Фрактальное заполнение тетраэдра и куба шарами

IX Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке

Фрактальное заполнение тетраэдра и куба шарами

Екимовская А.А. 1
1МАОУ "Центр образования №32" города Череповца Вологодской области
Екимовская В.А. 1
1Благотворительный фонд "Образование+"
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Введение

 

Работа началась с ознакомления с теорией фракталов [1].

Первая серия авторских работ была посвящена фрактальному заполнению правильных многоугольников кругами [2,3,4,5]. Однако в этих работах изучались только плоские фигуры, то есть предметной областью исследования была только планиметрия. В планиметрических работах была решена задача о вычислении доли покрытия площади правильного многоугольника вписанными в него фрактальными кругами. Задача была решена в общем виде для произвольного правильного многоугольника.

Цель этой статьи заключается в переходе в трёхмерное пространство для изучения только двух пространственных фигур – тетраэдра и куба. Эти две пространственные фигуры изучаются на предмет покрытия объёма вписанными в них фрактальными шарами. Сначала в каждый многогранник вписывается шар, касающийся всех его граней – это фрактальный шар нулевого уровня. Затем во внутреннее пространство многогранного угла, ограниченное поверхностью шара, вписывается фрактальный шар первого уровня, касающийся предыдущей сферы и трёх граней тетраэдра или трёх граней куба. Процесс фрактального дробления при вписывании шаров, приближающихся к вершине тетраэдра или куба, повторяется бесконечно. Такой алгоритм заполнения трёхгранного угла тетраэдра и куба фрактальными шарами выполнятся для каждой вершины изучаемого многогранника. Оказалось, что объёмы фрактальных шаров, начиная с первого уровня, то есть за исключением единичного первого вписанного в многогранник шара, составляют бесконечную убывающую геометрическую прогрессию. Знаменатель этой прогрессии меньше единицы, поэтому она сходится. Это справедливо и для тетраэдра, и для куба.

В процессе исследования было решено 7 задач, каждая из которых представляет отдельную главу научно-исследовательской работы.

В Задаче 1 определён линейный коэффициент подобия вписанных в тетраэдр фрактальных сфер. Он оказался равным 0,5.

В Задаче 2 определена доля замещения тетраэдра фрактальными шарами. Она оказалась равной приблизительно 47,5%.

Задача 3 была вспомогательной. В результате её решения была установлена взаимосвязь между углом при вершине правильного трёхгранного угла и углом наклона граней к основанию правильной треугольной пирамиды.

В Задаче 4 был определён радиус сферы, вписанной в правильную трёугольную пирамиду с заданным углом при вершине каждой грани и с заданной высотой.

Задача 5 – это проверочная задача. В результате её решения было получено уже известное в Задаче 1 решение из общей формулы, выведенной в Задаче 4. При этом углы при вершине пирамиды предполагались равными 60 градусов, как у тетраэдра. Совпадение результата, полученного двумя различными способами, частным и общим, доказало правильность выполненных математических преобразований.

В Задаче 6 разработанная методика исследования правильных трёхгранных углов на предмет вписанных в них фрактальных шаров была перенесена на куб. Была вычислена доля замещения объёма куба фрактальными шарами. Она оказалась больше, чем для тетраэдра, равной приблизительно 56,5%.

Наконец, Задача 7, как и Задача 5, была решена для проверки правильности выполненных математических преобразований. В этой задаче на основе общей формулы, полученной в Задаче 4, был выведен известный результат для высоты правильной трёугольной пирамиды с прямыми углами при вершине, как у куба.

В результате выполнения исследовательской работы было доказано более быстрое убывание геометрической прогрессии размеров фрактальных шаров, вписанных в куб, по сравнению с тетраэдром. С практической точки зрения результат важен для изучения процесса дробления капель жидкости в различных распылителях.

Задача 1. Вычислить коэффициент подобия фрактальных сфер, вписанных в тетраэдр.

Решение задачи 1.

Рис.1. Сфера, вписанная в тетраэдр

Задан тетраэдр ABCD. Длина ребра тетраэдра равна a.

Высота тетраэдра равна .

Радиус сферы, вписанной в тетраэдр, равен .

Диаметр сферы, вписанной в тетраэдр, равен .

Строим плоскость, касательную к вписанной сфере в точке L. Эта плоскость отсекает от вершины D тетраэдра меньший гомотетичный тетраэдр. Высота меньшего тетраэдра равна

.

Получилось, что высота меньшего гомотетичного тетраэдра равна диаметру окружности, вписанной в большой исходный тетраэдр, то есть DL=FL. Это означает, что высота меньшего тетраэдра равно половине высоте большого тетраэдра, по есть DL=0,5DF. Следовательно, коэффициент подобия меньшего тетраэдра относительно большего тетраэдра равен 0,5. Такой же коэффициент подобия будет у вписанных в эти тетраэдры сфер.

