IX Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Математические софизмы
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
1. Введение
Математика - один из наших любимых школьных предметов. Он нам нравится не только потому, что это основной школьный предмет, но и потому, что без математических знаний в жизни не обойтись. Занятие математикой развивает логическое мышление, сосредоточенность, находчивость, устойчивое внимание, хорошую память, смекалку.
Тема нашей работы «Софизмы в нашей жизни». Мы выбрали эту тему для своего проекта не случайно. Как-то вечером папа задал мне вопрос: «Саша, а ты знаешь, что 6 = 7? Мне стало интересно. Папа с легкостью доказал это равенство.
Вот как это было: 6=7.
Запишем верное равенство: 42 +12 - 54 = 49 +14 – 63.
Вынесем общий множитель за скобки: 6(7 + 2 – 9) = 7(7 + 2 – 9)
Разделим обе части на общий множитель (7 + 2 – 9).
Получим, что 6 = 7 , что и требовалось доказать. Где ошибка? Ведь этого быть не может. Папа сказал, что есть такое понятия, как софизм. Так я определился с темой проекта. Катя сама выбрала тему из списка, который был предложен учителем математики. Для нее понятие софизм тоже было неизвестно, поэтому она решила узнать, что означает это незнакомое и интересное слово.
В процессе работы мы выяснили, что существует великое множество софизмов, и с их помощью можно доказать практически что угодно: как равенство всех чисел между собой (например, 34 =7), так и то, что прямой угол равен тупому.
Эта тема сейчас актуальна, потому что софизм - это обман, а так как не каждый может его распознать, то с помощью софизмов люди обманывают друг друга в наше время, как и тысячелетия назад.
Цель: узнать, что такое софизмы и научиться находить ошибку в софизмах.
Задачи:
1. Познакомиться с историей софизмов.
2. Узнать, какие бывают софизмы. Классификация софизмов.
3. Понять, как найти ошибку в софизмах?
4. Разбор софизмов.
5. Составить анкету для обучающихся, познакомить одноклассников с результатами работы.
6. Составить рекомендации для нахождения ошибок в софизмах.
Гипотеза: софизмы - тренировка для ума.
Объект и предмет исследования: софизмы
Методы исследования:
1. Анализ литературы и информации, полученной из Интернет источников
2. Обсуждение темы с учителем, родными и одноклассниками
3. Анкетирование одноклассников
4. Анализ и обобщение полученных данных.
2. Теоретическая часть
Что такое софизмы?
Софизм (от греч. - мастерство, умение, хитрая выдумка, уловка, мудрость) - ложное умозаключение, которое, тем не менее, при поверхностном рассмотрении кажется правильным. Софизм основан на преднамеренном, сознательном нарушении правил логики.
Что же такое математический софизм? Математический софизм - удивительное утверждение, в доказательстве которого кроются незаметные, а подчас и довольно тонкие ошибки. История математики полна неожиданных и интересных софизмов, разрешение которых порой служило толчком к новым открытиям. Очень часто понимание ошибок в софизме ведет к пониманию математики в целом, помогает развивать логику и навыки правильного мышления. Если нашел ошибку в софизме, значит, ты ее осознал, а осознание ошибки предупреждает от ее повторения в дальнейших математических рассуждениях. Софизмы не приносят пользы, если их не понимать. Что касается типичных ошибок в софизмах, то они таковы: запрещенные действия, пренебрежение условиями теорем, формул и правил, ошибочный чертеж, опора на ошибочные умозаключения. Нередко, ошибки, допущенные в софизме, настолько умело скрыты, что даже опытный математик не сразу их выявит. Именно в этом и проявляется связь математики и философии в софизмах. На самом деле, софизм - гибрид не только математики и философии, но и логики с риторикой. Основные создатели софизмов – древнегреческие ученые-философы, но тем не менее, они создавали математические софизмы, основываясь на элементарных аксиомах, что еще раз подтверждает связь математики и философии в софизмах. Кроме того, очень важно правильно преподнести софизм, так, чтобы докладчику поверили, а значит, необходимо владеть даром красноречия и убеждения. Группа древнегреческих ученых, начавшая заниматься софизмами как отдельным математическим явлением, назвала себя софистами.
