Дельтоид

IX Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке

Дельтоид

Николаев М.А. 1
1МБОУ Лицей № 40 при УлГУ
Гуськова А.Г. 1
1МБОУ Лицей № 40 при УлГУ
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Цели и задачи проекта. Его актуальность.

Познакомить и показать подходы к изучению свойств и признаков дельтоида.

Ознакомление с понятием «Мозаика Пенроуза», её практическое и историческое значение.

Демонстрация дельтоидов в окружающем нас мире, а именно - в военной технике, где часто используется данная фигура.

Так же, я поставил несколько задач: дать понятие дельтоида; определение выпуклого дельтоида; обоснование признаков выпуклого дельтоида; привести доказательство свойств выпуклого дельтоида; вывод формул площади выпуклого дельтоида.

Придумать достаточное количество интересных и разноуровневых задач на дельтоид. Это оказались задачи на построение дельтоида, задачи исследовательского характера.

Актуальность темы. Расширение кругозора, использование работы в дальнейших исследованиях по математике, применении задач на контрольных. Целью данной исследовательской работы «Дельтоид» было показать широкие возможности творческой деятельности, которые открываются при изучении этой фигуры.

ОГЛАВЛЕНИЕ:

Введение:

а) Мозаика Пенроуза.

б) Использование дельтоидов в жизни и военной технике.

2. Основная часть:

а) Определение дельтоида;

б) Свойства дельтоида;

в) Признаки дельтоида;

г) Формулы для нахождения Р дельтоидов;

д) Задачи по теме «Дельтоид»

3.Заключение.

4. Список используемой литературы.

ВВЕДЕНИЕ

В настоящее время все больше возрастает актуальность исследований таких фигур, как дельтоид и дельтоидные многогранники.

Интересно, что очень часто такие фигуры используются для орнаментального мощения. Так называемая, мозаика Пенроуза. Что это такое? Это заполнение плоскости дельтоидами без зазоров и перекрываний. Принципы Пенроуза используются в архитектуре с древнейших времен.

Мечеть имама Дарб-и, находящаяся на территории современного Ирана в провинции Исфахан и построенная в 1453 году, украшена узором (гирихом), очень напоминающим по своей структуре мозаику Пенроуза.

Если раньше эти фигуры рассматривали только в архитектуре и дизайне декоративной мозаики, то сейчас они особенно важны при разработке современных летательных аппаратов и плавательных судов.

Давайте присмотримся к геометрии летательных аппаратов, производимых по технологии «Стелс». Мы увидим, что при проектировании «летающего крыла» в моделях «NorthropB-2 Spirit», «Vulcan», «Niqhthawk» используется геометрическая форма - невыпуклый дельтоид. А при производстве беспилотников – Х-47А, RQ-170 – выпуклый дельтоид. Если рассматривать форму кораблей - «Стелс», то обнаружим сложную объемную конфигурацию дельтоидальных многогранников.

«Niqhthawk» - первый современный серийный самолёт со схемой «летающее крыло», первый самолёт, на котором удалось значительно снизить радиолокационную и инфракрасную заметность.

«Вулкан» - стратегический бомбардировщик с дельтовидным крылом, у которого была снижена радиолокационная заметность при наблюдении с определённых ракурсов за счет упрощения внешних форм.

«NorthropB-2 Spirit», серия проектов дальнего тяжелого бомбардировщика, имели сниженную радиолокационную заметность благодаря аэродинамической схеме «летающее крыло». Конфигурация невыпуклых дельтоидов.

Беспилотник Х-47А (выпуклый дельтоид)

RQ-170 - ударный БПЛА (невыпуклый дельтоид)

Корветы типа «Висбю» Швеция, Си Шэдоу – судно, опытный образец

Так что же такое дельтоид (определение).

Дельтоид - четырёхугольник, у которого есть только две пары равных смежных сторон.

