IX Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Исследование: Архитектура и математика в нашей жизни
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Паспорт работы:
Номинация: «Исследование»
Тема: «Архитектура и математика в нашей жизни»
Исполнитель: Череватов Евгений, ученик 8 «А» класса МОУ
Одинцовского лицея №6 им. А.С.Пушкина
Научный руководитель: Пилипенко Галина Ивановна, учитель математики МОУ Одинцовского лицея №6 им.А.С.Пушкина
Предмет: Архитектурные объекты
Объект исследования: Архитектура и математические закономерности
Цель: Исследование влияния математических закономерностей в архитектурных объектах
Задачи:
° Изучить историю развития математики и ее применение в архитектуре
° Обобщить наиболее часто встречающиеся математические закономерности, применяемые в архитектуре
° Рассмотреть используемые геометрические формы в различных архитектурных стилях
° Сопоставить современные архитектурные решения с древними архитектурными объектами
Методы исследования:
° Обобщение материала исследования
° Систематизация фактического материала
° Сравнительные методы
Содержание:
|
1. Паспорт работы |
|
2. Содержание |
|
3. Введение |
|
4. История взаимосвязи архитектуры и математики |
|
5. Как математика помогает добиться прочности в архитектуре |
|
6. Практический пример реализации математики в архитектуре |
|
7.Заключение |
|
8.Список литературы |
3. Введение
В наше время главным предметом уже много лет остаётся математика.
Однако я хоту связать её с одним не менее важным элементом XXI века-
архитектурой. Тема "Архитектура и математика в нашей жизни" очень
заинтересовала меня, так как эта взаимосвязь в искусстве постоянно окружает
нас. И я хотел бы раскрыть эту тему.
Математика и архитектура - очень древние науки, которые существуют
уже более тысячи лет. Но они не были так сильно развиты как сейчас. В
наше время и архитектура, и математика имеют очень большое значение.
Мы прекрасно знаем, что сейчас основная наука - математика. Но и без
архитектуры не обойдется ни один, даже самый маленький городок.
Архитектура окружает нас повсюду. Это та среда, которая
принадлежит всем; среда, в которой мы живём, учимся, отдыхаем.
Архитектура, в отличие от других визуальных искусств, создаёт вторую
природу, то есть пространственную среду для нашей жизни и деятельности.
В свою очередь эта созданная пространственная среда преобразовывает
человека. А это значит, что среда, организованная человеком по законам
красоты и гармонии, может воспитывать человека, а потому архитектуру
можно считать не только «летописью мира», «онемевшей музыкой», но и
«выразительницей нравов».
Архитектура меняется вместе со временем и всегда стремится вперёд.
И чтобы понять пути развития архитектуры, необходимы её изучение.
Говоря о современной архитектуре, стоит сказать, что она разнообразна
и характеризуется множеством путей развития. Становление современной
архитектуры в результате развития промышленности, науки и техники
приходится на конец XIX - начало XX века, дальнейшее развитие охватывает XX век и уже рубеж XX - XXI веков. Возможно, как только человек осознает, что математика, по существу, изучение закономерностей, связь с архитектурой, становится яснее.
4. История взаимосвязи архитектуры и математики
Исторически сложилось, что архитектура была частью математики, и
во многих периодах прошлого, эти две дисциплины были неразличимы. В
древнем мире, все великие математики были архитекторами, чьими
сооружениями - пирамиды, храмы и стадионы - мы восхищаемся сегодня.
Первое определенное математическое влияние на архитектуру оказал
Пифагор. Он увидел связь между музыкой и цифрами, и четко понимал, какими записями производится строки, связанные с длиной. Он установил отношения последовательности нот в масштабе, который до сих пор используется в западной музыке. Проводя эксперименты с натянутой струной, он обнаружил, что если значение разделить на отношения, то
определяются небольшие целые числа. Открытие того, что красивые гармоничные звуки зависят от соотношения небольших целых
чисел, привело архитекторов к проектированию зданий с использованием
соотношения. Это так же привело к использованию модуля, основной
единицей длины здания, где в настоящее время размеры небольшие, целые,
кратные основной длине. Номера для Пифагора также обладали геометрическими свойствами. Геометрия основывалась на изучении форм. Но более того, пифагорейцы разработали понятие эстетики на основе пропорции. Кроме того геометрической регулярностью выразились красота и гармония, и это было применено к архитектуре с использованием симметрии. Сегодня симметрия в математике позволяет выделить базовую конфигурацию архитектурного объекта. Также важно понимать, что слово происходит от древнегреческого архитектурного термина "Symmetria", который указывает на повторение форм и отношений от самых маленьких частей здания до всей её структуры.
