IX Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Дельтоид
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Цели и задачи проекта. Его актуальность.
Познакомить и показать подходы к изучению свойств и признаков дельтоида.
Ознакомление с понятием «Мозаика Пенроуза», её практическое и историческое значение.
Демонстрация дельтоидов в окружающем нас мире, а именно - в военной технике, где часто используется данная фигура.
Так же, я поставил несколько задач: дать понятие дельтоида; определение выпуклого дельтоида; обоснование признаков выпуклого дельтоида; привести доказательство свойств выпуклого дельтоида; вывод формул площади выпуклого дельтоида.
Придумать достаточное количество интересных и разноуровневых задач на дельтоид. Это оказались задачи на построение дельтоида, задачи исследовательского характера.
Актуальность темы. Расширение кругозора, использование работы в дальнейших исследованиях по математике, применении задач на контрольных. Целью данной исследовательской работы «Дельтоид» было показать широкие возможности творческой деятельности, которые открываются при изучении этой фигуры.
ОГЛАВЛЕНИЕ:
Введение:
а) Мозаика Пенроуза.
б) Использование дельтоидов в жизни и военной технике.
2. Основная часть:
а) Определение дельтоида;
б) Свойства дельтоида;
в) Признаки дельтоида;
г) Формулы для нахождения Р дельтоидов;
д) Задачи по теме «Дельтоид»
3.Заключение.
4. Список используемой литературы.
ВВЕДЕНИЕ
В настоящее время все больше возрастает актуальность исследований таких фигур, как дельтоид и дельтоидные многогранники.
Интересно, что очень часто такие фигуры используются для орнаментального мощения. Так называемая, мозаика Пенроуза. Что это такое? Это заполнение плоскости дельтоидами без зазоров и перекрываний. Принципы Пенроуза используются в архитектуре с древнейших времен.
Мечеть имама Дарб-и, находящаяся на территории современного Ирана в провинции Исфахан и построенная в 1453 году, украшена узором (гирихом), очень напоминающим по своей структуре мозаику Пенроуза.
Если раньше эти фигуры рассматривали только в архитектуре и дизайне декоративной мозаики, то сейчас они особенно важны при разработке современных летательных аппаратов и плавательных судов.
Давайте присмотримся к геометрии летательных аппаратов, производимых по технологии «Стелс». Мы увидим, что при проектировании «летающего крыла» в моделях «NorthropB-2 Spirit», «Vulcan», «Niqhthawk» используется геометрическая форма - невыпуклый дельтоид. А при производстве беспилотников – Х-47А, RQ-170 – выпуклый дельтоид. Если рассматривать форму кораблей - «Стелс», то обнаружим сложную объемную конфигурацию дельтоидальных многогранников.
«Niqhthawk» - первый современный серийный самолёт со схемой «летающее крыло», первый самолёт, на котором удалось значительно снизить радиолокационную и инфракрасную заметность.
«Вулкан» - стратегический бомбардировщик с дельтовидным крылом, у которого была снижена радиолокационная заметность при наблюдении с определённых ракурсов за счет упрощения внешних форм.
«NorthropB-2 Spirit», серия проектов дальнего тяжелого бомбардировщика, имели сниженную радиолокационную заметность благодаря аэродинамической схеме «летающее крыло». Конфигурация невыпуклых дельтоидов.
Беспилотник Х-47А (выпуклый дельтоид)
RQ-170 - ударный БПЛА (невыпуклый дельтоид)
Корветы типа «Висбю» Швеция, Си Шэдоу – судно, опытный образец
Так что же такое дельтоид (определение).
Дельтоид - четырёхугольник, у которого есть только две пары равных смежных сторон.
Главная диагональ дельтоида - это линия соединяющая вершины не равных углов дельтоида.
Не главная диагональ дельтоида - назовем вторую диагональ дельтоида.
Средняя линия дельтоида - это прямая, соединяющая середину смежных сторон дельтоида.
Дельтоид бывает выпуклым и невыпуклым. (Рис.№ 1)
Рис.№ 1
Свойства дельтоидов.
Углы, лежащие по разную сторону от главной диагонали, равны.
Диагонали взаимно перпендикулярны.
В любой выпуклый дельтоид можно вписать окружность; кроме того, если дельтоид не является ромбом, то существует еще одна окружность, касающаяся продолжений всех четырех сторон. (Рис.№ 2)
Для невыпуклого дельтоида можно построить окружность, касающуюся двух больших сторон и продолжений двух меньших сторон и продолжений двух больших сторон. (Рис.3)
Рис.№ 2
Рис.№ 3
Не главная диагональ дельтоида точкой пересечения с главной диагональю делится пополам.
Главная диагональ является биссектрисой углов.
