VIII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Корни квадратного уравнения с параметром
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Данная работа является продолжением исследования квадратных уравнений и способов их решения. Казалось бы, про квадратный трехчлен мы все знаем: и как корни находить, и как график строить, и как неравенства решать.… Но не судите поспешно – у квадратного трехчлена еще немало сюрпризов и секретов. Автор данной работы как раз и пытается выяснить:
что можно «прочитать» по графику квадратного трехчлена;
как с его помощью можно доказывать неравенства;
как выяснить расположение корней трехчлена в зависимости от различных условий.
Все выводы исследования сформулированы в виде теорем. Приведены примеры того, как, основываясь на сформулированных теоремах, решать уравнения с параметрами.
Тема работы весьма актуальна, так как конкурсные, тестовые, олимпиадные задания сводятся большей частью к решению именно квадратных уравнений. А экономические задачи профильной математики ЕГЭ часто сводятся к нахождению наименьшего и наибольшего. Кроме того, многие методы решения уравнений успешно используются для решения неравенств, как с параметрами, так и без.
Цель работы: познакомиться со свойствами квадратных трехчленов и их корней.
Задачи: найти и описать зависимость расположения корней квадратного уравнения от значений параметра и иных условий.
Метод проведения исследования: теоретический.
Объект исследования: квадратный трехчлен
Предмет исследования: корни квадратных уравнений с параметром.
Проблема: Проблема в том, чтобы выяснить условия, при которых корни квадратного уравнения будут меньше или больше каких-то заданных чисел.
Наибольшее и наименьшее значение квадратного трехчлена.
В жизни постоянно приходится сталкиваться с необходимостью принять наилучшее решение среди множества возможных решений. Так, кирпич с заводов на стройки нужно привезти подешевле; ракету вывести на орбиту так, чтобы горючего пошло поменьше; молоко с ферм в магазин привезти побыстрее; путь до Луны сделать короче и т.д. Все такие задачи характеризуются следующими особенностями:
Из множества решений задачи следует выбрать то, которое является в некотором смысле самым большим или самым маленьким. В ряде случаев для решения подобных задач достаточно знать только свойства квадратичной функции.
Теорема 1. Если а > 0, то квадратный трехчлен y = ax2 + bx + cпри х имеет наименьшее значение, равное ( где Д = в2 – 4ас).
Если а < 0, то квадратный трехчлен имеет при х наибольшее значение, равное .
Доказательство: пусть сначала а > 0, тогда по формуле у = а(х+)2первое слагаемое неотрицательно, то есть а(х+)2≥ 0. Поэтому при любом действительном значении х значение у не может быть меньшим, чем . При х функция у = а(х+)2 принимает значение ymin= , которое является наименьшим среди значений, принимаемых функцией на всей числовой оси.
Этот факт можно также объяснить, используя график функции y = ax2 +bx +c. При а > 0 ветви параболы направлены вверх, а самая нижняя точка графика – её вершина. Очевидно, что ордината вершины и есть наименьшее значение квадратного трёхчлена, то есть ув = = yminи это значение трехчлен принимает при х=хв = .
Заметим, что при а > 0 квадратный трехчлен не имеет наибольшего значения.
Пусть теперь, а < 0. Рассуждая аналогично, найдем, что а < 0 квадратный трехчлен имеет наибольшее значение ymах= ув= и это значение он принимает при х=хв = . Где же это можно использовать? Например, в задании, где нужно положительное число М представить в виде суммы двух слагаемых так, чтобы их произведение было наибольшим.
Решение: пусть одно из слагаемых х, тогда другое М – х. Нам нужно найти наибольше значение произведения х(М – х). Рассмотрим функцию у = х(М – х)= -х2+ Мх. Коэффициент при х2 отрицателен, значит, при х выражение у = х(М – х) принимает наибольшее значение по теореме1. Так как х , то М – х = . То есть, произведение двух чисел, сумма которых равна данному положительному числу, является наибольшим, если эти числа равны между собой.
Такими же рассуждениями можно получить, что:
Из всех прямоугольников, имеющих один и тот же периметр, наибольшую площадь имеет квадрат.
Из всех прямоугольников, вписанных в один и тот же круг, наибольшую площадь имеет квадрат.
Квадратный трехчлен с параметром.
В заданиях с параметрами часто встречается вопрос о расположении корней квадратного трехчлена или уравнения. Задачи такого вида можно решать разными способами. Рассмотрим в этой работе только способ использования графика квадратного трехчлена.
Случай 1. Найдем условие того, что оба корня больше какого-то заданного числа А. То есть
А Д > 0, f(A)< 0, хВ >А А Д > 0, f(A)> 0, хВ >А
Теорема 2: для того, чтобы оба корня были больше числа А, необходимо и достаточно выполнение условий Д > 0, а*f(A)> 0, хВ >А.
Пример использования условия: Найти все значения параметра а, при которых оба корня уравнения (а – 1)х2 – (2а + 1)х + 5а + 2 = 0 больше 1.
Решение.