Главная диагональ дельтоида  - это линия соединяющая вершины не равных углов дельтоида.

Не главная диагональ дельтоида - назовем вторую диагональ дельтоида.

Средняя линия дельтоида  - это прямая, соединяющая середину смежных сторон дельтоида.

Дельтоид бывает выпуклым и невыпуклым. (Рис.№ 1)

Рис.№ 1

Свойства дельтоидов.

Углы, лежащие по разную сторону от главной диагонали, равны.

Диагонали взаимно перпендикулярны.

В любой выпуклый дельтоид можно вписать окружность; кроме того, если дельтоид не является ромбом, то существует еще одна окружность, касающаяся продолжений всех четырех сторон. (Рис.№ 2)

Для невыпуклого дельтоида можно построить окружность, касающуюся двух больших сторон и продолжений двух меньших сторон и продолжений двух больших сторон. (Рис.3)

Рис.№ 2

Рис.№ 3

Не главная диагональ дельтоида точкой пересечения с главной диагональю делится пополам.

Главная диагональ является биссектрисой углов.

Главная диагональ делит дельтоид на два равных треугольника. Другая диагональ – делит дельтоид на два равнобедренных треугольника, если он выпуклый и достраивает его равнобедренным треугольником до равнобедренного треугольника, если он не выпуклый.

Средние линии дельтоида образуют прямоугольник, Р которого равен сумме диагоналей данного дельтоида.

Площадь всякого дельтоида определяют:

а) через диагонали , где d1 и d2 - диагонали ;

б) через 2 соседние разные стороны и угол между ними:

где a и b  - длины разных сторон, а α -  угол между ними.

Первый признак дельтоида:

Если в четырёхугольнике одна из двух взаимно перпендикулярных диагоналей является биссектрисой, не равных противоположных углов, а другая не является биссектрисой другой пары углов, то такой четырёхугольник - дельтоид.

Дано: Четырехугольник ABCD (Рис.№ 4) Где AC – биссектриса

ис.№ 4)

(∠ BAC = ∠ DAC, ∠ BCA = ∠ DCA), AC BD, ∠ В = ∠ D

Доказать: ABCD – дельтоид

Доказательство:

1.Точка O – точка пересечения диагоналей АС и ВD, AС ┴ BD.

Рассмотрим ∆ АОB и ∆ АОD: ∆ AOB и ∆ AOD – прямоугольные треугольники, так как AC ┴ BD по условию, АО – общая сторона, ∠ OAB = ∠ OAD по условию, тогда ∆ АОD = ∆ АОВ по катету и прилежащему к нему острому углу, значит АB = АD.

2. Точка O – точка пересечения диагоналей, CO ┴ BD.

Рассмотрим ∆ СОB и ∆ СОD: ∆ COB и ∆ COD – прямоугольные треугольники, так как AC ┴ BD по условию, ОС - общая сторона, ∠ BCA = ∠ DCA по условию, тогда ∆ СОD = ∆ СОВ по катету и прилежащему к нему острому углу, значит BС=DС.

3. Так как AB = AD, BC = DC, то ABCD – дельтоид по определению.

Второй признак дельтоида: 

Если в четырёхугольнике только одна из диагоналей точкой пересечения с другой диагональю делится пополам и перпендикулярна ей, то такой четырёхугольник дельтоид.

Дано: Четырехугольник ABCD (Рис.№ 5),  AC ┴ BD,

Рис.№ 5

Точка O – точка пересечения диагоналей, BO = ОD

Доказать: ABDC – дельтоид

Доказательство:

Рассмотрим ∆ АОB и ∆ АОD:∆ AOB и ∆ AOD – прямоугольные треугольники, так как AC ┴ BD по условию, АО – общая сторона, BO = OD по условию, тогда ∆ АОD = ∆ АОВ по двум катетам, значит АB = АD.

