IX Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Вычисления значений элементарных функций по схеме Горнера в электронных таблицах
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение.
Решение многих практических задач сводится к решению различных видов уравнений, которые необходимо научиться решать. Изучив схему Горнера и деление уголком можно научиться решать: уравнения, разложение многочлена на множители, а это позволит сократить дроби с многочленами, доказать, что многочлен делится на многочлен и т.д.
При решении уравнений нередко возникает необходимость разложить на множители многочлен, степень которого равна трем или выше. Конечно, можно выполнять деление многочленов столбиком, но есть правило, позволяющая проверить является ли данное число корнем многочлена. Для этого достаточно найти остаток от деления многочлена на двучлен. Эту операцию можно существенно упростить, если проводить вычисления по специальному алгоритму, называемому схемой Горнера.
Вычисление элементарных функций является одной из самых распространенных математических операций и имеет большое практическое значение. Под элементарными функциями понимается функция y=f(x), содержащее конечное число вычислительных операций, производимых над аргументом, зависимой переменной и некоторыми постоянными. Ранее вычисление значений элементарных функций выполнялись «вручную» по алгоритмической схеме с заполнением расчетных таблиц. В современных условиях можно использовать различные программные средства, например, электронные таблицы.
Объект исследования: автоматизация вычислительных процессов.
Предмет исследования: применение электронных таблиц для вычисления значений элементарных функций по схеме Горнера.
Цель работы: выявить возможность применения электронных таблиц для вычисления значений элементарных функций по схеме Горнера.
Задачи:
1. Уточнить понятие схемы Горнера.
2. Рассмотреть метод деления с помощью схемы Горнера.
3. Провести анализ задач с решениями по схеме Горнера.
4. Показать возможность применения электронных таблиц для вычисления значений элементарных функций по схеме Горнера.
Методы исследования: анализ литературы, сбор информации, обработка данных, анализ.
I. Теоретическое описание схемы Горнера
1.1 Схема Горнера
Схема Горнера (или правило Горнера, метод Горнера) — алгоритм вычисления значения многочлена, записанного в виде суммы мономов (одночленов), при заданном значении переменной. Метод Горнера позволяет найти корни многочлена, а также вычислить производные полинома в заданной точке. Схема Горнера также является простым алгоритмом для деления многочлена на бином вида . Метод назван в честь Уильяма Джорджа Горнера.
Пусть задан многочлен:
.
Пусть требуется вычислить значение данного многочлена при фиксированном значении . Представим многочлен в следующем виде:
.
Определим следующую последовательность:
…
…
Искомое значение Р(x0)=b0 . Покажем, что это так.
В полученную форму записи Р(x0) подставим х=x0 и будем вычислять значение выражения, начиная со внутренних скобок. Для этого будем заменять подвыражения через :
Использование схемы Горнера для деления многочлена на бином
При делении многочлена
на получается многочлен с остатком , при этом коэффициенты результирующего многочлена удовлетворяют рекуррентным соотношениям:
, .
При вычислениях применяют таблицу:
Таким же образом можно определить кратность корней (использовать схему Горнера для нового полинома). Так же схему можно использовать для нахождения коэффициентов при разложении полинома по степеням х-с:
1.2 Метод деления с помощью схемы Горнера
Рассмотрим решение уравнений высших степеней, используя метод деления с помощью схемы Горнера:
Если р0хn+p1xn-1+p2xn-2+…+pn-1x+pn=(b0xn-1+b1xn-2+…+bn-2x+bn-1)(x-a)+ r.
Для деления многочлена на двучлен х – а можно использовать схему Горнера. Суть этого приема для случая, когда делимое многочлен четвертой степени (что, впрочем, непринципиально).
Пусть р(х) = bх4 + сх3 +dx2 + ех + f. Разделив р(х) на х – а, получим
р(х) = (х - а)q(x) + r, где q(x) – некоторый многочлен третьей степени, коэффициенты которого нам пока неизвестны:
q(x) = kx3 + mx2 + nx + s. Итак, bх4 + сх3 +dx2 + ех + f = (kx3 + mx2 + nx + s)(х - а) + r. (1)
Раскрыв скобки в правой части тождества (1), получим:
bх4 + сх3 +dx2 + ех + f = kx4 + ( m – ka)x3 + (n – ma)x2 + (s – na)x + r – sa.
Воспользовавшись теоремой о тождественности двух многочленов (два многочлена р(х) и s(x) тождественны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую степень и коэффициенты при одноименных степенях переменной в обоих многочленах равны), приходим к следующей системе равенств:
b = k, c = m – ka, d = n – ma, e = s – na, f = r – sa.
Это значит, что неопределенные коэффициенты k, m, n, s, r связаны с известными коэффициентами a, b, c, d, e, f следующими соотношениями:
k = b;
m = ka + c;
n = ma + d;
s = na + e;
r = sa + f.
