IX Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
О некоторых треугольниках и их замечательных точках и линиях, которых не встретишь в школьных учебниках
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
I.Введение
«Вдохновение нужно в поэзии, как и в геометрии». (А. С. Пушкин)
Изучая произведение А.С.Пушкина «Каменный гость», в 9-ом классе, мы обратили внимание на то, что в нем неоднократно упоминаются геометрические фигуры, например, треугольник.
«И кровь нейдет из треугольной ранки…»
Вернемся к геометрии.Математики называют треугольник двумерным симплексом. «Симплекс» - по латыни означает простейший. Трёхмерным симплексом называют треугольную пирамиду. Именно в силу своей простоты треугольник является основой многих измерений. Треугольник всегда имел широкое применение в практической жизни. Так, в строительном искусстве испокон веков используется свойство жесткости треугольника для укрепления различных строений и их деталей. Изображение треугольников и задачи на треугольники встречаются в папирусах, в старинных индийских книгах и других древних документах. Благодаря своей универсальности математика стала использоваться в естественных, гуманитарных науках и во всех сферах жизни человека. [7]
И не смотря на то, что мы учимся в социально-гуманитарном классе, мы все-таки хотим расширить свои знания, особенно про свойства треугольника, которые могут пригодиться нам при сдаче ОГЭ и при подготовке к математическим олимпиадам, в которых мы тоже участвуем.
В прошлом учебном году мы работали над проектом, связанным с вневписанными окружностями и хотели как-то косвенно продолжить изучение этой темы. Поэтому мы решили остановиться на треугольниках, которые не входят в школьную программу и их замечательных точках и линиях. Ведь недаром А.С. Пушкин, чьё имя носит наше учебное заведение, прибегал в художественных произведениях к треугольнику, как источнику вдохновения. Итак, о простом и неисчерпаемом треугольнике…
Объект исследования: треугольники Жергона и Нагеля.
Предмет исследования: замечательные точки и линии в треугольнике.
Цель проекта: изучение и обобщениезнаний о треугольниках за страницами учебника.
Задачи:
изучить теоретический материал по теме: «О некоторых треугольниках и их замечательных точках и линиях, которых не встретишь в школьных учебниках»;
повторить замечательные точки в треугольнике за школьный курс геометрии;
расширить кругозор знаний по геометрии по замечательным точкам и линиям в треугольнике;
научиться применять данные теоретические знания при решении задач планиметрии
подготовить подборку задач для элективного курса по данной теме;
создать буклет, как справочное пособие по данной теме;
выпустить брошюру для элективного курса по математике «Замечательные линии и точки в треугольнике».
Мы выдвигаем гипотезу, что желание изучать и применять неизвестные теоремы при решении задач, может способствовать развитию интереса к геометрии, как науке.
II.Основная часть
2.1. Основные теоретические сведения.
2.1.1.Четыре замечательные точки треугольника, изучаемые в школе.
Переходя к основной части работы, мы начнём с замечательных точек треугольника. К числу таких точек, изучаемых в школьном курсе геометрии, относятся: рис.1(а,б,в,г) [1]
Рис.1(а), точка пересечения медиан,
О – центр тяжести или барицентр Рис.1(б), точка пересечения биссектрис
I- центр вписанной окружности или инцентр
Рис. 1(в), точка пересечения высот
H – ортоцентр рис.1(г), точка пересечения серединных
перпендикуляров к сторонам
треугольника
O - центр описанной окружности.
На эти четыре точки было обращено особое внимание, и, начиная с XVIII века, они были названы «замечательными» или «особенными» точками треугольника.
2.1.2. Формулировки теорем Чевы и Менелая.
Начало открытий замечательных точек треугольника, не изучаемых в школе, положил в 17 веке Джованни Чева (Ceva) (1648 - 1734) – итальянский математик. Основной заслугой Чевы является построение учения о секущих, которое положило начало новой – синтетической геометрии; оно изложено в сочинении "О взаимнопересекающихся прямых". Его теорема позволила открыть свойства замечательных точек треугольника, известных как точки Нагеля и Жергона. [4]
Определение: отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой на противолежащей стороне или ее продолжении, называется чевианой. (Рис.2) [4]
2.1.3. Прямая и окружность Эйлера. [2]
Прямая Эйлера.
