IX Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Способы решения задач на нахождение площадей фигур на квадратной решетке
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
«Решение задач – практическое искусство, подобное
плаванию, катанию на лыжах или игре на фортепиано;
научиться ему можно, только подражая хорошим
образцам и постоянно практикуясь»
Д. Пойя
Актуальность
Площадь – это одна из важнейших величин в геометрии. Без знания площадей невозможно решить множество геометрических задач, доказать теоремы. Площади фигур имели огромное значение много веков назад, но не утратили своего значения в современном мире. Понятие «площадь поверхности» используется во многих областях. Без него нельзя обойтись в строительстве, хирургии, авиационной промышленности, автомобилестроении, геологии и во многих других отраслях промышленности и видах деятельности человека.
Элементарными представлениями и простейшими умениями вычислять площадь несложной фигуры должен обладать любой современный образованный человек. Возможно, поэтому задачи такого плана содержатся в материалах государственной итоговой аттестации.
Например: задачи на квадратной решетке (клетчатой бумаге). У меня возникали вопросы: в чём заключается особенность таких задач, существуют ли специальные методы и приёмы решения задач на клетчатой бумаге.
Казалось бы, что увлекательного можно найти на клетчатой плоскости, т.е. на бесконечном листке бумаги, расчерченном на одинаковые квадратики? Оказывается, задачи, связанные с бумагой в клеточку, достаточно разнообразны. Я научился вычислять площади многоугольников, нарисованных на клетчатом листке, познакомился с формулами для вычисления площадей фигур, приемами, позволяющими находить площади комбинированных фигур. Однако четкой классификации и структурирования задач на клетчатой бумаге по методам и способам решения я не встретил. Возможно, потому, что большинство таких задач считается «занимательными», и не так уж много авторов посвятило этой теме свои изыскания. Задался вопросом: существует ли универсальный метод вычисления площади многоугольника, расположенного на квадратной решетке.
Цель исследования заключается в расширении знаний о понятии площадь, поиске приёмов вычисления площадей многоугольников, расположенных на квадратной решетке, попытке выделить универсальный метод и создать обучающую брошюру в помощь ученику 7-9 класса.
Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:
Подобрать необходимую литературу.
Проанализировать и систематизировать полученную информацию.
Найти различные приёмы вычисления площадей фигур, расположенных на клетчатой бумаге.
Классифицировать приемы.
Оформить работу в виде брошюры, создать электронную презентацию.
Предмет исследования: многоугольники на клетчатой бумаге
Объект исследования: приемы вычисления площадей многоугольников на клетчатой бумаге.
Методы исследования: изучение литературных источников и интернет-ресурсов, анализ и классификация информации, консультация с руководителем.
Гипотеза: возможно, многообразие многоугольников на бумаге в клеточку, отсутствие общих правил и методов вычисления площадей таких фигур, вызывают у школьников затруднения. Предположим, что при более внимательном исследовании приемов вычисления площадей фигур на клетчатой бумаге, мы убедимся в существовании универсального приема, позволяющего решить задачу при наличии достаточно простых геометрических сведений.
Теоретическая часть
1.1 Понятие площади
Площадь (S) – это величина, характеризующая размер той части плоскости, которая заключена внутри плоской замкнутой фигуры.
Определение площадей геометрических фигур – одна из древнейших практических задач. Правильный подход к их решению был найден не сразу.
Каждой плоской геометрической фигуре соответствует своя площадь. У пространственных фигур тоже есть соответствующая им площадь, называемая площадью поверхности.
Измерить площадь фигуры – это значит сравнить ее с площадью некоторой фигуры, принятой за единицу измерения площади.
Измерить площадь фигуры в Древней Греции означало построить квадрат, площадь которого равна площади данной фигуры. С тех пор всякое вычисление площади принято называть квадратурой.
Измерение площадей производится с помощью выбранной единицы измерения аналогично измерению длин отрезков. За единицу измерения площадей принимают квадрат, сторона которого равна единице измерения отрезков. Так, если за единицу длины принят сантиметр, то за единицу измерения площадей принят квадрат со стороной 1 см. Такой квадрат называется квадратным сантиметром и обозначается см2. Если единицей измерения длины является 1 м, ему соответствует единица площади 1 м2, если 1 мм, то единицей площади является 1 мм2.