В Европе было мало прогресса в математике и архитектуре вплоть до 14-го
и 15-го веков. Архитектура была смоделирована на учениях Витрувийя,
который написал 10 книг по архитектуре, и на
классической архитектуре, которая была все еще
многочисленной, особенно в Греции и Италии. Следующий
человек, который также оставил свой вклад в развитие
архитектуры на основе математики - это Брунеллески,
который прошел подготовку в качестве ювелира. Впервые
Брунеллески узнал о своих навыках в области архитектуры, посетив Рим:
<<Он сделал очень много чертежей старинных зданий, в том числе бань, базилики, амфитеатров и храмов, в частности, изучая строительство архитектурных элементов, таких как своды и купола».
Брунеллески сделал одно из самых важных достижений, открыв принцип линейной перспективы. Ученые поняли некоторые принципы перспективы.
Понимание перспективы очень важно для реалистичного двумерного представления трехмерной сцены, как живопись на холсте. Брунеллески в создании конструкции зданий создавал визуальный эффект, который был виден со всех позиций наблюдателя. В соответствии с правилами пропорции и симметрии, древних он хотел, чтобы эти математические принципы красоты видели все наблюдатели. В некотором смысле он старался достичь определенного инвариантности меры, которая зависит от угла зрения. Арган пишет:
«Перспектива не открывает, не создает и не изобретает пространство. Скорее, это по существу критический метод или процесс, который может быть применен к пространственным данным архитектуры, сводя его к пропорции или к разуму. Влияние преобладает над платонической аристотелизмом, в синтезе продольных и центральных диаграмм в перспективе созерцания, в перспективе, что приводит теоретически в одну точку»
Имя Леонардо да Винчи заставляет задуматься о его потрясающих картинах, а не о математике, на самом деле он был очень увлечён ею. Архитектура была одной из его специальностей, и он изучал математические принципы на основе текстов Альберти. Он был человеком с широким диапазоном способностей и интересов, а на определенном этапе своей карьеры, зарабатывал на жизнь консультированием герцога Милана по архитектуре. Он также работал на Чезаре Борджиа в качестве военного архитектора и главного инженера. Позже французский король Франциск I назначил его первым художником, архитектором и механиком короля.
Также свои навыки в математике и архитектуре пытался объединить Брамер. Он опубликовал ряд работ по расчету синусов. Далее он последовал за Альберти (1435), Дюрером (1525) и Бюрги (1б04), построив в 1630 году механическое устройство, которое позволяло сделать точную геометрическую перспективу.
В 17-м веке жил английский архитектор Рен, который во многих отношениях был самым известным архитектором в английской истории. Он решил ряд важных математических задач для вступления архитектуры, как в профессию. Хотя он более известен как архитектор, чем как математик он считался одним из ведущих математиков своего времени. Рен увидел математику как предмет, который был приложением для широкого круга научных дисциплин. Математические навыки играют важную роль в его архитектурных достижениях. Один из архитекторов, с которыми он работал, был, Роберт Гука, более известный как математик, чем как архитектор. Опять же, мы замечаем, что математика и архитектура были тесно связаны с между собой, что считалось естественным в то время.
Два уникальных таланта 20-го века были Эшер и Бакминстер Фуллер.
Эшер никогда не был математиком, несмотря на его увлечение предметом и
глубокие математические идеи, которые легли в основу его творчества. Он
обучался в Школе архитектуры и декоративных искусств в Харлеме, и только в возрасте 21 года он отказался от архитектуры в пользу искусства.
