VIII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Метод Гаусса
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение.
Увлечение математикой начинается с размышления над какой-то интересной задачей или проблемой.
Часто на уроках математики мы решаем различные уравнения. При решении задачи условия приводят не к одному уравнению, а к целой системе уравнений с несколькими неизвестными. Бывают и системы линейных алгебраических уравнений. Способы решения систем линейных уравнений – очень интересная и важная тема. На уроках алгебры мы научились использовать такие способы, как: способ сложения, способ подстановки и графический способ.
Я решила узнать, какие еще существуют методы нахождения решений систем линейных уравнений. Ознакомившись со справочной литературой, я выяснила, что одним из самых распространенных методов решения систем линейных уравнений является метод Гаусса. Этот метод (который также называют методом последовательного исключения неизвестных) известен в различных вариантах уже более 2000 лет.
Я поняла алгоритм решения систем линейных уравнений методом Гаусса и исследовала его на примерах.
Целью работы является изучение алгоритма решения систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса для применения их на практике.
Актуальность заключается в том, что системы линейных алгебраических уравнений – это математический аппарат, который имеет широкое применение в решении многих задач практического приложения математики, а я планирую заниматься прикладной математикой.
Так как в учебниках, да и в других книгах по математике, большинство рассуждений и доказательств, проводится не на конкретных примерах, а в общем виде, то я решила искать частные примеры, подтверждающие либо опровергающие мою мысль. Рассмотрев немало практических примеров, мне удалось в результате исследования сделать выводы о преимуществе метода Гаусса.
Выдающегося немецкого математика Карла Фридриха Гаусса (1777–1855) современники называли «королём математики». Ещё в раннем детстве он проявлял незаурядные математические способности. В возрасте трех лет Гаусс уже исправлял счета отца. Рассказывают, что в начальной школе, где учился Гаусс (6 лет), учитель, чтобы занять класс на продолжительное время самостоятельной работой, дал задание ученикам – вычислить сумму всех натуральных чисел от 1 до 100. Маленький Гаусс ответил на вопрос почти мгновенно, чем невероятно удивил всех и, прежде всего, учителя.
Как утверждается в книге известного американского математика Валяха, 75% всех расчетных математических задач приходится на решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Это не удивительно, так как математические модели тех или иных процессов либо сразу строятся как линейные алгебраические, либо сводятся к таковым. Метод Гаусса прекрасно подходит для решения СЛАУ.
Метод Гаусса применим к любой системе линейных уравнений, он идеально подходит для решения систем, содержащих больше трех линейных уравнений. Метод Гаусса решения СЛАУ с числовыми коэффициентами в силу простоты и однотипности выполняемых операций пригоден для счета на электронно-вычислительных машинах.
Глава 1. Теоретические аспекты
Системы линейных уравнений. Способы решения СЛАУ в школьной учебно-методической литературе.
Система уравнений – это условие, состоящее в одновременном выполнении нескольких уравнений относительно нескольких переменных.
В школьной учебно-методической литературе для решения подобных систем изучается и используется школьниками 3 способа:
Метод подстановки.
Заключается этот метод в выражении одной переменной через другие, а затем полученное выражение подставить вместо этой переменной в остальные уравнения. Процедуру повторяем до тех пор, пока не получим уравнение с одной переменной (линейное уравнение). После его решения и нахождения одной из переменных – последовательно возвращаемся к раннее выраженным, подставляя найденные значения.
Графический метод.
Решение системы графическим способом заключается в построении графиков для каждого из уравнений системы. Решением будет являться пересечение этих графиков. Данный метод считается самым неточным и не практичным, поэтому применять его рекомендуется только для систем линейных уравнений, графиками которых являются прямые.
Метод сложения.
Этот метод основан на простом правиле: если сложить левые части уравнений системы, то полученное выражение будет равно сложенным правым частям этих же уравнений. Данный метод рекомендуется использовать только в том случае, если мы получим более простое уравнение.
1.2 Метод Гаусса. Основные определения и обозначения.