Пусть, например, за единицу измерения площади принят квадратный сантиметр. Тогда запись S =15 см2 означает, что площадь фигуры равна 15 см2, т.е. в данной фигуре квадрат со стороной 1 см укладывается 15 раз. Как правило, в задачах на клетчатой бумаге клетка условно принимается за квадратный сантиметр.
Невозможно в рамках одной работы рассмотреть весь спектр разнообразных фигур, изображенных на квадратной решетке (клетчатой бумаге). Ограничимся многоугольниками.
Вычисление площадей фигур по известным формулам
Чтобы решать задачи на вычисление площадей фигур на квадратной решетке, надо знать формулы, а также простые приёмы, о которых я расскажу.
Для начала выучим формулы площадей элементарных фигур. Они специально собраны в удобную таблицу.
Как правило, эти задания не вызывают больших затруднений, если фигура представляет собой треугольник или привычно расположенный треугольник или многоугольник. Достаточно хорошо знать формулы вычисления площадей этих фигур, выяснить размеры по количеству клеточек и вычислить площадь. В этом легко убеждают приведенные в таблице задачи.
Таблица 1 – Формулы площадей
|
Название фигуры |
Формула |
Решение |
|
Квадрат a a |
2 |
Дано: Квадрат, a = 2 см Найти: S Решение: S квадрата 2 = 4 см 2 Ответ: |
|
Прямоугольник b a |
Дано: Прямоугольник, a = 2 см, b = 6 см Найти: S Решение: S прямоугольника Ответ: |
|
|
Прямоугольный треугольник b a |
Дано: прямоугольный треугольник, a = 3 см, b = 6 см Найти: S Решение: S треугольника Ответ: |
|
|
Произвольный треугольник h a |
Дано: произвольный треугольник, a = 8 см, h = 2 см Найти: S Решение: S треугольника Ответ: |
|
|
Параллелограмм a b |
Дано: Параллелограмм, a = 4 см, b = 6 см, ha = 4 см, hb = 6 см Найти: S Решение: S параллелограмма Ответ: |
|
|
Трапеция a b |
Дано: Трапеция, a = 4 см, b = 6 см, h = 2 см Найти: S Решение: S трапеции Ответ: |
|
|
Ромб |
Дано: Ромб, c = 2 см, d = 4 см Найти: S Решение: S ромба Ответ: |
А что делать, если надо найти не площадь трапеции или треугольника, а площадь какой-либо сложной фигуры? Или фигуры, расположенной таким образом, что вычислить необходимые длины по клеточкам не представляется возможным.
Комбинированные фигуры
В окружающем нас мире существует множество материальных предметов разных форм и размеров: жилые дома, детали машин, книги, игрушки и т.д. В геометрии вместо слова предмет говорят геометрическая фигура.
Слово «фигура» в переводе с латинского языка означает «внешний вид», «образ». Геометрическая фигура – совокупность множества точек, линий, поверхностей или тел, которые расположены на поверхности, плоскости или пространстве и формирует конечное количество линий.
Геометрические фигуры весьма разнообразны. Например: треугольник, квадрат, прямоугольник, и другие. Часть любой геометрической фигуры (кроме точки), также является фигурой. Объединение нескольких геометрических фигур, тоже будет являться геометрической фигурой.
Предметы простой формы в своей основе имеют одну геометрическую фигуру, а предметы сложной формы – несколько геометрических фигур. Более сложные объекты обычно называют комбинированными, имея в виду, что данный объект представляет сумму геометрических фигур. К таким объектам можно отнести и наши комбинированные фигуры.
Например:
Рисунок 1 – комбинированные фигуры
Как найти площадь нестандартной фигуры?
Способы вычисления площади сложных фигур
В работе представлены три способа нахождения площади комбинированной фигуры:
Разбиение комбинированных фигур на элементарные. Один из самых простых и доступных способов вычисления площадей был открыт Евклидом. При вычислении площадей он использовал простой прием, называемый методом разбиения. Разобьем эту фигуру на такие составляющие, о которых всё знаем, и найдем ее площадь как сумму площадей этих фигур.
|
Sф= S1+S2+S3 |
Площадь фигуры как разность площадей элементарных фигур. Берем фигуру в габаритные размеры, находим площадь фигуры как разность площадей элементарных фигур.
|
Sф= S – S1 – S2 – S3 – S4 |
Существует универсальная формула, позволяющая вычислить площадь фигуры, изображенной на клетке. Эта формула называется формулой Пика. Однако в рамках школьной программы данная формула не рассматривается, несмотря на свою простоту в применении и получении результата.
|
, где B – узлы внутри фигуры Г – узлы на границе |
Практическая часть
2.1 Задачи для самостоятельной работы
Задача 1: Найдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой бумаге (рис. 1) с размером клетки 1 см×1 см. Воспользуйтесь различными приемами:.
