IX Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Многомерность пространства
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
С раннего детства меня интересовали самолеты, их устройство и все, что с ними связано. Изучение технической литературы, занятия в кружке авиа моделирования, собственные эксперименты, привели меня к этой работе.
1. Предметная область
Геометрия
2. Разработанность исследуемой проблемы
А. Эйнштейн создал Теорию Относительности в многомерности, тем самым, внес вклад в изучение многомерных пространств. Так же, математик Р. Декарт создал систему координат – «жизненно» необходимую для изучения пространства. Так же была создана теория Пуанкаре, которая была доказана полностью лишь в 2002 году. Так же, существует теория Калуцы – Клейна, вкратце, описанная здесь.
3. Цель работы
Исследование измерений в геометрии, решение геометрических задач. Изучение теорий. Расширение кругозора учащихся, путем толкования темы максимально доступным языком.
4. Актуальность
Работа нацелена рассказать о теориях многомерного пространства, показать, как решаются нестандартные задачи по геометрии, с применением элементов алгебры 7-8 класса школьной программы. Далее описываемый материал не включен в общеобразовательный комплекс геометрии средней и старшей школы.
5. Методы
Поиск и изучение источников информации, изучение и задач, их решение и методы решения. Решение некоторых задач на нахождение гиперобъема (тессеракт, пентаракт, гексеракт и т.д; симплекс) и на вычисление гипердиагонали геперкубов.
2. Определения
В этой работе будут использоваться специальные для этой темы обозначения. Обозначения приведены ниже с толкованием.
Гиперобъем – некоторая величина, обозначающая «внутренность» гипертел. Вычисляется по формуле , где N – мерность пространства. В конце решения задачи ставится метрическая единица длины с индексом N. пример: (показано на примере вычисления гиперобъема гиперкуба 7ой мерности пространства, хептеракт)
Мерность пространства – или «Размерность пространства», бытовое название «измерение». Количество независимых параметров, нужных для описания состояния объекта. К примеру, в 3х мерном пространстве, для описания , к примеру, куба, нам необходимо 3 величины: x – длина, y – высота и z – ширина. По тому же самому алгоритму выполняются описания гипертел уже в других мерностях, то есть в 4ой мерности будет 4 величины и так далее.
Гиперкуб – куб N – мерности. Префикс «гипер» добавляется ко всем многомерным аналогам 3х мерных тел.
Гипердиагональ Гиперкуба – Диагональ между 2 вершинами гиперкуба. Находится по формуле (по аналогии с формулой диагонали квадрата).
Политоп – Подмножество Евклидова пространства, представляющее из себя конечное число симплексов.
Гипервысота – высота от основания гипертела. Обычно применяется при решении задач с симплексами.
2.1. Теория
Мы живем в трехмерном пространстве. Наши приборы не могут фиксировать наличие высших измерений. Это пытается объяснить теория Калуцы−Клейна: высшие размерности имеют замкнутую топологию, поэтому они никак не проявляют себя в обычных условиях.
В данной работе описывается теория размерности. Далее приведены некоторые аспекты данной теории, необходимые для этой исследовательской работы. Начнем с описания каждого из измерений, вплоть до 4, так как Условно принято писать номер измерения как ND, где N – мерность пространства. (D. – сокращ. от англ. «измерение»)
0D – измерение в пространстве, не имеющее величин. Пример 0-мерного тела – точка.
1D – измерение в пространстве, имеющее только величину x – длина. Примером послужит прямая. В этом измерении мы можем, условно, измерить длину прямой, если отложить на ней отрезок. (Рис. 1, см. Приложение)
2D – измерение в пространстве, с двумя величинами, которые принято обозначать как x иy. гдеx – длина, y– высота. В этом измерении существует, так называемая, Система координат – некий комплекс определений, использующий метод координат для определения положения точки или множества точек или тела в пространстве с помощью символов или чисел.
Система координат была открыта французским философом и математиком Рене Декартом.