В 1765 году Эйлер доказал, что в любом треугольнике ортоцентр, барицентр и центр описанной окружности лежат на одной прямой, названной позже «прямой Эйлера». (Рис.3)
Леонард Эйлер(1707 - 1783)рис.3
Окружность Эйлера[2]
С ередины сторон треугольника, основания его высот и середины отрезков, соединяющих ортоцентр с вершинами,лежат на одной окружности.Эта окружность называется окружностью девяти точек или окружностью Эйлера.(Рис.4)
Рис.4 Карл Фейербах (1800 -1834)
2.1.4.Точки Фейербаха [2]
В 1822 году немецкий математик Карл Фейербах опубликовал одну из самых поразительных теорем геометрии треугольника. Окружность Эйлера касается вписанной и трех вневписанных окружностей. (Рис.5)
Рис.6 Рис.5
2.1.5.Свойство точек Жергонна и Нагеля [3]
Рис.7
Определение. Точкой Жергонна называется точка пересечения отрезков, которые соединяют вершины треугольника с точками касания сторон, противоположных этим вершинам, и вписанной в треугольник окружности. Пусть точка I — центр вписанной окружности треугольника ABC. Пусть вписанная окружность касается сторон треугольника BC, AC и AB в точках D, E и F соответственно. Точка Жергонна — это точка пересечения отрезков AD, BE и CF. (Рис.7)
Докажем, что эти три отрезка действительно пересекаются в одной точке. Заметим, что центр вписанной окружности — это точка пересечения биссектрис углов треугольника ABC, а радиусы вписанной окружности ID, IE и IF перпендикулярны сторонам треугольника. Тем самым, имеем
три пары равных треугольников.
Произведения AF·BD·CE и
AE·BE·CF равны, поскольку
BF=BD,CD=CE,AE=AF
следовательно, отношение этих произведений равно 1, и по теореме Чевы, отрезки пересекаются в одной точке.
Определение и свойство точки Нагеля [3]
рис.8 Христиан Генрих Нагель (1803-1882)
Т очка Нагеля — точка пересечения отрезков, соединяющих вершины треугольника с точками касания противоположных сторон с соответствующими вневписанными окружностями.
Точка Нагеля лежит на одной прямой с инцентром и центроидом, при этом центроид делит отрезок между точкой Нагеля и инцентром в отношении 2:1. Эта прямая
называется прямой Эйлера. (Рис.9)
Рис.9
Если точки T AВС,T BСА,T CАВ таковы, что каждый из отрезков АT A,ВT B и СT C делит периметр треугольника пополам, то эти отрезки пересекаются в одной точке — точке Нагеля. (рис. 10)
Рис.10
Т реугольник Жергонна (для треугольника ABC) определяется тремя точками касания вписанной окружности на трёх сторонах. Эти вершины обозначим T A, T B и T C. Точка T A лежит напротив вершины A, точка TB напротив вершины В, точка TC напротив вершины С.Этот треугольник Жергонна T A T B TC известен также, как треугольник касаний треугольника ABC.(Рис.11)
Свойства:
Три прямые AT A , BT B и CT C пересекаются в одной точке — Рис. 11 точке Жергонна.
Точка Жергонна треугольника является точкой
пересечения симедиан треугольника Жергонна.
Пусть, точки касания вписанной в данный треугольник окружности соединены отрезками, тогда получится треугольник Жергонна, и в полученном треугольнике проведены высоты. В этом случае прямые, соединяющие основания этих высот, параллельны сторонам исходного треугольника. Следовательно, ортотреугольник треугольника Рис.12 Жергонна и исходный
треугольник подобны. (Рис.12)
Теорема Жергонна. Пусть три чевианы AД, BE и CF пересекаются в точке K внутри треугольника ABC. Тогда выполняются следующие равенства:
1)
2)
Рис.13
Доказательство. Поскольку выполняются очевидные равенства (рис.13)
то равенства 1) и 2) эквивалентны. Докажем первое из них.
Рассмотрим отношения площадей треугольников
Здесь мы используем тот факт, что отношения площадей треугольников, имеющих общую сторону, равны отношениям их высот. Соответственно, отношение высот будет равно отношению длин параллельных отрезков, проведенных к общей стороне из противоположной вершины.