Бакминстер Фуллер был инженером, математиком и архитектором, который
применял геометрические принципы для разработки совершенно новой
концепции в зданиях второй половине 20-го века. Он сделал искусство из
структурных чистот, используя простые геометрические формы для
эстетического, а также функционального назначения.
Математика и архитектура всегда были рядом не только потому, что
архитектура зависит от законов математики, их объединяет общий поиск
порядка и красоты, сочетающихся в природе и в строительстве. Математика
является необходимым предметом для понимания структурных концепций и
расчетов. Она также используется в качестве средств для достижения
гармонии со Вселенной. Здесь геометрия становится руководящим
принципом.
5. Как математика помогает добиться прочности сооружений.
Люди с древних времен, возводя свои жилища, думали, в первую очередь, об их прочности. Прочность связана и с долговечностью. На
возведение зданий люди тратили огромные усилия, а значит, были заинтересованы в том, чтобы они простояли как можно дольше. Кстати, благодаря этому, до наших дней дошли и древнегреческий ий Колизей. Прочность сооружения обеспечивается не только материалом, из которого оно создано, но и конструкцией, которая используется в качестве основы при его проектировании и строительстве. Прочность сооружения напрямую связана с той геометрической формой, которая является для него базовой. Математик бы сказал, что здесь очень важна геометрическая форма (тело), в которое вписывается сооружение.
Самым прочным архитектурным сооружением с давних времен считаются египетские пирамиды. Как известно они имеют форму правильных четырехугольных пирамид. Именно эта геометрическая форма обеспечивает наибольшую устойчивость за счет большой площади основания. С другой стороны, форма пирамиды обеспечивает уменьшение массы по мере увеличения высоты над землей. Именно эти два свойства делают пирамиду устойчивой, а значит и прочной в условиях земного тяготения.
На смену пирамидам пришла стоечно-балочная система. С точки зрения геометрии она представляет собой многогранник, который получится, если мысленно на два вертикально стоящих прямоугольных параллелепипеда поставить еще один прямоугольный параллелепипед.
Это одна из первых конструкций, которая стала использоваться при возведении зданий и представляет собой сооружения, которые состоят из вертикальных стоек и покрывающих их горизонтальных балок. Первым таким сооружением было культовое сооружение - дольмен. Оно состояло из двух вертикально поставленных камней, на которые был поставлен третий вертикальный камень. Кроме дольмена, до нас дошло еще одно сооружение, представляющее простейшую стоечно-балочную конструкцию - кромлех. Это также культовое сооружение, предположительно предназначенное для жертвоприношений и ритуальных торжеств. Кромлех состоял из отдельно' стоящих камней, которые накрывались горизонтальными камнями. При этом они образовывали две или несколько концентрических окружностей. Самый знаменитый кромлех сохранился до наших дней в местечке Стоунхендж в Англии. Некоторые ученые считают, что он был древней астрономической обсерваторией.
Нужно заметить, что до сих пор стоечно-балочная конструкция является наиболее распространенной в строительстве. Большинство современных жилых домов в своей основе имеют именно стоечно-балочную конструкцию.
Камень плохо работает на изгиб, но хорошо работает на сжатие. Это привело к использованию в архитектуре арок и сводов. Так возникла новая арочно-сводчатая конструкция. С появлением арочно-сводчатой конструкции в архитектуру прямых линий и плоскостей, вошли окружности, круги, сферы и круговые цилиндры. Первоначально в архитектуре использовались только полуциркульные арки или полусферические купола. Это означает, что граница арки представляла собой полуокружность, а купол - половину сферы. Например, именно полусферический купол имеет Пантеон - храм всех богов - в Риме. Диаметр купола составляет 43 м. При этом высота стен Пантеона равна радиусу полусферы купола. В связи с этим получается, что само здание этого храма как бы “накинуто” на шар диаметром 43 м. Этот вид конструкции был наиболее популярен в древнеримской архитектуре. Арочно-сводчатая конструкция позволяла древнеримским архитекторам возводить гигантские сооружения из камня. К ним относится знаменитый Колизей или амфитеатр Флавиев. Свое название он получил от латинского слова colosseus, которое переводится как колоссальный, или огромный.
