VIII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

Складные числа

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Цховребова К.В. 1

---

1МБОУ СОШ№1 с Октябрьское Пригородного района РСО-А

Тедеева Е.П. 1

---

1МБОУ СОШ№1 с.Октябрьское Пригородного района РСО-А

Работа в формате PDF

110.6 KB

Автор работы награжден дипломом победителя III степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

Введение.

Актуальность. Изучая историю возникновения и развития счета, ученые пришли к выводу, что в начале человек различал только понятия «один» и «много». Затем появились другие числа. На первых порах существования человеческого общества числа, открытые в процессе практической деятельности, служили для примитивного счета предметов, дней, шагов и т. д. В первобытном обществе человек нуждался лишь в нескольких первых числах. Но с развитием цивилизации ему потребовалось изобретать все большие и большие числа. С появлением обмена продуктами труда у людей появилась необходимость сравнивать число предметов одного вида с числом предметов другого вида. На этом этапе возникли понятия «больше», «меньше», «столько же» .

Число – важнейшее понятие математики, позволяющее выразить результаты счета или измерения. Понятие числа служит исходным для многих математических теорий. Числа используются в физике, химии, астрономии, биологии, медицине, архитектуре, кулинарии, в создании и работе компьютеров и мобильных телефонов, в повседневной жизни. Математика быстро развивается, и обойтись без вычислений невозможно. Поэтому очень важно знать разновидности чисел и их свойства.

Я могу с уверенностью говорить об актуальности своей работы. Ведь периодические или почти периодические последовательности используются в таких современных областях науки и техники, как: комбинаторика слов, символическая динамика, выразимость в логических теориях, вычислимость, колмогоровская сложность, теория чисел, радиотехника, биоинженерия, криптография, широко полостные системы связи, физика колебаний и волн, астрофизика, цифровые технологии.

Приведу примеры использования периодических последовательностей:

Радио – периодические сигналы.

Биоинженерия – компьютерный анализ последовательностей оснований ДНК и белков.

Криптография – последовательности от многочлена заданной степени.

Широко полостные системы связи – двоичные М-последовательности.

Цель работы: познакомиться с удивительными числами, которые называются складными; выяснить являются ли они периодическими.

Задачи: найти и описать алгоритм получения складных чисел.

Метод проведения исследования: теоретический.

Объект исследования: складные числа.

Предмет исследования: свойства складных чисел.

Проблема: Складные числа – это числа, квадрат которых оканчивается на это же число. Например, 5² = 25, 6² = 36. Проблема в том, чтобы найти как можно больше складных чисел; сформулировать правило нахождения всех таких чисел; проверить: являются ли они периодическими.

Гипотеза:

1.Каждое из складных чисел можно неограниченно продолжать влево единственным способом так, что на каждом шаге будет получаться складное число.

2. Кубы складных чисел тоже складные числа.

Основная часть.

В этой работе я рассматриваю задачу о складных числах. По определению складные числа – это числа, квадрат которых оканчивается на это же число. Однозначных складных чисел четыре: 0² = 0, 1² = 1, 5² = 25, 6² = 36. Двузначных складных чисел всего два: 25² = 625; 76² = 5776. Дальнейшие свои вычисления и результаты поисков для наглядности запишу в виде таблицы:

Следующие числа получаем, используя период.

В ходе вычислений я заметила некоторые закономерности появления складных чисел и сформулировала их в виде правил.

Правило для первого столбца: слева приписывается цифра, которая появилась в квадрате предыдущего числа перед цифрами, образующими само число. Например, 25² = 625 , перед цифрами 2 и 5, образующими число 25, появилась шестерка, значит, следующее складное число получается из числа 25 приписыванием к нему слева цифры 6.

Правило для второго столбца: слева приписывается не сама цифра, которая появилась в квадрате предыдущего числа перед цифрами, образующими это число, а разность между десяткой и этой цифрой. Например, 76² = 5776, перед цифрами 7 и 6, образующими число 76, появилась цифра 7. Значит, следуя нашему правилу, для получения нового складного числа слева к 76 приписываем 3= 10 – 7, получаем 376. Проверяем: 376² =141376, оканчивается на 376, что соответствует определению складных чисел.

Далее в четырнадцатизначном складном числе появилась цифра 5, и далее цифры повторялись. Мною был сделан вывод, что складные числа, получаемые в первом столбце, периодические и период равен 5260982128199. То есть каждое следующее складное число можно получать, просто приписывая слева цифру из периода.

К сожалению, у чисел второго столбца период пока обнаружить не удалось, но есть некоторые интересные свойства, например, кубы складных чисел тоже складные числа.