2. Рассмотрим ∆ COB и ∆ COD:∆ COB и ∆ COD – прямоугольные треугольники, так как

 AC ┴ BD по условию, ОС – общая сторона, BO = OD по условию, тогда ∆ СОB = ∆ СОD по двум катетам, значит BС = DC.

3. Так как AB = AD, BC = DC, то ABCD – дельтоид по определению.

Так же иные частные случаи:

Около дельтоида можно описать окружность, если его стороны, имеющие разные длины, образуют углы по 90*, радиус которой вычисляется:

2. Когда пара противоположных сторон дельтоида имеют равную величину, значит, этот дельтоид называется ромбом.

3. Когда пара противоположных сторон и 2 диагонали дельтоида имеют равные величины, то дельтоид является  квадратом.

Квадратом оказывается и вписанный дельтоид с равными диагоналями. (Рис.№ 6)

Рис.№ 6.

Признаки дельтоида

Если в четырехугольнике одна из двух взаимно перпендикулярных диагоналей является биссектрисой, неравных противоположных углов, а другая не является биссектрисой другой пары углов, то этот четырехугольник - дельтоид.

Если в четырехугольнике только одна из диагоналей точкой пересечения с другой диагональю делится пополам и перпендикулярна ей, то этот четырехугольник-дельтоид.

Формулы для нахождения площади дельтоида.

Площадь дельтоида можно вычислить по следующим формулам:

= d1 d2 , где d1 и d2 - диагонали дельтоида

2

Доказательство:

Площадь треугольника вычисляется по формуле:

= ah, где a – основание, h – высота

Главная диагональ делит дельтоид на два равных треугольника (по свойству главной диагонали дельтоида) (Рис.№ 7)

Площади этих треугольников равны. Тогда площадь дельтоида можно найти по формуле: = 1 d1 d2 + 1 d1 d2 = d1d2

4 4 2

Рис.№ 7

S = ab sin α , где a и b – неравные стороны, α – угол между ними

Доказательство:

Площадь треугольника вычисляется по формуле: 

= 1 ab sin α, где a и b – неравные стороны,

2

α – угол между ними. Главная диагональ делит дельтоид на два равных треугольника (по свойству главной диагонали дельтоида). (Рис. № 8)

Площади этих треугольников равны: 1 ab sin α .

2

Тогда площадь дельтоида можно найти по формуле: 

S = 1 ab sin α+ 1 ab sin α= ab sin α

2 2

Рис. № 8

= (a+b) r , где и b – неравные стороны, – радиус вписанной окружности

Доказательство:

Докажем сначала, что в каждый дельтоид можно вписать окружность. Для этого заметим, что треугольники ABD и BCD равны по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

Тогда диагональ BD является биссектрисой углов B и D, а биссектрисы углов A и C пересекаются в некоторой точке O, лежащей на диагонали BD.

Точка O и является центром вписанной в дельтоид окружности. (Рис. № 9)

Если r – радиус вписанной в дельтоид окружности, то

= S1+ S2+ S3+S4 = 1ar + 1ar + 1br + 1br = (a+b) r

2 2 2 2

Рис. № 9

Задача № 1.

Рис. № 10

Дано:

ABCD – дельтоид(Рис.№ 10),  AC ∩ BD = ООF ┴ АD,

AB = AD, АF = 8 см, FD = 2см, СО = 10АО

ОD

Найти: СО

Решение:

ABCD – дельтоид по условию. Так как AC┴BD по свойству дельтоида,

то ∆ DОА – прямоугольный треугольник,  ОF = FA по теореме о

FD OF

пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике, OF2 = AF х FD, OF = 4 cм

AO2 = OF2 + AF2 , AO2 = 80 cм Аналогично, для OD2 = 20 см

AO2

OD2 = 22

АО= 2 CO= 10 x 2 = 20

ОD

Ответ: 20

Задача № 2.

