Бутылка Клейна

IX Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке

Бутылка Клейна

Дочкина И.С. 1
1МАОУ «СОШ №94»
Деткова Л.К. 1
1МАОУ «СОШ №94»
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

1. Введение

Актуальность: темпы научно-технического прогресса в настоящее время постоянно требуют новых источников и новых идей по разработке и внедрению инноваций в промышленности и экономике. В связи с этим изучение ранее предложенных теоретических математических моделей имеют большую актуальность.

Проблема: в математике столько неразгаданных тайн и секретов, которые не изучаются в школьной программе. На основе этих загадок созданы много интересных изобретений, требующих изучения. В наше время актуально изучение различных свойств и нестандартных применений необычных фигур, вещей, форм, а свойства Бутылки Клейна необычны, что дает волю фантазии на тему того, что с ней можно сделать в различных сферах жизни.

Цель работы: сконструировать модель бутылки Клейна, определить и проверить ее удивительные свойства, развить пространственное мышление.

Гипотеза: Бутылка Клейна обладает сходными свойствами с Лентой Мебиуса и может быть сконструирована различными способами.

Поставленные задачи работы:

- Изучить историю происхождения бутылки Клейна

- Описать свойства бутылки и способы её изготовления

- Сравнить бутылку Кельвина и ленту Мебиуса

Методы исследования:

- Исследование интернет-сайтов и учебной литературы

- Практический эксперимент

Личный вклад: сделан макет бутылки Клейна по одному из способов, описанных в работе.

2.1Биография Феликса Клейна

Феликс Христиан Клейн (Кляйн) (1849—1925) — немецкий математик и педагог. Научная карьера Феликса Клейна поначалу развивалась так стремительно, как ни одна другая в немецкой истории. Одним из важнейших научных достижений Феликса Клейна стало первое доказательство непротиворечивости геометрии Лобачевского, отрицающая аксиому о параллельных прямых в евклидовой геометрии. Для этого он построил пример односторонней поверхности – "бутылку Клейна". Благодаря этому открытию, математик дал начало новой отрасли геометрии – топологии (исследует произвольные непрерывные преобразования).

2.2Описание Бутылки Клейна

Математика - это наука далеко не про цифры. Говорить о том, что математика является наукой про цифры, это тоже самое, что говорить, что живопись - это кисти и краски, а балет - это пачки и пуанты. Математика изучает величины, отношения этих величин и формы в пространстве.

Один из разделов математики, топология, изучает непрерывности, в том числе непрерывности пространства. Одним из направлений изучения топологий является неориентируемые многообразия, где под многообразием понимают некое пространство подобное тому, в котором живем мы.

Самым простым примером неориентируемого многообразия является лента Мебиуса. Чтобы получить такой объект, достаточно взять длинную ленту бумаги и соединить ее концы, перевернув один из них на 180 градусов.

В 1882 году Феликс Клейн выдвинул идею о том, как сделать такой объект, который будет заключать в себе одну замкнутую поверхность и при этом не будет обладать ни одним краем. Он взял мысленно цилиндр, воткнул один его край в бок и соединил со вторым краем. Так он получил бутылку Клейна.

Что же такое бутылка Клейна? Бутылка Клейна — определенная не ориентируемая поверхность первого рода, т.е. поверхность, у которой нет различия между внутренней и внешней сторонами, и которая, таким образом, в пространстве ограничивает собой нулевой объем. (См. Приложение 1 – Конструирование Бутылки Клейна).

С бутылкой Клейна знакомятся в высших учебных заведениях в курсе геометрии. Эта модель интересна тем, что её свойства нельзя увидеть без практического воспроизведения, потому что она не существует в трехмерном пространстве. Она частично связана с лентой Мебиуса и проективной плоскостью.

Помимо того, что у этой бутылки нет краев, главной ее особенностью является то, что у нее имеется только одна сторона. Под понятием «одна сторона» подразумевается следующее: если мы мысленно начнем идти по поверхности данного объекта, то мы сможем обойти всю ее площадь как внутри, так и снаружи. Идя по внешней части, мы можем зайти в дырку, при этом не перебираясь не через какие края, поскольку их тут просто нет. Пройдя в эту дырку, мы попадем внутрь и сможем обойти и там всю поверхность.

Представим себе бутылку с отверстием в дне. Теперь мысленно удлиним горлышко бутылки, изогнем его в обратном направлении и направим внутрь бутылки сквозь стенку, не касаясь ее (это невозможно произвести в трехмерном пространстве), далее удлиним горлышко до дна бутылки и соединим края горлышка с краями отверстия в дне бутылки. Настоящая бутылка Клейна в четырехмерном пространстве не пересекается сама с собой.

