Практическое применение теорем Чевы и Менелая

VIII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке

Практическое применение теорем Чевы и Менелая

Запольских М.В. 1
1МБОУ школа №156
Шамиева И.Э. 1
1МБОУ школа №156
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

1.Введение

Актуальность проблемы

Нередко учащиеся 9 и 11 классов сталкиваются с трудностями при решении практических задач на экзамене по математике. Это вторая часть ОГЭ/ЕГЭ, которая является наиболее сложной, и ,соответственно, за которую можно набрать хорошее число баллов. Знание теорем Чевы и Менелая может значительно упростить решение таких задач.

Помимо экзаменов, изучение данной темы может помочь на олимпиадах, вступительных испытаний и просто для погружения в удивительный математический мир ??.

Цель:

Доказать теоремы Чевы и Менелая, выяснить, насколько их применение упрощает решение задач на отношение отрезков.

Задачи:

· Рассмотреть доказательство теорем

· Решить несколько задач с их помощью

· Доказать утверждения о замечательных точках треугольника, пользуясь знанием теорем

· Поделиться своими знаниями с одноклассниками

Работа была выполнена по плану:

* Изучение литературных источников, содержащих информацию о теоремах

* Определение актуальности вопроса путем изучения экзаменационных задач

* Осмысление собранного материала

* Обобщение полученных результатов; выводы

Методы исследования:

Ø Изучение литературы и обобщение полученной информации

Ø Консультация

Ø Анализ

Ø Уточнение сделанных выводов, корректировка

2.Теоретическая часть

2.1 Теорема Чевы

2.1.1 Кто такой Чева?

Джованни Чева (1648-1734 г.)-

итальянский инженер и математик.

Основной заслугой Чевы

является построение учения о секущих,

которое положило начало

новой – синтетической геометрии;

оно изложено в сочинении

«О взаимнопересекающихся прямых»

(1678).

2.1.2 Что такое чевиана?

Определение. Чевианой треугольника

называется отрезок, соединяющий вершину

треугольника с произвольной точкой

противолежащей стороны, или ее продолжения.

Соответственно, биссектриса, высота и медиана -

Джованни Чева (1648-1734 г.)

Итальянский инженер и математик

чевианы.

Что такое чевиана?

 

 

 

1.1.3 Теорема Чевы


Если на сторонах AB, BC и AC треугольника ABC взяты соответственно точки C1, A1 и B1, то отрезки AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда:

 

1. Рассмотрим треугольники AOB1 и COB1
Поскольку основания и лежат на одной прямой, то у этих треугольников общая высота, опущенная из точки O. Отсюда следует, что площади этих треугольников относятся так же, как их основания:

 

 

 

Аналогично можно выписать еще два соотношения:

; и

Перемножая эти три равенства получаем:


Рассмотрим левую часть данного равенства. Запишем её иначе. Треугольники AOB1 и BOA1 имеют равные углы. Значит, их площади относятся как произведения длин сторон, заключающих этот угол.

То есть:

Аналогично можно выписать еще два соотношения:

и

Перемножая эти равенства, получаем:

Имеем:

2. Докажем обратное утверждение.

2

Пусть точки C1, A1, B1 взяты на сторонах так, что выполнено равенство:

. (1)

Докажем, что отрезки AA1, BB1, CC1 пересекаются в одной точке.

Обозначим буквой O точку пересечения отрезков AA1 и BB1 и проведем прямую CO. Она пересекает сторону AB в некоторой точке, которую обозначим C2 . Т.к. отрезки AA1, BB1 и CC2 пересекаются в одной точке, то, по доказанному в первом пункте: (2)

Сопоставляя равенства (1) и (2): ,

приходим к равенству ; которое показывает, что точки C1 и C2 делят сторону AB в одном и том же отношении. Следовательно, точки

C1 и C2 совпадают, и, значит, отрезки AA1, BB1 и CC1 пересекаются в точке O.

1.2 Теорема Менелая

1.2.1 Кто такой Менелай?

 

Древнегреческий математик и астроном.

 

Автор работ по сферической тригонометрии:

6 книг о вычислении хорд и 3 книги "Сферики"

(сохранились в арабском переводе). Для

получения формул сферической тригонометрии

использовал теорему о прямой, пересекающей стороны

треугольника (теорема Менелая).

1.2.2 Формулировка и доказательство теоремы Менелая

Дан треугольник ABC. На прямых AB, BC и AC

отмечены точки C1, A1 и B1 соответственно.