Дано: ABCD – дельтоид (Рис. № 11), CE  AB

∠ BAD = 100°,  ECD = 80° Рис. № 11

Найти: ∠ DBC

  Решение:

∠ BAD = ∠ BCD = 100° по свойству дельтоида, ∠ BCE = 100° - 80° = 20°

∠ BEC = 90°, так как CE ┴ AB по условию, ∠ EBC + ∠ BCE + ∠ BEC = 180° по теореме о сумме углов треугольника, тогда ∠ EBC = 180° - 20° - 90° = 70°.

BD – биссектриса ABCD по свойству дельтоида, ∠ DBC = ∠ ABD = = 35° по определению биссектрисы.

Ответ: 35°

Задача № 3.

Найти стороны и диагонали дельтоида если его периметр равен 116 см. разность боковых сторон равна 3 см. и главная диагональ точкой пересечения диагоналей делится в отношении 2:1.

Дано: ABCD-дельтоид (Рис. № 12), AE:EC=2:1,

Р ABCD=116 см., АВ > CD на 3 см. Найти: AB, BC, CD, DA, AC, BD.

Рис. № 12

Решение:

1)Пусть CD= Х см, тогда АВ=(Х+3)см. Получим:

2( х + (х+3)) = Р

2( х + х+3) = 116

2( 2х+3) = 116

2х+3 = 58

2х = 55

Х = 27,5

Отсюда:

BС = CD = 27,5, AD = АВ = 27.5+3=30,5

2) Пусть EC = k, AE = 2k, составим систему и решим её:

4k 2 + ED 2 = 930, 25

k 2 +ED 2 = 756, 25

4k 2 + 756, 25 - k 2 = 930, 25

3k 2 = 174

k 2 = 58, тогда ED 2 = 756, 25 - 58 = 698, 25

отсюдаАС = 358, ВD = 2ED = 698,25

Ответ: АВ = AD = 30,5см., BC = СD = 27,5см., АС = 358 , ВD = 2698,25

Задача № 4.

В квадрате АВСD (Рис. № 13) выбраны точки S и T внутри треугольников соответственно ABC и ADC так, что ∟SAT = ∟SCT = 45°. Докажите, что BSDT.

(Рис. № 13)

Решение:

Пусть лучи АС и АТ пересекают стороны ВС и СD в точках М и N, лучи СS и СТ - стороны АВ и АD в точках Х и Y соответственно, Е – основание перпендикуляра, опущенного из вершины А на МNF – основание перпендикуляра, опущенного из вершины С на XY. (Рис.№ 14)

(Рис. № 14)

Поскольку ∟МАN = ∟XCY = 45°, точки А и С – центры вневписанных окружностей треугольников МСN и ХAYсоответственно. Тогда МА и NA - биссектрисы углов BME и DNE, а XC и YC – биссектрисыBXF и DYF, поэтому:

SME = SMB,TNE = TND,SXF = SXB.

Кроме того, треугольники DAE и BCF – равнобедренные, поэтому ∟EDA = ∟DEA и ∟CBF = ∟CFB.

Точка S лежит на биссектрисе ∟BME, а BM = MEиз равенства прямоугольных треугольников ABM и AEM, значит, треугольники BMS и EMS равны по двум сторонам и углу между ними. Значит, SB = SE, а так как точка S лежит на биссектрисе угла BXF, то BS = SF.

Следовательно, SF = SB = SE. Аналогично TE = TD = TF

Кроме того, треугольники DAE и BCF – равнобедренные, поэтому EDA = ∟DEA и ∟CBF = ∟CFB.

Точка Sлежит на биссектрисе BME, аBM = MEиз равенства прямоугольных треугольников ABM и AEM, значит, треугольники BMS и EMS равны по двум сторонам и углу между ними. Значит, SB = SE так как точка S лежит на биссектрисе угла BXF, то BS = SF.