Эти соотношения удобно записать в виде следующей таблицы.
|
|
b |
c |
d |
e |
f |
|
a |
k = b |
m = ka + c |
n = ma + d |
s = na + e |
r = sa + f |
В верхней строке таблицы записаны коэффициенты делимого – заданного многочлена, а в первом столбце второй строки – заданное число а. В остальных столбцах второй строки последовательно получаются коэффициенты частного и остаток, при этом соблюдается следующий порядок ходов: во втором столбце второй строки записывается то же число, что во втором столбце первой строки; в третий столбец второй строки записывается число, равное сумме произведения числа из второго столбца второй строки на число а и числа, находящегося в третьем столбце первой строки; в четвертый столбец второй строки записывается число, равное сумме произведения числа из третьего столбца второй строки на число а и числа, находящегося в четвертом столбце первой строки; в пятый столбец второй строки записывается число, равное сумме произведения числа из четвертого столбца второй строки на число а и числа, находящегося в пятом столбце первой строки; в шестой столбец второй строки записывается число, равное сумме произведения числа из пятого столбца второй строки на число а и числа, находящегося в шестом столбце первой строки.
1.3 Правило отыскания коэффициентов неполного частного и остатка
1. Старший коэффициент частного равен старшему коэффициенту делимого.
2. Чтобы найти остальные коэффициенты надо к стоящему над ячейкой числу первой строки прибавить произведение α и предыдущего элемента второй строки.
3. В последней ячейке 2 строки под свободным членом делимого получается остаток от деления.
Для вычисления коэффициентов частного и остатка от деления многочлена на линейный двучлен x-s очень удобно использовать схему Горнера.
Заполняется таблица:
|
si |
|||||
|
an |
an-1 |
an-2 |
… |
a0 |
|
|
s |
an = bn |
an-1 +bn * s = bn-1 |
an-2 +bn-1 * s = bn-2 |
a0+b1 * s = b0 |
|
Полученные числа являются коэффициентами частного от деления многочлена на двучлен x-s, а - остатком. То есть,
II. Практическое применение схемы Горнера
2.1 Примеры задач с решениями
1. Разделить 5x4+5x3+x2−11 на x−1, используя схему Горнера.
Решение:
Составим таблицу из двух строк: в первой строке запишем коэффициенты многочлена 5x4+5x3+x2−11, расположенные по убыванию степеней переменной x. Заметьте, что данный многочлен не содержит x в первой степени, т.е. коэффициент перед x в первой степени равен 0. Так как мы делим на x−1, то во второй строке запишем единицу:
Начнем заполнять пустые ячейки во второй строке. Во вторую ячейку второй строки запишем число 5, просто перенеся его из соответствующей ячейки первой строки:
Следующую ячейку заполним по такому принципу: 1⋅5+5=10:
Аналогично заполним и четвертую ячейку второй строки: 1⋅10+1=11:
Для пятой ячейки получим: 1⋅11+0=11:
И, наконец, для последней, шестой ячейки, имеем: 1⋅11+(−11)=0:
Задача решена, осталось только записать ответ:
Как видите, числа, расположенные во второй строке (между единицей и нулём), есть коэффициенты многочлена, полученного после деления 5x4+5x3+x2−11 на x−1. Естественно, что так как степень исходного многочлена 5x4+5x3+x2−11 равнялась четырём, то степень полученного многочлена 5x3+10x2+11x+11 на единицу меньше, т.е. равна трём. Последнее число во второй строке (ноль) означает остаток от деления многочлена 5x4+5x3+x2−11 на x−1.
В нашем случае остаток равна нулю, т.е. многочлены делятся нацело. Этот результат ещё можно охарактеризовать так: значение многочлена 5x4+5x3+x2−11 при x=1 равно нулю.
Можно сформулировать вывод и в такой форме: так как значение многочлена 5x4+5x3+x2−11 при x=1 равно нулю, то единица является корнем многочлена 5x4+5x3+x2−11.
2. Найдите неполное частное, остаток от деления многочлена
А(х) = х3 – 2х2 + 2х – 1 на двучлен х – 1.
Решение:
|
|
1 |
– 2 |
2 |
–1 |
|
α = 1 |
1 |
–1 |
1 |
0 |
Ответ: Q(x) = х2 – х + 1 , R(x) = 0.
3. Вычислите значение многочлена А(х) при х = –1, если А(х) = х3 – 2х – 1.
Решение:
|
|
1 |
0 |
– 2 |
–1 |
|
α = –1 |
1 |
–1 |
–1 |
0 |
Ответ: А(–1) = 0.
4. Вычислите значение многочлена А(х) при х = 3, неполное частное и остаток, где
А(х)= 4х5 – 7х4 + 5х3 – 2х + 1.
Решение:
|
|
4 |
–7 |
5 |
0 |
–2 |
1 |
|
α = 3 |
4 |
5 |
20 |
60 |
178 |
535 |
Ответ: R(x) = A(3) = 535, Q(x) = 4х4 + 5х3 + 20х2 + 60х +178.
