Многомерность пространства

IX Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке

Многомерность пространства

Ларионов А.В. 1
1МАОУ Одинцовский лицей №6 им. А.С. Пушкина
Пилипенко Г.И. 1
1МАОУ Одинцовский лицей №6 им. А.С. Пушкина
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Введение

 

С раннего детства меня интересовали самолеты, их устройство и все, что с ними связано. Изучение технической литературы, занятия в кружке авиа моделирования, собственные эксперименты, привели меня к этой работе.

1. Предметная область

Геометрия

2. Разработанность исследуемой проблемы

А. Эйнштейн создал Теорию Относительности в многомерности, тем самым, внес вклад в изучение многомерных пространств. Так же, математик Р. Декарт создал систему координат – «жизненно» необходимую для изучения пространства. Так же была создана теория Пуанкаре, которая была доказана полностью лишь в 2002 году. Так же, существует теория Калуцы – Клейна, вкратце, описанная здесь.

3. Цель работы

Исследование измерений в геометрии, решение геометрических задач. Изучение теорий. Расширение кругозора учащихся, путем толкования темы максимально доступным языком.

4. Актуальность

Работа нацелена рассказать о теориях многомерного пространства, показать, как решаются нестандартные задачи по геометрии, с применением элементов алгебры 7-8 класса школьной программы. Далее описываемый материал не включен в общеобразовательный комплекс геометрии средней и старшей школы.

5. Методы

Поиск и изучение источников информации, изучение и задач, их решение и методы решения. Решение некоторых задач на нахождение гиперобъема (тессеракт, пентаракт, гексеракт и т.д; симплекс) и на вычисление гипердиагонали геперкубов.

2. Определения

В этой работе будут использоваться специальные для этой темы обозначения. Обозначения приведены ниже с толкованием.

Гиперобъем – некоторая величина, обозначающая «внутренность» гипертел. Вычисляется по формуле , где Nмерность пространства. В конце решения задачи ставится метрическая единица длины с индексом N. пример: (показано на примере вычисления гиперобъема гиперкуба 7ой мерности пространства, хептеракт)

Мерность пространстваили «Размерность пространства», бытовое название «измерение». Количество независимых параметров, нужных для описания состояния объекта. К примеру, в 3х мерном пространстве, для описания , к примеру, куба, нам необходимо 3 величины: xдлина, yвысота и zширина. По тому же самому алгоритму выполняются описания гипертел уже в других мерностях, то есть в 4ой мерности будет 4 величины и так далее.

Гиперкубкуб N – мерности. Префикс «гипер» добавляется ко всем многомерным аналогам 3х мерных тел.

Гипердиагональ ГиперкубаДиагональ между 2 вершинами гиперкуба. Находится по формуле (по аналогии с формулой диагонали квадрата).

ПолитопПодмножество Евклидова пространства, представляющее из себя конечное число симплексов.

Гипервысота высота от основания гипертела. Обычно применяется при решении задач с симплексами.

2.1. Теория

Мы живем в трехмерном пространстве. Наши приборы не могут фиксировать наличие высших измерений. Это пытается объяснить теория Калуцы−Клейна: высшие размерности имеют замкнутую топологию, поэтому они никак не проявляют себя в обычных условиях.

В данной работе описывается теория размерности. Далее приведены некоторые аспекты данной теории, необходимые для этой исследовательской работы. Начнем с описания каждого из измерений, вплоть до 4, так как Условно принято писать номер измерения как ND, где N – мерность пространства. (D. – сокращ. от англ. «измерение»)

0D – измерение в пространстве, не имеющее величин. Пример 0-мерного тела – точка.

1D – измерение в пространстве, имеющее только величину x длина. Примером послужит прямая. В этом измерении мы можем, условно, измерить длину прямой, если отложить на ней отрезок. (Рис. 1, см. Приложение)

2D – измерение в пространстве, с двумя величинами, которые принято обозначать как x иy. гдеx длина, y– высота. В этом измерении существует, так называемая, Система координат – некий комплекс определений, использующий метод координат для определения положения точки или множества точек или тела в пространстве с помощью символов или чисел.