2.2. История возникновения софизмов
Мы изучили историю возникновения софизмов. Софистика – это искусство ведения спора. Она вошла в моду в Греции в V веке до нашей эры. Имея в этом выгоду или просто интерес, многие умные и хитрые люди строго логически доказывали, что черное – это белое, истина – это ложь, добро – это зло и т.д. Так появились софизмы – формально кажущиеся правильными, но по существу ложными умозаключениями. Эти рассуждения могут быть истинны в каждой отдельной части, но неверные в целом.
Софизм – слово греческого происхождения, в переводе означающее хитроумную выдумку, ухищрение или головоломку. Речь идет о "доказательстве", направленном на формально – логическое установление абсурдного положения. В основном математические софизмы строятся на неверном словоупотреблении, на неточности формулировок, на скрытом выполнении невозможных действий, на незаконных обобщениях.
Систематический анализ софизмов был дан впервые Аристотелем (384-322 до н. э.) в особом трактате, в котором все ошибки разделяются на два класса: "неправильности речи" и ошибки "вне речи", т.е. в мышлении. Каков бы ни был софизм, он обязательно содержит замаскированные ошибки. Часто в математических софизмах скрыто выполняются запрещенные действия или не учитываются условия применения теорем, формул и правил.
Одна из основных задач софистов заключалась в том, чтобы научить человека доказывать (подтверждать или опровергать) все, что угодно, выходить победителем из любого интеллектуального состязания. Для этого они разрабатывали разнообразные логические, риторические и психологические приемы. К логическим приемам нечестного, но удачного ведения дискуссии и относятся софизмы. Однако, одних только софизмов для победы в любом споре недостаточно. Ведь если объективная истина окажется не на стороне спорящего, то он, в любом случае, проиграет полемику, несмотря на все свое софистическое искусство. Это хорошо понимали и сами софисты. Поэтому помимо различных логических, риторических и психологических уловок в их арсенале была важная философская идея (особенно дорогая для них), состоявшая в том, что никакой объективной истины не существует: сколько людей, столько и истин. Софисты утверждали, что все в мире субъективно и относительно. Если признать эту идею справедливой, то тогда софистического искусства будет вполне достаточно для победы в любой дискуссии: побеждает не тот, кто находится на стороне истины, а тот, кто лучше владеет приемами полемики.
Софист – это:
1. Человек, прибегающий к софизмам для доказательства заведомо неверных мыслей, положений.
2. В древней Греции первоначальный мудрец, знаток, потом платный учитель философии, красноречия, искусства спора, а также - философ, расходившийся с общепринятыми взглядами в вопросах религии и морали и обвинявшийся противниками в пользовании софизмами.
Наиболее серьезную роль сыграли математические софизмы, придуманные в V веке до нашей эры мудрецом Зеноном из южно-итальянского города Элеи. Например, одна из них: «В каждый момент времени летящая стрела неподвижна. Значит, она неподвижна во все моменты времени, и ее движение никогда не сможет начаться».
В истории развития математики софизмы способствовали повышению строгости в рассуждениях и более глубокому пониманию понятий и методов математики.
2.3. Классификация ошибок в софизмах
Первую систематизацию софизмов дал еще Аристотель в IV веке до нашей эры. Он разделил все ошибки на 2 класса «ошибки речи» и ошибки «вне речи», то есть в мышлении.
Софисты в своих рассуждениях использовали разные ошибки, такие как:
Логические и ошибки в рассуждениях. Например: «Закон Моисеев запрещал воровство. Но закон Моисеев потерял свою силу, следовательно, воровство не запрещено», или «Все люди разумные существа, жители планет не люди, следовательно, они не разумные существа;
Терминологические ошибки – неправильное употребление слов или построение предложения. Например, «Все углы треугольника равны 180 градусам» в смысле «Сумма углов треугольника равна 180 градусам».
Ошибки в применении формул. Например : Чётное и нечётное. 5 есть 2 + 3 («два и три»). Два — число чётное, три — нечётное, выходит, что пять — число и чётное и нечётное. Пять не делится на два, также, как и 2 + 3, значит, оба числа не чётные!
