Ох уж эти проценты!

IX Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке

Ох уж эти проценты!

Халюкова А.Г. 1
1МБОУ "СОШ №2 ст. Архонская"
Кальянова М.Т. 1
1МБОУ "СОШ №2 ст. Архонская"
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Введение

Что больше 75% от 180 или 180% от 75?

Товар сначала повысили на 10%, а потом понизили на 10%. Изменилась ли цена? Если изменилась, то как?

Брать ссуду в банке или купить в кредит? Может быть выгоднее накопить денег для покупки дорогостоящей вещи? Чтобы ответить на эти вопросы, надо знать что такое «проценты» и уметь решать задачи на проценты.

Тема «Проценты» изучаются только в 5-6 классах, а задачи на эту тему встречаются и в старших классах по математике, и в тестовых заданий для выпускников 9, 11 классов.

Меня заинтересовала эта тема, я захотела узнать больше о процентах. А может быть без них вообще можно обойтись?

Я провела сбор информации о процентах и задачах на проценты в учебниках и в Internet; попробовала составить несколько задач на проценты и пыталась ответить на вопрос:

Цель: Проценты – это абстрактное понятие или жизненная необходимость?

Чтобы ответить на этот вопрос я поставила перед собой следующие задачи:

собрать и изучить информацию по данному вопросу;

рассмотреть основные виды задач на проценты и способы их решения;

показать применение процентов в деятельности человека;

провести статистическое исследование;

обобщить результаты работы.

Объект исследования: различные типы задач на проценты.

Предмет исследования: решение практических задач на проценты и процентное содержание.

Методы работы: поисковый, практический, анализ.

Новизна исследования заключается в следующем:

- изучены виды задач, алгоритм решения задач на проценты;

- проведен отбор задач на проценты из открытого банка заданий к ГИА для девятых классов.

Практическая значимость исследования заключается в том, что:

- показано практическое применение процентов;

- материалы работы можно использовать как учащимся, так и преподавателям;

- создан сборник задач по теме «Проценты».

1. Основная часть

1.1. История возникновения процента

Сотая часть метра – сантиметр,

сотая часть рубля – копейка,

сотая часть центнера - килограмм.

Люди давно заметили, что сотые доли величин удобны в практической деятельности, поэтому для них было придумано специальное название - процент.

Это понятие появилось в математике в связи с развитием торговли, когда за взятые в долг деньги заимодавец получал с должника какую-либо сумму сверх долга. Обычно эта сумма выражалась в сотых долях. Несколько позже у неё появилось название - проценты.

Слово "процент" произошло от двух латинских слов: "про" - "на" и "центум" - "сто", то есть в буквальном переводе на русский язык процент означает "на сто".

Знак % закрепился для обозначения процентов в XVII веке. Вероятно, он произошел от сокращения латинского слова "centum" в "cto". При скорописи "cto" стало выглядеть как "о/о", а затем - "%". Довольно долго этот знак записывался только с горизонтальной чертой, а затем от этого условия отошли.

Существует и другая версия возникновения этого знака. В 1685 году в Париже была опубликована книга – руководство по коммерческой арифметике, где наборщик по ошибке вместо «cto» напечатал «%».

Были известны проценты и в Индии. Индийские математики вычислили проценты, применяя так называемое тройное правило, то есть пользуясь пропорцией. Они производили и более сложные вычисления.

В Древнем Риме были широко распространены денежные расчеты с процентами. Римский сенат установил максимально доступный процент, взимавшийся с должника.

В Европе в середине века расширилась торговля и, следовательно, особое внимание обращалось на умение вычислять проценты. Тогда приходилось рассчитывать не только проценты, но и проценты с процентов (сложные проценты). Часто конторы и предприятия для облегчения расчетов разрабатывали особые таблицы вычисления процентов. Эти таблицы держались в тайне, составляли коммерческий секрет фирмы. Впервые таблицы были опубликованы в 1584 году Симоном Стевином - инженером из города Брюгге (Нидерланды).

В России понятие процент впервые ввел Пётр I. Но считается, что подобные вычисления начали применяться в Смутное время, как результат первой в мировой истории привязки чеканных монет 1 к 100, когда рубль сначала состоял из 10 гривенников, а позже из 100 копеек.

Долгое время под процентами понимались исключительно прибыль или убыток на каждые сто рублей. Они применялись только в торговых и денежных сделках. Затем область их применения расширилась, проценты встречаются в хозяйственных и финансовых расчетах, в экономических расчетах, в страховании, статистике, науке и технике.

