Геометрические головоломки

IX Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке

Геометрические головоломки

Первушин В.И. 1
1МБОУ СОШ №125 с углублённым изучением математики
Первушина Н.А. 1
1МБОУ СОШ №125 с углублённым изучением математики
Автор работы награжден дипломом победителя I степени
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Введение

Геометрические головоломки – это то, чем я увлекаюсь последние несколько лет. Особенно меня привлекают 3D-головоломки. Например, кубик Рубика и различные его модификации. Поэтому я выбрал тему «Геометрические головоломки» для своей научной работы.

Моя работа проблемно-реферативная потому, что написана она на основании изучения нескольких источников с целью сопоставления имеющихся в них данных и формулировки собственного взгляда на проблему.

Цель исследования – изучение геометрических головоломок, их классификация, разработка буклета-путеводителя, а также создание своей 3D-модели головоломки.

Задачи исследования:

1. Изучить известные типы геометрических головоломок.

2. Научиться выполнять классификацию головоломок.

3. Предложить свою модель 3D-головоломки.

4. Оформить описание предложенной головоломки.

5. Оформить выполненную классификацию и своё предложение головоломки в виде буклета-путеводителя.

Гипотеза исследования: геометрических головоломок в мире огромное количество, но все они могут быть классифицированы по определённых признакам, а также сконструированы самостоятельно на основе нестандартных математических задач.

Актуальность исследования заключается в том, что у меня появилась возможность не только изучить известные геометрические головоломки, но и предложить свою модель 3D-головоломки. Разработанный в ходе выполнения творческого проекта буклет-путеводитель станет компактным и удобным средством для людей, увлекающихся головоломками.

Новизна исследования заключается в том, что на фоне множества сайтов и журналов после выполнения проекта появится новый небольшой буклет, с основной информацией о геометрических головоломках и моей 3D-моделью.

Методы исследования:

- поисковый (информация в сети Internet, журналы, домашняя коллекция головоломок);

- анализ и синтез (отбор самой нужной информации и обобщение);

- моделирование (создание своей модели).

Я работаю над научно-исследовательскими работами с 3-го класса, но такую творческую работу выполняю впервые. Результатами моего исследования, кроме буклета-путеводителя и 3D головоломки, являются новые знания, умения и навыки при составлении классификаций объектов, оформлении предложений по моделям, конструировании макетов и др.

1 Известные геометрические головоломки

К геометрическим головоломкам я отнёс такие головоломки, которые:

- внешне напоминают геометрическую фигуру на плоскости, или в пространстве (отрезок, круг, квадрат, куб, пирамида и др.);

- в состав головоломки входят фигуры меньшего размера, тоже геометрические, с помощью которых составляются новые фигуры;

- имеют поля, для расстановки других фигур, состоящих из клеток, линеек и др.;

- имеют в составе витые, дугообразные конструкции и узлы, которые нужно распутать.

- из простейшей геометрической фигуры (квадрат, прямоугольник) трансформируются в более сложные многоугольные фигуры.

В таблице А.1 Приложения А мною собраны геометрические головоломки, которые подходят под описанные выше условия отбора, а именно, их яркие примеры.

Изучив известные геометрические головоломки (см. Таблицу А.1 Приложения А), я выполнил их классификацию по разным признакам. Результат приведён в разделе 2.

2 Моя классификация головоломок

Для описания приведённых в Приложении А головоломок предлагаю следующую классификацию.

1) По расположению головоломки и её частей в пространстве:

- плоские (2D);

- объёмные (3D).

2) По принципу перемещения элементов головоломки:

- с механизмом движения;

- без механизма (ручные).

3) По принципу сборки:

- модульные;

- немодульные.

4) По принципу работы с головоломкой:

- сборные;

- иллюзорные;

- игровые.

5) По материалам, из которых изготовлена головоломка:

- дерево;

- бумага;

- пластмасса и др.

Классификацию по материалам, из которых головоломка изготовлена, я выполнять не стал, т.к. любую головоломку можно сделать из каждого из этих материалов, за исключением головоломки с узелками и металлических головоломок. Результат классификации, проведённой по данным таблицы А.1 Приложения А приведён ниже.

плоские – 2, 3, 4, 9, 12 – 16, 24, 26, 27, 29 (13 головоломок);

объёмные – 1, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 17 – 23, 25, 28, 30 (17 головоломок);

с механизмом движения – 1, 5, 7, 19 – 22, 30 (8 головоломок);

без механизма – 2, 3, 4, 6, 8 – 18, 23 – 29 (22 головоломки);

модульные – 1 – 11, 13 – 16, 18 – 22, 24, 28, 29, 30 (23 головоломки);

немодульные – 12, 17, 18, 23, 25, 26, 27 (7 головоломок);

сборные – 1 – 9, 11, 13 – 16, 18 – 24, 29,30 (23 головоломки);

иллюзорные – 17, 25 (2 головоломки);

игровые – 10, 12, 26, 27, 28 (5 головоломок).

