IX Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Использование свойств функций при решении неравенств
Автор работы награжден дипломом победителя I степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
ВВЕДЕНИЕ
«Правильному применению методов можно научиться,
только применяя их на разнообразных примерах».
И.Г. Цейтен
Решение неравенств повышенной сложности, содержащих модули, иррациональные, логарифмические, показательные функцииили их комбинацию, стандартными школьными методами часто оказывается весьма сложным и громоздким, что вызывает у нас, школьников, определенные трудности.
Одним из эффективных и доступных методов решения таких неравенств и их систем являются методы, опирающиеся на такие свойства функций, как область определения и область значений, неотрицательность, монотонность и ограниченность, экстремумы функций и метод «мини-максов». Суть данных методов заключается на замене иррациональных и трансцендентных неравенств на равносильные им рациональные алгебраические неравенства, решение которых легко осуществляется. Применение этих методов позволяет во многих случаях значительно уменьшить трудоемкость задачи, избежать длинных выкладок и ненужных ошибок.
Мною было проведено анкетирование среди учащихся 9-11 классов:
Знаете ли вы методы решения неравенств, опирающиеся на свойства функций?
Какие вы используете чаще всего?
По результатам анкетирования были получены следующие результаты:
Проанализировав полученные результаты, я пришел к выводу, что большинство учащихся недостаточно осведомлены о данных методах решения неравенств.
Таким образом, возникает необходимость в изучении методов решения неравенств, опирающихся на свойства функций, что определяет актуальность данной работы.
Цель: научиться использовать методы решения неравенств, опирающиеся на свойства функций.
Задачи:
Рассмотреть методы решения неравенств, опирающиеся на свойства функций, такие как область определения, ограниченность, неотрицательность, монотонность функций и метод мини-максов;
Привести примеры решения неравенств с помощью методов, опирающихся на свойства функций;
Составить тренажер по использованию свойств функций при решении неравенств.
Объект исследования: методы решения неравенств.
Предмет исследования: методы решения неравенств, опирающиеся на свойства функций.
Гипотеза исследования: использование свойств функций при решении неравенств дает более рациональное его решение и позволяет повысить эффективность и качество.
Методы исследования: анализ, сравнение, обобщение, конструирование, моделирование, изучение литературных источников и Интернет-источников.
Практическая значимость исследования: изучение методов решения неравенств, опирающихся на свойства функций, необходимы для получения хорошего результата на ЕГЭ, при поступлении в ВУЗы и различных жизненных ситуациях.
Основная часть
Глава 1. Понятие функции
Понятие "функция" является одним из основных понятий в математике. Термин «функция» (в некотором более узком смысле) был впервые использован Лейбницем (1692 год). В свою очередь, Иоганн Бернулли в письме к тому же Лейбницу употребил этот термин в смысле, более близком к современному.
Первоначально понятие функции было неотличимо от понятия аналитического представления. Впоследствии появилось определение функции, данное Эйлером (1751 год), затем — у Лакруа (1806 год), — уже практически в современном виде. Наконец, общее определение функции (в современной форме, но для числовых функций) было дано Лобачевским (1834 год) и Дирихле (1837 год).
К концу XIX века понятие функции переросло рамки числовых систем. Сначала понятие функции было распространено на векторные функции, вскоре Фреге ввёл логические функции (1879), а после появления теории множеств Дедекинд (1887) и Пеано (1911) сформулировали современное универсальное определение.
Зависимость переменной у от переменной х, при которой каждому значению переменной х соответствует единственное значение переменной у, называется функцией (определение, которое нам знакомо из курса алгебры).
При этом x называют независимой переменной или аргументом, а переменную y – зависимой переменной или функцией.
Если зависимость переменной у от переменной х является функцией, то коротко это записывают y=f(x).
Область определения функции - все значения независимой переменной.
Область значений функции – все значения, которые принимает зависимая переменная.
Глава 2. Использование свойств функции
2.1. Использование области определения функций
Предварительный анализ области определения функций, входящих в неравенство (ОДЗ неизвестной), иногда позволяет получить решение без преобразований.
Если множество M, на котором определены обе части неравенства, окажется пустым множеством, то в этом случае неравенство решений не имеет.