Последовательно можно продолжать вписывать сферы в уменьшающиеся при таком фрактальном дроблении тетраэдры. Появляется новая задача.

Задача 2. Определить долю объёма тетраэдра, замещённого шарами.

Пусть ребро тетраэдра равно a.

Вписываем в тетраэдр шар – это фрактальный шар нулевого порядка.

Объём тетраэдра равен .

Радиус вписанного в тетраэдр шара равен .

Объём вписанного в тетраэдр шара равен

.

От четырёх вершин тетраэдра плоскости, касательные к вписанному шару нулевого порядка, отсекают четыре уменьшенных гомотетичных тетраэдра с коэффициентом подобия 0,5. В эти новые четыре тетраэдра первого уровня вписываем соответствующие фрактальные шары первого уровня с вдвое меньшим радиусом, чем у фрактального шара нулевого уровня, то есть .

Каждый фрактальный шар первого уровня имеет объём в 8 раз меньше объёма фрактального шара нулевого уровня, то есть .

Четыре фрактальных шара первого уровня имеют соответствующий учетверённый объём .

Рассуждая так далее, получаем геометрическую прогрессию, начиная с фрактальных шаров второго уровня.

Фрактальный шар нулевого уровня имеет объём .

Фрактальные шары первого уровня имеют объём .

Фрактальные шары второго уровня имеют объём .

Фрактальные шары третьего уровня имеют объём .

Фрактальные шары n-го уровня имеют объём .

Получается следующая последовательность объёмов фрактальных шаров:

Со второго члена эта последовательность является геометрической прогрессией с первым членом и знаменателем . Так как знаменатель геометрической прогрессии по модулю не превосходит 1, то эта геометрическая прогрессия сходится. Суммируем все члены бесконечной сходящейся геометрической прогрессии с объёмом фрактального шара нулевого порядка – это объём тетраэдра, замещённый всеми фрактальными шарами: .

Вычисляем долю замещения объёма тетраэдра шарами:

.

Вывод. В тетраэдре около 48% объёма можно заместить фрактальными кругами по заданному закону дробления – последовательному вписыванию шаров в трёхгранные углы с касанием друг друга шаров соседнего уровня.

Задача 3. Установить взаимосвязь между тремя углами при вершине правильной треугольной пирамиды с углом наклона её граней к плоскости основания.

Рис.2. Взаимосвязь между углами в треугольной пирамиде

Задан угол при вершине каждой из трёх граней правильной пирамиды. Требуется определить угол наклона каждой грани к плоскости основания пирамиды.

Решение. Строим высоту DF и апофему DE. Из прямоугольного треугольника BED определяем длину отрезка . Из прямоугольного треугольника BEF определяем длину этого же отрезка . Так как левые части двух формул одинаковые, то приравниваем правые части: . Получаем окончательное выражение: .

Задача 4. Определить радиус r сферы, вписанной в правильную треугольную пирамиду, по величине угла грани при вершине пирамиды и высоте h пирамиды.

Решение. Введём следующие обозначения: V – объём пирамиды; SALL – общая площадь поверхности пирамиды, то есть четырёх её граней; SBOK – площадь доковой поверхности пирамиды, то есть трёх её боковых граней. Воспользуемся взаимосвязью площади основания и площадью боковой поверхности пирамиды через угол наклона её боковых граней к плоскости основания: . Воспользуемся формулой для радиуса окружности, вписанной в правильную пирамиду:

.

Эту формулу можно переписать в виде .

Воспользуемся результатом решения Задачи 3 для взаимосвязи между углами и , а именно: . Получаем выражение:

.

Результат решения Задачи 4: .

Задача 5. Проверить соответствие полученного в Задаче 4 результата тетраэдру.

Пусть сторона тетраэдра равна a. Тогда высота тетраэдра определяется по формуле . В тетраэдре все углы треугольных граней равны 600, то есть . Подставляем полученные значения в формулу – результат решения Задачи 4: .

Получили полное соответствие результату решения Задачи 1. Радиус вписанной в тетраэдр сферы равен . Тогда диаметр вписанной в тетраэдр сферы равен . Это означает, что коэффициент подобия каждого последующего фрактального тетраэдра, как и каждой последующей фрактальной сферы, относительно предыдущего равен 0,5.

Результат решения Задачи 5 – полученная в Задаче 4 формула соответствует результату решения Задачи 1.

Задача 6. Вычислить долю заполнения объёма куба фрактальными шарами.

Рис.3. Схема заполнение куба фрактальными шарами

Пусть a – ребро куба. Тогда радиус вписанного в куб шара равен r0=a/2, объём вписанного шара нулевого фрактального уровня равен . Диагональ куба равна . Полудиагональ куба равна . Расстояние от вершины куба до нулевой фрактальной сферы равно высоте правильной треугольной пирамиды и равно . В полученную треугольную пирамиду вписываем шар первого фрактального уровня с радиусом r1. Коэффициент подобия (гомотетии с центром A) равен

.