Примером для двухмерного пространства служит, к примеру, квадрат, а так же еще огромное множество двухмерных фигур. Мы можем найти, к примеру, площадь квадрата, по формуле . Так же существует еще множество формул, применимых к остальным фигурам. (Рис. 2, см. Приложение)
3D – измерение в пространстве, имеющее три величины, которые обозначают как x, y, z. Гдеx – длина, y – высота,z – ширина. В этом измерении, как и в предыдущем, есть система координат, в которой присутствует, помимо длины и высоты, еще ширина. Примером может послужить куб. Мы можем найти объем куба по формуле . Так же существует множество формул по нахождению объема. (Рис. 3, см. Приложение)
4D – измерение в пространстве, имеющее четыре величины, которые обозначают как x, y, z, ω. Где x – длина,y – высота,z –ширина, ω−время. Последняя переменная обусловлена тем, что гипертела (см. Определения) напрямую связаны со временем, так как гипертело имеет свойство вращаться и проходить своими гранями сквозь себя. Примером четырехмерного гипертела можно считать тессеракт, симплекс и много других аналогов 3х мерных фигур. Можем найти Гиперобъем тела (см. Определения). Вычислим его по формуле , где N – мерность пространства. (Рис. 4, см. Приложение)
•Примечание
Заметим, что все формулы, присущие каждому из измерений, имеют аналоги в предыдущем измерении, кроме первого измерения, т.к в нулевом измерении нет формул на нахождение какого – либо параметра точки, как таковых.
Измерения старше 4го описывать не стоит, так как очень проблематично описать точку или гипертело в пространстве.
Рис.5 (см. Приложение) Точка, отрезок, квадрат, куб, тессеракт - соответсвенно.
3. Частные случаи
Тессеракт – Четырехмерый гиперкуб, аналог куба. (рис. 6, см. Приложение)
Симплекс – Обобщенное название n-мерного тетраэдра. (рис.7, см. Приложение)
Гипертор – Многомерный аналог тора (тор – поверхность вращения, получаемая при вращении образующей окружности вокруг оси, лежащей в плоскости этой окружности, не пересекая ось) (рис.8, см. Приложение)
Хептеракт (Гептеракт) – 7ми мерный гиперкуб. (рис.9, см. Приложение)
5-Ортоплекс (Пентакросс, триаконтадитерон) – правильный политоп. Проще говоря, 5ти мерная гиперпирамида из 16 ячеек. (рис.10, см. Приложение)
Кросс-политоп – аналог 2х мерного квадрата. Правильный политоп, двойственный n – мерному гиперкубу. (рис.11, см. Приложение)
3.1. Гиперкубы
Гиперкубы – фигуры, аналогичные трехмерному кубу. Обобщенное понятие на случай с n – количеством мерностей. Существует 6 известных многомерных кубов: Тессеракт, Пентеракт, Хексеракт, Хептеракт, Октеракт, Эннеракт, Декеракт.
Гиперобъем гиперкуба находится по формуле .
Найдем гипердиагональ по формуле .
Гиперкуб можно описать гиперсферой и вписать в него гиперсферу. радиус описанной Гиперсферы .
Радиус вписанной Гиперсферы находится по формуле .
Все эти формулы применимы к кубам любой мерности.
Гиперкуб N – мерности удовлетворяет неравентсву , где a- длина ребра.
3.1.1. Задачи (часть 1)
Задача №1
Дан Гиперкуб 7ой мерности. Найдите его гиперобъем, при условии, что длина ребра равна 3.
Решение:
Д ано: Вычисления
a = 3;
n = 7
Vn - ?
Ответ: 2187
Задача №2
Дан Эннеракт с Гиперобъемом равным 512 см9. Найдите длину ребра.
Решение:
Д ано: Вычисления
Vn = 512 см9;
n = 9
a - ?
Ответ: 2 см
Задача № 3
Дан Тессеракт и гиперсфера, соответсвующей мерности. Длина ребра является отношением . Найдите радиус описанной гиперсферы.