Главная диагональ делит дельтоид на два равных треугольника. Другая диагональ – делит дельтоид на два равнобедренных треугольника, если он выпуклый и достраивает его равнобедренным треугольником до равнобедренного треугольника, если он не выпуклый.
Средние линии дельтоида образуют прямоугольник, Р которого равен сумме диагоналей данного дельтоида.
Площадь всякого дельтоида определяют:
а) через диагонали , где d1 и d2 - диагонали ;
б) через 2 соседние разные стороны и угол между ними:
где a и b - длины разных сторон, а α - угол между ними.
Первый признак дельтоида:
Если в четырёхугольнике одна из двух взаимно перпендикулярных диагоналей является биссектрисой, не равных противоположных углов, а другая не является биссектрисой другой пары углов, то такой четырёхугольник - дельтоид.
Дано: Четырехугольник ABCD (Рис.№ 4) Где AC – биссектриса
(Рис.№ 4)
(∠ BAC = ∠ DAC, ∠ BCA = ∠ DCA), AC┴ BD, ∠ В = ∠ D
Доказать: ABCD – дельтоид
Доказательство:
1.Точка O – точка пересечения диагоналей АС и ВD, AС ┴ BD.
Рассмотрим ∆ АОB и ∆ АОD: ∆ AOB и ∆ AOD – прямоугольные треугольники, так как AC ┴ BD по условию, АО – общая сторона, ∠ OAB = ∠ OAD по условию, тогда ∆ АОD = ∆ АОВ по катету и прилежащему к нему острому углу, значит АB = АD.
2. Точка O – точка пересечения диагоналей, CO ┴ BD.
Рассмотрим ∆ СОB и ∆ СОD: ∆ COB и ∆ COD – прямоугольные треугольники, так как AC ┴ BD по условию, ОС - общая сторона, ∠ BCA = ∠ DCA по условию, тогда ∆ СОD = ∆ СОВ по катету и прилежащему к нему острому углу, значит BС=DС.
3. Так как AB = AD, BC = DC, то ABCD – дельтоид по определению.
Второй признак дельтоида:
Если в четырёхугольнике только одна из диагоналей точкой пересечения с другой диагональю делится пополам и перпендикулярна ей, то такой четырёхугольник дельтоид.
Дано: Четырехугольник ABCD (Рис.№ 5), AC ┴ BD,
Рис.№ 5
Точка O – точка пересечения диагоналей, BO = ОD
Доказать: ABDC – дельтоид
Доказательство:
Рассмотрим ∆ АОB и ∆ АОD:∆ AOB и ∆ AOD – прямоугольные треугольники, так как AC ┴ BD по условию, АО – общая сторона, BO = OD по условию, тогда ∆ АОD = ∆ АОВ по двум катетам, значит АB = АD.
2. Рассмотрим ∆ COB и ∆ COD:∆ COB и ∆ COD – прямоугольные треугольники, так как
AC ┴ BD по условию, ОС – общая сторона, BO = OD по условию, тогда ∆ СОB = ∆ СОD по двум катетам, значит BС = DC.
3. Так как AB = AD, BC = DC, то ABCD – дельтоид по определению.
Так же иные частные случаи:
Около дельтоида можно описать окружность, если его стороны, имеющие разные длины, образуют углы по 90*, радиус которой вычисляется:
2. Когда пара противоположных сторон дельтоида имеют равную величину, значит, этот дельтоид называется ромбом.
3. Когда пара противоположных сторон и 2 диагонали дельтоида имеют равные величины, то дельтоид является квадратом.
Квадратом оказывается и вписанный дельтоид с равными диагоналями. (Рис.№ 6)
Рис.№ 6.
Признаки дельтоида
Если в четырехугольнике одна из двух взаимно перпендикулярных диагоналей является биссектрисой, неравных противоположных углов, а другая не является биссектрисой другой пары углов, то этот четырехугольник - дельтоид.
Если в четырехугольнике только одна из диагоналей точкой пересечения с другой диагональю делится пополам и перпендикулярна ей, то этот четырехугольник-дельтоид.
Формулы для нахождения площади дельтоида.
Площадь дельтоида можно вычислить по следующим формулам:
S = d1 d2 , где d1 и d2 - диагонали дельтоида
2
Доказательство:
Площадь треугольника вычисляется по формуле:
S = ah, где a – основание, h – высота
Главная диагональ делит дельтоид на два равных треугольника (по свойству главной диагонали дельтоида) (Рис.№ 7)
Площади этих треугольников равны. Тогда площадь дельтоида можно найти по формуле: S = 1 d1 d2 + 1 d1 d2 = d1d2
4 4 2
Рис.№ 7
S = ab sin α , где a и b – неравные стороны, α – угол между ними
Доказательство:
Площадь треугольника вычисляется по формуле:
S = 1 ab sin α, где a и b – неравные стороны,
2
α – угол между ними. Главная диагональ делит дельтоид на два равных треугольника (по свойству главной диагонали дельтоида). (Рис. № 8)
Площади этих треугольников равны: 1 ab sin α .