Следовательно, SF = SB = SE. Аналогично TE = TD = TF

Значит, в четырехугольнике SETF соседние стороны попарно равны (дельтоид), и SET = ∟SFT(симметрия относительно прямой ST). Обозначим: ∟SEA = ∟SBA = ∟SBX = ∟SFX = β

TEN = ∟TDN = ∟TFC = α

TFY = ∟TDY = ∟EDA = ∟DEA = γ

SEM = ∟SBM = ∟CBF = ∟CFB = φ

Тогда∟SET = β + γ и ∟SFT = α + φ,

Поэтомуβ + γ = α + φ. Учитывая, что γ = 90° - α, φ = 90° - β, получим, что α = β, откуда и следует параллельность BS и DT.

Примечание. 1. Попутно доказано, что:

а) Четырехугольник SETF вписанный ( противолежащие углы Е и F – прямые);

б) Точки S и T – центры окружностей, описанных около треугольников BEF и DFT соответственно.

Заключение.

Целью данной исследовательской работы «Дельтоид», было показать широкие творческие возможности, которые открываются при изучении этой фигуры. Различные геометрические задачи на дельтоиды – это первоначальный этап практического применения знаний в различных областях деятельности.

Я поставил задачу дать определение фигуры, определить ее свойства и признаки; привести их доказательства и, наконец, придумать интересные и разнообразные задачи.

Дельтоид, как геометрическая фигура, не рассматривается в учебнике геометрии, а ведь эту фигуру мы часто встречаем в окружающем мире. В своей работе я постарался подробно рассказать и объяснить об этой интересной геометрической фигуре. Поэтому целью данной работы «Дельтоид» было показать широкие практические возможности применения этой фигуры в жизни.

Таким образом, геометрия дельтоида и дельтоидальных многогранников в первую очередь, необходима в военной и гражданской технике для изучения радиолокационного отражения, сопротивления материалов ( т.к. фигура подвергается различным силовым нагрузкам и напряжениям), аэродинамических и гидродинамических свойств, а также использования её в архитектуре и мозаике.

В последние годы в проектировании летательных аппаратов возрастает значение фигуры «дельтоид». Это связано с компьютерной стабилизацией летательных аппаратов воздушном пространстве и, как следствие, уменьшения роли хвоста самолетов.

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия 7-9 классы: учеб. для общеобразоват. организаций.-М.:Просвещение, 2013 г.

Блинков А. и Блинкова Ю. Статья «Угол в квадрате», Квант, 2014, № 4, с. 34-37

Киселев А.П. Геометрия / Под ред. Н.А.Глаголева. М.:ФИЗМАТЛИТ,2013 г.

Титаренко А.М., Роганин А.Н. Новейший полный справочник школьника:5-11 классы.-М.:Эксмо,2008 г.

Цыпкин А.Г. Справочник по математике для средней школы.-М.:Наука.Главная редакция физико-математической литературы, 1981 г.

АрхиСистема.Формы и технологии http://www.veraforma.ru

Дельтоид.https://ru.wikipedia.org

Инфоурок. https://infourok.ru/issledovatelskaya-rabota-po-matematike-deltoid

ИПС «Задачи по геометрии» http://zadachi.mcce.ru.Версия 29.12.2019 г.

Копилка уроков. Сайт для учителей. https://kopilkaurokov.ru/matematika/meropriyatia/diel-toid.

Математика для школы [Электронный ресурс] http://math4school.ru/chetyrehugolniki.html

Мозаика Пенроуза — Википедия https://ru.wikipedia.org › wiki › Мозаика_Пенроуза

Мозаика Пенроуза – геометрия и искусство. http://geometry-and-art.ru/penrouz.html

14.Научно-исследовательский проект. Пандиа.

https://pandia.ru/text/80/129/39000.php

Четырехугольники [Электронный ресурс]: учебный центр «Резольвента» / Режим доступа: http://www.resolventa.ru/

Просмотров работы: 1457