Использование областей существования наиболее результативен при решении уравнений и неравенств, в состав которых входят функции: y=arcsinx, y=arccosx, y=logax, y=x.
Пример 1. Решите неравенство
Решение.
ООН:
Проверим полученные значения на исходное неравенство.
Ответ: 1;3.
Использование ограниченности функций
Использование неотрицательности функций
Пусть левая часть неравенства F(x)0 есть сумма функций F(x)=f(x)+g(x).Установили, что каждая из этих функций неотрицательна на своей области определения. Тогда неравенство F(x) ≤ 0 равносильно системе уравнений
При тех же условиях неравенство F(x) ≥ 0 сводится к нахождению области определения функции F(x):
Пример 2. Решите неравенство
Решение. (1) f1(x)+f2(x)≥0, (2)
где 1) ООН: (2x– 1)4– (2x– 1)2≥0 (2x– 1)2 ((2x– 1)2–1) ≥0
(2x– 1)2 (2x– 1–1) (2x– 1+1) ≥0 (2x– 1)2 (x– 1) x ≥0
x(-;00,51;+ ).
2)Так как f1(x)≥0, f2(x)≥0 на ООН, то (2) xООН x(-;00,51;+ ).
Ответ: (-;00,51;+ ).
Пример 3. Решите неравенство
Решение. (1) f1(x)+f2(x) ≤ 0, (2)
1) ООН: x2–2x+5>0 xR.
2) x2–2x+5=(x-1)2 +4 ≥4 f2(x) ≥0.
Ответ:1.
Пример 4. Решите систему неравенств
Решение.
Решим неравенство (1). Разделим (1) на 9x(E(at)=(0;+)).
Решим неравенство (2).
Обозначим
g(x)=x2-10 x+26=(x-5)2+1≥1, при x<0 g(x)=(x+5)2+1≥1.
Тогда
Ответ:–5.
Метод мини-максов (метод оценки)
Иногда неравенство f(x) g(x) устроено так, что на всей ОДЗ неизвестной х имеет место неравенства f(x)≥A, g(x)≤A.
В этом случае:
а) решение неравенстваf(x) ≤ g(x) сводится к нахождению тех значенийх, для которых f(x)=A и g(x)=A, т.е.
б) решение неравенства f(x)≥g(x) сводится к нахождению ОДЗ неизвестной переменной.
Как понять, что нужно решать именно предложенным методом? Для этого нужно знать основной признак подобных задач: имеется смешанное неравенство, то есть в задании присутствуют разнородные функции, например: линейная и логарифмическая, тригонометрическая и квадратичная.
Пример 5. Решите неравенство
Решение: Преобразуем данное неравенство: . Т.к. , то . Мы получили неравенство вида
Рассмотрим . Преобразуем подлогарифмическое выражение: . Получаем, что подлогарифмическое выражение
Т. к. возрастает при , то
Рассмотрим . Мы знаем, что возрастает. Т. к. то Получаем, что M=1. Следовательно, неравенство равносильно системе:
Решив второе уравнение системы, получаем . Проверим первое уравнение, подставив значение x.
Получаем верное равенство Значит, является решением неравенства .
Ответ: 3.
Использование монотонности функций
Принцип монотонности для неравенств
Пусть функция y=f(x) определена и строго монотонна на промежутке М.
Если функцияy=f(x) возрастает на промежутке М, то
Если функция y=f(x) убывает на промежутке М, то
Использование монотонности функций при решении уравнений и неравенств используется чаще всего. Решение уравнений и неравенств с применением монотонности функций основывается на следующих утверждениях:
Теорема о корне
Если в уравнении f(x)=C=const функция y = f (x) непрерывна и строго монотонна на множестве М, то уравнение имеет на М не более одного корня.
Если в уравнении f(x)=g(x) функция y = f (x) непрерывна и строго возрастает, а функция y=g(x) непрерывна и строго убывает на множестве М, то уравнение имеет на М не более одного корня.
Пример 6. Решите неравенство
Решение.
ООН: 2х-3 ≥ 0 х≥1,5.
Функция возрастает при х≥1,5, как сумма двух возрастающих функций.
Так как , то по теореме о корне х=2 – единственный корень уравнений f(x)=3.
Ответ: 1,5;2.