Системой линейных алгебраических уравнений (далее – СЛАУ), содержащей m уравнений и n неизвестных, называется система вида:
,
где числа aij называются коэффициентами системы, числа bi – свободными членами, aij и bi (i=1,…, m; b=1,…, n) представляют собой некоторые известные числа, а x1 ,…, xn – неизвестные. В обозначении коэффициентов aij первый индекс i обозначает номер уравнения, а второй j – номер неизвестного, при котором стоит этот коэффициент. Подлежат нахождению числа xn .
Решением системы уравнений называется упорядоченный набор чисел (значений переменных), при подстановке которых вместо переменных каждое из уравнений системы обращается в верное равенство.
Метод Гаусса — классический метод решения СЛАУ. Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные.
Метод Гаусса решения систем линейных уравнений состоит из двух этапов, называемых прямым и обратным ходом. Прямой ход метода Гаусса заключается в том, что с помощью элементарных преобразований над расширенной матрицей система приводится к «ступенчатому» виду. Обратный ход метода Гаусса состоит в том, что, начиная с последнего уравнения ступенчатой системы, вычисляются неизвестные.
Алгоритм решения СЛАУ методом Гаусса.
Рассмотрим систему из m линейных уравнений с n неизвестными (m может быть равно n): где - неизвестные переменные,
Если , то система линейных алгебраических уравнений называется однородной, в противном случае – неоднородной. Если существует хотя бы одно решение системы линейных алгебраических уравнений, то она называется совместной, в противном случае – несовместной.
Если СЛАУ имеет единственное решение, то она называется определенной. Если решений больше одного, то система называется неопределенной. [1]
Говорят, что система записана в координатной форме, если она имеет вид
Эта система в матричной форме записи имеет вид , где
- основная матрица СЛАУ, матрица столбец неизвестных переменных, матрица свободных членов.
Ма́трица — математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы элементов кольца или поля, которая представляет собой совокупность строк и столбцов, на пересечении которых находятся её элементы. Количество строк и столбцов задает размер матрицы. Матрицы широко применяются в математике для компактной записи систем линейных алгебраических или дифференциальных уравнений. В этом случае количество строк матрицы соответствует числу уравнений, а количество столбцов — количеству неизвестных. В результате, решение систем линейных уравнений сводится к операциям над матрицами.
Преобразования, допустимые в методе Гаусса:
Смена мест двух строк.
Умножение всех элементов строки на некоторое число, не равное нулю.
Прибавление к элементам одной строки соответствующих элементов другой строки, умноженных на любой множитель.
Вычеркивание строки, все элементы которой равны нулю.
Если к матрице А добавить в качестве (n+1)-ого столбца матрицу-столбец свободных членов, то получим так называемую расширенную матрицу системы линейных уравнений. Обычно расширенную матрицу обозначают буквой Т, а столбец свободных членов отделяют вертикальной линией от остальных столбцов, то есть,
Следует оговорить следующий момент.
Если с системой линейных алгебраических уравнений
произвести следующие действия:
поменять местами два уравнения,
умножить обе части какого-либо уравнения на произвольное и отличное от нуля действительное число k,
к обеим частям какого-либо уравнения прибавить соответствующие части другого уравнения, умноженные на произвольное число k,
то получится эквивалентная система, которая имеет такие же решения (или также как и исходная не имеет решений).
Для расширенной матрицы системы линейных алгебраических уравнений эти действия будут означать проведение элементарных преобразований со строками:
перестановку двух строк местами,
умножение всех элементов какой-либо строки матрицы T на отличное от нуля число k,
прибавление к элементам какой-либо строки матрицы соответствующих элементов другой строки, умноженных на произвольное число k [6].
Глава 2. Практическое применение метода Гаусса.
Алгоритм и примеры решения методом Гаусса систем линейных уравнений с квадратной матрицей системы
Рассмотрим сначала решение систем линейных уравнений, в которых число неизвестных равно числу уравнений. Матрица такой системы - квадратная, то есть в ней число строк равно числу столбцов.
