IX Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Решение задач на смеси и сплавы
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
«Математике должно учить в школе ещё с той целью, чтобы познания, здесь приобретаемые, были достаточными для обыкновенных потребностей в жизни»
И.Л. Лобачевский
Введение
Решение математических задач практического содержания позволяет убедиться в значении математики для различных сфер человеческой деятельности, увидеть широту возможных приложений математики, понять её роль в современной жизни. Вопросы инфляции, повышения цен, снижение покупательской способности касаются каждого человека. Планирование семейного бюджета, выгодного вложения денег в банки невозможны без умения производить несложные процентные вычисления. Сами проценты не дают экономического развития, но их знание помогает в развитии практических способностей, а также умении решать задачи.
Обдуманное изучение процентов может способствовать развитию таких навыков как экономичность, расчетливость.
А понятие «процент» используется на уроках физики, химии, биологии, географии, экономики.
Задания на проценты включены в экзамен. Предлагаются задачи на «сплавы», «смеси», «концентрации», задачи экономического содержания.
Многие знают, что такое проценты, но для чего они нужны и где используются понятно не всем. Тем, кто ещё мало знаком с процентами и их применением в нашей жизни, предлагаем вместе с нами провести удивительное путешествие в мир математики.
Рассмотрим решение задач на смеси и сплавы.
Цель проекта: объяснить решение ключевых задач на проценты с помощью создания сборника задач по теме «проценты» на смеси и сплавы.
Для достижения цели были поставлены следующие задачи:
Изучить историю появления процентов;
Проанализировать классификацию задач на проценты по способам решения опорных задач;
Рассмотреть задачи из банка ФИПИ.
Объект исследования: задач на проценты.
Предмет исследования: решение практических задач на проценты и процентное содержание.
Методы работы: поисковый, практический, анализ.
Практическая значимость исследования заключается в том, что:
- показано практическое применение процентов;
- материалы работы можно использовать как учащимся, так и преподавателям;
- создан сборник задач по теме «Проценты».
История возникновения процентов
Слово "процент" происходит от латинского "pro centum", что буквально означает "за сотню" или "со ста". Процентами очень удобно пользоваться на практике, так как они выражают части целых чисел в одних и тех же сотых долях. Это даёт возможность упрощать расчёты и легко сравнивать части между собой и целыми. Идея выражения частей целого постоянно в одних и тех же долях, вызванная практическими соображениями, родилась ещё в древности у вавилонян, которые пользовались шестидесятеричными дробями. Уже в клинописных табличках вавилонян содержатся задачи на расчет процентов. Были известны проценты и в Индии. Индийские математики вычисляли проценты, применяя так называемое тройное правило, т.е. пользуясь пропорцией.
Денежные расчёты с процентами были особенно распространены в Древнем Риме. Они называли процентами деньги, которые платил должник заимодавцу за каждую сотню. От римлян проценты перешли к другим народам.
Долгое время под процентами понимались исключительно прибыль или убыток на каждые сто рублей. Они применялись только в торговых и денежных сделках. Затем область их применения расширилась, проценты встречаются в хозяйственных и финансовых расчётах, статистике, науке и технике. Ныне процент - это частный вид десятичных дробей, сотая доля целого (применяемого за единицу).
Знак "%" происходит, как полагают, от итальянского слова cento (сто), которое в процентных расчётах часто писалось сокращённо cto. Отсюда путём дальнейшего упрощения в скорописи буквы t в наклонную черту произошёл современный символ для обозначения процента. Существует и другая версия возникновения этого знака. Предполагается, что этот знак произошёл в результате нелепой опечатки, совершенной наборщиком. В 1685 году в Париже была опубликована книга - руководство по коммерческой арифметике, где по ошибке наборщик вместо cto напечатал %. После этой ошибки многие математики также стали употреблять знак % для обозначения процентов, и постепенно он получил всеобщее признание.
Решение задач на смеси и сплавы, с использованием понятий «процентное содержание», «концентрация», «% -й раствор».
Предлагаем вашему вниманию подборку задач на проценты из банка заданий ФИПИ.
Задача 1
Смешав 60%−ый и 30%−ый растворы кислоты и добавив 5 кг чистой воды, получили 20%−ый раствор кислоты. Если бы вместо 5 кг воды добавили 5 кг 90%−го раствора той же кислоты, то получили бы 70%−ый раствор кислоты. Сколько килограммов 60%−го раствора использовали для получения смеси?
Решение
Пусть x кг и y кг — массы первого и второго растворов, взятые при смешивании. Тогда x+y+5 кг — масса полученного раствора, содержащего 0,6x+0,3y кг кислоты. Концентрация кислоты в полученном растворе 20%, откуда
0,6x+0,3y=0,2(x+y+5)
Решим систему двух полученных уравнений:
Замечание. Решение можно сделать несколько проще, если заметить, что из полученных уравнений следует: 4,5=0,5(x+y+5), откуда x+y=4. Первое уравнение принимает вид 0,3x+1,2=1,8, откуда x=2
Ответ: 2 кг.