Теперь сложим отношения площадей:
Треугольник Нагеля. [3]
Треугольник Нагеля для треугольника ABC определяется вершинами TA, TB и TC, которые являются точками касания вневписанных окружностей треугольника ABC и точка TA противоположна стороне AВ, и т. д. (рис.14(а))
Свойства: описанная вокруг треугольника TA,TB,TC ,окружность называется окружностью Мандарта (частный случай эллипса Мандарта) Рис.14(б)
Три прямые ATA, BTB и CTC делят периметр пополам и пересекаются в одной точке Нагеля.
Рис.14(а)
Рис.14(б)
2.1.6. Треуго́льник Рёло́ представляет собой область пересечения трёх равных кругов с центрами в вершинах правильного треугольника и радиусами, равными его стороне. Негладкая замкнутая кривая, ограничивающая эту фигуру, также называется треугольником
Рёло. [7]
Треугольник Рёло является простейшей после круга фигурой постоянной ширины. То есть если к треугольнику Рёло провести пару параллельных опорных прямых, то независимо от выбранного направления расстояние между ними будет постоянным. Это расстояние называется шириной треугольника Рёло.
Рёло не является первооткрывателем этой фигуры, хотя он и подробно исследовал её. В частности, он рассматривал вопрос о том, сколько контактов (в кинематических парах) необходимо, чтобы предотвратить движение плоской фигуры, и на примере искривлённого треугольника, вписанного в квадрат, показал, что даже трёх контактов может быть недостаточно для того, чтобы фигура не вращалась.
Н екоторые математики считают, что первым продемонстрировал идею треугольника из равных дуг окружности Леонард Эйлер в XVIII веке. Тем не менее, подобная фигура встречается и раньше, в XV веке: её использовал в своих рукописях Леонардо да Винчи. Треугольник Рёло есть в его манускриптах A и B, хранящихся в Институте Франции, а также в Мадридском кодексе.
Примерно в 1514 году Леонардо да Винчи создал одну из первых в своём роде карт мира. Поверхность земного шара на ней была разделена экватором и двумя меридианами (угол между плоскостями этих меридианов равен 90°) на восемь сферических треугольников, которые были показаны на плоскости карты треугольниками Рёло, собранными по четыре вокруг полюсов.
Ещё раньше, в XIII веке, создатели церкви Богоматери в Брюгге (Бельгия) использовали треугольник Рёло в качестве формы для некоторых окон.
Треугольник Рёло обладает осевой симметрией. Он имеет три оси симметрии второго порядка, каждая из которых проходит через вершину треугольника и середину противоположной дуги, а также одну ось симметрии третьего порядка, перпендикулярную плоскости треугольника и проходящую через его центр. Основные геометрические характеристики:
1) Если ширина треугольника Рёло равна а, то его площадь равна:
2) Периметр:
3) Радиус вписанной окружности:
4) Радиус описанной окружности:
Построение:
Треугольник Рёло можно построить с помощью одного только циркуля, не прибегая к линейке. Это построение сводится к последовательному проведению трёх равных окружностей. Центр первой выбирется произвольно, центром второй может быть любая точка первой окружности, а центром третьей — любая из двух точек пересечения первых двух.
2.2. Применение свойств замечательных точек при решении
задач. ( Смотреть приложение 1)
2.3. Результаты анкетирования. (Смотреть приложение 2)
III. Заключение
Для написания своей работы мы рассмотрели много теоретического материала.
Исследовали точки Жергонна и Нагеля, а также их треугольники и треугольник Рёло и получили новые знания, использовал их при решении задач. Работая над темой, мы поняли, что, несмотря на то, что треугольник называют простейшей фигурой, он скрывает в себе еще много тайн, которые предстоит разгадать ученым.
Слова Жергонна о математических теориях: «Нельзя хвастаться тем, что ты сказал последнее слово в какой-либо теории, если не можешь объяснить ее несколькими словами первому встречному на улице». [2]
Обобщая всё вышесказанное, можем уверенно отметить, что сформулированная нами гипотеза, полностью подтверждена. Для нас решение задачи с использованием новых теорем и свойств доставляет огромное удовольствие. Тем более, что умение самостоятельно изучать дополнительный теоретический материал, обобщать и применять при решении задач поможет нам в дальнейшем.
Теоретический и практический материал мы постаралась изложить в работе так, чтобы она была легка в изучении, как учителю, так и ученику. А задачи, выбранные нами из учебника «Геометрия 7-9» под редакцией Атанасяна Л.С и задачников по геометрии, помогут в закреплении этой темы. Теоремы Чевы и Менелая казались сложными и непонятными на первый взгляд, но они оказались простыми и интересными. Теоремы Чевы и Менелая находят применение в задачах, в которых присутствуют секущие прямые. Они не изучаются в курсе 7-9 классов. Но решение с помощью теорем Чевы и Менелая более рационально, чем решение другими способами.