Игровые головоломки, такие как: шахматы и шашки я отнёс к плоским головоломкам, т.к. передвижение фигур идёт на плоскости. Хотя сами фигуры объёмные (№12, №26, №27 в таблице А.1 Приложения А).

Иллюзорные головоломки сборки не требуют – это невозможные фигуры и лента Мёбиуса. Их нужно просто рассматривать и «ломать голову» над тем, как это получилось (№17 и №25 в таблице А.1 Приложения А).

Головоломки с механизмом движения – это различные кубики и змейка Рубика (№ 1, №5, №7, №19 – 22, №30 в таблице А.1 Приложения А)

На рисунке 1 схематично изображена классификация геометрических головоломок.

Рисунок 1 – Моя схема классификации геометрических головоломок

По рисунку 1 можно проанализировать любую из головоломок таблицы А.1 Приложения А. Например, головоломка №28: объёмная (3D), модульная, без механизма, игровая. Это головоломка – Ханойская башня.

3 Моя модель 3D-головоломки

3.1 Идея головоломки

В 5-м классе я с командой принимал участие в Межрегиональном турнире математических боёв в г. Челябинске «Вектор знаний».

В одном из боёв нам предстояло решить задачу:

«В сейфе лежат 13 белых прямоугольных параллелепипедов размером 1х1х2 и один кубик размером 1х1х1. Какое наименьшее число граней параллелепипедов надо покрасить чёрной краской, чтобы нельзя было составить белый снаружи куб размером 3х3х3?»

Ответ задачи такой: наименьшее число граней параллелепипедов, окрашенных чёрной краской – 2. Окрасить достаточно всего один параллелепипед. На рисунке 2 темным цветом показано, какие именно грани должны быть окрашены.

Рисунок 2 – Пример раскраски граней параллелепипеда

Из ответа данной задачи следует то, что если окрасить всего одну (из отмеченных на рисунке 2) грань у каждого из 13 параллелепипедов, то белый снаружи куб размером 3х3х3 составить будет можно, и способов сборки несколько. Эту идею я положил в основу разработки своей 3D головоломки под названием «Белый куб».

3.2 Изготовление головоломки

Для изготовления головоломки мне необходимы две развёртки объёмных геометрических фигур:

- куб размером 1х1х1;

- параллелепипед размером 1х1х2.

Данные развёртки показаны на рисунке 3. Инструкция по изготовлению головоломки «Белый куб» в домашних условиях приведена в таблице 1.

 

2 см

4 см

2 см

 

2 см

2 см

Рисунок 3 – Развёртки прямоугольного параллелепипеда и куба

Головоломка «Белый куб» состоит из 14 небольших частей, которые можно потерять или сломать, а саму головоломку собирать удобно так, чтобы она не рассыпалась. Поэтому было необходимо разработать под неё прозрачный платиковый контейнер. Инструкция по изготовлению контейнера приведена в таблице 2.

Таблица 1 – Инструкция по изготовлению головоломки «Белый куб»

Номер этапа

Название этапа

Действия и поясняющее фото

1

Материалы и инструменты

В ам понадобится два листа плотной бумаги формата А4 (для черчения), принтер с возможностью печать на плотной бумаге*, ножницы, клей-карандаш.

* - при отсутствии принтера, необходимо развёртки рисунка 4 начертить с помощью линейки и карандаша.

2

Изготовление деталей

(этап 1)

С помощью ножниц вырезать развёртки прямоугольного параллелепипеда (13 шт.) и куба (1 шт.), предварительно напечатанные с помощью принтера.

3

Изготовление деталей

(этап 2)

В се заготовки согнуть по линиям развёрток. С помощью клея-карандаша склеить прямоугольные параллелепипеды (13 шт.) и куб (1 шт.)

4

Окраска граней

деталей

Ч ёрным маркером либо чёрной краской (акварель, гуашь) окрасить у каждого прямоугольного параллелепипеда одну грань 1х1.

Таблица 2 – Инструкция по изготовлению контейнера

для головоломки «Белый куб»

Номер этапа

Название этапа

Действия и поясняющее фото

1

Материалы и инструменты

В ам понадобится один лист тонкого прозрачного пластика формата А4, ножницы, супер моментальный клей «Секунда».