2
Тогда площадь дельтоида можно найти по формуле:
S = 1 ab sin α+ 1 ab sin α= ab sin α
2 2
Рис. № 8
S = (a+b) r , где a и b – неравные стороны, r – радиус вписанной окружности
Доказательство:
Докажем сначала, что в каждый дельтоид можно вписать окружность. Для этого заметим, что треугольники ABD и BCD равны по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).
Тогда диагональ BD является биссектрисой углов B и D, а биссектрисы углов A и C пересекаются в некоторой точке O, лежащей на диагонали BD.
Точка O и является центром вписанной в дельтоид окружности. (Рис. № 9)
Если r – радиус вписанной в дельтоид окружности, то
= S1+ S2+ S3+S4 = 1ar + 1ar + 1br + 1br = (a+b) r
2 2 2 2
Рис. № 9
Задача № 1.
Рис. № 10
Дано:
ABCD – дельтоид(Рис.№ 10), AC ∩ BD = О, ОF ┴ АD,
AB = AD, АF = 8 см, FD = 2см, СО = 10АО
ОD
Найти: СО
Решение:
ABCD – дельтоид по условию. Так как AC┴BD по свойству дельтоида,
то ∆ DОА – прямоугольный треугольник, ОF = FA по теореме о
FD OF
пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике, OF2 = AF х FD, OF = 4 cм
AO2 = OF2 + AF2 , AO2 = 80 cм Аналогично, для OD2 = 20 см
AO2
OD2 = 22
АО= 2 CO= 10 x 2 = 20
ОD
Ответ: 20
Задача № 2.
Дано: ABCD – дельтоид (Рис. № 11), CE ┴ AB
∠ BAD = 100°, ∠ ECD = 80° Рис. № 11
Найти: ∠ DBC
Решение:
∠ BAD = ∠ BCD = 100° по свойству дельтоида, ∠ BCE = 100° - 80° = 20°
∠ BEC = 90°, так как CE ┴ AB по условию, ∠ EBC + ∠ BCE + ∠ BEC = 180° по теореме о сумме углов треугольника, тогда ∠ EBC = 180° - 20° - 90° = 70°.
BD – биссектриса ABCD по свойству дельтоида, ∠ DBC = ∠ ABD = = 35° по определению биссектрисы.
Ответ: 35°
Задача № 3.
Найти стороны и диагонали дельтоида если его периметр равен 116 см. разность боковых сторон равна 3 см. и главная диагональ точкой пересечения диагоналей делится в отношении 2:1.
Дано: ABCD-дельтоид (Рис. № 12), AE:EC=2:1,
Р ABCD=116 см., АВ > CD на 3 см. Найти: AB, BC, CD, DA, AC, BD.
Рис. № 12
Решение:
1)Пусть CD= Х см, тогда АВ=(Х+3)см. Получим:
2( х + (х+3)) = Р
2( х + х+3) = 116
2( 2х+3) = 116
2х+3 = 58
2х = 55
Х = 27,5
Отсюда:
BС = CD = 27,5, AD = АВ = 27.5+3=30,5
2) Пусть EC = k, AE = 2k, составим систему и решим её:
4k 2 + ED 2 = 930, 25
k 2 +ED 2 = 756, 25
4k 2 + 756, 25 - k 2 = 930, 25
3k 2 = 174
k 2 = 58, тогда ED 2 = 756, 25 - 58 = 698, 25
отсюдаАС = 3√58, ВD = 2ED = √698,25
Ответ: АВ = AD = 30,5см., BC = СD = 27,5см., АС = 3 √58 , ВD = 2√698,25
Задача № 4.
В квадрате АВСD (Рис. № 13) выбраны точки S и T внутри треугольников соответственно ABC и ADC так, что ∟SAT = ∟SCT = 45°. Докажите, что BS║DT.
(Рис. № 13)
Решение:
Пусть лучи АС и АТ пересекают стороны ВС и СD в точках М и N, лучи СS и СТ - стороны АВ и АD в точках Х и Y соответственно, Е – основание перпендикуляра, опущенного из вершины А на МN,а F – основание перпендикуляра, опущенного из вершины С на XY. (Рис.№ 14)
(Рис. № 14)
Поскольку ∟МАN = ∟XCY = 45°, точки А и С – центры вневписанных окружностей треугольников МСN и ХAYсоответственно. Тогда МА и NA - биссектрисы углов BME и DNE, а XC и YC – биссектрисыBXF и DYF, поэтому:
SME = SMB,TNE = TND,SXF = SXB.
Кроме того, треугольники DAE и BCF – равнобедренные, поэтому ∟EDA = ∟DEA и ∟CBF = ∟CFB.