Мы считаем, что теоремы Чевы и Менелая должны быть включены в курс 7-9 классов, потому что они расширяют кругозор ученика, дают возможность решать задачи просто и легко. Мы думаем, что исследование, проведенное нами, поможет хорошо сдать экзамены.
Знакомство с геометрическими фигурами, изучение которых не входит в рамки школьной программы, позволяет приобрести новые знания и иначе посмотреть на знакомые предметы.
Цель работы достигнута, и задачи решены, для успешной сдачи экзамена по геометрии сделан огромный шаг вперёд. Мы продолжим работать над этой темой и поучимся решать задачи на замечательные точки треугольника.
IV. Список источников информации
1.Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов и др. «Геометрия 7-9», Москва, «Просвещение», 2015. -383 с.:ил.
2. Н.Б. Бирюкова. Логическая мысль во Франции XVII- начала XIX столетий: Французские предвосхищения идей математической логики. М., 2006. С.150-159 и др.
3. И.Вебер, И.Вайштейн . Энциклопедия элементарной геометрии (Книга 2)
4. А.Г.Мякишев. Элементы геометрии треугольника. Серия: «Библиотека "Математическое просвещение"». М.:МЦНМО,2002. c. 11, п. 5.
5. К.А. Рыбников. Возникновение и развитие математической науки: Кн. Для учителя. – М.: Просвещение, 1987. – 159 с.: ил.
6.Энциклопедия. Мудрость тысячелетий. – М.: ОЛМА-ПРЕСС, 2004.
7.Сайт http://ru.wikipedia.org/wiki.
V. Приложения
Приложение 1
2.2. Применение свойств замечательных точек при решении
задач.
Задача №1.Докажите, что отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками касания противоположных сторон с соответствующими вневписанными окружностями, пересекаются в одной точке (точка Нагеля).
Р ешение.
Рассмотрим треугольник ABC . Обозначим BC=a, AC=b, AB=a . Пусть A’ , B’ , C’ – точки касания вневписанных окружностей треугольника со сторонами BC , AC , AB соответственно, K – точка касания первой из этих окружностей с продолжением стороны AB, p – полупериметр треугольника. Тогда
BA’=BK = AK - AB = p-c.
Аналогично
A’C = p-b, CB’=p-a, B’A = p-c, AC’=p-b,
C’B=p-a.
Поэтому,
· · = · · = 1
Следовательно, по теореме Чевы отрезки AA’ , BB’ и CC’ пересекаются в одной точке.
Задача №2.
В треугольник вписана окружность. Точки касания соединены с противоположными вершинами треугольника. Докажите, что полученные отрезки пересекаются в одной точке (точка Жергона).
Нужно доказать, что два из этих отрезков делят третий в одном и том же отношении или воспользоваться теоремой Чевы.
Решение
Пусть M, N и K – точки касания вписанной в треугольник ABC окружности со сторонами BC, AB и AC соответственно. Обозначим BM = BN = x,
AN = AK = y, CM = CK = z
Первый способ. Проведём через точку A прямую, параллельную стороне BC и продолжим отрезок CN до пересечения с этой прямой в точке T. Из подобия треугольников ANT и BNC следует, что Поэтому
Пусть P – точка пересечения AM и CN. Из подобия треугольников APT и MPC следует, что
Аналогично докажем, что если Q – точка пересечения AM и BK, то
Следовательно, точки P и Q совпадают.
Второй способ.
По теореме Чевы отрезки AM, CN и BK пересекаются в одной точке.
Задача №3
Точка С1 делит сторону АВ треугольника АВС в отношении 2 : 1. точка В1 лежит на продолжении стороны АС за точку С, и АС = СВ1. В каком отношении делит прямая В1 С1 сторону ВС?
Р ешение: По условию Используя теорему Менелая, находим: .
Задача №4
В треугольнике АВС АD – медиана, точка О – середина медианы. Прямая ВО пересекает сторону АС в точке К.
В каком отношении точка К делит АС, считая от точки А?
Решение: Пусть ВD = DС = а, АО = ОD = m. Прямая ВК пересекает две стороны и продолжение третьей стороны треугольника АDС. По теореме Менелая .
