Складные числа

VIII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке

Складные числа

Цховребова К.В. 1
1МБОУ СОШ№1 с Октябрьское Пригородного района РСО-А
Тедеева Е.П. 1
1МБОУ СОШ№1 с.Октябрьское Пригородного района РСО-А
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Введение.

Актуальность. Изучая историю возникновения и развития счета, ученые пришли к выводу, что в начале человек различал только понятия «один» и «много». Затем появились другие числа. На первых порах существования человеческого общества числа, открытые в процессе практической деятельности, служили для примитивного счета предметов, дней, шагов и т. д. В первобытном обществе человек нуждался лишь в нескольких первых числах. Но с развитием цивилизации ему потребовалось изобретать все большие и большие числа. С появлением обмена продуктами труда у людей появилась необходимость сравнивать число предметов одного вида с числом предметов другого вида. На этом этапе возникли понятия «больше», «меньше», «столько же» .

Число – важнейшее понятие математики, позволяющее выразить результаты счета или измерения. Понятие числа служит исходным для многих математических теорий. Числа используются в физике, химии, астрономии, биологии, медицине, архитектуре, кулинарии, в создании и работе компьютеров и мобильных телефонов, в повседневной жизни. Математика быстро развивается, и обойтись без вычислений невозможно. Поэтому очень важно знать разновидности чисел и их свойства.

Я могу с уверенностью говорить об актуальности своей работы. Ведь периодические или почти периодические последовательности используются в таких современных областях науки и техники, как: комбинаторика слов, символическая динамика, выразимость в логических теориях, вычислимость, колмогоровская сложность, теория чисел, радиотехника, биоинженерия, криптография, широко полостные системы связи, физика колебаний и волн, астрофизика, цифровые технологии.

Приведу примеры использования периодических последовательностей:

Радио – периодические сигналы.

Биоинженерия – компьютерный анализ последовательностей оснований ДНК и белков.

Криптография – последовательности от многочлена заданной степени.

Широко полостные системы связи – двоичные М-последовательности.

Цель работы: познакомиться с удивительными числами, которые называются складными; выяснить являются ли они периодическими.

Задачи: найти и описать алгоритм получения складных чисел.

Метод проведения исследования: теоретический.

Объект исследования: складные числа.

Предмет исследования: свойства складных чисел.

Проблема: Складные числа – это числа, квадрат которых оканчивается на это же число. Например, 52 = 25, 62 = 36. Проблема в том, чтобы найти как можно больше складных чисел; сформулировать правило нахождения всех таких чисел; проверить: являются ли они периодическими.

Гипотеза:

1.Каждое из складных чисел можно неограниченно продолжать влево единственным способом так, что на каждом шаге будет получаться складное число.

2. Кубы складных чисел тоже складные числа.

Основная часть.

В этой работе я рассматриваю задачу о складных числах. По определению складные числа – это числа, квадрат которых оканчивается на это же число. Однозначных складных чисел четыре: 02 = 0, 12 = 1, 52 = 25, 62 = 36. Двузначных складных чисел всего два: 252 = 625; 762 = 5776. Дальнейшие свои вычисления и результаты поисков для наглядности запишу в виде таблицы:

 

первый

второй

Однозначные

02=0, 12 =1, 52 = 25

02=0, 12 =1, 62 = 36

Двузначные

252 =625

762 =5776

Трехзначные

6252 = 390 625

3762 =141376

Четырехзначные

0625

93762 =87909376

Пятизначные

906252 = 82128 90625

09376

Шестизначные

8906252 = 793212 890625

1093762 =11963109376

Семизначные

28906252 = 8355712890625

71093762 =50543227109376

Восьмизначные

128906252 =166168212890625

871093762 =7588043387109376

Девятизначные

2128906252 = 45322418212890625

7871093762 =619541169787109376

Десятизначные

82128906252 = 67451572418212890625

17871093762 =3193759921787109376

Одиннадцатизначные

182128906252 = 331709384918212890625

817871093762 6689131260081787109376

Двенадцатизначные

9182128906252 = 843114912509918212890625

0817871093762 =

Тринадцатизначные

99182128906252 =98370946943759918212890625

00817871093762 =

Четырнадцатизначные

599182128906252 =3590192236006259918212890625

400817871093762 =1606549657881340081787109376

Период

5260982128199 -- 13 знаков

 

Шестнадцатизначное

6259918212890625

 

Следующие числа получаем, используя период.

В ходе вычислений я заметила некоторые закономерности появления складных чисел и сформулировала их в виде правил.

Правило для первого столбца: слева приписывается цифра, которая появилась в квадрате предыдущего числа перед цифрами, образующими само число. Например, 252 = 625 , перед цифрами 2 и 5, образующими число 25, появилась шестерка, значит, следующее складное число получается из числа 25 приписыванием к нему слева цифры 6.

Правило для второго столбца: слева приписывается не сама цифра, которая появилась в квадрате предыдущего числа перед цифрами, образующими это число, а разность между десяткой и этой цифрой. Например, 762 = 5776, перед цифрами 7 и 6, образующими число 76, появилась цифра 7. Значит, следуя нашему правилу, для получения нового складного числа слева к 76 приписываем 3= 10 – 7, получаем 376. Проверяем: 3762 =141376, оканчивается на 376, что соответствует определению складных чисел.

Далее в четырнадцатизначном складном числе появилась цифра 5, и далее цифры повторялись. Мною был сделан вывод, что складные числа, получаемые в первом столбце, периодические и период равен 5260982128199. То есть каждое следующее складное число можно получать, просто приписывая слева цифру из периода.

К сожалению, у чисел второго столбца период пока обнаружить не удалось, но есть некоторые интересные свойства, например, кубы складных чисел тоже складные числа.