Система координат была открыта французским философом и математиком Рене Декартом.

Примером для двухмерного пространства служит, к примеру, квадрат, а так же еще огромное множество двухмерных фигур. Мы можем найти, к примеру, площадь квадрата, по формуле . Так же существует еще множество формул, применимых к остальным фигурам. (Рис. 2, см. Приложение)

3D – измерение в пространстве, имеющее три величины, которые обозначают как x, y, z. Гдеxдлина, yвысота,z ширина. В этом измерении, как и в предыдущем, есть система координат, в которой присутствует, помимо длины и высоты, еще ширина. Примером может послужить куб. Мы можем найти объем куба по формуле . Так же существует множество формул по нахождению объема. (Рис. 3, см. Приложение)

4D – измерение в пространстве, имеющее четыре величины, которые обозначают как x, y, z, ω. Где xдлина,yвысота,zширина, ωвремя. Последняя переменная обусловлена тем, что гипертела (см. Определения) напрямую связаны со временем, так как гипертело имеет свойство вращаться и проходить своими гранями сквозь себя. Примером четырехмерного гипертела можно считать тессеракт, симплекс и много других аналогов 3х мерных фигур. Можем найти Гиперобъем тела (см. Определения). Вычислим его по формуле , где Nмерность пространства. (Рис. 4, см. Приложение)

Примечание

Заметим, что все формулы, присущие каждому из измерений, имеют аналоги в предыдущем измерении, кроме первого измерения, т.к в нулевом измерении нет формул на нахождение какого – либо параметра точки, как таковых.

Измерения старше 4го описывать не стоит, так как очень проблематично описать точку или гипертело в пространстве.

Рис.5 (см. Приложение) Точка, отрезок, квадрат, куб, тессеракт - соответсвенно.

3. Частные случаи

Тессеракт – Четырехмерый гиперкуб, аналог куба. (рис. 6, см. Приложение)

Симплекс – Обобщенное название n-мерного тетраэдра. (рис.7, см. Приложение)

Гипертор – Многомерный аналог тора (тор – поверхность вращения, получаемая при вращении образующей окружности вокруг оси, лежащей в плоскости этой окружности, не пересекая ось) (рис.8, см. Приложение)

Хептеракт (Гептеракт) – 7ми мерный гиперкуб. (рис.9, см. Приложение)

5-Ортоплекс (Пентакросс, триаконтадитерон) – правильный политоп. Проще говоря, 5ти мерная гиперпирамида из 16 ячеек. (рис.10, см. Приложение)

Кросс-политоп – аналог 2х мерного квадрата. Правильный политоп, двойственный n – мерному гиперкубу. (рис.11, см. Приложение)

3.1. Гиперкубы

Гиперкубы – фигуры, аналогичные трехмерному кубу. Обобщенное понятие на случай с n – количеством мерностей. Существует 6 известных многомерных кубов: Тессеракт, Пентеракт, Хексеракт, Хептеракт, Октеракт, Эннеракт, Декеракт.

Гиперобъем гиперкуба находится по формуле .

Найдем гипердиагональ по формуле .

Гиперкуб можно описать гиперсферой и вписать в него гиперсферу. радиус описанной Гиперсферы .

Радиус вписанной Гиперсферы находится по формуле .

Все эти формулы применимы к кубам любой мерности.

Гиперкуб N – мерности удовлетворяет неравентсву , где a- длина ребра.

3.1.1. Задачи (часть 1)

Задача №1

Дан Гиперкуб 7ой мерности. Найдите его гиперобъем, при условии, что длина ребра равна 3.

Решение:

Д ано: Вычисления

a = 3;

n = 7

Vn - ?
Ответ: 2187

Задача №2

Дан Эннеракт с Гиперобъемом равным 512 см9. Найдите длину ребра.

Решение:

Д ано: Вычисления

Vn = 512 см9;

n = 9

a - ?