Пример 1. Решить методом Гаусса систему линейных уравнений
Решая системы линейных уравнений школьными способами, мы почленно умножали одно из уравнений на некоторое число, так, чтобы коэффициенты при первой переменной в двух уравнениях были противоположными числами. При сложении уравнений происходит исключение этой переменной. Аналогично действует и метод Гаусса.
Для упрощения внешнего вида решения составим расширенную матрицу системы:
Для удобства деления коэффициентов при переменных (чтобы получить деление на единицу) переставим местами первую и вторую строки матрицы системы. Получим систему, эквивалентную данной, так как в системе линейных уравнений можно переставлять местами уравнения:
С помощью нового первого уравнения исключим переменную x из второго и всех последующих уравнений. Для этого ко второй строке матрицы прибавим первую, умноженную на (в нашем случае на -3), к третьей – первую строку, умноженную на (в нашем случае на -2). Это возможно, так как .
Если бы в нашей системе уравнений было больше трёх, то следовало бы прибавлять и ко всем последующим уравнениям первую строку, умноженную на отношение соответствующих коэффициентов, взятых со знаком минус. В результате получим матрицу эквивалентную данной системе новой системы уравнений, в которой все уравнения, начиная со второго
не содержат переменную x:
Для упрощения второй строки полученной системы умножим её на и получим матрицу:
Теперь, сохраняя первое уравнение полученной системы без изменений, с помощью второго уравнения исключаем переменную y из всех последующих уравнений. Для этого к третьей строке матрицы системы прибавим вторую, умноженную на (в нашем случае на -4).
Если бы в нашей системе уравнений было больше трёх, то следовало бы прибавлять и ко всем последующим уравнениям вторую строку, умноженную на отношение соответствующих коэффициентов, взятых со знаком минус.
В результате вновь получим матрицу системы, эквивалентной данной системе линейных уравнений:
Мы получили эквивалентную данной трапециевидную систему линейных уравнений:
Если число уравнений и переменных больше, чем в нашем примере, то процесс последовательного исключения переменных продолжается до тех пор, пока матрица системы не станет трапециевидной, как в нашем примере.
Решение найдём "с конца" - это называется "обратный ход метода Гаусса". Для этого из последнего уравнения определим z:
Подставив это значение в предшествующее уравнение, найдём y:
Из первого уравнения найдём x:
Итак, решение данной системы .
Пример 2. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:
Решение. Составляем расширенную матрицу системы. С помощью первого уравнения исключаем из последующих уравнений переменную . Для этого ко второй строке прибавляем первую, умноженную на -2, к третьей строке - первую, умноженную на -3, к четвёртой - первую, умноженную на -2.
Теперь с помощью второго уравнения исключим переменную из последующих уравнений. И с помощью третьего уравнения исключим переменную из четвёртого уравнения.
Заданная система эквивалентна, таким образом, следующей:
Следовательно, полученная и данная системы являются совместными и определёнными. Искомое решение находим «с конца». И таким образом, данная система уравнений имеет единственное решение
2.1 Решение методом Гаусса прикладных задач на примере задачи на сплавы.
Системы линейных уравнений применяются для моделирования реальных объектов физического мира. Решим методом Гаусса одну из таких задач - на сплавы. Аналогичные задачи - задачи на смеси, стоимость или удельный вес отдельных товаров в группе товаров и тому подобные.
Пример 4. Три куска сплава имеют общую массу 150 кг. Первый сплав содержит 60% меди, второй - 30%, третий - 10%. При этом во втором и третьем сплавах вместе взятых меди на 28,4 кг меньше, чем в первом сплаве, а в третьем сплаве меди на 6,2 кг меньше, чем во втором. Найти массу каждого куска сплава.
Решение. Составляем систему линейных уравнений:
Умножаем второе и третье уравнения на 10, и составляем расширенную матрицу системы: . Применяем прямой ход метода Гаусса. Получим расширенную матрицу трапециевидной формы .
Теперь применяем обратный ход метода Гаусса. Находим решение с конца. Получаем z=43, y=35, x=72.
2.2 Метод Гаусса и система, в которой число неизвестных меньше числа уравнений
Следующий пример - система линейных уравнений, в которой число неизвестных меньше числа уравнений.
