IX Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Фрактальное заполнение гиперкубов гипершарами в абстрактных арифметических пространствах
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
Идея работы появилась после первого ознакомления с научно-популярной математической книгой о теории фракталов [1]. После этого математическая школьная научно-исследовательская работа была связана с решением нескольких задач из области планиметрии, которые связаны с фракталами [2-5]. В этих задачах изучались правильные многоугольники, в которые бесконечно вписывались окружности. При этом каждая окружность должна касаться не менее чем двух сторон многоугольника. Получилось, что многоугольник заполняется бесконечным множеством фрактальных кругов. Фрактальные круги, вписанные в любой многоугольник, начиная со второго уровня, составляют убывающую геометрическую прогрессию. Была определена общая площадь всех фрактальных кругов, а затем вычислена доля замещения площади многоугольника площадями фрактальных кругов. В этих же работах было показано, как можно перейти к произвольным плоским многоугольникам, для чего была доказана основная лемма. Задача о кругах, вписанных в многоугольники, появилась после наблюдения капелек росы и тумана на листьях и после прочтения рассказа Л.Н.Толстого «Какая бывает роса на траве». Физическое направление исследований представлено в специальном авторском видеоролике [6]. Следующим этапом исследования стало решение стереометрической задачи о фрактальных шарах, вписанных в тетраэдр и куб [7]. Разработанными ранее методами было доказано, что шары, вписанные в эти два правильных выпуклых многогранника Эйлера, при фрактальном дроблении тоже подчиняются закону убывания по геометрической прогрессии. Как и в предыдущих работах, была вычислена доля замещения объёма каждого из двух многогранников фрактальными шарами. На следующем этапе исследований предполагается решить эту задачу для октаэдра, додэкаэдра и икосаэдра. Но в процессе исследований появилась одна очень интересная задача, связанная с фрактальными заполнениями гиперкубов в абстрактных евклидовых пространствах Rn n-гипершарами в этих же пространствах. В результате решения этой задачи получены важные для математической теории результаты.
Задача 1. Одномерное пространство R1.
Случай одномерного пространства является тривиальным, потому что и куб, и шар в R1 представляются одинаковыми, то есть конгруэнтными отрезками. В пространстве R1 шар-отрезок полностью покрывает куб-отрезок, и наоборот. Следовательно, в пространстве R1 доля замещения объёма куба-отрезка объёмом шара-отрезка равна единице. Фрактального дробления вписанных шаров в этом случае нет. Этот тривиальный случай важен для определения верхней границы доли замещения объёма куба объёмами фрактальных шаров в произвольном пространстве Rn. Эта доля равна единице.
Задача 2. Двумерное пространство R2.
Это квадрат с фрактальными кругами. Требуется вычислить отношение площадей вписанных в квадрат фрактальных кругов к площади квадрата. Такая задача уже была решена раньше. В квадрат вписан круг радиуса . Затем в четыре угла вписываются четыре одинаковых меньших круга радиусами . После этого в четыре угла вписываются ещё более маленькие четыре одинаковых круга радиусами . И так до бесконечности. Получается бесконечное счётное множество вписанных фрактальных кругов. Схема фрактального дробления вписанных кругов в квадрате показана на рис.1. Требуется определить отношение площади всех этих фрактальных кругов к площади квадрата.
Рис.1. Квадрат с фрактальными кругами
Коэффициент подобия соседних фрактальных окружностей равен .
Последовательность площадей фрактальных кругов со второго члена представляет геометрическую прогрессию
В этой геометрической прогрессии первый член равен , а знаменатель . Так как знаменатель геометрической прогрессии является правильной дробью, то есть , или, что то же самое, , то бесконечная сумма, называемая рядом, сходится к числу, и с учётом выпавшего из закономерности перового члена общая сумма всех фрактальных кругов, вписанных в квадрат, равна .
Вычисляем отношение площади всех фрактальных кругов в квадрате к площади квадрата . По сравнению с пространством R1 в пространстве R2 отношение площади всех вписанных в квадрат фрактальных кругов к площади квадрата меньше 1, как и следовало ожидать, глядя на рисунок. Но рисунок не может показать закономерности при увеличении числа измерений, только появилась гипотеза об уменьшении этой доли с ростом числа измерений пространства Rn.
Задача 3. Трёхмерное пространство R3.
Вычислить долю заполнения объёма куба фрактальными шарами. Эта задача была решена ранее.
Рис.2. Схема заполнение куба фрактальными шарами
Пусть a – ребро куба. Тогда радиус вписанного в куб шара равен r0=a/2, объём вписанного шара нулевого фрактального уровня равен . Диагональ куба равна . Полудиагональ куба равна . Расстояние от вершины куба до нулевой фрактальной сферы равно высоте правильной треугольной пирамиды и равно . В полученную треугольную пирамиду вписываем шар первого фрактального уровня с радиусом r1. Коэффициент подобия (гомотетии с центром A) равен . Объём восьми фрактальных шаров первого уровня равен .