Сегодня процент – это сотая доля целого, принимаемого за единицу. Например, 1% зарплаты – это сотая часть зарплаты; подоходный налог с зарплаты берется в размере 13%, то есть 13 сотых от зарплаты; 3,5% жира в молоке означает, что 3,5 сотых массы продукта составляет жир или, другими словами, в каждых 100 граммах этого продукта содержится 3,5 грамма жира.

Проценты тесно связаны с обыкновенными и десятичными дробями.

В повседневной жизни нужно знать о числовой связи дробей и процентов, поэтому стоит запомнить несколько простых равенств. Так, половина — 50%, четверть — 25%, три четверти — 75%, одна пятая — 20%, три пятых — 60%, а один – 100%.

Знание наизусть соотношений из таблицы облегчит решение многих задач.

Дробь

11/2

11/4

33/4

11/5

22/5

33/5

11/10

11/20

12/50

Десятичная дробь

00,5

00,25

00,75

00,2

00,4

00,6

00,1

00,05

00,02

Проценты

550%

225%

775%

220%

440%

660%

110%

55%

22%

Вообще, само понятие проценты развилось до такого состояния, что стало абстрактным, им можно измерять буквально всё. Проценты применяют даже там, где проценты на первый взгляд неприменимы. Так, например, человек на вопрос, как у него здоровье, может ответить, что здоров на все сто процентов. Отсюда видно, что проценты можно применять при измерении не только точных величин.

В процентах выражаются ставки налогов, доходность капиталовложений, плата за заемные денежные средства (например, кредиты банка), темпы роста экономики и многое другое.

1.2. Знакомьтесь: родственник процента – промилле

Со временем, люди научились извлекать из вещества его компоненты, составляющие тысячные доли от массы самого вещества. Тогда, чтобы не вводить нуль и запятую, ввели новую величину – промилле.

Что такое 1 промилле? Как найти 1 промилле? Что измеряют в промилле?

1 промилле – это одна тысячная часть числа.

Для обозначения промилле существует специальный знак –‰.

Слово «промилле» происходит от латинского «pro mille» (за тысячу, с тысячи).

Так как промилле – это одна тысячная часть числа, то все число – это 1000‰.

Промилле – десятая часть процента, то есть 1% = 0,1‰.

Чтобы найти 1 промилле от числа, надо число разделить на 1000.

Например:

1‰ от 563 равен 563 : 1000 = 0,563

1‰ от 7204 равен 7204 : 1000 = 7,204.

Для некоторых величин тысячная часть числа имеет свое название.

1‰ от 1 килограмма равен 1 грамму;

1‰ от 1 тонны равен 1 килограмму;

1‰ от 1 километра равен 1 метру.

Некоторые величины традиционно измеряют именно в промилле.

Например:

соленость воды,

уклон железнодорожного пути, уклон дороги, уклон кровли,

содержание алкоголя в крови,

«проба» - выражение массы чистого золота (серебра, платины и т.п.) в образце металла,

естественный прирост населения.

2. Виды задач на проценты и способы их решения.

Основные задачи на проценты можно разделить на три группы:

2.1 Нахождение процентов от числа.
Чтобы найти проценты от числа, нужно:

1) представить проценты в виде дроби (десятичной или обыкновенной); 2) умножить число на эту дробь.

Задача:Сберегательный банк на­чис­ля­ет на сроч­ный вклад 20% годовых. Вклад­чик по­ло­жил на счет 800 р. Какая сумма будет на этом счете через год, если ни­ка­ких опе­ра­ций со сче­том про­во­дить­ся не будет?


Решение: 20% - 0,20; 800 · 0,2 = 160 (р.) повысится счет в банке

800+160=960(р) следующем году .

Ответ: на 960 рублей.

2.2. Нахождение числа по его процентам. Чтобы найти число по его процентам, нужно:

1) представить проценты в виде дроби (десятичной или обыкновенной); 2) разделить значение процентов на эту дробь. Задача: Товар на рас­про­да­же уце­ни­ли на 20%, при этом он стал сто­ить 680 р. Сколь­ко стоил товар до распродажи?

Решение.

Новая цена составляет 80 % от старой цены.

Поэтому она составляла

680 : 0,8 = 850 руб. 

Ответ: 850.

2.3. Нахождение процентного отношения чисел. Чтобы найти процентное отношение двух чисел, надо:

1) найти отношение этих чисел, т. е. одно число разделить на другое;2) результат умножить на 100 и дописать знак процента.Задача: Для фрук­то­во­го на­пит­ка сме­ши­ва­ют яб­лоч­ный и ви­но­град­ный сок в от­но­ше­нии 13:7. Какой про­цент в этом на­пит­ке со­став­ля­ет ви­но­град­ный сок?