Пример 7. Решите неравенство 4(1+log3(x2+3x-7))≥18-3x-x2 (1)
Решение. (1) 4log3(x2+3x-7)+( x2+3x-14)≥0 (2)
t=x2+3x–7, x2+3x –14=t – 7.
где f(t) =4 log3t+t – 7.
Функция y=f(t) возрастает при t> 0, как сумма двух возрастающих функций.
Так как f(3)=4+3 – 7=0, то по теореме о корне t=3 единственный корень уравнения f(t)=0.
Ответ:(-; - 52;+ ).
Пример 8. Решите неравенство
Решение.
Гдеf1(x)=arcos(x2–6x+8) – arcos(x–2), f2(x)=log23(8 – x) – 3x +4.
Применим МЗМ. Заменим функции f1(x) и f2(x) на функции равного знака.
Функцияy=f1(t)=arcos(t) убывает на t-1;1
Функция y=f2(х) убывает на хх1;3. Так как f2(4)=0, то по теореме о корне х=4 единственный корень уравнения f2(х)=0
х2;3.
Ответ: 2;3.
Глава 3. Тренажер «Методы решения неравенств, используя свойства функций»
Мне захотелось составить тренажер по усвоению методов решения неравенств, используя свойства функций. Традиционно ученику предлагается решить неравенство, а я предлагаю ознакомиться с решением неравенства и определить, какой метод используется при решении данного неравенства. Этот тренажер составлен с помощью конструктора интерактивных заданий LearningApps. Учащиеся могут проверить и закрепить свои знания по данным методам, что способствует формированию их познавательного интереса к математике:
https://learningapps.org/watch?v=pvh1b1qak20
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В ходе выполнения исследования были достигнуты поставленная цель и задачи. Гипотеза подтвердилась. Использование свойств функций при решении неравенств: таких как область определения и область значений, неотрицательность, монотонность и ограниченность, экстремумы функций и метод «мини-максов, позволяет избежать огромных преобразований. Применение этих методов дает более рациональное решение неравенства и позволяет повысить эффективность и качество.
Для каждого из указанных типов неравенств приведены методические указания и алгоритмы (схемы), а также подробные и обоснованные решения неравенств разных типов и разного уровня сложности, иллюстрирующие оригинальность и эффективность приведенных методов, позволяющих решать задачи компактно, быстро и просто. Составлен тренажер по усвоению методов решения неравенств, используя свойства функций.
Выбор способа решения должен оставаться за нами, учащимися. Каждый ученик должен уметь верно, и главное рационально решать неравенства, что в дальнейшем может ему пригодиться при поступлении в ВУЗы и различных жизненных ситуациях. Они могут воспользоваться собранной информацией для изучения и закрепления методов решения неравенств.
Я считаю, что проделанная работа будет интересна всем, кто хочет научиться рационально решать неравенства и хорошо подготовиться к выпускным экзаменам.
Хочется отметить и то, что излагаемая тема в данном исследовании еще недостаточно изучена, поэтому она таит в себе много скрытого и неизвестного, что дает прекрасную возможность для дальнейшей работы над ней.
ЛИТЕРАТУРА
Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын, Б. М. Ивлев, С. И. Шварцбурд; Под ред. А. Н. Колмогорова. – 12-изд. – М.: Просвещение, АО «Московские учебники», 2002. – 384с.
ЕГЭ 2017. Математика. 10 вариантов экзаменационных работ. Профильный уровень. Под ред. И. В. Ященко/ М.: «Экзамен», 2017.
Куланин Е. Д., Норин В. П. 3000 конкурсных задач по математике. М.:Айрис-пресс, 2003.
Коропец З.Л., Коропец А.А., Алексеева Т.А. Нестандартные методы решения неравенств и их систем. Орел: ОрелГТУ, 2012.
Математика: Учебно-методический журнал – М.: Первое сентября, 2009.
Сергеев И.Н., Панферов В.С. ЕГЭ 2011. Математика. Задача С3. Уравнения и неравенства. / Под ред. А.Л. Семенова, И.В. Ященко. – М.:МЦНМО, 2011.
Интернет - ресурсы
http://lib.znate.ru/docs/index-247109.html - Применение свойств функций.
http://www.webmath.ru/poleznoe/svoistva_funcsii.php - Свойства функций.
http://www.ref.by/refs/49/25558/1.html - История возникновения понятия функции.