Точки C1, A1 и B1 лежат на одной прямой

тогда и только тогда, когда:

 

Доказательсво.1. Проведем через точку C прямую, параллельную AB. Обозначим через K ее точку пересечения с прямой B1C1.


Треугольники AC1B1 и CKB1 подобны по двум углам.

Следовательно,

Далее, перемножив полученные равенства, получим:

откуда следует, что:

или :

Теорема доказана

2. Докажем обратное утверждение. Пусть точка B1 взята на продолжении стороны AC, а точки C1 и A1 - на сторонах AB и BC, причем так, что выполнено равенство:

 

Докажем, что точки A1, B1, C1 лежат на одной прямой. (рис.2)

2

 

Рис.2

Рис.1

Прямая B1C1 пересекает сторону BC в некоторой точке A2. (рис.1)

Т.к. точки B1, C1, A2 лежат на одной прямой, то по доказанному в первом пункте:

Сопоставляя (1) и (2), приходим к равенству , которое показывает, что точки A1 и A2 делят сторону BC в одном и том же отношении. Следовательно, точки A1 и A2 совпадают, и, значит, точки A1, B1, C1 лежат на одной прямой.

 

 

3.Практическая часть

 

3.1 Четыре замечательные точки треугольника

3.1.1 Что такое замечательные точки треугольника?

В треугольнике есть так называемые четыре замечательные точки: точка пересечения медиан, точка пересечения биссектрис, точка пересечения высот (или их продолжений) и точка пересечения серединных перпендикуляров.

 

 

3.1.2 Доказательствово утверждения о пересечении

биссектис треугольника в одной точке с помощью

т. Чевы

 

Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке

Пусть АА1, BB1, CC1 – биссектрисы треугольника ABC. Вспомним, что биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Согласно этому свойству:

Перемножив эти равенства, получим:

Отсюда по теореме Чевы следует, что биссектрисы пересекаются в одной точке.

3.2 Применение теорем Чевы и Менелая для доказательства теорем Ван-Обеля и Симпсона

3.2.1 Теорема Ван-Обеля

B

T

Пусть чевианы AA1, BB1, CC1 треугольника ABC пересекаются в точке T, тогда справедливо равенство:

А

C

A1

B1

C1

 

1.Для треугольника ABB1 и секущей CC1 запишем теорему Менелая:

 

; что равно: (1)

2. Для треугольника BB1С и секущей A1A, запишем теорему Менелая:

; откуда следует, что: (2)

3. Сложив =

Итак, .

Пусть D – произвольная точка описанной около треугольника ABC окружности. DP, DR, DQ – перпендикуляры к сторонам AB, AC, и продолжению стороны BC соответственно. Докажем, что основания перпендикуляров P, R, Q лежат на одной прямой

3.3 Решение задач с помощью теорем Чевы, Менелая, Ван-Обеля и Симпсона

3.3.1 Задача №1

Дано:

3.3.2 Задача №2

Дано: Три окружности с центрами А, В, С, радиусы которых относятся как , касаются друг друга внешним образом в точках X, Y, Z как показано на рисунке 19. Отрезки AX и BY пересекаются в точке O. В каком отношении, считая от точки B, отрезок CZ делит отрезок BY?

Решение. Обозначим , , (рис. 19). Так как , то по утверждению б) теоремы Чевы отрезки АX, BY и СZ пересекаются в одной точке — точке O. Тогда отрезок CZ делит отрезок BY в отношении . Найдем это отношение.

По теореме Менелая для треугольника BCY и секущей OX имеем: , откуда следует, что .

Ответ. .

3.3.3 Задача №3

Дано: Чевианы AM, BN, CK пересекаются в одной точке внутри треугольника ABC. Найдите отношение , если ,BM:MC = 16:15.

Решение:

По т. Чевы:

Откуда:

Значит,

Ответ: .

3.3.4 Задача №4

3.3.6. Задача №6

В на стороне взята точ­ка так, что . На продолжении стороны за точку взята точка так, что . Пря­мая пересекает сторо­ну в точке . Найти отношение .

Дано: , , , – луч, , , .

Найти отношение .

Решение.

I способ (без использования теоремы Менелая).

Сделаем дополнительное построение: проведём отрезок (рис.8) .

Пусть , тогда ; пусть , тогда .

1) Рассмотрим и .

– общий угол для и ;

как соответственные углы, образованные при пересечении параллельных прямых и ( по дополнительному построению) секущей , .

Следовательно, по двум углам.

Итак, – коэффициент подобия:

И, значит,

2) Рассмотрим и .

как вертикальные углы;

как накрест лежащие углы, образованные при пересечении параллельных прямых и секущей , , .