Складные числа

Их кубы

 

0

0

 

1

1

 

5

25

 

25

625

 

625

244140625

 

90625

744293212890625

 

890625

706455230712890625

 

2890625

24153232574462890625

 

12890625

2142012119293212890625

 

212890625

9648717939853668212890625

 

8212890625

553972386755049228668212890625

 

18212890625

6041386746801435947418212890625

 

918212890625

774158980944775976240634918212890625

 

9918212890625

975663994040587567724287509918212890625

 

59918212890625

215117902715292075299657881259918212890625

 

0

0

 

1

1

 

6

216

 

76

438976

 

376

53157376

 

9376

824238309376

 

109376

1308477051109376

 

7109376

359330805773947109376

 

87109376

660989724512024187109376

 

787109376

487646663557441713787109376

 

1787109376

5707598300918769841787109376

 

81787109376

547084709998729825020081787109376

 

0081787109376

547084709998729825020081787109376

 

40081787109376

64393381367840719813182950140081787109376

 

Решая задачу о складных квадратах, я встретила еще одну задачу о периодических последовательностях: Дана последовательность чисел C1, C2, ..., Cn, ... в которой Cn есть последняя цифра числа nn. Докажите, что эта последовательность периодическая и ее наименьший период равен 20.

Решение.

Докажем, что длина периода рассматриваемой последовательности равна 20. Мы знаем, что у двух натуральных чисел а и b совпадают цифры единиц тогда и только тогда, когда их разность оканчивается нулем, то есть: делится на 10. Значит, достаточно доказать, что разность (n+20)n+20nn делится на 10 для всех натуральных значений n. Так как pk qk делится на (p q), получаем, что (n+20)n+20nn+20 делится на ((n+20) n) = 20.

Кроме того,

nn+20nn = nn(n20 1) = nn *((n4)51) делится на n(n41) для всех n > 1.

Вместе с тем,

n(n4- 1) = n(n2 -1)(n2+1) = n(n-1)(n + 1)((n+2)(n - 2) + 5) =

(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) + 5(n-1)n(n+1),

где каждое из слагаемых делится на 2 (так как содержит произведение n(n+1)) и делится на 5 (поскольку первое слагаемое есть произведение пяти последовательных чисел, а второе содержит множитель 5).

Число (n + 20)n+20nn = ((n+20)n+20nn+20) + (nn+20nn)

делится на 10, так как каждое из слагаемых делится на 10.

Следовательно, nn+20nn делится на 10. То есть, у чисел nn+20 и nn цифры единиц совпадают. Значит, рассматриваемая последовательность периодическая.

Проверим, что 20 является наименьшим периодом, выписывая первые 20 значений последовательности C1, C2, ...

1 4 7 6 5 3 6 9 0 1 6 3 6 5 6 7 4 9 0

видим, что она не имеет периода меньшей длины:

11=1, 22=4, 33 – 7, 44 ---6, 55 – 5,66---6, 77 –3, 88 – 6, 99 –9,1010—0., 1111 –1.,1212 – 6, 1313 – 3, 1414 – 6, 1515 ---5, 1616 – 6, 1717 – 7, 1818 –4, 1919—9, 2020 –0, т. е

1,4,7,6,5, 6, 3,6, 9.0,1,6,3,6,5,6,7,4,9,0 – далее цифры повторяются

Занимаясь исследованиями складных чисел, я обнаружила, что если находить суммы квадратов цифр складных чисел, то обязательно приходишь к периоду из восьми чисел (145,42, 20,4,16,37, 58,89). Но потом оказалось, что любые числа с помощью таких действий можно привести к такому периоду или к единице.

Например, 64переходит в 36 +16=52

52переходит в 25+4=29

29 переходит в 4+81=85

85переходит в 64+81= 145→42→20→4→16→37→58→89→145.

Теперь приведу пример для единицы:

70→49→16+81=97→81+49=130→ 1+9=10→1

Заключение.

Изучение истории развития теории чисел показало, что когда-то числа служили только для решения практических задач. А потом им дали имена, придумали цифры, стали изучать – узнавать их свойства. Приписывали им удивительные свойства, считали их магическими. Я поняла, что числа – основа математики, её фундамент. Знание свойств чисел позволяет быстро выполнять арифметические действия над ними.

В процессе изучения чисел, мною решена была задача о нахождении способа получения складных чисел и выяснено, что

1.складные числа, оканчивающиеся на цифру 5, периодические с периодом 5260982128199.

2. кубы складных чисел тоже складные числа.

В дальнейшем я планирую выяснить свойства складных чисел. Продолжить работу по выяснению периодичности складных чисел, оканчивающихся на цифру 6, и выяснить, есть ли еще периодические числа с другими интересными свойствами.

Список литературы.

А.А. Щуплецова, - Мн: ТОО «Харвест», 1996

А.Н. Колмогоров, Математика – Наука и профессия, Москва, «Наука» главная редакция физико - матем. литературы, 1988

В. В. Мадер, Математический детектив, Книга для учащихся, Москва, «Просвещение», 1992, 97с

Википедия – числа с собственными именами.

Гусак А.А., Гусак Г.М., Гусак Е.А. В мире чисел, Минск: Народная асвета,1987, 191стр.

Деплан И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики: Пособие для учащихся 5-6классов средней школы, Москва, Просвещение,1989, 287стр

Математика и программирование (универсальная энциклопедия)/под ред.

http://maths-ru.blogspot.com/2008/06/blog-post_06.html

http://61378.forum.onetwomax.de/topic=101580959070

www.office-loesung.de/ftopic14222_0_0_asc.php.

10

Просмотров работы: 30