Р ешение:
Дано: Вычисления
a - ;
n = 4
R - ? =>
R => R = 3.
Ответ: 3 см.
Задача №4
Дан Пентеракт. Найдите гипердиагональ, при условии, что длина ребра 7.
Решение:
Д ано: Вычисления
а = 7
n = 5 =>
Ln - ?
Ответ: ~15,625476
3.2. Симплексы
Симплекс – (от лат. «simplex» - простой). Обобщенное название n-мерного треугольника. В геометрии, для простого понимания, перед слом «симплекс» ставится число мерности. Например, 3-симплекс (тетраэдр) и так далее. По формуле, можем найти гиперобъем n-симплекса с единичной стороной: . Так же существует формула гиперобъема симплекса для стороны с любым значением .
Так же мы можем найти гипервысоту по формуле , где n –мерность пространства.
Можем найти косинус двугранного угла по формуле .
3.2.1. Задачи (часть 2)
Задача №1
Дан 4-симплекс с единичной стороной. Найдите гиперобъем этого симплекса.
Решение:
Д ано: Вычисления
n = 4 => = 0,0029114
Vn - ?
Ответ: 0, 002911 см4
Задача №2
Дан 4-симплекс со стороной 3 см. Найдите гиперобъем этого симплекса
Решение
Д ано: Вычисления
n = 4 =1,125×(~0,7905)
a = 3см
Vn - ?
Ответ: ~1см4
Задача №3
Дан 9-симплекс со стороной 4см. Найдите гипервысоту этого симплекса.
Решение:
Д ано: Вычисление
n = 9 = ≈2,236
a = 4см
Hn - ?
Ответ: ~2,236 см9
4. Заключение.
Применение на практике
Мы знаем, что функция – это зависимость результата только от одного параметра. Если же что-то описывается более чем одним параметром, то оно описывается геометрически точками, линиями, фигурами, поверхностями в многомерных пространствах. Геометрия многомерных пространств – широко применяемый математический аппарат для наглядного представления, исследования и прогнозирования большинства реальных процессов. Тем более, изучение этой темы необходимо еще и для изучения квантовой механики и физики, согласно теории Розенфельда, гласящей о том, что квантовая механика и физика невозможна без применения множества различных пространств.
Список литературы и интернет ресурсов
1. ru.wikipedia.org, статья «Теория Калуцы –Клейна».
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%9A%D0%B0%D0%BB%D1%83%D1%86%D1%8B_%E2%80%94_%D0%9A%D0%BB%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%B0
2. ru.wikipedia.org, статья «Симплекс». https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D0%B8%D0%BC%D0%BF%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%81
3. ru.wikipedia.org, статья «Гиперкуб».
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D0%B8%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%BA%D1%83%D0%B1
4. ru.wikipedia.org, статья «Размерность пространства».
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A0%D0%B0%D0%B7%D0%BC%D0%B5%D1%80%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%82% D0%B2%D0%B0
5. Александров П.С. Комбинаторная топология. 1947, с. 660.
6. Александров П.С., Пасынков Б.А. Введение в теорию размерности. Введение в теорию топологических пространств и общую теорию размерности. 1973. с. 576
7. Понтрягин П.С. Основы комбинаторной топологии. 1947. с. 142
8. R. Blei Analysis in integer and fractional dimensions. 2003. p. 556
Приложение
Рис. 1 одномерная система координат (числовая прямая)
Рис. 2 двухмерная система координат
Рис. 3 трехмерная система координат
Рис. 4 четырехмерная система координат
z
X
w
y
Рис. 5 Точка, отрезок, квадрат, куб, тессеракт – соответственно.
Рис.6 Тессеракт
Рис.7 Симплекс
Рис.8 Гипертор
Рис.9 Хептеракт
Рис.10 5-Ортоплекс
Рис.11 Кросс-политоп
5