Задача 2
Имеется два сплава с разным содержанием меди: в первом содержится 60%, а во втором — 45% меди. В каком отношении надо взять первый и второй сплавы, чтобы получить из них новый сплав, содержащий 55% меди?
Решение
Пусть первый сплав взят в количестве x кг, тогда он будет содержать 0,6x кг меди, а второй сплав взят в количестве y кг, тогда он будет содержать 0,45y кг меди. Соединив два этих сплава, получим сплав меди массой x+y, по условию задачи он должен содержать 0,55(x+y) меди. Следовательно, можно составить уравнение:
0,6x+0,45y=0,55(x+y)
Выразим x через y: x=2y
Следовательно, отношение, в котором нужно взять сплавы:
Ответ: 2:1
Задача 3
При смешивании первого раствора кислоты, концентрация которого 20%, и второго раствора этой же кислоты, концентрация которого 50%, получили раствор, содержащий 30% кислоты. В каком отношении были взяты первый и второй растворы?
Решение
Пусть первый раствор взят в количестве грамм, тогда он содержит 0,2 грамм чистой кислоты, а второй раствор взят в количестве грамм, тогда он содержит 0,5y грамм чистой кислоты. При смешивании двух этих растворов получится раствор массой x+y грамм, по условию задачи, он содержит 0,3(x +y) чистой кислоты. Следовательно, можно составить уравнение:
0,2x+0,5y=0,3(x+y)
Выразим x через y: x=2y.
Следовательно, отношение, в котором были взяты растворы:
Ответ: 2:1
Задача 4.
На пост главы администрации города претендовало три кандидата: Журавлёв, Зайцев, Иванов. Во время выборов за Иванова было отдано в 2 раза больше голосов, чем за Журавлёва, а за Зайцева — в 3 раза больше, чем за Журавлёва и Иванова вместе. Сколько процентов голосов было отдано за победителя?
Решение
Заметим, что победителем на выборах окажется Зайцев. Пусть количество голосов, отданных за Зайцева равно x. Тогда за Журавлёва и Иванова вместе отдали x/3. Процент голосов, отданных за Зайцева
Ответ: 75%.
Задача 5
Первый сплав содержит 5% меди, второй — 13% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 4 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 10% меди. Найдите массу третьего сплава.
Решение
Пусть масса первого сплава x кг. Тогда масса второго сплава (x + 4) кг, а третьего — (2x + 4) кг. В первом сплаве содержится 0,05x кг меди, а во втором — 0,13(x + 4) кг. Поскольку в третьем сплаве содержится 0,1(2x + 4) кг меди, составим и решим уравнение:
Значит, масса третьего сплава равна 16 кг.
Ответ: 16 кг.
Задача 6
Свежие фрукты содержат 80% воды, а высушенные — 28%. Сколько сухих фруктов получится из 288 кг свежих фруктов?
Решение
Свежие фрукты содержат 20% питательного вещества, а высушенные — 72%. В 288 кг свежих фруктов содержится 0,2 · 288 = 57,6 кг питательного вещества. Такое количество питательного вещества будет содержаться в 57,6/0,72=80 кг высушенных фруктов.
Ответ: 80 кг.
Задача 7
Смешали некоторое количество 10-процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 12-процентного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
Решение
Пусть взяли x г 10-процентного раствора, тогда взяли и x г 12-процентного раствора. Концентрация раствора — масса вещества, разделённая на массу всего раствора. В первом растворе содержится 0,1x г, а во втором - 0,12x г. Концентрация получившегося раствора равна:
Ответ: 11%.
Задача 8
Свежие фрукты содержат 86 % воды, а высушенные — 23 %. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 72 кг высушенных фруктов?
Решение
Заметим, что сухая часть свежих фруктов составляет 14%, а высушенных — 77%. Значит, для приготовления 72 кг высушенных фруктов требуется (77/14)*72=396кг свежих.
Ответ: 396 кг.
Задача 9
Имеются два сосуда, содержащие 10 кг и 16 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий 55% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 61% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом растворе?
Решение
Пусть концентрация первого раствора — х, концентрация второго раствора — y. Составим систему уравнений согласно условию задачи и решим ее:
Таким образом, в первом растворе содержится 10*0,87=8,7 килограмма кислоты.
Ответ: 8,7.
Задача 10
Имеются два сосуда, содержащие 4 кг и 16 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий 57% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 60% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом растворе?