Начиная с первого фрактального уровня, объёмы шаров составляют убывающую геометрическую прогрессию с первым членом и знаменателем .
Добавляя сумму объёмов бесконечной убывающей геометрической прогрессии к объёму нулевого фрактального шара, вписанного в куб, получаем общий объём замещения куба фрактальными шарами: . Вычисляем долю замещения объёма куба всеми фрактальными шарами: , то есть приблизительно 56,5%.
Задача 4. Четырёхмерное пространство R4.
Задан гиперкуб со стороной a в четырёхмерном пространстве R4. Объём такого гиперкуба равен . Нижний индекс означает размерность пространства. Объём 4-гипершара в пространстве R4 равен . Применяем эту формулу к 4-гипершару с радиусом a/2, вписанному в заданный гиперкуб со стороной a. Получаем объём исходного вписанного 4-гипершара нулевого фрактального уровня: . Из этой формулы сразу видно, что доля замещения объёма гиперкуба объёмом шара нулевого фрактального уровня равна , тогда как в пространстве R3 эта доля была равна . В пространстве R2 эта боля была ещё больше: . В тривиальном случае одномерного пространства эта доля равна . Видно, что доля замещения объёма гиперкуба шаром нулевого фрактального уровня уменьшается с увеличением размерности n пространства.
В четырёхмерном гиперкубе со стороной a диагональ равна . Тогда высота первой фрактальной пирамиды с общей для куба вершиной равна . Оставшаяся часть диагонали гиперкуба является высотой нулевой фрактальной пирамиды, в которую вписан исходный 4-гипершар нулевого фрактального уровня: . Линейный коэффициент подобия фрактального деления равен . При переходе от одного фрактального шара к следующему соседнему более высокого уровня объём шара увеличивается в раза, то есть уменьшается в 81 раз. Надо учесть, что фрактальный 4-гипершар нулевого уровня только один – этот шар вписан в четырёхмерный гиперкуб. Но фрактальных шаров первого уровня в четырёхмерном кубе будет уже 16 по числу вершин этой фигуры. Общий объём шестнадцати фрактальных 4-гипершаров, вписанных в вершины 4-гиперкуба и касающихся нулевого 4-гипершара, равен - это первый член геометрической прогрессии, знаменатель которой равен . Объём всех фрактальных 4-гипершаров, вписанных в 4-гиперкуб, равен
.
Доля замещения объёма 4-гиперкуба всеми вписанными в него фрактальными 4-гипершарами равна . В соответствие с выдвинутой гипотезой, эта доля уменьшается с увеличением размерности n пространства. Появилась гипотеза, что эта доля замещения стремится к нулю при бесконечном возрастании размерности n пространства. Для предварительного обоснования этого предположения было изучено заполнение 120-гиперкуба фрактальными 120-гипершарами в пространстве размерностью n=120.
Задача 5. 120-мерное пространство R120.
Такое пространство было выбрано для изучения по двум причинам. Во-первых, это почти максимальная размерность пространства, позволяющая применить при расчётах обычный инженерный калькулятор, в частности, CASIO fx-85ES PLUS. Во-вторых, чётная размерность пространства позволяет воспользоваться более короткой упрощённой формулой для объёма 120-гипершара. При вычислении объёма такой фигуры надо находить 60!, а указанный инженерный калькулятор позволяет вычислять максимальное число . Следующее значение 70! Приводит к переполнению разрядной шкалы калькулятора.
Объём 120-гипершара радиуса в пространстве R120 с размерностью n=120 равен .
Объём 120-гиперкуба со стороной a в пространстве R120 с размерностью n=120 равен . Диагональ120-гиперкуба равна .
Высота фрактальной пирамиды первого уровня на вершине куба равна .
Высота фрактальной пирамиды нулевого уровня сопряжена по иррациональности выражения с высотой фрактальной пирамиды первого уровня и равна .
Линейный коэффициент подобия при одном фрактальном переходе от большего элемента к меньшему элементу равен .
Фрактальный 120-гипершар нулевого уровня, то есть самый большой 120-гипершар, вписанный в 120-гиперкуб, имеет 120-объём .
В вершинах 120-гиперкуба расположены гипершаров первого фрактального уровня с общим объёмом . Это первый член геометрической прогрессии, знаменатель которой равен .
Вычисляем 120-объём всех фрактальных 120-гипершаров, начиная с единственного 120-гипершара нулевого уровня, добавляя к его объёму геометрическую прогрессию объёмов суммы 2120 вписанных в 120-гиперпирамиды уменьшающихся 120-гипершаров.
.