Решение:

13+7=20 частей

Ответ: 35%

Задачи, связанные с банковскими расчетами решаются с помощью сложных процен­тов. Я хотела бы в будущем разобраться с их решением, так как сегодня мне не хватает знаний.

2.4.Решение задач на проценты составлением пропорции.

При решении задач на проценты некоторая величина b принимается за 100%,а ее часть – величинаa – принимается за x % и составляется пропорция:

= Из пропорции по двум известным величинам определяют неизвестную третью величину, пользуясь правилами нахождения неизвестного крайнего (среднего) члена пропорции.

Задача. После того, как цены на посуду в магазине были подняты на 20%, чашка стала стоить 132р.

Сколько рублей стоила чашка до повышения цены?

Решение: До повышения цены стоимость чашки составляла 100%, а после повышения цены – 120%. Обозначив за x руб.– начальную цену чашки в рублях, составим пропорцию:

Начальная цена: х р. - 100% Стала стоить: 32р - 120%

Составляем пропорцию: = х = = 110р стоила чашка

Ответ: 110р.

2.5. Решение задач на проценты алгебраическим методом.

Задача. Одна из сторон прямоугольника на 42% больше другой, его площадь равна 568 см2. Найдите меньшую из сторон прямоугольника.

Решение: Пусть х см – меньшая сторона прямоугольника, тогда большая сторона - 1,42 х см. Площадь прямоугольника равна 568 см2. Составим и решим уравнение:

х · 1,42 х = 568,

1,42х2 = 568,

х2 = 400, х1 = 20 и х2 = - 20, -20 не удовлетворяет условию задачи.

Ответ: Меньшая сторона прямоугольника равна 20 см.

3. Проценты в повседневной жизни

Проценты широко применяются в повседневной жизни. Я показала это на следующих задачах.

3.1. Зарплата.

Мне не раз приходилось слышать выражение «грязная зарплата». Я никак не мог понять, где она испачкалась. Первые разъяснения по этому вопросу мне дала мама, а более подробно этот вопрос был рассмотрен на уроке математики, когда мы изучали тему «Проценты». Я решила проанализировать зарплату мамы и выяснить, как из «грязной» получается «чистая» зарплата.

Мама работает ЗАО «ТАНДЕР» . Её оклад составляет 16220 рубля.

В нашей семье 2 детей, значит, сумма, не облагаемая налогом, составляет

1400 • 2 = 2800 рублей.

16220 – 2800 = 13420– сумма, которая облагается 13% налогом – НДФЛ.

13420 • 0,13 = 1744,6 р.

Значит, «чистая» зарплата мамы составляет

162200 – 1744,6 = 14475,4рубля.

Ответ: 14475р 40 копеек.

3.2.Задача по вкладу.

Вкладчик положил на счет в банке 5000 р. Сбербанк начисляет на срочный вклад 9% годовых. Какая сумма будет на счету вкладчика через год?

Решение: 9% = 0,09; 5 000 • 0,09 = 450 р., то через год на счету вкладчика будет 5000 + 450 = 5450 (р.).

Ответ: 5450 руб.

3.3.Здравоохранение.

Задача. Известно, что в среднем 80% курящих страдают заболеванием легких. Найдите количество больных, если в исследовании приняло участие 500 курящих человек.

Решение: 80% = 0,8; 500 • 0,8 = 400 (ч.)

Вывод: 400 человек из 500 курящих страдают заболеванием легких!

3.4.Распродажа.

Задача. В пе­ри­од рас­про­да­жи ма­га­зин сни­жал цены два­жды: в пер­вый раз на 30%, во вто­рой — на 45%. Сколь­ко руб­лей стал сто­ить чай­ник после вто­ро­го сни­же­ния цен, если до на­ча­ла рас­про­да­жи он стоил 1400 р.?

Решение.

В первый раз цена упала на 1400 · 0,3 = 420 руб. Значит, после первого понижения цен чайник стал стоить 1400 − 420 = 980 руб. Во второй раз цена упала на 980 · 0,45 = 441 руб. Значит, после второго понижения цен чайник стал стоить 980 − 441 = 539 руб.

 Ответ: 539.

3.5.Скидки .Чашка, ко­то­рая сто­и­ла 90 рублей, продаётся с 10%-й скидкой. При по­куп­ке 10 таких чашек по­ку­па­тель отдал кас­си­ру 1000 рублей. Сколь­ко руб­лей сдачи он дол­жен получить?

Решение.

Стоимость одной чашки равна 90 − 0,1 · 90 = 81 руб. Стоимость 10 чашек равна 810 руб. Значит, сдача с 1000 рублей составит 190 рублей.