Этот коэффициент подобия сохраняется при дальнейшем фрактальном дроблении, то есть при последовательном переходе от одного фрактального шара к другому на следующий фрактальный уровень дробления.

Объём восьми фрактальных шаров первого уровня равен

.

Начиная с первого фрактального уровня, объёмы шаров составляют убывающую геометрическую прогрессию с первым членом и знаменателем

.

Добавляя сумму объёмов бесконечной убывающей геометрической прогрессии к объёму нулевого фрактального шара, вписанного в куб, получаем общий объём замещения куба фрактальными шарами:

.

Вычисляем долю замещения объёма куба всеми фрактальными шарами: , то есть приблизительно 56,5%.

По сравнению с плоскими фигурами тетраэдр и куб намного медленнее замещаются фрактальными шарами, чем правильный треугольник и квадрат фрактальными кругами.

Задача 7. Доказать соответствие коэффициента подобия для куба общей формуле для правильной пирамиды.

В соответствие с результатом решения Задачи 4 радиус фрактального шара первого уровня равен: . Так как , и три угла при вершине A куба прямые, то есть , то получаем

.

Этот результат для радиуса r1 получен на основе решения Задачи 4.

Теперь определим этот же радиус r1 на основе решения Задачи 6.

Радиус исходной сферы, вписанной в куб, равен r0=a/2.

Коэффициент подобия равен .

Вычисляем радиус r1 на основе результатов решения Задачи 6:

. Получили такой же результат.

Совпадение результата, полученного двумя разными способами, доказывает правильность решения Задачи 4 и Задачи 6.

Выводы

1. Предложенный ранее алгоритм и метод изучения фрактального дробления вписанных в плоские многоугольники кругов был перенесён на пространственные фигуры – в этой статье только на тетраэдр и куб.

2. Как и в случае плоских многоугольников, оказалось, что в кубе фрактальное дробление вписанных шаров происходит быстрее, чем в тетраэдре. Определены коэффициенты подобия как знаменатели геометрических прогрессий радиусов уменьшающихся вписанных в тетраэдр и куб фрактальных шаров.

3. Как и в случае плоских многоугольников, оказалось, что в кубе фрактальные шары занимают большую долю объёма многогранника по сравнению с тетраэдром, приблизительно 56,5% против 47,5%.

4. Правильность выполненных математических преобразований в случаях тетраэдра и куба была проверена совпадением конечных результатов, полученных двумя методами решения каждой задачи – пол общей формуле и для частного случая.

5. В результате выполнения исследовательской работы было доказано более быстрое убывание геометрической прогрессии размеров фрактальных шаров, вписанных в куб, по сравнению с тетраэдром. С практической точки зрения результат важен для изучения процесса дробления капель жидкости в различных распылителях.

Список использованных источников и литературы

1. Кириллов А.А. Повесть о двух фракталах. — Летняя школа «Современная математика». — Дубна, 2007. – Электронный ресурс: https://www.mccme.ru/dubna/2007/notes/kirillov-preprint.pdf

2. Екимовская А.А. Фрактальное заполнение правильного треугольника кругами. Научный руководитель Екимовская В.А. / П99 V Музруковские Чтения: Материалы Международной научно-практической конференции, 3-4 октября 2019 г. - ГБПОУ СПТ им. Б.Г.Музрукова. - Отв. за выпуск И.В.Столяров. - Саров: Интерконтакт, 2019. - 271 с. - ISBN 978-5-6043096-4-3. - Секция 5: Математика. Физика - 1. - С.103-105. – Медаль, и Диплом победителя Регионального этапа Балтийского научно-инженерного конкурса 2020.

3. Екимовская А.А. Фрактальная модель конденсата / Наука и инновации в технических университетах: Материалы Тринадцатого Всероссийского форума студентов, аспирантов и молодых учёных 23-25 октября 2019 г. - СПб.: ПОЛИТЕХ-ПРЕСС, 2019. - 169 с. - ББК 30.1 Н34. - Секция "Физические науки". - С.107-108. - Диплом "За лучший доклад на секционном заседании". - Электронный ресурс:  http://www.semicond.ru/siforum2019/Forum2019.pdf

4. Екимовская А.А., Лебедев В.В. Фрактальная конденсация / Международная инновационная конференция молодых учёных и студентов по современным проблемам машиноведения МИКМУС-2019. – М: Институт Машиноведения Российской академии наук им. А.А.Благонравова (ИМаш РАН), 4-6 декабря 2019. – Электронный ресурс: https://www.elibrary.ru/item.asp?id=42445736

Результаты проверки статьи на оригинальность и уникальность в системах antiplagiat.ru и text.ru

 

 

6

Просмотров работы: 135