VIII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
«Изучение теории делимости в школе - путь к решению задач повышенной сложности»
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
ВВЕДЕНИЕ
Основной задачей теории чисел является изучение свойств целого числа. Но ряд важных проблем этой теории непосредственно связан с теорией делимости целых чисел.
Изучение теории делимости в школе имеет, вообще говоря, две главные цели. С одной стороны, теория делимости это база для изучения операций в новом числовом множестве- множестве обыкновенных дробей и особенно для выработки техники вычислений с такими дробями. Хорошая техника преобразования дробей достигается при достаточно свободном владении навыками применения таких понятий как, «наибольший общий делитель», «наименьшее общее кратное», «простые и взаимно простые числа» и т.д.
С другой стороны, элементарная теория делимости есть введение в такой раздел математики, как теория чисел. Через элементарную теорию делимости довольно легко подойти к пониманию ряда современной математики.
Отбирая материал, обязательный для изучения всеми учащимися, составители программ и учебников существенно ограничили объем информации о теории делимости.
Следует отметить, что изучение теории делимости начинают излагаться уже в начальной школе. В основном же курсе математики она получила отражение в 5-6 классах.
Уменьшение объема обязательного материала по теории делимости оставляет простор для творчества учителя во внеклассной работе.
Цель исследования: выявление оптимальных причин для углубленного изучения теории делимости на факультативных занятиях.
Объект исследования: процесс изучения элементов теории чисел в школьном курсе и на факультативных занятиях.
Для достижения цели определены следующие задачи:
Провести анализ учебной и методической литературы, программы и учебников по данной теме.
Найти практическое применение полученным на факультативных занятиях знаниям
В ходе выполнения данной работы были использованы учебники по математике различных авторов разных курсов обучения.
История возникновения теории делимости
В Древнем Египте действие деления производилось как действие, обратное умножению, то есть подбиралось такое число, которое, будучи умноженным на делитель, давало бы делимое. Египтяне при делении таких чисел, для получения целой части результата использовали процесс удвоения.
В Греции, в школе Пифагора (VI в. до н.э.) изучались вопросы делимости чисел, рассматривались различные категории чисел, в том числе и простые. Античный процесс деления отличается от нашего тем, что умножение отдельного разряда частного на разряды делителя перемножается с вычитанием получаемых произведений из делителя и раздроблением остатков в единицы высших разрядов.
У древних вавилонян технику деления можно было представить как общее правило, деление b/a выполнялось с помощью обращения числа а и умножения обратного значения на b.Обратное значение правильных чисел, значимость которых не превышала 2, находилось по таблицам.
Но самый большой вклад среди математиков древности в теорию делимости внёс Евклид. В своих «Началах» (седьмой книге) он рассматривает многие вопросы этой теории. Как такового понятие деления Евклид не вводит, он лишь говорит о кратном.
Следующий шаг в теории простых чисел сделал Эратосфен, давший способ выделения простых чисел из ряда натуральных чисел (Решето Эратосфена).
В дальнейшем, теорией делимости и теорией простых чисел математики заинтересовались уже в новое время (XVII в.).
Многие знаменитые математики посвятили не одно свое исследование данной теме в разные годы 19-20 вв.
Исследование теории чисел, в частности, теории делимости, продолжаются по сей день, но более современными методами.
2.Элементы теории делимости в курсе математики основной школы
2.1 Анализ школьных программ и учебников
В содержании обучения, обозначенного программой, содержатся такие темы, касающиеся теории делимости, как: натуральные числа и действия над ними; деление с остатком; делители и кратные числа; признаки делимости на 2,3,5,10; простые и составные числа; разложение числа на простые множители; общий делитель; общее кратное; решение текстовых задач и др.
В нашей школе преподавание ведется по учебнику «Математика, 5» Н.Я.Виленкина, А.С. Чеснокова, С.И.Шварцбурда, В.И.Жохова (М.: Просвещение, 2018).
Согласно программе, математика преподается 5 часов в неделю, с общим количеством – 170 часов.
Натуральные числа и шкалы (18ч.)
При изучении этой темы учащиеся фактически не встречаются с действием деления. В её рамках продолжается развитие умения решать текстовые задачи.
Сложение и вычитание натуральных чисел (20 ч.). По формулировке видно, что деление никак не фигурирует.
Умножение и деление натуральных чисел (21ч.) Здесь учащиеся узнают: Деление натуральных чисел. Деление с остатком.
Основная цель – закрепить навыки арифметических действий с натуральными числами. В этой теме проводится целенаправленное развитие и закрепление навыков умножения и деления многозначных чисел. Требуют постоянного внимания навыки устного умножения и деления двузначного числа на однозначное.
В темах «Площади и объемы» (15ч.), «Обыкновенные дроби» (26ч.), «Десятичные дроби. Сложение и вычитание десятичных дробей» (13ч.) деление используется во многих задачах и примерах, но на нём внимание не заостряется.
А вот при изучении темы «Умножение и деление десятичных дробей» (25ч.) учащиеся непосредственно сталкиваются с действием деления, но в пределах десятичных дробей. Хотя можно отметить, что в соответствии с программой специального внимания требует формирование навыков определения места запятой в результате вычисления, выполнения дроби на натуральное число, когда целая часть делимого меньше делителя.