В отличие от реальных бутылок, поверхность Клtйна не имеет границы, где бы она прерывалась.  В отличие от шара или тора, муха, ползущая по поверхности бутылки Клейна, может попасть с внешней стороны на внутреннюю, не проходя сквозь поверхность.

Математика


Поверхность Кляйна в виде "фигуры 8".

Поверхность Клейна в виде "фигуры 8", показанной на рисунке справа, может быть представлена в виде системы уравнений с параметрами, которая выглядит гораздо проще, чем для классической бутылки Клейна.

 

В этом случае круг самопересечения - это окружность, лежащая в плоскости XY. Положительная константа r задает радиус этой окружности. Параметр u задает угол в плоскости XY, а v - позицию относительно начала координат.

Топологически, бутылка Клейна может быть определена как квадрат [0,1] x [0,1] со сторонами, определяемыми соотношениями (0,y) ~ (1,y) для 0 ≤ y ≤ 1 и (x,0) ~ (1-x,1) для 0 ≤ x ≤ 1, как показано на диаграмме слева.

Свойства

Если рассечь бутылку Клейна на две половинки вдоль плоскости симметрии, то получатся две зеркальных ленты Мебиуса, одна - с разворотом вполоборота вправо, другая - с разворотом вполоборота влево. Фактически, возможно рассечь бутылку Клейна так, что получится одна лента Мебиуса.

Иначе, бутылка Клейна может быть представлена в виде двух лент Мебиуса, соединенных друг с другом обычной двухсторонней лентой. На рисунке ниже внутренняя поверхность этой ленты окрашена белым цветом, а внешняя - голубым.

 

Бутылка Клейна может быть создана из одного цилиндра. Один из краев цилиндра загибается в обратную сторону, проходит сквозь цилиндр и склеивается с другим краем. Чтобы совершить это склеивание, необходимо исказить ширину цилиндра. На рисунке ниже показано это преобразование. Для наглядности внешняя сторона цилиндра окрашена в белый цвет, а внутренняя - в зеленый.

 

3.Изготовление бутылки Клейна

Чтобы построить модель бутылки Клейна, необходимо взять бутылку с двумя отверстиями: в донышке и в стенке, вытянуть горлышко, изогнуть его вниз, и продев его через отверстие в стенке бутылки, присоединить к отверстию на дне бутылки.

Способ №1

Получение бутылки Клейна из бумаги. Прежде всего, нужно взять бумажный квадрат, перегнуть его пополам и соединить клейкой лентой его стороны. На обращенной к вам половине квадрата сделайте прорезь, перпендикулярную склеенным сторонам. Расстояние между прорезью и верхним краем трубки должно быть равно примерно четверти стороны квадрата. Согнув модель пополам вдоль пунктирной прямой, протащите нижний край трубки сквозь прорезь и склейте друг с другом верхнее и нижнее основания трубки. Правда, там, где поверхность само пересекается, в нашей модели прорезь, но легко представить себе, что края этой прорези соединены так, чтобы поверхность во всех своих точках была непрерывна и не имела края. (См. Приложение 2а – Конструирование бутылки Клейна).

Способ №2

Получение бутылки Клейна из стандартной пластиковой бутылки. Необходимо взять бутылку с отверстием в донышке, вытянуть горлышко, изогнуть его вниз, и продев его через отверстие в стенке бутылки (для настоящей бутылки Клейна в четырёхмерном пространстве это отверстие не нужно, но без него нельзя обойтись в трёхмерном евклидовом пространстве),

присоединить к отверстию на дне бутылки. (См. Приложение 2б – Конструирование бутылки Клейна).

Способ №3

Получение бутылки Клейна из одного цилиндра. Один из краёв цилиндра изгибается в обратную сторону, проходит сквозь цилиндр и склеивается с другим краем. Чтобы совершить это склеивание, необходимо исказить ширину цилиндра. (См. Приложение 2в – Конструирование бутылки Клейна).

Способ №4

Получение бутылки Клейна из ткани. Целесообразно взять кусок носка или колготок и проделать с ними то же, что и с цилиндром. (См. Приложение 2г – Конструирование бутылки Клейна).

Способ №5

Получение бутылки Клейна склеиванием двух листов Мебиуса. Бутылка Клейна может быть получена склеиванием двух лент Мебиуса по краю. Однако в обычном трехмерном евклидовом пространстве сделать это невозможно. Поэтому Бутылка Клейна не может быть вложена (только погружена) в трёхмерное евклидово пространство, но вкладывается в четырёхмерное. (См. Приложение 2д – Свойства бутылки Клейна).

Способ №6

Получение бутылки Клейна из пластилина. Относясь к своей работе с творчеством, я придумала способ, принцип которого не наблюдается у вышеперечисленных. Чтобы получить бутылку Клейна из пластилина, нужно взять пластилин и «строить» бутылку, начиная снизу. (См. Приложение 2е – Конструирование бутылки Клейна).