Пример 7. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:
Решение. Составляем расширенную матрицу системы. С помощью первого уравнения исключаем из последующих уравнений переменную x. Для этого ко второй строке прибавляем первую, умноженную на -2, к третьей строке - первую, умноженную на -3, к четвёртой - первую, умноженную на -1. Далее новые вторую, третью и четвёртую строки умножаем на -1.
Теперь нужно с помощью второго уравнения исключить переменную y из последующих уравнений. Для этого четвёртую строку умножаем на , а полученную в результате четвёртую строку меняем местами со второй строкой. К третьей строке прибавим вторую, умноженную на -8, а к четвёртой - вторую, умноженную на -7.
Четвёртая и третья строки - одинаковые, поэтому четвёртую исключаем из матрицы. А третью умножаем на . Заданная система эквивалентна, таким образом, следующей:
zи y известны, а x находим из первого уравнения: x = 1.
Итак, данная система уравнений имеет единственное решение (1; 1; 1).
2.3 Метод Гаусса и система, в которой число неизвестных больше числа уравнений
Следующий пример - система линейных уравнений, в которой число неизвестных больше числа уравнений.
Пример 8. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:
Решение. Составляем расширенную матрицу системы. Далее ко второй строке прибавляем первую, умноженную на -2.
Заданная система эквивалентна, таким образом, следующей:
В ней отсутствуют уравнения, дающие однозначные значения для и . Это равносильно появлению уравнений вида , которые можно отбросить. Мы можем для и выбрать произвольные значения . Из первого уравнения значение для находится однозначно: . Как заданная, так и последняя системы совместны, но неопределённы, и формулы , при произвольных и дают нам все решения заданной системы.
Заключение
О простоте метода говорит хотя бы тот факт, что немецкому математику Карлу Фридриху Гауссу на его изобретение потребовалось лишь 15 минут. Кроме метода его имени из творчества Гаусса известно изречение "Не следует смешивать то, что нам кажется невероятным и неестественным, с абсолютно невозможным" - своего рода краткая инструкция по совершению открытий.
Во многих прикладных задачах может и не быть третьего ограничения, то есть, третьего уравнения, тогда приходится решать методом Гаусса систему двух уравнений с тремя неизвестными, или же, наоборот - неизвестных меньше, чем уравнений.
С помощью метода Гаусса можно установить, совместна или несовместна любая система n линейных уравнений с n переменными.
Итак, метод Гаусса применим к любой системе линейных уравнений, он идеально подходит для решения систем, содержащих больше трех линейных уравнений. Метод Гаусса решения СЛАУ с числовыми коэффициентами в силу простоты и однотипности выполняемых операций пригоден для счета на электронно-вычислительных машинах.
Достоинства метода:
менее трудоёмкий по сравнению с другими методами;
позволяет однозначно установить, совместна система или нет, и если совместна, найти её решение;
позволяет найти максимальное число линейно независимых уравнений – ранг матрицы системы.
Существенным недостатком этого метода является невозможность сформулировать условия совместности и определенности системы в зависимости от значений коэффициентов и свободных членов. С другой стороны, даже в случае определенной системы этот метод не позволяет найти общие формулы, выражающие решение системы через ее коэффициенты и свободные члены, которые необходимо иметь при теоретических исследованиях.
Помимо аналитического решения СЛАУ, метод Гаусса также применяется для:
нахождения матрицы, обратной к данной (к матрице справа приписывается единичная такого же размера, что и исходная: , после чего приводится к виду единичной матрицы методом Гаусса–Жордана; в результате на месте изначальной единичной матрицы справа оказывается обратная к исходной матрица: );
определения ранга матрицы (согласно следствию из теоремы Кронекера–Капелли ранг матрицы равен числу её главных переменных);
численного решения СЛАУ в вычислительной технике (ввиду погрешности вычислений используется Метод Гаусса с выделением главного элемента, суть которого заключена в том, чтобы на каждом шаге в качестве главной переменной выбирать ту, при которой среди оставшихся после вычёркивания очередных строк и столбцов стоит максимальный по модулю коэффициент).