Эта же конструкция использовалась при создании гигантских терм Каракаллы и Диоклетиана, вмещавших одновременно до 3 тысяч посетителей. Сюда же следует отнести и систему арочных водоводов- акведуков, общая протяженность которых составляла 60 км.
Следующим этапом развития архитектурных конструкций явилась каркасная система. Аркбутаны являлись каркасом, которые окружал сооружение и принимал на себя основные нагрузки. Арочная конструкция послужила прототипом каркасной конструкции, которая сегодня используется в качестве основной при возведении современных сооружений из металла, стекла и бетона. Достаточно вспомнить конструкции известных башен: Эйфелевой башни в Париже и телебашни на Шаболовке. Телебашня на Шаболовке состоит из нескольких поставленных друг на друга частей однополостных гиперболоидов. Причем каждая часть сделана из двух семейств прямолинейных балок. Эта башня построена по проекту замечательного инженера В.Г.Шухова.
Однополостный гиперболоид - это поверхность, образованная вращением в пространстве гиперболы, расположенной симметрично относительно одной из осей координат в прямоугольной системе координат, вокруг другой оси. Необходимо обратить внимание, что любое осевое сечение однополостного гиперболоида будет ограничено двумя гиперболами.
Другой интересной для архитекторов геометрической поверхностью оказался гиперболический параболоид. Это поверхность, которая в сечении имеет параболы и гиперболу. Появление новых строительных материалов делает возможным создание тонкого железобетонного каркаса и стен из стекла. Достаточно вспомнить американские небоскребы или, например,
здание Кремлевского дворца съездов созданных из стекла и бетона. Именно эти материалы и каркасные конструкции стали преобладающими в архитектурных сооружениях XX века. Они обеспечивают зданиям высокую степень прочности.
6. Практический пример реализации математики в архитектуре
Человек должен принимать решения относительно того, что численное совпадение действительно совпадение. Если рассмотреть одно из таких совпадений, связанное с золотым номером. Золотое число (1 + V 5) / 2 = 1,618033989 и угол на основе этого будет иметь размер угловых секунд (1,618033989) = 51 ° 50 '. Стороны Великой Пирамиды как раз расположены под углом и равны = 51 ° 52 '.
Одним из современных мировых шедевров архитектуры, показывающий тесную связь математики и архитектуры является проект здания Огурца в Лондоне. Высота здания составляет 180 метров, что в три раза превышает высоту Ниагарского водопада. Существуют три основных особенности, которые выделяют его от большинства других небоскребов: это круглая, а не квадратная, она выпирает в середине и сужается к тонкому концу к вершине, и она основана на спиралевидные конструкции.
Основная проблема проектирования здания размером как Огурец - воздушные потоки, которые создают вокруг них вихри. Чтобы решить эту проблему, архитекторами были использованы компьютерные модели, основанные на математической турбулентности, позволяющие моделировать аэродинамические свойства здания. Модель показала, что цилиндрическая форма лучше реагирует на потоки воздуха, чем квадратная и уменьшает
вихри. Дело в том, что башня выпирает в середине, достигнув своего максимального диаметра на 16-м этаже, а также помогает свести к минимуму потоки ветра на ее более стройной части.
Модель потоков воздуха, Огурец. Image © Foster + Partners.
Другая проблема архитектурного моделирования этого здания - потеря солнечного света. Однако его выпуклые канонические части гарантируют, что вы никогда не увидите ее вершину снизу, а это в свою очередь, не заставит вас чувствовать себя совсем маленьким. При моделировании здания Огурца главной целью была его устойчивость, к которой добавлялась естественная вентиляция воздуха (чтобы сэкономить на кондиционирование воздуха) и приток естественного солнечного света (чтобы сэкономить на отоплении и освещении). Шесть треугольных клиньев были вырезаны из круговых планов каждого этажа, проникая глубоко в недра здания. Они служат световыми колодцами и создают естественную вентиляцию. Тем не менее, клинья не сидят прямо на верхней части друг друга. Аэродинамическое моделирование показало, что вентиляция будет максимальной, если план одного этажа поворачивается на несколько градусов ниже другого. В результате применения геометрии, здание потребляет на 50% меньше энергии, чем другие аналогичные объекты.