5. Найдите корни уравнения х3 + 4х2 + х – 6 = 0.
Решение:
Находим делители свободного члена ±1; ± 2; ± 3; ± 6
Здесь, а = 1 (х – 1 = х – а), а коэффициенты многочлена-делимого равны соответственно
1, 4, 1, – 6. Строим таблицу для применения схемы Горнера:
|
|
1 |
4 |
1 |
– 6 |
|
1 |
1 |
1 ∙ 1 + 4 = 5 |
5 ∙ 1 + 1 = 6 |
6 ∙ 1 + (– 6) = 0 |
Итак, коэффициенты частного – числа 1, 5, 6, а остаток r = 0. Значит,
х3 + 4х2 + х – 6 = (х – 1) (х2 + 5х + 6) = 0
Отсюда: х – 1 = 0 или х2 + 5х + 6 = 0;
х = 1, х1 = – 2; х2 = –3.
Ответ: 1, – 2, – 3.
2.2 Реализация схемы Горнера в электронной таблице EXCEL
Ранее вычисление значений элементарных функций выполнялись «вручную» по алгоритмической схеме с заполнением расчетных таблиц. В современных условиях можно использовать различные программные средства, например, электронные таблицы.
Рассмотрим задание: Используя схему Горнера, составить таблицу значений многочлена 0,883x51,217x4+1,452x3+0,572x2-2,343x+1,158 на отрезке [0,5; 2,0]; шаг h=0,25. Вычисления выполнять c точностью до 0,0001, ответ округлить до тысячных.
P(x)=0,883x5-1,217x4+1,452x3+0,572x2-2,343x+1,158
Для вычислений по схеме Горнера составим таблицу (рис. 1), содержащую все промежуточные результаты и значения искомого многочлена.
Рисунок 1
В верхней строке таблицы запишем коэффициенты ai данного многочлена, в первом столбце − значения аргумента х. Остальные строки содержат значения bi, которые в схеме Горнера находятся по единой формуле:
bi= bi-1x+ai (i=1, 2, 3, 4, 5); b0= a0
В последнем столбце таблицы получаются значения многочлена Р(х). Округляя их до тысячных долей, получим ответ (таблица 1).
Таблица 1
Для визуальзации полученных данных построим график (рис. 2).
Рисунок 2
Таким образом, схему Горнера можно использовать, если необходимо найти значение многочлена при заданном значении переменной. Если цель − найти все корни многочлена, то схему Горнера можно применять несколько раз. Схема Горнера очень красива своей простой и позволяет решать с повышенной точностью подобные уравнения. Использование схемы Горнера значительно упрощает вычисления, а также помогает эффективно подбирать корни.
Реализованная схема в электронной таблице Excel только ускоряет вычислительный процесс и позволяет проверять ошибки, которые были допущены вручную. Эффективнее использовать расчетную таблицу, используя технологии автозаполнения ячеек электронных таблиц, вместо того чтобы заполнять новые данные вручную.
Заключение
Решая поставленные задачи, вы выяснили, что схема Горнера (или правило Горнера, метод Горнера) — алгоритм вычисления значения многочлена, записанного в виде суммы мономов (одночленов), при заданном значении переменной. Метод Горнера позволяет найти корни многочлена, а также вычислить производные полинома в заданной точке. Схема Горнера также является простым алгоритмом для деления многочлена на бином вида . Метод назван в честь Уильяма Джорджа Горнера.
Схему Горнера можно использовать, если необходимо найти значение многочлена при заданном значении переменной. Если цель − найти все корни многочлена, то схему Горнера можно применять несколько раз. Схема Горнера очень красива своей простой и позволяет решать с повышенной точностью подобные уравнения. Использование схемы Горнера значительно упрощает вычисления, а также помогает эффективно подбирать корни.
Реализованная схема в электронной таблице Excel только ускоряет вычислительный процесс и позволяет проверять ошибки, которые были допущены вручную. Эффективнее использовать расчетную таблицу, используя технологии автозаполнения ячеек электронных таблиц, вместо того чтобы заполнять новые данные вручную.
Литература
Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. В 2 ч. Ч.1 Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень). А.Г. Мордкович. Изд. «Мнемозина», 2019.
Кострикин А.И. Введение в алгебру (в 3-х Т.Т.). – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001 – 2004.
Куликов Л.Я., Москаленко А.И., Фомин А.А. Сборник задач по алгебре и теории чисел. Просвещение, 1993. — 288 с.:
Нестеренко Ю.В. Теория чисел: учебник для студ. высш. учеб. заведений. – М.: Издательский центр “Академия”, 2018.
Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: Полный курс. – М.: Айрис-пресс, 2004. - 608 с.
Профильное обучение математике старшеклассников. Учебно-дидактический комплекс. – Новосибирск. Сиб. унив. изд-во, 2003.