Существуют и другие методы решения и исследования систем линейных уравнений, которые лишены отмеченных недостатков. Эти методы основаны на теории матриц и определителей.
Список используемой литературы
Математика. Большой справочник для школьников и поступающих в вузы/ П.И.Алтынов, И.И.Баврин, Е.М.Бойченко и др. – М.:Дрофа, 2006. – 848с.
Высшая математика в упражнениях и задачах / П. Данко, А. Попов, Т. Кожевникова. – 1986. – Т. 1. – 296 c.
Линейная алгебра: Учебник для вузов / В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. – 6-е изд., стер. – М.: Физматлит, 2004. – 280 с.
Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Опорный конспект: учебное пособие. – Москва: Проспект, 2011. – 144с.
Лекции по общей алгебре [Электронный ресурс]: учебник [для вузов] / А. Г. Курош. – 3-е изд., стер. – Электрон. текстовые дан. – Санкт-Петербург; Москва; Краснодар: Лань, 2018. – 555 с.
Интернет-ресурс: https://ru.wikipedia.org (обращение 20.10.19)
Сайт: https://zaochnik.com/spravochnik/matematika/issledovanie-slau/metod-gaussa/ (обращение 18.10.19)
Сайт: https://math1.ru/education.html (обращение 21.10.19)
Сайт: https://youclever.org/book/sistemy-uravnenij-1 (обращение 20.10.19)
Приложение1.
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ТРЕНИРОВКИ
1. Решить систему линейных уравнений с двумя переменными
2. Решить систему линейных уравнений с двумя переменными
3 . Решить систему линейных уравнений с двумя переменными
4. Решить систему линейных уравнений с двумя переменными
5. Решить систему линейных уравнений с двумя переменными
6 . Решить систему линейных уравнений с двумя переменными
7. Что является решением системы двух линейных уравнений?
а)пара чисел (х;у)
б)пара чисел (х; у), удовлетворяющая обоим уравнениям системы
в)пара чисел (х; у), являющаяся решением одного из уравнений системы
с)пара чисел (х;у), обращающая при подстановке левые части уравнений системы в ноль
8. Решить систему:
2 х – у = 3
7х + 3у = 4
А) (1; - 1) Б) (1; 1) В) (-1; 1) Г) (-1; -1)
9. Решить систему:
4х + 3у = 24
5х – 7у = - 13
А) (4; 3) Б) (3; - 4) В) (3; 4) Г) (-3; 4)
10. Решить систему:
2х – у = - 1
х + у = - 2
А) (1; 1) Б) (-1; 1) В) (1; -1) Г) (-1; -1)
11. Решить систему:
3 х – у =2
5х - 3у = - 6
А) (3; 7) Б) (-3; 7) В) (-3; -7) Г) (3; -7)
12. Решить систему:
3х + 5у = 21
5х – 3у = 1
А) (-2; 3) Б) (3; 2) В) (2; 3) Г) (2; -3)
13. Решить систему:
2х + у = 5
х +2 у = 0
А) ( ; ) Б) ( ; ) В) ( ; ) Г) ( ; )
14. Решить систему:
5х +3 у = 12
2х - у = 7
А) (3;-1) Б) ( ; ) В) ( ; ) Г) ( ; )
15. Решить систему:
3х -2 у = 5
6х -4 у = 11
А) ( ; ) Б) не имеет решений В) ( ; ) Г) ( ; )
16. Решить систему:
2х -3 у = 11
6х -9 у = 33
А) (1;2) Б)не имеет решений В) бесчисленное множество решений Г) ( ; )
17. Решить систему:
2х +3 у = 7
4х -5 у = 2
А) (41/22;12/11) Б) не имеет решений В) (3;-1) Г) ( ; )
|
1. (-0,8;0,5) |
2. (6,4;8) |
3. (2;-1) |
4. (-1,5;-0,25) |
5.39- (0,48;2,04) |
|
6. (-2,9;1,3) |
7. б) |
8. А) |
9. В) |
10. Г) |
|
11. А) |
12. В) |
13. А) |
14. А) |
15. Б) |
|
16. В) |
17. А) |
|||