Точка S лежит на биссектрисе ∟BME, а BM = MEиз равенства прямоугольных треугольников ABM и AEM, значит, треугольники BMS и EMS равны по двум сторонам и углу между ними. Значит, SB = SE, а так как точка S лежит на биссектрисе угла BXF, то BS = SF.
Следовательно, SF = SB = SE. Аналогично TE = TD = TF
Кроме того, треугольники DAE и BCF – равнобедренные, поэтому ∟EDA = ∟DEA и ∟CBF = ∟CFB.
Точка Sлежит на биссектрисе ∟BME, аBM = MEиз равенства прямоугольных треугольников ABM и AEM, значит, треугольники BMS и EMS равны по двум сторонам и углу между ними. Значит, SB = SE так как точка S лежит на биссектрисе угла BXF, то BS = SF.
Следовательно, SF = SB = SE. Аналогично TE = TD = TF
Значит, в четырехугольнике SETF соседние стороны попарно равны (дельтоид), и ∟SET = ∟SFT(симметрия относительно прямой ST). Обозначим: ∟SEA = ∟SBA = ∟SBX = ∟SFX = β
∟TEN = ∟TDN = ∟TFC = α
∟TFY = ∟TDY = ∟EDA = ∟DEA = γ
∟SEM = ∟SBM = ∟CBF = ∟CFB = φ
Тогда∟SET = β + γ и ∟SFT = α + φ,
Поэтомуβ + γ = α + φ. Учитывая, что γ = 90° - α, φ = 90° - β, получим, что α = β, откуда и следует параллельность BS и DT.
Примечание. 1. Попутно доказано, что:
а) Четырехугольник SETF вписанный ( противолежащие углы Е и F – прямые);
б) Точки S и T – центры окружностей, описанных около треугольников BEF и DFT соответственно.
Заключение.
Целью данной исследовательской работы «Дельтоид», было показать широкие творческие возможности, которые открываются при изучении этой фигуры. Различные геометрические задачи на дельтоиды – это первоначальный этап практического применения знаний в различных областях деятельности.
Я поставил задачу дать определение фигуры, определить ее свойства и признаки; привести их доказательства и, наконец, придумать интересные и разнообразные задачи.
Дельтоид, как геометрическая фигура, не рассматривается в учебнике геометрии, а ведь эту фигуру мы часто встречаем в окружающем мире. В своей работе я постарался подробно рассказать и объяснить об этой интересной геометрической фигуре. Поэтому целью данной работы «Дельтоид» было показать широкие практические возможности применения этой фигуры в жизни.
Таким образом, геометрия дельтоида и дельтоидальных многогранников в первую очередь, необходима в военной и гражданской технике для изучения радиолокационного отражения, сопротивления материалов ( т.к. фигура подвергается различным силовым нагрузкам и напряжениям), аэродинамических и гидродинамических свойств, а также использования её в архитектуре и мозаике.
В последние годы в проектировании летательных аппаратов возрастает значение фигуры «дельтоид». Это связано с компьютерной стабилизацией летательных аппаратов воздушном пространстве и, как следствие, уменьшения роли хвоста самолетов.
СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия 7-9 классы: учеб. для общеобразоват. организаций.-М.:Просвещение, 2013 г.
Блинков А. и Блинкова Ю. Статья «Угол в квадрате», Квант, 2014, № 4, с. 34-37
Киселев А.П. Геометрия / Под ред. Н.А.Глаголева. М.:ФИЗМАТЛИТ,2013 г.
Титаренко А.М., Роганин А.Н. Новейший полный справочник школьника:5-11 классы.-М.:Эксмо,2008 г.
Цыпкин А.Г. Справочник по математике для средней школы.-М.:Наука.Главная редакция физико-математической литературы, 1981 г.
АрхиСистема.Формы и технологии http://www.veraforma.ru
Дельтоид.https://ru.wikipedia.org
Инфоурок. https://infourok.ru/issledovatelskaya-rabota-po-matematike-deltoid
ИПС «Задачи по геометрии» http://zadachi.mcce.ru.Версия 29.12.2019 г.
Копилка уроков. Сайт для учителей. https://kopilkaurokov.ru/matematika/meropriyatia/diel-toid.
Математика для школы [Электронный ресурс] http://math4school.ru/chetyrehugolniki.html
Мозаика Пенроуза — Википедия https://ru.wikipedia.org › wiki › Мозаика_Пенроуза
Мозаика Пенроуза – геометрия и искусство. http://geometry-and-art.ru/penrouz.html
14.Научно-исследовательский проект. Пандиа.
https://pandia.ru/text/80/129/39000.php
Четырехугольники [Электронный ресурс]: учебный центр «Резольвента» / Режим доступа: http://www.resolventa.ru/