Решение
Пусть концентрация первого раствора - х, концентрация второго раствора - y. Составим систему уравнений согласно условию задачи:
Таким образом, в первом растворе содержится 4*0,65=2,6 килограмма кислоты
Ответ: 2,6
Задача 11
Имеются два сосуда, содержащие 40 кг и 30 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получим раствор, содержащий 73% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 72% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится во втором растворе?
Решение
Пусть концентрация первого раствора - х, концентрация второго раствора - y. Составим систему уравнений согласно условию задачи:
Таким образом, во втором растворе содержится 30*0,65=19,5 килограмма кислоты
Ответ: 19,5
Задача 12
Свежие фрукты содержат 75% воды, а высушенные – 25%. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 45 кг высушенных фруктов?
Решение
Если в свежих фруктах содержится 75% воды, то сухого вещества будет 100 – 75 = 25 (%), а высушенные – 25%, то сухого вещества в них будет 100 – 25 = 75 (%).
Свежие фрукты х 25% = 0,25 0,25 • х
Высушенные фрукты 45 75% = 0,75 0,75 • 45 = 33,75
Т.к. масса сухого вещества для свежих и высушенных фруктов не меняется, то получим уравнение:
0,25 • х = 33,75;
х = 33,75 : 0,25;
х = 135 (кг) – требуется свежих фруктов.
Ответ: 135 кг.
Задача 13
Смешав 70 % -й и 60 % -й растворы кислоты и добавив 2 кг чистой воды, получили 50 % -й раствор кислоты. Если бы вместо 2 кг воды добавили 2 кг 90 % -го раствора той же кислоты, то получили бы 70 % -й раствор кислоты. Сколько килограммов 70 % -го раствора использовали для получения смеси?
Решение
I х 70% = 0,7 0,7 • х
II у 60% = 0,6 0,6 • у
вода 2 – –I + II + вода х + у + 2 50 % = 0,5 0,5 • ( х + у + 2 )
III 2 90 % = 0,9 0,9 • 2 = 1,8
I + II + III х + у + 2 70 % = 0,7 0,7 • ( х + у + 2)
Используя последний столбик из таблицы составим 2 уравнения:
0,7 • х + 0,6 • у = 0,5 • ( х + у + 2 ) и 0,7 • х + 0,6 • у + 1,8 = 0,7 • ( х + у + 2).
Объединив их в систему, и решив ее, получим, что х = 3 кг.
Ответ: 3 килограмма 70 % -го раствора использовали для получения смеси.
Задача 14
Три килограмма черешни стоят столько же, сколько пять килограммов вишни, а три килограмма вишни – столько же, сколько два килограмма клубники. На сколько процентов килограмм клубники дешевле килограмма черешни?
Решение
Из первого предложения задачи получаем следующие равенства:
3ч = 5в,
3в = 2к.
Из которых можно выразить: ч = 5в/3, к = 3в/2.
Таким образом можно составить пропорцию:
5в/3 – 100%
3в/2 – х %, получим х = (3 • 100 • в •3)/(2 • 5 • в), х = 90% составляет стоимость килограмма клубники от стоимости килограмма черешни.
Значит, на 100 – 90 = 10 (%) – килограмм клубники дешевле килограмма черешни.
Ответ: на 10 процентов килограмм клубники дешевле килограмма черешни.
Заключение
Для себя мы выяснили, как это важно, понимать и знать проценты и сделали следующий вывод: чтобы стать классными специалистами и быть успешными на 100%, необходимо хорошо учиться.
В данной работе мы рассмотрели несколько различных методов решения задач на смеси, растворы и сплавы. При этом практически было доказано, что прийти к верному ответу задачи можно, используя любой из рассмотренных выше способов решения. Однако стоит отметить, что, несмотря на внешние различия в ходе решения задач различными способами, все они в своей основе имеют общую схему. Как уже отмечалось ранее, каждый из рассмотренных методов опирается на знание понятий «концентрация вещества» и «процентное содержание вещества в растворе»
Список литературы
Виленкин, Н. Л. За страницами учебника математики. – М.: Просвещение, 2001. –73с.
ЕГЭ: 3000 задач с ответами по математике.
Все задания группы А.Л. Семенов, И.В. Ященко, И.Р. Высоцкий, Д.Д. Гущин, М.А. Посицельская, С.Е. Посицельский, С.А. Шестаков, Д.Э. Шноль, П.И. Захаров, А.В. Семенов, В.А. Смирнов; под ред. А.Л. Семенова, И.В. Ященко. – М.: Издательство «Экзамен», 2017. – 511с.
Занимательная математика на уроках и внеклассных мероприятиях. 5-8 классы/ авт.-сост. Ю.В. Щербакова, И.Ю. Гераськина. – 2-е изд., доп. – М.: Издательство «Глобус», 2012. – 240с.