Следовательно, по двум углам.

Итак, – коэффициент подобия:

Но, так как по доказанному:

то мы получаем, что:

Ответ: .

II способ (с использованием теоремы Менелая)

Пусть , тогда по условию ( ): ; пусть , тогда по условию МС= .

Прямая пересекает две стороны ( , ) и продол­жение третьей ( – луч, ), значит, по теореме Менелая:

И, значит,

Ответ: .

4. Банк задач, для решения которых рекомендуется использовать теоремы Чевы, Менелая, Ван-Обеля и Симпсона

Задача №1

Катеты прямоугольного треугольника равны 9, 12 и гипотенуза равна 15. Найдите расстояние между точкой пересечения биссектрис и точкой пересечения медиан.

Задача №2

В треугольнике ABC медиана AK пересекает медиану BD в точке L. Найдите площадь треугольника ABC, если площадь четырехугольника KCDL равна 5.

Задача №3

Через точку пересечения медиан треугольника ABC проходит прямая, пересекающая стороны AB и AC. Расстояния от вершин В и С до этой прямой равны b и с соответственно. Найдите расстояние от вершины А до этой прямой.

Задача №4

Через точку Р, лежащую на медиане СС1 треугольника АВС , проведены прямые АА1 и ВВ1 ( точки А1 и В1 лежат на сторонах ВС и СА соответственно). Докажите, что А1В1 ? АВ.

Задача №5

Прямая, соединяющая точку Р пересечения диагоналей четырехугольника ABCD с точкой Q пересечения прямых АВ и CD, делит сторону AD пополам. Докажите, что она делит пополам и сторону ВС.

Задача №6

Из вершины С прямого угла треугольника АВС опущена высота СК, и в треугольнике АСК проведена биссектриса СЕ. Прямая, проходящая через точку В параллельно СЕ, пересекает СК в точке F. Докажите, что прямая EF делит отрезок АС пополам.

5.Общий вывод

Обобщая сказанное, можно сделать вывод, что

· Теоремы Чевы и Менелая широко используются – от решения задач на нахождение отношений отрезков до доказательства утверждений.

· Теоремы значительно упрощают решение многих заданий

· Математика – царица наук ??

6. Перечень используемой литературы и интернет-ресурсов

1. Атанасян, Л.С. Геометрия: учебник для общеобразовательных учреждений 7-9 классы / Л.С. Атанасян. – М. : Просвещение, 2010. – 384 с.

2. Атанасян, Л.С. Доп. главы к шк. учеб. 8 кл.: Учеб. Пособие для учащихся шк. и классов с углубл. изуч. математики / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – М.:Просвещение, 1996. – 205с.

3. Вольфсон, , Б. Подготовка к ЕГЭ и ГИА-9: учимся решать задачи / Б. И. Вольфсон, Л. И. Резницкий - Легион, 2011 г. – 129c.

4. Гордин, Р.К. Математика. Задача С4. Геометрия. Планиметрия / Р.К. Гордин, А.Л. Семенова, И.В. Ященко. М.:МЦНМО, 2013. – 176 с.

5. Шевкин А. Вокруг теорем Чевы и Менелая //Математика. — № 9. — 2011.

6. Погорелов А. В. Геометрия 7-9 классы / Погорелов А. В. - M:Просвещение 2012. – 324 с.

7. Рязановский, А.Р. ЕГЭ 2015. Математика: Решение задач: Сдаем без проблем! / А.Р.Рязановский, В.В.Мирошин. – М. : Эксмо, 2014. – 496с.

8. Подготовка к ЕГЭ. [Электронный ресурс] / http://gotovkege.ru

9. Семенова А.В. ЕГЭ – 2012. Математика: типовые экзаменационные варианты: 30 вариантов / под редакцией А.В. Семенова, И.В. Ященко. – М.: Национальное образование, 2011. – 192 с.

10. Смирнова, И.М. Сайт современного учебно-методического комплекта по геометрии. [Электронный ресурс] / http://www.geometry2006.narod.ru/

11. Ященко И.В. и др. Подготовка к ЕГЭ по математике в 2013 году. Методические указания / Ященко И.В., Шестаков С.А., Трепалин А.С., Захаров П.И. – М. МЦНМО, 2013

12. Ларин, А.А. «Математика. [Электронный ресурс] / Репетитор»/URL: http://alexlarin.net/ege15.html

13. http://www.fipi.ru

14. http://www.edu.ru

15. А.Д. Александров, А.Л. Вернер, В.И. Рыжик «Геометрия для 8-9 классов», 1991 г.

Просмотров работы: 46