 Ответ: 190.

Задача на растворы.

В сборнике задач «Математика. Подготовка к ОГЭ - 2017» под редакцией Ф. Ф. Лысенко во второй части я обнаружила еще задачи на растворы.

Для меня эти задачи самые сложные и пока я их решать не умею.

Вот одна из них.

К 120 г раствора, содержащего 80% соли, добавили 480 г раствора, содержащего 20 % той же соли. Сколько процентов соли содержится в получившемся растворе?

Учитель математики мне сказала, что задачи данного типа будем учиться решать в 8 и 9 классах и разными способами .

3.6.Задачи с процентами из литературы. Эта задача не осталась без моего внимания: В романе М. Е. Салтыкова - Щедрина « Господа Головлевы» сын Порфирия Владимировича Петя проиграл в карты казенные 3000 рублей и попросил у бабушки эти деньги взаймы. Он говорил: « Я бы хороший процент дал. Пять процентов в месяц». Подсчитайте, сколько денег готов вернуть Петя через год. Согласилась ли бабушка на его условия.

Решение:5% в месяц, значит, 60% в год. 60% = 0,6

3000 • 0,6 + 3000 = 4800 (руб) Петя вернул бы бабушке через год.

Предложение заманчивое за год получить прибавку в 1800 руб, но игроки – ненадёжные люди. Думаю, бабушка не согласится на условия Пети.

Ответ: 4800 рублей.

3.7.Задача: Много ли соли в морской воде?

«Соленость морской воды составляет 35‰». Это означает, что в одном литре (в 1 кг) такой воды содержится 35 г солей. Соленость морской воды самая разная: самая высокая – в Красном море – 40-42‰, в Баренцевом – всего5‰. Один из самых солёных водоёмов на Земле — Мёртвое море, солёность которого достигает 340-350‰.

Соленость воды морей и Атлантического океана

Водоём

Солёность, (промилле)

Атлантический океан

34.00 – 37.30

Средиземное море

36.00 – 39.50

Красное море

38.00 – 42.00

Мертвое море

260-270, в отдельные годы 310

Черное море

18.00

Балтийское море

6.00 – 11.00

3.8.Свои задачи

Я попробовала составить несколько задач на проценты :

В 6Б классе 32 учащихся, из них 21 девочек и 11 мальчиков. Определить процентный состав девочек и мальчиков в классе.

Из 32 учащихся 6Б класса 1 ученик – 2006 года рождения, 23 ученика-2007года рождения и 8 учеников – 2008. Определить процентный состав учащихся по году рождения.

национальность

русские

осетины

азербаджанцы

армяне

грузины

таджики

лакцы

украинцы

татары

всего

257

193

3

11

4

1

1

1

2

3) Национальный состав нашей школы.

1.Решение:

100%-66%=34% мальчиков

2.Решение:

3.Всего учеников в школе

Решение:

4. Заключение

В ходе своего исследования я пришла к выводу, что проценты помогают нам:

грамотно разбираться в большом потоке информации;

правильно вкладывать деньги;

совершать выгодные покупки, экономя на скидках;

грамотно брать кредиты, выбирая более выгодный вариант;

решать математические задачи.

Проценты творят чудеса. Зная их, бедный может стать богатым, обманутый вчера в торговой сделке покупатель сегодня обоснованно требует процент торговой скидки. Вкладчик сбережений учится жить на проценты, грамотно размещая деньги в прибыльное дело.

Трудно назвать область, где бы ни применялись проценты. В своей работе я показала применение понятия «процент» при решении реальных задач только из некоторых сфер жизнедеятельности человека (торговля, здравоохранение, литература, химия, быт и др.).

Применение в жизни процентных расчетов полностью рассмотреть очень сложно, так как проценты применяются во всех сферах жизнедеятельности человека. Данная тема оставляет широкое поле для дальнейших исследований.

5. Источники информации:

Никольский С.М., Потапов М.К. и Математика. 6 классУчебник. Издательство: Просвещение.2016.

Математика. 9-й класс. По подготовка к ОГЭ – 2017. 36 тренировочных вариантов по демоверсии на 2016год: учебно-методическое пособие / Под ред. Лысенко и др. – Ростов на Дону: Легион, 2015.

Минаева С.С., Дроби и проценты. 5 – 7 классы /С.С. Минаева. – М.: Издательство «Экзамен», 2012. – 125 с.

Шевкин А.В., Текстовые задачи по математике: 5 – 6. – М.: ИЛЕКСА, 2011. – 106 с.

Просмотров работы: 148