IX Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Геометрия там, где ее не ждали.
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Цель: избежать возникновения возможных проблем при переносе мебели
Задача: рассчитать размеры прохода и мебели
Методы: исследование, анализ, изучение литературы, построение математической модели
Проблема там, где ее не ждали
Можно ли загнать русского человека в тупиковую ситуацию? Думаю, нет.
В условиях практически полной изоляции от внешнего мира, обусловленной распространением коронавируса, люди стали искать себе занятия внутри дома. Многие уехали подальше от городов, в деревни на дачи. Наша семья не стала исключением. Уехали и мы. Родилась идея сделать небольшой ремонт. Планировали давно, да все руки не доходили. А тут…
Но было бы скучно, если бы все прошло гладко… Ремонт подразумевает перенос мебели ради освобождения пространства. Вот тут-то и началось веселье. Как выяснилось, перегородки между комнатами с образованным ими коридорчиком появились уже после того, как там была расставлена мебель. Одним словом, кровать не проходила…
Спасибо геометрии
Пришлось подойти к решению бытовой задачи геометрически. Строго в масштабе был начерчен план нужных помещений и та самая кровать. Кровать вырезана. Начался процесс перемещения модели кровати по начерченному плану дома.
Будучи учеником 8 класса и владея не очень большим багажом знаний, пришлось, в большей степени, решать задачу практически.
(Приложение 1)
Перемещая по бумаге вырезанную модель кровати, несложно было догадаться, что работать придется с прямоугольными треугольниками. Теорема Пифагора и умение работать с подобными треугольниками оказались главными моими помощниками.
Очень сильно мешали углы. Так и хотелось их закруглить, чтобы они плавно прошли на повороте. Это существенно увеличило бы ширину проносимой кровати.
(Приложение 2)
Но иметь дело приходилось с обыкновенной кроватью…
Рассмотрим АВС. Переносимая кровать – вписанный в него прямоугольник, где одна сторона лежит на гипотенузе, а вершины противоположной стороны принадлежат катетам.
(Приложение 3)
Несложно заметить, что ADK также прямоугольный и подобен АВС. Попробовав повернуть кровать дальше, пронеся ее немного за поворот, видим, что она уже проходит гораздо свободнее.
(Приложение 4)
Значит самое проблемное место – это положение кровати, в котором АВС равнобедренный.
(Приложение 5)
Произведем расчеты на два случая: какова должна быть ширина коридора при уже имеющейся кровати и какого максимально возможного размера можно приобретать кровать, чтобы пронести ее через существующий коридор.
Планируем коридор
ABC- прямоугольный равнобедренный треугольник
AP- высота и медиана
PB= 0,5*CD
NP= HK= 90 см, NK= 0,5*DK= 95 cм.
ANK подобен ABC, значит ANK- равнобедренный.
AN= NK= 95 и AD= AN+ NP= 95+ 90= 185 см.
APS также подобен ABC. AP- гипотенуза, SP- искомая ширина коридора.
AP2 = AS2 + SP2, 1852 = 2*SP2, SP= 185/√2≈ 131,2 см.
Значит, имея кровать 190* 90, чтобы её вынести нужен коридор шириной 131 см.
Покупаем кровать
Решим обратную задачу.
Ширина коридора 1 метр.
SP= 100 см => AP= AN+ ВТ
PN- ширина кровати, NK- половина длины.
ANK подобен ABC, значит он равнобедренный
AN= NK
Из ASP получаем AD= √2*√1002= 100√2≈ 141 cм
Значит HK+ KN= NP+ AN≈ 141 cм
Размеры кровати должны быть такими, чтобы HK+ KN≈ 141 см
Рассмотрим наибольшую площадь кровати.
Достаточно рассмотреть площадь NPHK половины кровати
S= HK* KN.
Пусть HK= x, тогда NK= 141- x.
S= x*(141-x) = 141x- x2
Наибольшее значение площади, в нашей ситуации, – это наибольшее значение квадратичной функции. Мы знаем, что эта функция достигает наибольшего значения в точке, соответствующей вершине параболы!
X0= -141/(2*(-1))= 141/2= 70,5
Значит, при ширине коридора 1 метр наибольшая площадь кровати, которую можно пронести будет при ширине кровати 70,5 см и длине 2*(141-70,5)= 141 cм.
Естественно, кровать таких габаритов никого не устраивает. Значит, придется в будущем, покупать кровать из расчета ширины имеющегося коридора.
Новые открытия – впереди
Столкнувшись с данной проблемой, мы стали искать ответ в просторах Интернета. Выяснилось, что данной проблемой занимаются уже давно.
Впервые строго сформулирована она была в 1966 году канадским математиком Лео Мозером, хотя в узких кругах была широко известна и ранее. В 1967 году Халлард Крофт из Кембриджского университета предложил двигать рояль, но термин как-то не прижился, поэтому все продолжили транспортировку дивана. Вопрос, который до сих пор волнует общественность, заключается в том, насколько масштабным может быть этот самый предмет мебели, чтобы укладываться в условие задачи.
Итак, требуется определить наибольшую площадь жесткого тела, которое можно переместить в Γ-образном коридоре ширины 1. Эту площадь принято называть константой дивана.
Нетрудно заметить, что в таком коридоре отлично справится с поворотом на 90 градусов минималистичный диван, в проекции дающий половину диска единичного радиуса, поэтому с учетом формулы площади круга получим нижнюю оценку для константы дивана, равную π/2 ≈ 1,57079. Сверху же предел площади установлен на значении 2√2 ≈ 2,8284.
(Приложение 6)
Британский математик Джон Хэммерсли в 1968 году улучшил нижнюю оценку, предложив фигуру площадью π/2 + 2/π ≈ 2,2074. Тот самый английский диван в работе ученого из Кембриджа сильнее всего напоминает телефонную трубку — чистый авангард! А в 1992 году Джозеф Гервер из Ратгерского университета (Нью-Джерси, США) поднял нижнюю оценку до значения ≈ 2,2195.
Вычисление точного значения максимально возможной площади фигуры в задаче о перемещении дивана является сегодня открытой проблемой математики, и сюжет ждет новых исследователей.
Проблема, решаемая в задаче, конечно, не мирового масштаба, но ремонт и обустройство дома ждет практически каждого. Конечно, можно было кровать просто разобрать, но ведь найти нетривиальное решение куда интереснее!
Всемудачи!
Списокиспользованнойлитературы
https://zen.yandex.ru/media/nplus1/piat-netrivialnyh-zadach-po-prikladnoi-matematike-5cf11314672a8800ac6ba357
Учебник «Геометрия 7-9». Л.С.Атанасян. М:Просвещение, 2010
Приложения
Приложение 1
Приложение 2
Приложение 3
Приложение 4
Приложение 5
Приложение 6