Задача №5
В треугольнике АВС на стороне ВС взята точка N так, что NС = 3ВN; на продолжении стороны АС за точку А взята точка М так, что МА = АС. Прямая МN пересекает сторону АВ в точке F. Найдите отношение .
Решение: По условию задачи МА = АС, NС = 3 ВN. Пусть МА = АС = b, BN = k, NC = 3k. Прямая МN пересекает две стороны треугольника АВС и продолжение третьей. По теореме Менелая:
Подборка задач по геометрии из учебника 7-9 Л.С. Атанасяна
1. Основание равнобедренного треугольника относится к боковой стороне треугольника как 4:3, а высота, проведённая к основанию, равна 30 см. Найдите отрезки, на которые эту высоту делит биссектриса угла при основании.(№607)
2.Используя теорему Чевы доказать, что медианы треугольника пересекаются в одной точке. ( Задание 17, § 9 по учебнику А. В. Погорелов.)
3.Через точку М, взятую на медиане AD треугольника АВС, и вершину В проведена прямая, пересекающая сторону АС в точке К. Найти отношение , если: а) М – середина отрезка AD; б) = (№563)
4.Биссектрисы MD и NK треугольника MNP пересекаются в точке О.
Найдите отношение ОК:ON, если MN = 5 см, NP = 3 см, МР = 7 см. (№606)
Банк задач
2.Точка С1 и А1 делят стороны АВ и ВС треугольника АВС в отношении 1:2. Прямые СС1 и АА1 пересекаются в точке О. Найдите отношение, в котором прямая ВО делит сторону АС. (Задача №26 ОГЭ)
3.Точка А1 и В1 делят стороны ВС и АС треугольника АВС в отношениях 2:1 и 1:2. Прямые АА1 и ВВ1 пересекаются в точке О. Площадь треугольника АВС равна 1. Найдите площадь треугольника. ОВС. (Задача №26 ОГЭ)
4. В треугольнике АВС точки D и К лежат соответственно на сторонах АВ и АС, отрезки ВК и CD пересекаются в точке О, при этом ВО : ОК = 3:2 и
CO:OD =2:1. Найти в каком отношении точка К делит сторону АС, т.е. АК : КС.
(Задача №26 ОГЭ)
5.Точка D и F лежат на сторонах ВС и АС треугольника АВС, отрезки AD и BF пересекаются в точке О. Известно, что AF:FC =3:2 и ВО = OF. Чему равно отношение BD:DC? (Задача №26 ОГЭ)
Приложение 2
2.3. Результаты анкетирования.
Были опрошены учащиеся 10 социально-экономического, медицинского №1 и №2, физико-математического, академического классов. Всего 136человек. На первый вопрос ответы были однотипные, в основном «нет», только15% опрошенных дали полный правильный ответ, 10% частично, т.е. называли одну, две или три замечательных точки. Некоторые дети называли замечательными точками вершины треугольника. Странно, этот материал изучался в 8 классе, а уже к 10 классу все забыли.
На второй вопрос правильноответили 36%. Это были в основном ученики классов с профильной математикой.
На третий лишь только 13% что-то слышали о точках Жергонна и Нагеля. Остальные не имеют представления, что это такое?
Четвертый вопрос оказался совсем непонятным. Некоторые писали: «А что такие треугольники бывают?» Всего 6 лицеистов (4%) знают треугольник Рёло, даже нарисовали его правильно.
Наши сверстники в своем большинстве (57%) считают, что задачи на отношение длин отрезков есть в тестах ЕГЭ и многие хотят научиться решать такие задачи. Это те лицеисты, которые выберут профильную математику и хотят сдать её на высокий балл.
После обработки данных социологического опроса, мы поняли, что данная тема мало знакома. Значит, нужно взяться за эту работу, разобраться самим и выступить на неделе Науки в лицее.
Выводы: поэтому после социологического опроса мы решили создать презентацию «О некоторых треугольниках и их замечательных точках и линиях, которых не встретишь в школьных учебниках», макеты для быстрого анализа задачи и повторения теории, буклет-справочник и брошюру с задачами на замечательные точки и линии в треугольнике.
Приложение 3
Макеты треугольников.
Фото 1, Треугольник Жергонна
Ф
ото 2, треугольник Нагеля
Фото 3, треугольник Рёло
6