Для своей модели я выбрала способ №2 (из пластиковой бутылки), но немного его усовершенствовала. Вместо деформации самой бутылки я протянула через неё кусочек шланга. На горлышко бутылки я закрепила пластиковую муфту с резьбой, после этого сделала такую же муфту, закрепила на донышке бутылки, сделав там отверстие. Затем в боковой стороне пластиковой бутылке я сделала отверстие, через которое вставила гибкий шланг с подвижной гайкой. Оба конца шланга я навинтила на вставленные муфты на дне и горлышке бутылки. Для того, чтобы обеспечить герметичность, места соединения муфт с бутылкой, а также отверстия через которые я вставила шланг промазала силиконом.

4.Сравнительный анализ бутылки Клейна и ленты Мебиуса.

Я решила сравнить бутылку Клейна с листом Мебиуса. И результат был удивителен – все свойства двух фигур абсолютно идентичны. Следовательно, бутылка Клейна, подобно листу Мебиуса является топологическим объектом. Значит, бутылка Клейна обладает топологическими свойствами:

-Хроматический номер. Он равен максимальному числу областей, которые можно нарисовать на поверхности так, чтобы каждая из них имела общую границу со всеми другими. Если каждую такую область выкрасить по-разному, то любой цвет должен соседствовать с любым другим. Хроматический номер бутылки Клейна – 6.

-Непрерывность. Любая точка может быть соединена с любой другой точкой, и при этом не придется пересекать границу.

- Односторонность. Двигаясь по поверхности бутылки в одном направлении, попадаем в место, перевернутое по отношению к исходному.

-Ориентируемость. Объект, следующий по бутылке, вернется к началу своего пути в зеркальном отражении самого себя.

- Связность. При рассечении получается не несколько фигур, а одна. (При рассечении бутылки Клейна получается лента Мебиуса).

5.Применение.

Открывашки бутылок:

Скульптуры:

Чашка и чайник:

Аналог "бутылки Клейна" для трехмерного измерения можно изготовить в реальности. На прилавках сувенирных магазинов встречаются, например, стеклянные бутылки Клейна разных размеров, изготовленные умельцами-стеклодувами. Есть сувенирные бутылки Клейна в виде графина для вина, только вот пользоваться ими достаточно трудно. Их трудно наполнять, т.к. жидкость создает дополнительное давление на воздух внутри, а ему некуда деваться. С выливанием жидкости тоже много проблем. Но "плюс" - это то, что жидкость в бутылке Клейна не испаряется. Однако, стенки изнутри практически невозможно очистить. P.S. для тех, кто вяжет: Рукодельницы вяжут шапочки "а-ля бутылка Клейн". По конструкции они не отличаются от приведенных выше стеклянных моделей!

6.Заключение

На основании полученных результатов, сделала следующие выводы:

- Изучив всю литературу, касающуюся данной темы, подтвердила выдвинутую гипотезу путём сравнения двух топологических объектов;

-Определила и проверила удивительные свойства бутылки Клейна;

-Также сконструировал бутылку Клейна разными способами;

Бутылка Клейна – это одна из односторонних поверхностей, открытых после изобретения листа Мебиуса. Она приобрела известность за счёт своей необыкновенной формы и поистине неожиданных свойств. Бутылка Клейна – это одна из неразгаданных тайн современной геометрии, нам только предстоит её разгадать и изобрести подлинную бутылку.  Бутылка Клейна может послужить примером для детей, чтобы они больше погружались в мир неразгаданного и неизвестного. Далее я планирую углубиться в изучение опытов с разрезанием бутылки Клейна, потому что они довольны своеобразны и интересны и соорудить собственную «идеальную» бутылку Клейна.

Бутылке Клейна посвящен один из шуточных лимериков Джеймса Лондона:

Некто Клейн, не любивший вина,

Раз придумал бутылку без дна.

Восклицал он: «К тому же

Что внутри- в ней снаружи!

Даже пробка совсем не нужна!»

7.Конструирование Бутылки Клейна.

Приложение 1.

Приложение 2а.

Приложение 2б.

Приложение 2в.

Приложение 2г.

Приложение 2д.

Приложение 2е.

8.Список литературы

1. https://nsportal.ru/ap/library/nauchno-tekhnicheskoe-tvorchestvo/2011/07/30/eta-zagadochnaya-butylka-kleyna

2. https://ru.calameo.com/read/0059283090083e9a11726

3. https://ppt-online.org/208845

4. https://infourok.ru/prezentaciya-po-matematike-butilka-kleyna-1332841.html

5. https://uslide.ru/matematika/17253-eta-zagadochnaya-butilka-kleyna.html

6.https://ru.wikipedia.org/wiki /Бутылка_Клейна

9

Просмотров работы: 1602