Практическая часть
3.1. Разбор математических софизмов
Рассмотрим некоторые софизмы, помогающие нам развить логическое мышление и проверить, насколько глубоко мы понимаем некоторые моменты курса математики. Как было сказано ранее, в математических софизмах чаще всего используются «запрещенные действия» либо не учитываются условия применимости теорем, формул или правил. Часто понимание людьми ошибок в софизме ведет к пониманию математики в целом, развивает логику и навыки правильного мышления. Математические софизмы делятся на 4 вида: арифметические, алгебраические, геометрические, логические. Мы рассмотрим некоторые из них.
Арифметические софизмы– это числовые выражения, имеющие неточность или ошибку, не заметную с первого взгляда.
Дважды два – пять (2 * 2 = 5)
Доказательство:
Пусть исходное соотношение - очевидное равенство:
4:4= 5:5 (1) .
Вынесем за скобки общий множитель каждой части (1) равенства, и мы получим:
4*(1:1)=5*(1:1) (2)
Разложим число 4 на произведение 2 *2
(2*2)* (1:1)=5*(1:1) (3)
Наконец, зная, что 1:1=1, мы из соотношения (2) устанавливаем: 2*2=5.
Ошибка заключается в том, что нельзя было выносить множитель за скобки в в частном, множитель можно выносить либо из суммы, либо из разности.
Один рубль не равен ста копейкам
Доказательство:
Известно, что любые два неравенства можно перемножать почленно, не нарушая при этом равенства, т.е. Если a=b, c=d, то ac=bd.
Применим это положение к двум очевидным равенствам
1 р.=100 коп, (1)
10р.=10*100коп.(2)
Перемножая эти равенства почленно, получим 10 р.=100000 коп.
Наконец, разделив последнее равенство на 10 получим, что 1 р.=10 000 коп., таким образом, один рубль не равен ста копейкам.
Ошибка, допущенная в этом софизме, состоит в нарушении правил действия с именованными величинами: необходимо переходить к единым единицам измерения.
Софизм «5 = 6»
Докажем, что 5 =6. С этой целью возьмем числовое равенство 35 + 10- 45 = 42 + 12 — 54. Вынесем общий множитель левой и правой части за скобки. Получим 5(7 + 2 — 9) = 6 (7 + 2 — 9). Разделим обе части этого равенства на общий множитель (7 + 2 — 9). Получаем 5=6. В чем ошибка?
Ошибка: нельзя делить на равенство (7 + 2 — 9), т. к. (7 + 2 — 9)= 0. Ма знаем еще из начальной школы, что на 0 делить нельзя.
Таки образом, можно доказать равенство любых разных двух чисел.
Софизм «Пропавший рубль»
Три подруги зашли в кафе выпить по чашке кофе7 Выпили. Официант принес им счет на 30 рублей. Подруги заплатили по 10 рублей и вышли. Однако хозяин кафе решил сделать скидку посетительницам, сказав что кофе стоит 25 рублей. Официант взял деньги и побежал доганять подруг, но пока он бежал, подумал, что им будет трудно делить 5 рублей, ведь их трое, поэтому решил отдать им по 1 рублю, а 2 рубля оставить себе. Так и сделал.
Что же получилось? Подруги заплатили по 9 рублей. 9 . 3 = 27 рублей, да 2 рубля осталось у официанта. А где же еще 1 рубль?
Ошибка. Задача сформулирована так, чтобы запутать читателя. Подруги заплатили 27 рублей, из этой суммы 25 рублей осталось у хозяина кафе, а 2 рубля у официанта. И никакого пропавшего рубля!
Логические софизмы
Софизмы выглядят как лишенная смысла и цели игра с языком; игра, опирающаяся на многозначность языковых выражений, их неполноту, недосказанность, зависимость их значений от контекста и т.д. Эти софизмы кажутся особенно наивными и несерьезными. Приведем некоторые примеры:
Полный стакан равен пустому
Рассмотрим стакан, наполненный водой до половины. Тогда можно сказать, что стакан, наполовину полный равен стакану наполовину пустому.
