VIII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

Введение

В мире всё взаимосвязано. В математике все явления и зависимости описываются с помощью функций. Функция – одно из основных математических и общенаучных понятий, выражающее зависимость между переменными величинами. «Математическими портретами» закономерностей служит функция.

Мы также являемся функцией многих переменных, одна из которых время.
Проходят годы и мы меняемся. Мы также зависим от своей наследственности, от книг, которые мы читаем, от температуры окружающей нас среды и от многих других факторов. Однако при всей непохожести одного человека на другого у каждого есть руки и голова, уши и рот.

Точно так же облик каждой функции можно представить сложенным из набора характерных деталей. В них появляются основные свойства функций.

На уроках математики все знакомятся с различными функциями, их свойствами и графиками, но мало знают о том, где в реальной жизни можно встретиться с этой моделью, и как человек использует свойства функций в своей практической деятельности.

Актуальность:

Реальные процессы в жизни обычно связаны с большим количеством переменных и зависимостей между ними. Описать эти зависимости можно с помощью функций. Знание свойств функций позволяет понять суть происходящих процессов, предсказать ход их развития, управлять ими. Поэтому изучение функций является актуальным всегда.

Практическая значимость:

Рисование графиками линейных функций заставляет воочию увидеть неразрывную связь красоты и математики, непосредственно соприкоснуться с миром прекрасного. Вместо однообразных упражнений по изучаемой теме можно предложить ребятам творческий подход и тогда математика становится интересной, удивительной и красивой.

Относительная «новизна» заданий интригует, а положительные эмоции включают второе дыхание в получении знаний.  Такие нестандартные упражнения послужат достаточно хорошей школой для приобретения необходимых основ мышления, владея которыми можно решать любые задачи. Кроме того, чтобы облегчить дальнейшее изучение специальных функций в школе, нужно научиться свободно оперировать графиками элементарных функций.

Цель: построение рисунков якутских узоров и орнаментов с помощью графиков элементарных функций.

Задачи:

1. Узнать историю возникновения понятия «функция»;

2. Привести примеры функций в окружающем мире

3. Рассмотреть виды графиков функций и понятие «кусочные функции»

4. Рассмотреть возможные преобразования графиков функций

5. Изучить виды якутских орнаментов для использования их в построении рисунков

6. Рассмотреть отличие построения рисунков с использованием графиков функций от кусочных функций (алгоритм построения рисунков)

7. Преобразовать рисунки якутских орнаментов в формулы элементарных ограниченных функций

8. Применить алгоритм построения рисунков с использованием шаблонов графиков функций.

Объект исследования: элементарные функции и их графики.

Предмет исследования: построение рисунков якутских узоров с помощью графиков функций.

Гипотеза: графиками элементарных функций можно рисовать якутские узоры, в том числе даже целые орнаменты. Мы считаем, что эта работа может помочь заинтересовать учащихся, дать возможность «заглянуть внутрь» такого сложного математического понятия как «функция».

Графики функций и их значение в жизни человека

Функции стали неотъемлемой частью нашей жизни: ни одно явление, ни один процесс в окружающем мире не могут быть изучены без математического описания. Реальные процессы обычно связаны с большим количеством переменных и зависимостей между ними. Описать их можно с помощью функций и их свойств, позволяющий понять суть происходящих процессов, предсказать ход их развития, управлять ими.

Понятие «Функция» сыграла и поныне играет большую роль в познании реального мира.

1) Линeйная функция. От чего зависит стоимость телеграммы, отправленной по территории России? Стоимость одного слова равна 55 коп., а оформление телеграммы -7 рублей. Получилась такая формула: C=0,55*х +7 или же функция y=0,55*х +7.

2) Квадратичная функция. Квадратичная функция является наиболее хорошо изученной функцией, она довольно часто встречается на практике. Графиком квадратичной функции является парабола. Хорошо известно, что траектория камня, брошенного под углом к горизонту, летящего футбольного мяча, струи воды, выпущенной из шланга, артиллерийского снаряда, будет параболой.

3) Гипербола. Она обладает замечательными свойствами, которые позволяют считать её не только предметом изучения, но и средством познания мира, позволяющим сделать мир более совершенным. Гипербола в жизни встречается гораздо реже, чем парабола. Во время второй мировой войны использовались гиперболические навигационные системы.

Основные типы функций

Функцией называется правило f, по которому каждому элементу x множества X ставится в соответствие единственный  y множества Y.

Допустимые значения аргумента, или область определения функции D(y) - это то, что связано с возможными x, при которых функция имеет смысл.

