, сравнение;
математический: вычисления.
Актуальность темы продиктована желанием показать разнообразие способов решения одной задачи и выбора наиболее легкого и малозатратного по времени. А узнав, что такие задания встречаются на ОГЭ , я решил исследовать задачи на квадратной решетке, потому что это мне пригодится в будущем.
Основная часть
Формула Пика
Линии, идущие по сторонам клеток, образуют сетку, а вершины клеток – узлы этой сетки.
Нарисуем на листе многоугольник с вершинами в узлах и найдем его площадь. Оказывается площади многоугольников, вершины которых расположены в узлах сетки, можно вычислять гораздо проще: есть формула, связывающая их площадь с количеством узлов, лежащих внутри и на границе многоугольника.
П усть АВСD – прямоугольник с вершинами в узлах и сторонами, идущими по линиям сетки (рис.2). Обозначим через В количество узлов, лежащих внутри прямоугольника, а через Г – количество узлов на его границе. Сместим сетку на полклетки вправо и полклетки вниз. Тогда территорию прямоугольника можно «распределить» между узлами следующим образом: каждый из В узлов «контролирует» целую клетку смещённой сетки, а каждый из Г узлов – 4 граничных не угловых узла – половину клетки, а каждая из угловых точек – четверть клетки. Поэтому площадь прямоугольника
S = В + + 4 · = В + – 1.
Итак, для прямоугольников с вершинами в узлах и сторонами, идущими по линиям сетки, мы установили формулу S = В + – 1, где Г – число узлов решетки на границе многоугольника, В – число узлов решетки внутри многоугольника.
Оказывается, эта формула верна не только для прямоугольников, но и для произвольных многоугольников с вершинами в узлах сетки! Это и есть формула Пика.
Автор этой формулы австрийский математик Георг Пик (Приложение 1).
Рассмотрим применение формулы Пика на примерах.
Второй этап нашей работы: вычисление площадей многоугольников. Рассмотрим несколько примеров. Найдем площади многоугольников по формуле Пика и применяя способы достроения или разбиения на части.
Экспериментальная работа
2.2.1 Нахождение площади многоугольников по формуле Пика
Решим несколько задач на нахождение площади многоугольника, изображенного на квадратной решетке, используя свойства геометрических фигур и формулу Пика.
Все задачи взяты с портала «Решу ЕГЭ».
Вычислим площади фигур по формуле Пика.
Задача 1. На клетчатой бумаге с размером клетки 1см × 1см изображен четырехугольник. Найдите его площадь. Ответ дайте в см2.
В=7, Г=8,S=7+8/2-1=10 см2.
Задача 2. Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
В=10, Г=4, S=10+6/2-1=12 см2 .
Ряд задач можно решить, разбив фигуру на части, вычисление площадей которых не представляет труда. Иногда фигура сама является частью другой фигуры, а площадь последней можно найти почти сразу.
З адача 3. Найдите площадь квадрата, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см х 1 см (см. рис.). Ответ дайте в см2. Опишем около фигуры АВСD прямоугольник. И
4
з площади прямоугольника (в данном случае это квадрат) вычтем площади полученных треугольников :S
3
= Sкв – S1 – S2 – S3 – S4 = 16-1,5-1,5-1,5-1,5=10 см2
Методом Пика: В= 9, Г=4, S =9+4/2-1=10 см2.
Рассмотрим несколько задач, найденных на портале «Решу ЕГЭ». Это задачи ЕГЭ.
1. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см х 1 см (см. рис.). Ответ дайте в см2.
Решение: В=5, Г=4, S=5+4/2-1=6.
2. Найдите площадь ромба, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см х 1 см (см. рис.). Ответ дайте в см2.
Решение: В= 2, Г= 4, S=2+4/2-1=3.
3. Найдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см х 1 см (см. рис.). Ответ дайте в см2.
Решение: В= 0, Г= 6, S=6/2-1=2.
4. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см х 1 см (см. рис.). Ответ дайте в см2.
Решение: В= 1, Г= 5, S=1+5/2-1=2,5.
5. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в см2.
Решение: В=3, Г= 6, S=3+6/2-1=5.
6. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см х 1 см (см. рис.). Ответ дайте в см2.
Решение: В= 2, Г= 4, S=2+4/2-1=3.
7.Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см х 1 см (см. рис.). Ответ дайте в см2.
Решение: В=0, Г=4, S= 0+4/2-1=1.
Вывод:Вычисление площади многоугольников по формуле Пика мне показалось менее затратным по времени.
2. 2.2 Задачи с практическим содержанием
Поможет нам формула Пика и для решения геометрических задач с практическим содержанием, когда объект изображен на клетчатой бумаге в масштабе.
Задача 1. Найдите площадь заповедного парка (в км²), изображенного на плане с квадратной сеткой 1 см х 1 см в масштабе 1 см – 1,5 км. (см. рис.). Найдём S площадь четырёхугольника, изображённого на клетчатой бумаге по формуле Пика: S = В + – 1
В =3, Г = 6.