Увеличивая обе части равенства вдвое, получим, что стакан полный равен
стакану пустому. Где ошибка?
Ясно, что приведенное рассуждение неверно, так как в нем применяется неправомерное действие: увеличение вдвое. В данной ситуации его применение бессмысленно, т.к. пустое увеличить вдвое не возможно.
Софизм учебы
Данным софизмом является песенка, сочиненная английскими студентами:
The more you study, the more you know
The more you know, the more you forget
The more you forget, the less you know
The less you know, the less you forget
The less you forget, the more you know
So why study?
Перевод:
Чем больше учишься, тем больше знаешь.
Чем больше знаешь, тем больше забываешь.
Чем больше забываешь, тем меньше знаешь.
Чем меньше знаешь, тем меньше забываешь.
Но чем меньше забываешь, тем больше знаешь.
Так для чего учиться?
Это стихотворение можно смело назвать логическим софизмом!
Геометрические софизмы
Геометрические софизмы – это умозаключения или рассуждения, обосновывающие какую-нибудь заведомую нелепость, абсурд или парадоксальное утверждение, связанное с геометрическими фигурами и действиями над ними.
Софизм «Загадочное исчезновение» (Приложение 1). У нас есть произвольный прямоугольник на котором начерчено 13 одинаковых линий на равном расстоянии друг от друга. Теперь «разрежем» прямоугольник прямой MN, проходящей через верхний конец первой и нижний конец последней линии. Сдвигаем обе половины вдоль по этой линии и замечаем, что линий вместо 13 стало 12. Одна линия исчезла бесследно. Куда исчезла 13-я линия?
Разбор софизма. 13-я линия удлинила каждую из оставшихся на 1/12 своей длины.
Примеры софизмов приведены в Приложении 2.
Работая над проектом, мы составили рекомендации по нахождению ошибок в софизмах (Приложение 3).
3.2. Анкетирование
Мы провели анкетирование среди обучающихся 7 классов на знание софизмов. В анкетировании приняло участие 40 человек. Были заданы следующие вопросы:
1. Доводилось ли вам слышать подобную фразу: «Дважды два равно пяти» или хотя бы «Два равно трём»?
«Да» – 24 человека, 60 %
2. Знакомо ли вам понятие «софизм»?
«Да» - 10 человек, 25 %
3. Хотелось ли вам познакомиться с софизмами?
«Да» - 36 человек, 90 %.
Анкетирование показало, что немногим ребятам известно понятие «софизм». 90 % обучающихся хотели бы больше узнать о софизмах. Мы выступим перед ребятами с нашим проектом.
Заключение
Из года в год появляются новые софизмы, некоторые из них могут остаться в истории, о многих быстро забудут. Ведь софизмы - это смесь математики и логики, поэтому они помогают не только развивать логику, но и лучше понимать математику в целом. В современном мире есть много людей, так или иначе употребляющих софизмы в обычной жизни, даже не зная, что это такое. Есть же и такие люди, которые целенаправленно изучают софизмы, например политики или СМИ, чтобы вводить людей в заблуждение, или просто развить свои навыки логики и правильности рассуждений.
Поначалу может показаться, что существует мало софизмов, или что они не используются в жизни, то есть бесполезны. Но это не так. За свою жизнь человек слышит десятки софизмов, не умея отличить их от правдивых утверждений, и даже не зная, что вообще означает слово софизм.
Понять софизм, то есть решить его, получается не сразу. Поначалу, чтобы решить некоторые софизмы, приходилось по многу раз их внимательно перечитывать, вдумываться. К концу работы над проектом ошибки стали находиться быстрее. Благодаря софизмам можно научиться искать ошибки в рассуждениях других, научится грамотно строить свою речь.
Вообще, решение софизмов – интересное и познавательное занятие. Поиск заключенных в софизме ошибок, ясное понимание их причин ведут к осмысленному постижению математики. Работая над проектом, мы составили рекомендации по разбору софизмов (Приложение 3). Наш проект будет полезен людям, которые начинают работать с софизмами с целью развития свих интеллектуальных способностей.