Область значений функции E(y) - это то, какие значения принимает y, при допустимых значениях x.

Задать функцию означает установить правило (закон), с помощью которого по данным значениям независимой переменной следует находить соответствующие им значения функции.

Способы задания функций: табличный способ, графический способ, аналитический способ, словесный способ.

Среди всего многообразия функций исторически выделились функции, отличающиеся своей простотой и наиболее широкой областью применения. Это так называемые простейшие элементарные функции, основное значение которых состоит в том, что они составляют базу для изучения более сложных функций, являясь в большинстве своем составными элементами последних.

Простейшими элементарными функциями обычно называют: линейную (y=kx+b), квадратичную (y=ax²+bx+c), обратная пропорциональность ); степенную (y=xⁿ, где n целое число, не равно 1), показательную (y=a^x, где a больше 0 и не равно 1), логарифмическую (y=log_a x, где a больше 0 и не равно 1), тригонометрические (y=sin x, y=cos x, y=tg x, y=ctg x), обратные тригонометрические (y=arcsinx, y=arccosx, y=arctgx, y=arcctgx).

Преобразования графиков функций

График функции можно сжимать/растягивать, сдвигать вдоль осей, симметрично отображать. То есть делать геометрические преобразования, получая новые функции.

Зачем это нужно? Можно применить метод поточечного построения, однако знания геометрических преобразований позволят быстро понять, как расположен график, а в несложных случаях вроде   практически мгновенно его нарисовать! Навыки грамотно разбираться с чертежами потребуются в различных задачах высшей математики, например, при исследовании функции на непрерывность, нахождении площади фигуры, объема тела вращения, в ходе вычисления двойных интегралов и т.д.

Арсенал преобразований графиков разнообразен:

– сжатие графика функции к оси ординат ( );
– растяжение графика функции от оси ординат;
– симметричное отображение графика функции относительно оси ординат;
– сдвиг графика влево и вправо вдоль оси абсцисс ( );
– растяжение и сжатие графика вдоль оси ординат;
– симметричное отображение графика относительно оси абсцисс;
– сдвиг графика вверх и вниз вдоль оси ординат;

– графики функций с модулем.

1.5. Кусочные функции

На различных участках числовой прямой функция может быть задана разными формулами.

Такие функции назовем кусочными. Участки числовой прямой, которые различаются формулами задания, назовем составляющими области определения, а их объединение, очевидно, является областью определения кусочной функции. Точки, которые делят область определения на составляющие, назовем граничными точками. Выражения, определяющие кусочную функцию на каждой составляющей области определения, назовем входящими функциями.

Наличие таких свойств как четность, нечетность, периодичность нули функции, промежутки знакопостоянства, монотонность, точки экстремума, ограниченность у кусочных функций устанавливается согласно общепринятым определениям, с учетом особенностей составляющих области определения и входящих функций.

Кусочная функция будет непрерывной на некотором промежутке [a; b], если объединение задающих ее участков будет совпадать с этим промежутком и односторонние пределы в граничных точках будут равны.

Для того чтобы вычислить значение кусочной функции в заданной точке, необходимо, во-первых, определить, какой составляющей области определения принадлежит эта точка, а, во-вторых, найти значение входящей функции на этой составляющей.

Чтобы построить график кусочной функции, нужно:

Построить в одной системе координат графики входящих функций;

Провести прямые x=a₁, x=a₂, ..., x=a_n, где a_i - граничные точки;

На каждой составляющей области определения (a_i; a_i+1), где i=1..n выбрать тот график, который соответствует входящей функции на этой составляющей;

Выяснить значение функции в граничных точках.

1.6. Якутские узоры и орнаменты

Л ировидный орнамент

Лировидный мотив- король якутского орнамента. Самое прекрасное украшение орнаментального искусства древних якутов, имеющее глубочайшее символическое значение.

В своем чистом виде без разветвлений и корней - единоличный символ женского начала, по очертаниям напоминающий фигуру женщины в расцвете ее красоты и молодости.

Лировидный орнамент в основном предназначался женщинам детородного возраста, замужним женщинам, невестам.

Группа растительных узоров

Р астительные орнаменты универсальны: их могут носить и женщины, и мужчины в качестве пожелания удачи, семейного благополучия, многочисленного потомства.

Оберегают духовную опору, повышают настроение. Благопожелание женскому роду.