Поверхности, которые можно описать математическими уравнениями, - такие, как конусы, торы, или сферы - часто образуют основу дизайна британских авторов. Это удобно, когда дело доходит до создания виртуальных моделей, посредством которых математически генерируется поверхность на компьютере. Эти поверхности являются графиками функции г = е‘(х 2 + у 2) Здесь в 3- мерной системе координат формируется х, у, z. Число определяет форму поверхности. Первая поверхность = 1, вторая = 5, а третья z имеет = 7.
В нашем городе Одинцово мы также можем увидеть различные геометрические формы в архитектурных стилях. Пример использования различных геометрических форм (стоечно-балочная система и арочносводчатая конструкция) в архитектуре г. Одинцово:
Собор святого великомученика Георгия Победоносца— православный храм в городе Одинцово был построен в русском стиле 2007 году. Заложен Ювеналием, митрополитом Крутицким и Коломенским. Освящён 9 сентября 2007 года Патриархом Московским и всея Руси Алексием II. В настоящее время является одним из самых больших в Московской епархии. Высота его колокольни составляет 72 метра. Общий вес колоколов составляет 18.5 тонн
Решим задачи.
1. Мы знаем ,что масса 1 купола в Георгиевском соборе в городе Одинцово равна 18,5 тонн, а плотность золота (купол золотой) равна 19,32, то мы можем узнать объем купола.
V = m / R
V= 18500 / 19,32 = 957 м3
2. На здании сбербанка одно из окон имеет круглую форму, тогда можно рассчитать его длину окружности и его площадь. По формулам:
С = 2Пr = 2 * 3,14 * 1 = 6,28 S = Пr2 = 3,14 * 1 = 3,14
7. Заключение
Древняя архитектура такая, как у египтян и индейцев, использовала принципы планирования и пропорции, которые коренятся с космосом, с учетом движения Солнца, звезд и других небесных тел. Чрезвычайно сложные вычисления используются, чтобы просчитать размеры здания и его компонентов. Некоторые из этих расчетов являются частью астрологии и астрономии, а другие соображениями эстетики.
Как видно, архитектура всегда использовалась для достижения целей, которые используют не только функции, но и эстетику, философию и смысл. И во многих случаях это достигалось благодаря математике.
Архитектура в прошлом сделала очень много для геометрии. Вместе с необходимостью измерять землю, на которой они жили, это была потребность людей строить свои здания по соответствующей форме. Сегодня, спустя 4500 лет после великой пирамиды, построенной в Египте, что может сделать математика для архитектуры?
На одной из конференций, которая исследовала связь между математикой, искусством и дизайном, была встреча с двумя архитекторами Foster + Partners Group и специалистами по моделированию Brady Питерс и Xavier De Kestelier , чтобы проследить математическим взглядом за их работой.
В современной архитектуре, основанной на компьютерном моделировании, как внешнего вида здания, так и физических явлений, таких как аэродинамика и акустика зданий, понимание геометрии позволяет создать все более необычные проекты с использованием современных материалов. Кем в большей степени являются эти разработчики - экспертами в области математических наук или архитекторами?
С помощью компьютера можно смоделировать почти каждый аспект здания, от физики до его появления. Компьютерные модели могут имитировать дуновение ветра вокруг здания или отражение звуковых волн вокруг или внутри него. Графические программы могут исследовать различные
математические поверхности и заполнять их панелями из различных текстур. Однако математические закономерности являются основой всех архитектурных проектов современности !
Список литературы
1. Бенесон Е.Н. «Курсы дизайна и рисунка»
2. Давидич Т.Ф. «Стиль как язык архитектуры»
3.Демартине Е. «Тысяча лет мировой архитектуре»
4. htpp:// basik.ru
5. htpp:// kulturologia.ru
6. htpp:// yraudstroy.blogspot.com
7. htpp:// archtacade.ru
8. htpp:// etoday.ru
9. htpp:// liveintemet.ru
10. htpp:// sf.npi-tu.ru