Решая задачу о складных квадратах, я встретила еще одну задачу о периодических последовательностях: Дана последовательность чисел C₁, C₂, ..., C_n, ... в которой C_n есть последняя цифра числа nⁿ. Докажите, что эта последовательность периодическая и ее наименьший период равен 20.

Решение.

Докажем, что длина периода рассматриваемой последовательности равна 20. Мы знаем, что у двух натуральных чисел а и b совпадают цифры единиц тогда и только тогда, когда их разность оканчивается нулем, то есть: делится на 10. Значит, достаточно доказать, что разность (n+20)ⁿ⁺²⁰nⁿ делится на 10 для всех натуральных значений n. Так как p^k q^k делится на (p q), получаем, что (n+20)ⁿ⁺²⁰nⁿ⁺²⁰ делится на ((n+20) n) = 20.

Кроме того,

nⁿ⁺²⁰nⁿ = nⁿ(n²⁰ 1) = nⁿ *((n⁴)⁵1) делится на n(n⁴1) для всех n > 1.

Вместе с тем,

n(n⁴- 1) = n(n² -1)(n²+1) = n(n-1)(n + 1)((n+2)(n - 2) + 5) =

(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) + 5(n-1)n(n+1),

где каждое из слагаемых делится на 2 (так как содержит произведение n(n+1)) и делится на 5 (поскольку первое слагаемое есть произведение пяти последовательных чисел, а второе содержит множитель 5).

делится на 10, так как каждое из слагаемых делится на 10.

Следовательно, nⁿ⁺²⁰nⁿ делится на 10. То есть, у чисел nⁿ⁺²⁰ и nⁿ цифры единиц совпадают. Значит, рассматриваемая последовательность периодическая.

Проверим, что 20 является наименьшим периодом, выписывая первые 20 значений последовательности C₁, C₂, ...

видим, что она не имеет периода меньшей длины:

1¹=1, 2²=4, 3³ – 7, 4⁴ ---6, 5⁵ – 5,6⁶---6, 7⁷ –3, 8⁸ – 6, 9⁹ –9,10¹⁰—0., 11¹¹ –1.,12¹² – 6, 13¹³ – 3, 14¹⁴ – 6, 15¹⁵ ---5, 16¹⁶ – 6, 17¹⁷ – 7, 18¹⁸ –4, 19¹⁹—9, 20²⁰ –0, т. е

1,4,7,6,5, 6, 3,6, 9.0,1,6,3,6,5,6,7,4,9,0 – далее цифры повторяются

Занимаясь исследованиями складных чисел, я обнаружила, что если находить суммы квадратов цифр складных чисел, то обязательно приходишь к периоду из восьми чисел (145,42, 20,4,16,37, 58,89). Но потом оказалось, что любые числа с помощью таких действий можно привести к такому периоду или к единице.

Например, 64переходит в 36 +16=52

52переходит в 25+4=29

29 переходит в 4+81=85

85переходит в 64+81= 145→42→20→4→16→37→58→89→145.

Теперь приведу пример для единицы:

70→49→16+81=97→81+49=130→ 1+9=10→1

Заключение.

Изучение истории развития теории чисел показало, что когда-то числа служили только для решения практических задач. А потом им дали имена, придумали цифры, стали изучать – узнавать их свойства. Приписывали им удивительные свойства, считали их магическими. Я поняла, что числа – основа математики, её фундамент. Знание свойств чисел позволяет быстро выполнять арифметические действия над ними.

В процессе изучения чисел, мною решена была задача о нахождении способа получения складных чисел и выяснено, что

1.складные числа, оканчивающиеся на цифру 5, периодические с периодом 5260982128199.

2. кубы складных чисел тоже складные числа.

В дальнейшем я планирую выяснить свойства складных чисел. Продолжить работу по выяснению периодичности складных чисел, оканчивающихся на цифру 6, и выяснить, есть ли еще периодические числа с другими интересными свойствами.

Список литературы.

А.А. Щуплецова, - Мн: ТОО «Харвест», 1996

А.Н. Колмогоров, Математика – Наука и профессия, Москва, «Наука» главная редакция физико - матем. литературы, 1988

В. В. Мадер, Математический детектив, Книга для учащихся, Москва, «Просвещение», 1992, 97с

Википедия – числа с собственными именами.

Гусак А.А., Гусак Г.М., Гусак Е.А. В мире чисел, Минск: Народная асвета,1987, 191стр.

Деплан И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики: Пособие для учащихся 5-6классов средней школы, Москва, Просвещение,1989, 287стр

Математика и программирование (универсальная энциклопедия)/под ред.

http://maths-ru.blogspot.com/2008/06/blog-post_06.html

http://61378.forum.onetwomax.de/topic=101580959070

www.office-loesung.de/ftopic14222_0_0_asc.php.