Основной декор нагрудного и наспинного женского украшения, символизирующий плодородие, достаток и согласие. Используется для украшения одежды, посуды и верховой упряжки

О рнамент в виде рогатого скота

Узор напоминает своими очертаниями лежащую скотину: голова, уши, зародыш в утробе. Символ плодородия рогатого скота, достатка, благополучия, богатства.

Узор получил развитие в изделиях из бересты, позже использовался на крышках коробок для рукоделия, неглубокой посуде, предметах обихода.

Л оманные линии (вид урасы)

Орнамент свидетельствует о происхождении из знатного рода.

Образ Среднего мира, цветущей земли, дарующей добро и благо людям.

В ломанных линиях есть влияние ободочного шва берестяной посуды. Это геометрический орнамент со своей длительной историей. Сохранился вследствие непрерывного развития и применяется сейчас в народном творчестве Сибири.

У зор «Муравьи»

Орнамент благословляет нас быть сильными, трудолюбивыми, плодовитыми, как муравей, символизирует трудолюбие, упорство, сплочение.

В основном использовался в XIX- начале XX веков при украшении домашней утвари и обстановки. Издревле являлся популярным декором одежды, верховой упряжи. В изделиях из дерева широко не применялся.

О рнамент «Круг»

Орнамент круг в качестве изображения солнца является самым почитаемым орнаментом народа саха, так как связан с его верованием и поклонением солнцу. Символ счастья, богатства, непоколебимого желания достижения цели и жизненной цели человека.

Сердцевидный узор

С имвол вдохновения и исполнения желаний, символ любви, семейного счастья, мирной спокойной жизни. В данном контексте используется в качестве украшения на черпаках и «кычыме»(тебенёк- кожаная лопасть седла) невесты.

С ердцевидным узором украшают одежду и берестяную посуду. Также данный узор можно видеть на якутских кубках для молочной посуды – чоронах и кумысных воронках XIX-XX веков.

Крестовидный узор

Символ отражения четырех сторон света, целостности Космоса.

Оберег жилища «дабы обитель человека была защищена со всех четырех сторон от злых сил и неприятностей».

2.1 Построение рисунков с использованием графиков функций

Наиболее точный результат построения рисунков с помощью графиков элементарных функций достигается при разбиении изображения на как можно меньшие элементы (промежутки). И при этом конечный результат (рисунок) нельзя называть кусочной функцией. Есть важный момент при построении рисунков с помощью графиков, который не выполняется.

Если вернуться к определению кусочной функции (п. 1.5), то важно помнить, что участки числовой прямой, которые различаются формулами задания, являются составляющими области определения и их объединение является областью определения кусочной функции.

Но при построении рисунка чаще всего будут использоваться промежутки числовой прямой с одинаковыми точками не один раз. В связи с этим сами рисунки не являются по определению кусочными функциями.

В данном случае будем применять различные функции, но с ограничением области их определения. Ограничивающие точки также будем называть граничными точками. И выражения, определяющие функцию на каждом промежутке, будем называть входящими функциями.

Алгоритм построения рисунка:

1. Определить необходимые для построения виды графиков функций и их коэффициенты

2. Построить их, если возможно использовать преобразования графиков элементарных функций

3. Ограничить построенные графики функций на заданных промежутках

4. Построить на одной координатной плоскости

2.2 Создание рисунков в виде якутского орнамента

1. Крестовидные узоры

y=x, x∈[-2,5;2,5] 

y=-x, x∈[-2,5;2,5] 

y=x-5, x∈[0;5] 

y=x+5, x∈[-5;0] 

y=-x-5, x∈[0;5] 

y=-x+5, x∈[-5;0] 

y=x-3, x∈[-2;5] 

y=x+3, x∈[-5;-2] 

y=-x-3, x∈[-5;-2] 

y=–x+3, x∈[-2;5] 

y=x-7, x∈[0;2] 

y=x-7, x∈[5;7] 

y=x+7, x∈[-7;-5] 

y=x+7, x∈[-2;0] 

y=-x-7, x∈[-7;-5] 

y=-x-7, x∈[-2;0] 

y=-x+7, x∈[0;2] 

y=-x+7, x∈[5;7] 

y=x-5, x∈[-2;7] 

y=x+5, x∈[-7;2] 

y=-x+5, x∈[-2;7] 

y=-x-5, x∈[-7;2] 

y=x-9, x∈[0;2] 

y=x-9, x∈[7;9] 

y=x+9, x∈[-9;-7] 

y=x+9, x∈[-2;0] 

y=-x-9, x∈[-9;-7] 

y=-x-9, x∈[-2;0] 

y=-x+9, x∈[0;2] 

y=-x+9, x∈[7;9] 