а = 1, то есть -3х +7 = 0, х =7/3 ед. корень, не удовлетворяет условию
а ≠1, используем условия Д > 0, а*f(A)> 0, хВ >А
Д = (2а + 1)2 – 4*(5а +2)*(а – 1) = - 16а2 + 16а + 9> 0 ,
(а -1)*(а -1 – 2а -1 +5а+ 2) > 0, 4а(а – 1) > 0, а<0 или а> 1
Хв = (2а + 1): (2а – 2)> 1, а >1.
Следовательно, условию задания удовлетворяют значения а из промежутка (1; .
Случай 2. Найдем условие того, что оба корня уравнения больше числа А и меньше числа В.
А В Д > 0, f(A)< 0, f(В)< 0, А В
А<хВ <В. Д > 0, f(A)> 0, f(В)> 0, А<хВ <В.
Теорема 3: для того, чтобы оба корня уравнения были больше числа А и меньше числа В необходимо и достаточно выполнение условий:
Д > 0, а*f(A)> 0, а*f(В)> 0, А<хВ <В.
Пример. Найти все значения параметра а, при которых уравнение
(а – 1)х2 – (а – 1)х + а+3= 0 имеет корни, лежащие в интервале (2;4).
Так как должно быть два корня, то уравнение не является уравнением первой степени. То есть а-1 ≠0.
Используем условие Д > 0, а*f(A)> 0, а*f(В)> 0, А<хВ <В.
Д = (а – 1)2 – 4(а-1)(а+3)= -3а2-10а+13>0, 3а2+10а-13<0,
(а-1)(4а -4 -2а+2+а+3)= (а-1)(3а+1)= 3а2-2а-1>0, а< -1/3или а>1
(а-1)(16а -16 -4а+4 +а+3)=(а-1)(13а-9)= 13а2-22а +9>0, а<9/13 или а>1
2 < нет таких значений а.
Случай 3. Найдём условие того, что число А заключено между корня квадратного трехчлена, то есть х1<А<х2.
f(A)< 0 f(A)> 0
А А
Теорема 4 : для того, чтобы выполнялось неравенство х1<А<х2 необходимо и достаточно выполнение неравенства а*f(A)< 0.
Пример. Найти все значения параметра а, при которых число 1 находится между корнями уравнения (а2+а+1)х2+(а-1)х+а2=0.
Решение: Применяем теорему 4 при А=1. Получаем (а2+а+1)(а2+а+1+а -1+а2)<0.
Следовательно, (а2+а+1)(2а2+2а)<0, первая скобка при любом значении а положительна. Значит достаточно решить неравенство 2а2+2а <0, то есть 2а(а +1)<0, отсюда следует, что -1<а<0.
Случай 4.Найдем условие того, что хотя бы один корень квадратного трехчлена больше числа А.
А А А А
f(A)< 0 f(A)> 0 f(A)> 0 f(A)< 0
Д > 0, хВ >А. Д > 0 Д > 0, хВ >А Д > 0
Теорема 5: для того, чтобы хотя бы один корень квадратного трехчлена был больше числа А, необходимо выполнение условия а*f(A)< 0 и Д > 0 или Д > 0 и хВ >А.
Пример. Найти все значения параметра а, при которых хотя бы один корень уравнения х2 -5ах +6а2=0 больше 20.
Решение. Найдем дискриминант Д=25а2- 24а2=а2≥0. Решим а*f(A)< 0.
400 – 100а +6а2<0, отсюда получаем 3а2-50а +200<0, Д= 625-600=25, 20/3<а<10.
Теперь найдем абсциссу вершины параболы хВ = 5а/2. И рассмотрим условие хВ >А, то есть 2,5а >20, а>8.
Вывод: условию задания удовлетворяют все значения параметра а >20/3.
Заключение.
В работе мною сформулировано пять теорем: о наибольшем и наименьшем значении квадратного трехчлена и о нахождении параметра по заданному расположению корней квадратного уравнения.
Теорема 1. Если а > 0, то квадратный трехчлен y = ax2 + bx + cпри х имеет наименьшее значение, равное . Если а < 0, то квадратный трехчлен имеет при х наибольшее значение, равное .
Теорема 2: для того, чтобы оба корня были больше числа А, необходимо и достаточно выполнение условий Д > 0, а*f(A)> 0, хВ >А.
Теорема 3: для того, чтобы оба корня уравнения были больше числа А и меньше числа В необходимо и достаточно выполнение условий: Д > 0, а*f(A)> 0, а*f(В)> 0, А<хВ <В.
Теорема 4 : для того, чтобы выполнялось неравенство х1<А<х2 необходимо и достаточно выполнение неравенства а*f(A)< 0.
Теорема 5: для того, чтобы хотя бы один корень квадратного трехчлена был больше числа А, необходимо выполнение условия а*f(A)< 0 и Д > 0 или Д > 0 и хВ >А.
Показаны возможности использования этих теорем на конкретных примерах. Мне кажется, что решая одно уравнение различными способами, можно путем сравнения выяснить какой способ короче и эффективнее.
В дальнейшем я планирую продолжить исследование решений уравнений другими способами и более высоких степеней.
Литература.
Ф А Бартенев, Нестандартные задачи по алгебре, Москва, Просвещение,1976
В К Ушаков, Довузовская математика, алгебра, учебное пособие, Издательский дом «Дело», Москва, 2014
М П Ляпин, Сборник задач по элементарной математике, Издательство Казанского университета,1975
6