Мы считаем, наш проект актуален и имеет практическое применение. Задачи выполнены, цель достигнута.
Решение софизмов тренируют наш мозг, то есть наша гипотеза верна.
Действительно, софизмы являются тренировкой для ума.
Информационные источники
«Математические софизмы». Книга для учащихся 7-11 классов. Авторы: А.Г. Мадера, Д.А. Мадера. Издательство Москва «Просвещение» 2003.
«Математическая шкатулка». Автор: Ф.Ф. Нагибин. Государственное учебно-педагогическое издательство министерства просвещения РСФСР 1961.
Т.Н. Михеева. Софизмы
«Математика после уроков». Пособие для учителей. Авторы: М.Б.Балк, Г.Д.Балк. Издательство Москва «Просвещение», 1971.
«Парадоксы науки». Автор: А.К.Сухотин. Издательство "Молодая гвардия", 1978 г.
Приложение 1
«Загадочное исчезновение»
Приложение 2
Лекарства
«Лекарство, принимаемое больным, есть добро. Чем больше делать добра, тем лучше. Значит, лекарств нужно принимать как можно больше».
Девушка — не человек
Доказательство от противного. Допустим, девушка – человек. Девушка – молодая, значит девушка – молодой человек. Молодой человек – это парень. Противоречие. Значит девушка — не человек.
Вор
Вор не желает приобрести ничего дурного. Приобретение хорошего есть дело хорошее. Следовательно, вор желает хорошего.
Разговор софиста и любителя спорить
Софист: “Может ли мёд быть сладким и несладким одновременно?”
Любитель: “нет”
Софист: “ А мёд сладкий?”
Любитель: “Да”
Софист: “А мёд желтый?”
Любитель: “Да”
Софист: “А жёлтый - значит сладкий?”
Любитель: “Нет”
Софист: “Значит мёд сладкий и несладкий одновременно!”
Не знаешь то, что знаешь
— Знаешь ли ты то, о чём я хочу тебя спросить?
— Нет.
— Знаешь ли ты, что добродетель есть добро?
— Знаю.
— Об этом я и хотел тебя спросить. А ты, выходит, не знаешь то, что знаешь.
Примеры геометрических софизмов, которые можно услышать на уроке геометрии:
- Смежные углы равны 180 градусам;
- Накрест лежащие углы равны.
Приложение 3
Рекомендации по нахождению ошибок в софизмах
Внимательно прочитать условие предложенной вам задачи.
Начинать поиск ошибки лучше с условия предложенного софизма. В некоторых софизмах абсурдный результат получается из-за противоречивых или неполных данных в условии, неправильного чертежа, ложного первоначального предположения, а далее все рассуждения проводятся верно. Это и вызывает затруднения при поиске ошибки.
Установить темы, которые отражены в софизме. Обучающиеся, учителя привыкли, что задания, предлагаемые в учебнике, не содержат ошибок в условии, поэтому, если получается неверный результат, то ошибку они ищут непременно по ходу решения.
Воспроизвести вслух точные формулировки утверждений. Установить темы, которые отражены в софизме, предложенных преобразованиях. Софизм может делиться на несколько тем, которые потребуют детального анализа каждой из них. И если вы увидели эти темы, попытайтесь зрительно разбить «большой софизм» на маленькие.
Выяснить, соблюдены ли все условия применимости теорем, правил, формул, логичности. Воспроизвести вслух точные формулировки утверждений, используемых в софизме. Например: 2 * 2 =5. Если произнести эту фразу вслух, то мы можем услышать ошибку, услышав самого себя, или более подробно разобраться в смысле софизма.
Проверять преобразования. После каждого перехода проверить полученный результат обратным действием. Выяснить, соблюдены ли все условия применимости теорем, правил, формул, соблюдена ли логичность. Действительно, некоторые софизмы построены на неверном использовании определений, законов, на «забывании» условий применимости некоторых теорем. Очень часто в формулировках, правилах запоминаются основные, главные фразы и предложения, всё остальное упускаются. И тогда второй признак равенства треугольников превращается в признак «по стороне и двум углам».