2. Узор в виде трав и листьев

Рисунок слева:

x=-4, x∈[0;6] 

y= |х+4|+3, x∈[-7;-1] 

y= |х+4|+4, x∈[-6;-2] 

y= |х+4|+5, x∈[-5;-3] 

рисунок справа:

x=4, x∈[0;5] 

y= |х-4|+3, x∈[3;5] 

y= |х-4|+1, x∈[2;6]

y= , x

y= , x

y= x

y= , x

y= , x

y=

3. Орнамент «Круг»

+=36

y=1, x∈[-4;4] 

y=-1, x∈[-4;4] 

x=1, y∈[1;4] 

x=-1, y∈[1;4] 

x=-1, y∈[-4;-1] 

x=1, y∈[-4;-1] 

(x+4+(y+2=1, x∈[-5;-4] 

(x+4+(y-2 =1, x∈[-5;-4] 

(x-4+(y-2 =1, x∈[4;5] 

(x-4+(y+2 =1, x∈[4;5] 

(x+2+(y-4=1, x∈[4;5] 

(x-2+(y-4 =1, x∈[4;5]

(x+2+(y+4 =1, x∈[-5;-4] 

(x-2+(y+4 =1, x∈[-5;-4] 

4. Орнамент в виде рогатого скота

5. Лировидный узор

Использованы графики функций и линии: окружность, парабола, график линейной и показательной функции

(x+5+(y+3 =4, x∈[-5;-3] 

(x+3+(y+ =1, x∈[-3;-2] 

(x+3+(y+4 =9, x∈[-3;0] 

y= (x+3-7, x∈[-6;-3] 

y= (x+5-7, x∈[-7;-6] 

y= -(x+5+1, x∈[-7;-6] 

y= x+6, x∈[-6;-4] 

y= (x+5+1, x∈[-4;-3]

(x+5+(y-6 =4, x∈[-7;-5] 

(x+5+(y-5 =1, x∈[-5;-4] 

y= , x∈[0;3] 

y= - +2, x∈[-3;0] 

(x-3+(y+4 =1, x∈[2;3] 

(x-3+(y+3 =4, x∈[3;5] 

(x-3+(y+4 =9, x∈[0;3] 

y= (x-3-7, x∈[3;6] 

y= (x-5-7, x∈[6;7] 

y= -(x-5+1, x∈[6;7] 

y= 6-x, x∈[4;6] 

y= (x+5+1, x∈[3;4] 

(x-5+(y-6 =4, x∈[5;7] 

(x-5+(y-5 =1, x∈[4;5] 

X=0, y∈[-2;10] 

y= +10, x∈[0;2] 

y= - +10, x∈[-2;0] 

-(x+5+8, x∈[-5;-3] 

-(x+5+8, x∈[3;5] 

И спользованы графики функций и линии: окружность, парабола, график линейной и показательной функции

y= (x+3-7, x∈[-6;0] 

y= (x+5-7, x∈[-7;-6] 

y= -(x+5+1, x∈[-7;-6] 

y= x+6, x∈[-6;-4] 

y= (x+5+1, x∈[-4;-3]

y= (x-5+1, x∈[3;4]

y= (x-3-7, x∈[0;6] 

y= (x-5-7, x∈[6;7] 

y= -(x-5+1, x∈[6;7] 

y= 6-x, x∈[4;6] 

(x-5+(y-6 =4, x∈[5;7] 

(x+5+(y-5 =1, x∈[-7;-5] 

-(x+5+8, x∈[-5;-3] 

-(x+5+8, x∈[3;5] 

x=0, y∈[-6;1] 

x-6, x∈[0;2,5] 

x-4,5, x∈[0;2] 

x-3, x∈[0;1,5] 

x-1.5, x∈[0;1] 

x, x∈[0;0.5] 

-x, x∈[-0.5;0] 

–x-1.5, x∈[-1;0] 

–x-3, x∈[-1.5;0] 

–x-4.5, x∈[-2;0] 

–x-6, x∈[-2.5;0] 

5. Сердцевидный узор

(x+3+(y+3 =4, x∈[-5;-3] 

(x+3+(y+ =1, x∈[-3;-2] 

(x+3+(y+4 =9, x∈[-3;0] 

y= (x+3-7, x∈[-6;-3] 

y= (x+5-7, x∈[-7;-6] 

y= -(x+5+1, x∈[-7;-6] 

(x-3+(y+4 =1, x∈[2;3] 