Деление в VI классе на множестве натуральных чисел, начинает рассматриваться с первой темы: «Делимость натуральных чисел» (17ч.). В программе по этой теме изложены следующие пункты: «Делители и кратные натурального числа. Общий делитель. Общее кратное. Признаки делимости на 2,3,5,10. Простые и составные числа. Разложение натурального числа на простые множители. Нахождение НОД и НОК (56ч.).
В данной теме заканчивается изучение вопросов, связанных с натуральными числами.
Определенное внимание уделяется знакомству с признаками делимости, понятию простого и составного числа.
Можно сказать, что авторы опираются, прежде всего, на самостоятельность усвоения материала учащимися и на первоначальные знания, умения, навыки, полученные школьниками в в начальной школе.
2.2 Изучение теории делимости и простых чисел в начальной школе
В первом классе дети приобретают понятия сложения, вычитания и умножения, благодаря чему осваивают арифметическое действие, выраженное формулой. Во втором классе в этом отношении работа облегчается, так как речь идет о введении одного нового действия – деления. Изучение умножения и деления является основной курса математики 2 класса.
Так же в начальном курсе математики (3 класс) теоремы о делимости суммы «представлены» в виде свойства «Деление суммы на число». Это свойство используется при делении двухзначного (трехзначного) числа на однозначное. Но самое главное новшество теории делимости, введенное в 3 классе, это письменное обозначение деления, т.е. деление «уголком».
Итак, во II и III классах учащиеся ознакомились с азами деления натуральных чисел, а в VI классе этот материал был относительно систематизирован.
2.3 Изучение теории делимости и простых чисел в 5 классе
В V классе деление определяется следующим образом: «Разделить число a на число b – значит найти такое х, что bx = a» попутно вводится понятие делимое, делитель и частное. При этом отмечаются те случаи, при которых деление невозможно: «Запомни: на нуль делить нельзя». Отдельные параграфы посвящены рассмотрению таких вопросов как: основное свойство частного, деление с остатком, письменное деление. В V классе формулируется основное свойство частного: «если делимое и делитель умножить или разделить на одно и тоже натуральное число, то частное не изменится».
2.4 Изучение теории делимости и простых чисел в 6 классе
В VI классе отношение делимости рассматриваются на множестве целых чисел, в связи с введением понятий «отрицательные» числа и «положительные» числа, но вначале систематизируется материал по делимости натуральных чисел. Формулируются чёткие определения делителя и кратного, которое ранее определялись только на конкретных примерах. Здесь непосредственно уже перешли к знакам делимости.
Многие аспекты этой теории отсутствуют, в связи со сложностью их изложения, но школьники всё-таки получают общее представление о ней в течение курса математики. Более сложные, но интересные вопросы теории делимости можно рассматривать на математических кружках и факультативных занятиях.
Всем известен факт, что состояние математической подготовки учащихся характеризуется в первую очередь умением решать задачи. Для обучения школьников способом отыскания путей к решению нестандартных задач предназначен раздел «Задачи повышенной сложности».
Задачи повышенной сложности, предлагаемые в школьном учебнике, можно разделить на три группы – по способу использования:
Задачи, которые целесообразно решать со всеми учащимися;
Задачи, которые полезно задать на дом в качестве не обязательного задания, а решение их рассмотреть вне урока с теми учащимися, которых они заинтересуют;
Задачи, рассматриваемые на занятиях математического кружка.
Это желание весьма условно и зависит от уровня подготовки учащихся, от их интересов. Трудность «задач повышенной сложности» определяется не столько математическим содержанием, сколько новизной т необычностью математической ситуации. Среди этих задач есть задачи на смекалку, задачи-шутки, которые вызывают оживление в классе, пробуждают интерес к умственной работе. Задачи повышенной трудности служат «переходным мостом» от классной работы к внеклассной, служат хорошим материалом для дополнительной нагрузки наиболее способных к математике учащихся как в школе, так и дома. Учителю необходимо поощрять поиск различных способов решения задач, а не стремиться навязывать свое решение.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Изучение теории делимости в школьном курсе математики способствует приобретению и развитию практических умений и навыков по данной теме, интереса учащихся к математике, их логического мышления и математических способностей. Кроме того теория делимости есть база для изучения операций на множестве обыкновенных и десятичных дробей, а также является своеобразным введением в теорию чисел.
В ходе выполнения данной работы, поставленные цели были достигнуты.
Эффективность учебного процесса, в ходе которого формируется умственный и нравственный облик человека, во многом зависит от успешного усвоения содержания образования и развития интересов и способностей каждого школьника.
СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ
Арнольд И.В. Теория чисел. Пособие для пед. институтов - М.: Учпедгиз,1939.-288с.
Виленкин Н.Я. Математика 4-5 классы. Теоретические основы - М.: Просвещение, 1974.-223с.
Виленкин Н.Я., Чесноков А.С., Шварцбург С.И. Теоретические основы - М.: Просвещение, 1974.-223с.
Виленкин Н.Я., Чесноков А.С., Шварцбург С.И. Математика, 5 класс – М.: Просвещение, 2018.
Виленкин Н.Я., Чесноков А.С., Шварцбург С.И. Математика, 6 класс – М.: Просвещение, 2018.
Программы общеобразовательных учреждений: Математика – М.: Просвещение, 2011.-240с.
Рыбников К.А. Возникновение и развитие математической науки: Кн. Для учителя – М.: Просвещение,1978.-156с.
https://infourok.ru/rabochaya-programma-individualnogo-obucheniya-po-matematike-fgos-753848.html