Ответ: 2 см

Задача № 3

Дан Тессеракт и гиперсфера, соответсвующей мерности. Длина ребра является отношением . Найдите радиус описанной гиперсферы.

Р ешение:

Дано: Вычисления

a - ;

n = 4

R - ? =>

R => R = 3.

Ответ: 3 см.

Задача №4

Дан Пентеракт. Найдите гипердиагональ, при условии, что длина ребра 7.

Решение:

Д ано: Вычисления

а = 7

n = 5 =>

Ln - ?

Ответ: ~15,625476

3.2. Симплексы

Симплекс – (от лат. «simplex» - простой). Обобщенное название n-мерного треугольника. В геометрии, для простого понимания, перед слом «симплекс» ставится число мерности. Например, 3-симплекс (тетраэдр) и так далее. По формуле, можем найти гиперобъем n-симплекса с единичной стороной: . Так же существует формула гиперобъема симплекса для стороны с любым значением .

Так же мы можем найти гипервысоту по формуле , где n –мерность пространства.

Можем найти косинус двугранного угла по формуле .

3.2.1. Задачи (часть 2)

Задача №1

Дан 4-симплекс с единичной стороной. Найдите гиперобъем этого симплекса.

Решение:

Д ано: Вычисления

n = 4 => = 0,0029114

Vn - ?

Ответ: 0, 002911 см4

Задача №2

Дан 4-симплекс со стороной 3 см. Найдите гиперобъем этого симплекса

Решение

Д ано: Вычисления

n = 4 =1,125×(~0,7905)

a = 3см

Vn - ?

Ответ: ~1см4

Задача №3

Дан 9-симплекс со стороной 4см. Найдите гипервысоту этого симплекса.

Решение:

Д ано: Вычисление

n = 9 = ≈2,236

a = 4см

Hn - ?

Ответ: ~2,236 см9

4. Заключение.

Применение на практике

Мы знаем, что функция – это зависимость результата только от одного параметра. Если же что-то описывается более чем одним параметром, то оно описывается геометрически точками, линиями, фигурами, поверхностями в многомерных пространствах. Геометрия многомерных пространств – широко применяемый математический аппарат для наглядного представления, исследования и прогнозирования большинства реальных процессов. Тем более, изучение этой темы необходимо еще и для изучения квантовой механики и физики, согласно теории Розенфельда, гласящей о том, что квантовая механика и физика невозможна без применения множества различных пространств.

Список литературы и интернет ресурсов

1. ru.wikipedia.org, статья «Теория Калуцы –Клейна».

https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%9A%D0%B0%D0%BB%D1%83%D1%86%D1%8B_%E2%80%94_%D0%9A%D0%BB%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%B0

2. ru.wikipedia.org, статья «Симплекс». https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D0%B8%D0%BC%D0%BF%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%81

3. ru.wikipedia.org, статья «Гиперкуб».

https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D0%B8%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%BA%D1%83%D0%B1

4. ru.wikipedia.org, статья «Размерность пространства».

https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A0%D0%B0%D0%B7%D0%BC%D0%B5%D1%80%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%82% D0%B2%D0%B0

5. Александров П.С. Комбинаторная топология. 1947, с. 660.

6. Александров П.С., Пасынков Б.А. Введение в теорию размерности. Введение в теорию топологических пространств и общую теорию размерности. 1973. с. 576

7. Понтрягин П.С. Основы комбинаторной топологии. 1947. с. 142

8. R. Blei Analysis in integer and fractional dimensions. 2003. p. 556

Приложение

Рис. 1 одномерная система координат (числовая прямая)

Рис. 2 двухмерная система координат

Рис. 3 трехмерная система координат

Рис. 4 четырехмерная система координат

 

z

 

X

 

w

 

y

Рис. 5 Точка, отрезок, квадрат, куб, тессеракт – соответственно.

Рис.6 Тессеракт

Рис.7 Симплекс

Рис.8 Гипертор

Рис.9 Хептеракт

Рис.10 5-Ортоплекс

Рис.11 Кросс-политоп

5

Просмотров работы: 280