S = 3 + 6/2 – 1 = 5 см²
Т.к. 1 см² - 1,5² м², то S парка = 2,25 · 5 = 11,25 км² .
Задача 2. Найдите площадь поля (в м²), изображённого на плане с квадратной сеткой 1 × 1см в масштабе 1 см – 100 м.
Найдём S площадь четырёхугольника, изображённого на клетчатой бумаге по формуле Пика: S = В + – 1. В = 11, Г = 4.
S = 11 + 4/2 – 1 = 12 см², т.к. 1 см² - 100² м², то
Sполя = 10000 · 12 = 120 000 м².
Результаты работы над проектом:
в процессе работы над проектом была изучена справочная, научно-популярная литература по теме исследования;
изучил формулу Пика, научился находить площади фигур, изображенных на квадратной решетке;
расширил свои знания о решении задач на квадратной решетке, убедился в их многообразии.
Заключение
Вывод: Существует достаточное количество способов нахождения площадей фигур на клетчатой бумаге. Задачи, поставленные в самом начале работы, выполнил. Все способы нахождения площадей фигур на клетчатой бумаге хороши, но самым результативным оказался способ решения по формуле Пика. Она проста в запоминании и удобна в применении. С ее помощью можно вычислить площадь любого многоугольника, даже не очень удобной формы.
Наша гипотеза подтвердилась. Способы вычисления площадей многоугольников, в том числе с помощью формулы Пика, позволяют успешно освоить геометрию. А тем выпускникам, которые недостаточно знают формулы площадей фигур или имеют проблемы с геометрией, эта работа – неоспоримая помощь в подготовке к выполнению таких заданий.
Список использованной литературы
Википедия. Формула Пика. – [Электронный ресурс] – URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D4%EE%F0%EC%F3%EB%E0_%CF%E8%EA%E0
Википедия. Пик. Георг. – [Электронный ресурс] – URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%B8%D0%BA,_%D0%93%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B3
Жарковская Н. М., Рисс Е. А. Геометрия клетчатой бумаги. Формула Пика, журнал « Математика», 2009, № 17, с. 24-25.
Портал «Решу ЕГЭ» https://ege.sdamgia.ru/test?theme=190.
Приложение 1
Г еорг Алекса́ндр Пик (нем. Georg Alexander Pick; 10 августа 1859 г. – 13 июля 1942 г.) – австрийский математик. Родился Георг Пик в еврейской семье. Мать его — Йозефа Шляйзингер ,отец — Адольф Йозеф Пик— возглавлял частный институт. До одиннадцати лет Георг получал образование дома (с ним занимался отец), затем он пошел в четвертый класс гимназии. В 1875 г. он сдал выпускные экзамены и мог поступать в университет.
Пик поступил в университет в Вене в 1875 году. Уже в следующем году он опубликовал свою первую работу по математике, ему было всего лишь семнадцать лет. Он изучал математику и физику, окончил в 1879 г. университет, получив возможность преподавать оба эти предмета. Пик защитил докторскую диссертацию “О классе абелевых интегралов”.
После получения докторской степени Пик был назначен помощником Эрнста Маха в пражском университете Карла-Фердинанда. Мах переехал из Граца, где он был профессором математики, в Прагу в 1867 году, чтобы занять там кафедру физики. Он, как и Пик, учился в университете в Вене и, к тому времени как Пик стал его помощником, считался одним из ведущих европейских ученых. За исключением академического 1884-85 года, который Пик провел в Лейпцигском университете, учась у Кляйна, он оставался в Праге до конца своей карьеры. В 1888 г. он был назначен экстраординарным профессором математики, затем — ординарным профессором (полным профессором) в 1892 году в немецком университете в Праге. Круг его математических интересов был чрезвычайно широк, и 67 его работ посвящены многим темам, таким как линейная алгебра, теория инвариантов, интегральное исчисление, теория потенциала, функциональный анализ и геометрия. Тем не менее более половины его работ связаны с функциями комплексного переменного, дифференциальными уравнениями и дифференциальной геометрией. Такие термины как матрица Пика, интерполяция Пика — Неванлинны, и лемма Шварца — Пика используются иногда и сегодня. Он больше всего известен, однако, своей теоремой Пика, которая появилась в его восьмистраничной работе 1899 года опубликованной в Праге.
Этот результат оставался незамеченным в течение некоторого времени после того, как Пик его опубликовал, однако в 1969 г. Штейнгауз включил его в свой знаменитый “Математический калейдоскоп”. С этого времени теорема Пика привлекла довольно большое внимание и начала вызывать восхищение своей простотой и элегантностью.
Приложение 2
Подборка задач с образовательного портала «Решу ЕГЭ»
Задачи ОГЭ ( 9 класс)
Задачи представлены под теми же номерами, что и на портале.
Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
5. Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
6. Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
7. Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
8. Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
14. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Найдите площадь ромба, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см х 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Найдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.