(x-3+(y+3 =4, x∈[3;5] 

(x-3+(y+4 =9, x∈[0;3] 

y= (x-3-7, x∈[3;6] 

y= (x-5-7, x∈[6;7] 

y= -(x-5+1, x∈[6;7] 

(x+3+(y-5 =9, x∈[-3;0] 

(x+3+(y-6 =4, x∈[-5;-3] 

(x+3+(y-5 =1, x∈[-3;0] 

(x-3+(y-5 =9, x∈[0;3] 

(x-3+(y-6 =4, x∈[3;5] 

(x-3+(y-5 =1, x∈[0;3] 

- (x-3+2 x∈[3;6]

 - (x+3+2 x∈[-6;-3]

y=, x∈[0;2] 

y= - +4, x∈[-2;0] 

x=0, y∈[-2;2] 

2.3 Использование шаблонов графиков элементарных функций при построении рисунков

Для более быстрого выполнения построений рисунков можно использовать шаблоны элементарных функций. Для этого сделаны координатная плоскость на прозрачной основе и шаблоны следующих функций:

1. y=

2. y

3.y=

4. y=

5. y=

6. y=

7. y=

8. y=|х|

9. y=

10. + =R (R=1,…,8)

Алгоритм использования шаблонов графиков функций для построения рисунков:

1. Определить вид функции, которая будет использоваться (берется необходимый шаблон);

2. Определить коэффициенты смещения графика вдоль осей координат;

3. На выбранный шаблон прикладывается прозрачная координатная плоскость, с учетом смещения;

4. Обводится часть графика с заданным ограничением;

5. Процесс повторяем до тех пор, пока не будут построены все заданные функции с ограничениями.

Учащимся 9-го и 10-го классов нашей школы было предложено выполнение заданий на построения узоров с помощью шаблонов. Как оказалось, что процесс выполнения их заинтересовал. Сначала были затруднения, но разобравшись, учащиеся построили узоры.

Заключение

Подводя итоги, можно утверждать, что если к чему-то относиться творчески, с интересом и любопытством, то даже такая сложная наука, как математика становится более доступной и увлекательной.

 Выводы:

В данной работе удалось:

рассмотреть элементарные функций и их графики;

систематизировать знания, умения и навыки по построению графиков элементарных функций;

создать рисунки якутских узоров графиками элементарных функций с ограничениями;

сделать шаблоны элементарных функций и прозрачный шаблон координатной плоскости, для боле удобного выполнения построений;

провести работу с учащимися над использованием шаблонов функций для построения узоров

Гипотеза о том, что графиками элементарных функций можно рисовать якутские узоры, подтвердилась.

Необходимо:

- продолжить работу над построением целых орнаментов с помощью графиков функций, используя свойства периодичности функций;

- изучить спецификацию КИМов ЕГЭ для определения заданий, в которых пригодятся навыки построения графиков функций.

При выполнении творческих заданий на создание изображений графиками элементарных функций, развиваются художественные способности учащихся, которые лежат в основе различных профессий: дизайнер, архитектор, скульптор и т.д., кроме того, повышается интерес к изучению темы: «Функции и их графики». Красота и эстетика математики в школе в особой мере проявляется именно в «красивых» и творческих заданиях.

Литература:

1. Виленкин Н.Я. Функции в природе и технике/ Виленкин Н.Я. – М.: «Просвещение»,1985 2. Неустроев Б.Ф. Якутские орнаменты / Б.Ф. Неустроев – «СИТИМ», 1994

3. Звавич Л.И., Рязановский А.Р. Алгебра в таблицах / Л.И. Звавич, А.Р. Рязановский – М.: «Дрофа»,2010

4. Пивоварова Т. Ю. Графики функций как средство выражения личностного творчества / Пивоварова Т. Ю. – Молодой ученый. 2017.

5. Полятинская-Антонова А.А. Якутские орнаменты счастья и благополучия / А.А. Полятинская-Антонова - Якутск «Медиа-холдинг Якутия», 2017

6. Федулкин Л. Е., Чулков П.В. Краткий справочник по алгебре / Федулкин Л. Е., Чулков П.В. – М.: «Издат-школа»,1998

Интернет-ресурсы:

https://school-science.ru/5/7/35329

https://youclever.org/book/funktsii-1

http://kus-lin.narod.ru/23.htm

http://kus-lin.narod.ru/25.htm

http://mathprofi.ru/kak_postroit_grafik_funkcii_s_pomoshyu_preobrazovanii.html

https://moluch.ru/archive/150/42684/