Рисунок 1 – Трапеция
1 способ – Формула для вычисления площади трапеции
2 способ – Разбиение комбинированных фигур на элементарные фигуры. Sф = S1+S2+S3
3 способ – Площадь фигуры как разность площадей элементарных фигур.
Sф = S – S1 – S2
4 способ – Формула Пика.
Задача 2: Найдите площадь окрашенной фигуры, изображенной на клетчатой бумаге (рис.2) . Размер каждой клетки равен 1 см х 1 см.
|
Рисунок 2 –Треугольник |
Площадь находим по формуле Пика. Формула нахождения |
Задача 3: Найдите площадь окрашенной фигуры, изображенной на клетчатой бумаге (рис.3) . Размер каждой клетки равен 1 см х 1 см.
|
Рисунок 3 –Прямоугольник |
Площадь фигуры как разность площадей элементарных фигур. ФормуланахожденияSф= S – S1 – S2 – S3– S4 |
Задача 4: Найдите площадь окрашенной фигуры, изображенной на клетчатой бумаге (рис.4) . Размер каждой клетки равен 1 см х 1 см.
|
Рисунок 4 – Параллелограмм |
Площадь находим по формуле Пика. Формула нахождения |
Задача 5: Найдите площадь окрашенной фигуры, изображенной на клетчатой бумаге (рис.5) . Размер каждой клетки равен 1 см х 1 см.
|
Рисунок 5 – Фигура |
Разбиение комбинированных фигур на элементарные фигуры. Формула нахождения Sф = S1 + S2 + S3 |
Заключение
В процессе исследования я изучил много справочной литературы, побывал на сайтах, прочитал некоторые книги в электронном виде. Я рассмотрел различные многоугольники, заданные на клетчатой бумаге. Научился вычислять их площадь различными методами. Убедился в том, что универсальным методом можно считать метод Пика, поскольку он приемлем практически для любых многоугольников, независимо от расположения. Недостатком этого метода считаю неточность результата при сомнительном положении узлов квадратной решетки. Лежит ли узел внутри контура или на границе. Для себя выделил в качестве универсального метода «метод разности площадей элементарных фигур».
Поделился своими наблюдениями в созданной брошюре с надеждой, что мой труд будет интересен другим ученикам.
Навыки, полученные в результате работы над данной темой, буду применять в обычных жизненных ситуациях, а также при дальнейшем глубоком изучении геометрии как науки.
Список использованных источников литературы
Бутузов, В. Ф. Геометрия. 7 – 9 классы: учеб. для общеобразоват. организаций. – М.: Просвещение, 2016. – 383 с.
Смирнова, И. М. Геометрические задачи с практическим содержанием: Учеб. пособие / И.М.Смирнова, В.А. Смирнов. – 2-е изд., доп. – М.: МЦНМО, 2015. – 216 с.
Трошин, В. В.Занимательные дидактические материалы по математике. Сборник заданий. Выпуск 2. – М.: Глобус, 2008. – 288 с.
Интернет – ресурсы
Материалы сайта: http://kopilkaurokov.ru/matematika
Материалы сайта: http://www.edufuture.buz
Материалы сайта: http://www.matematikius.into
Приложение
Задача № 1: Найдите площадь комбинированной фигуры, изображенной на клетчатой бумаге (рис. 6) с размером клетки 1 см×1 см, используя формулу Пика.
Рисунок 6
Задача № 2: Найдите площадь комбинированной фигуры, изображенной на клетчатой бумаге (рис. 7) с размером клетки 1 см×1 см., см. используя метод сумм.
Рисунок 7
Задача № 3: Найдите площадь комбинированной фигуры, изображенной на клетчатой бумаге (рис. 8) с размером клетки 1 см×1 см, используя метод разности.
Рисунок 8
Задача № 4: Найдите площадь комбинированной фигуры, изображенной на клетчатой бумаге (рис. 9) с размером клетки 1 см×1 см. используя известные методы.
Рисунок 9
Задача № 5: Найдите площадь комбинированной фигуры, изображенной на клетчатой бумаге (рис. 10) с размером клетки 1 см×1 см известными способами нахождения площади.
Рисунок 10