Доля замещения объёма 120-гиперкуба всеми вписанными в него фрактальными 120-гипершарами равна . В соответствие с выдвинутой гипотезой, эта доля стремится к нулю. В пространстве R120 эта боля приближается к чувствительности инженерного калькулятора 10-99. Появилась задача изучения фрактального заполнения произвольного абстрактного n-гиперкуба вписанными в него n-гипершарами. Такие пространства обладают непривычными для нас свойствами. Например, если в пространстве Rn с большой размерностью, например, уже изученным значением n=120, в n-гиперкуб вписать n-гипершар, то для нас он будет представляться точкой в обычном понимании. Актуальность изучения таких абстрактных пространств обусловлена, например, внедрением в практику многомерных систем с вероятностным подходом описания их свойств.
Обобщение полученных результатов и выводы
Таблица 1. Обобщение результатов.
|
n |
1 |
2 |
3 |
4 |
120 |
|
Доля замещения объема шарами |
1 |
0,88068 |
0,56468 |
0,37011 |
2,33·10-62 |
1. В Таблице 1 представлено обобщение решённых пяти задач для n-гипершаров, вписанных в n-гиперкубы для евклидовых пространств с размерностями n=1;2;3;4;120. Приведённые числа показывают долю замещения n-гиперобъёма n-гиперкуба всеми вписанными в него по сформулированному правилу фрактальными n-гипершарами.
2. Количественные показатели представляют интерес для физических и технических задач в случае евклидовых пространств с размерностями n=1;2;3.
3. Размерность евклидова пространства n=4 может быть применена для решения задач теории относительности в пространстве Минковского.
4. Размерности евклидовых пространств n>3 зрительно представить нельзя, но вполне можно сделать важный вывод об уменьшении доли замещения n-гиперкубов в этих пространствах n-гипершарами. При больших значениях размерности n арифметического пространства эта доля становится маленькой.
5. В евклидовом пространстве размерности n=120 эта доля замещения равна 2,33·10-62, то есть оценивается пределом точности вычислений настольного инженерного калькулятора.
6. Главный вывод – доля замещения n-гиперобъёма n-гиперкуба фрактальными n-гипершарами в n-мерных арифметических пространствах стремится к нулю, если размерность n стремится к бесконечности. Это означает, что при таком условии n-гипершар в n-гиперкубе становится подобным точке в нашем обыденном понимании.
Список использованных источников и литературы
1. Кириллов А.А. Повесть о двух фракталах. — Летняя школа «Современная математика». — Дубна, 2007. – Электронный ресурс: https://www.mccme.ru/dubna/2007/notes/kirillov-preprint.pdf
2. Екимовская А.А. Фрактальное заполнение правильного треугольника кругами. Научный руководитель Екимовская В.А. / П99 V Музруковские Чтения: Материалы Международной научно-практической конференции, 3-4 октября 2019 г. - ГБПОУ СПТ им. Б.Г.Музрукова. - Отв. за выпуск И.В.Столяров. - Саров: Интерконтакт, 2019. - 271 с. - ISBN 978-5-6043096-4-3. - Секция 5: Математика. Физика - 1. - С.103-105. – Медаль, и Диплом победителя Регионального этапа Балтийского научно-инженерного конкурса 2020.
3. Екимовская А.А. Фрактальная модель конденсата / Наука и инновации в технических университетах: Материалы Тринадцатого Всероссийского форума студентов, аспирантов и молодых учёных 23-25 октября 2019 г. - СПб.: ПОЛИТЕХ-ПРЕСС, 2019. - 169 с. - ББК 30.1 Н34. - Секция "Физические науки". - С.107-108. - Диплом "За лучший доклад на секционном заседании". - Электронный ресурс: http://www.semicond.ru/siforum2019/Forum2019.pdf
4. Екимовская А.А., Лебедев В.В. Фрактальная конденсация / Международная инновационная конференция молодых учёных и студентов по современным проблемам машиноведения МИКМУС-2019. – М: Институт Машиноведения Российской академии наук им. А.А.Благонравова (ИМаш РАН), 4-6 декабря 2019. – Электронный ресурс: https://www.elibrary.ru/item.asp?id=42445736
5. Екимовская А.А. Фрактальное заполнение правильных многоугольников кругами / Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся «VIII Старт в науке». – М.: Российская Академия Естествознания (РАЕ), 2-3 марта 2020. – Диплом победителя III степени. - Электронный ресурс: https://files.school-science.ru/pdf/8/5e048a6e8d795.pdf
6. Екимовская А.А. Фрактальное заполнение многоугольников кругами. – Электронный ресурс (видеоролик): https://youtu.be/IZY5K3vNgpM
7. Екимовская А.А. Фрактальное заполнение тетраэдра и куба шарами. – Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся «IX Старт в науке». – М.: Российская Академия Естествознания (РАЕ), 12 мая 2020. - Электронный ресурс: https://files.school-science.ru/pdf/9/5e984f052355f.pdf
Приложение. Проверка работы на антиплагиат в системе antiplagiat.ru
Показатель оригинальности работы 95,74%.