2

Изготовление развёртки контейнера

С помощью шариковой ручки и линейки на листе пластика начертить развёртку куба, как показано на фото.

Размер грани куба – 6,4x6,4 см. Вырезать с помощью ножниц.

3

Изготовление контейнера

С вернуть развёртку контейнера по линиям сгиба. Склеить.

Изготовление головоломки окончено. На рисунках 4 а), б), в) и г) приведён пример сборки головоломки «Белый куб» с размещением деталей внутри контейнера.

а)

б)

в)

г)

Рисунок 4 – Пример размещения деталей головоломки внутри контейнера

4 Мой буклет – путеводитель

4.1 Понятия

Букле́т (англ. booklet — «книжечка») — вид печатной продукции, характерный для рекламной полиграфии, имеющей внешнюю схожесть с брошюрой. Представляет собой листы, скрепленные в корешке, или сфальцованный в два и более сгибов лист бумаги, на обеих сторонах которого размещена текстовая и/или графическая информация. Традиционно буклеты изготавливаются на бумаге из листа формата А4 или меньше [1].

Слово – путеводитель означает, что в моём буклете будет приведена схематично классификация головоломок, позволяющая ориентироваться в их разновидностях и выбрать для себя наиболее интересные головоломки.

4.2 Идея буклета-путеводителя

Буклет-путеводитель «Геометрические головоломки» будет представлять собой лист А4 с двумя сгибами. Во внутренней части буклета будет размещена информация из разделов 1 и 2 моего проекта, а на обороте будет приведено описание моей головоломки «Белый куб».

4.3 Изготовление буклета – путеводителя

Буклет-путеводитель изготовлен в стандартном текстовом редакторе Word в составе Microsoft Office 2016. Разработанный буклет приведён в Приложении Б.

5 Оценка себестоимости

Я выполнил оценку себестоимости головоломки, контейнера и буклета-путеводителя без учёта стоимости труда человека, т.к. изготавливал сам в домашних условиях. Результаты оценки приведены в Приложении В.

Заключение

В ходе выполнения научно-исследовательской работы «Геометрические головоломки» я изучил многие известные типы геометрических головоломок и научился выполнять их классификацию. Поскольку 3D-головоломки мне нравятся больше, чем 2D, я разработал свою головоломку «Белый куб» и изготовил её в домашних условиях. Я считаю, что данная головоломка подойдёт для развития пространственного мышления у младших школьников (2 – 5 класс).

Выполненную в работе классификацию головоломок, а также свою 3D-головоломку я оформил в виде буклета-путеводителя. Это небольшая красочная брошюра, в которой приведены изображения геометрических головоломок, их названия, а также указано к каком типу головоломок они относятся.

Гипотеза моего исследования подтверждена. Действительно, геометрических головоломок в мире огромное количество, но я сумел выделить общие признаки для их классификации. Самостоятельно предложил на основе нестандартной математической задачи и сконструировал 3D головоломку.

Себестоимость головоломки с контейнером – 97,26 руб., себестоимость буклета-путеводителя – 12,04 руб., изготовленных в домашних условиях.

Все поставленные передо мной задачи выполнены. Цель исследования достигнута.

Список использованных источников и литературы

1 Буклет. [Электронный ресурс]. URL:https://ru.wikipedia.org/wiki/Буклет (Дата обращения: 23.02.2020).

2 Задача об утроении фигур Пентамино. [Электронный ресурс]. URL: https://infourok.ru/prezentaciya_k_fakultativnomu_zanyatiyu_pentamino-539817.htm (Дата обращения: 08.02.2020).

3 Звёзчатый многогранник. // «Занимательные головоломки». Коллекция логических игр от DeFGOSTINI. Выпуск №1, 2012

4 Иллюзия. [Электронный ресурс]. URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/Иллюзия (Дата обращения: 08.02.2020).

5 Иллюзии. Балка Реутерсварда. [Электронный ресурс]. URL: http://illuzi.ru/node/384 (Дата обращения: 08.02.2020).

6 Мадагаскарские шашки. // «Занимательные головоломки». Коллекция логических игр от DeFGOSTINI. Выпуск №3, 2012

7 Овальный танаграм. // «Занимательные головоломки». Коллекция логических игр от DeFGOSTINI. Выпуск №10, 2012

8 Танграм. // «Занимательные головоломки». Коллекция логических игр от DeFGOSTINI. Выпуск №5, 2012

9 Ханойская башня. // «Занимательные головоломки». Коллекция логических игр от DeFGOSTINI. Выпуск №6, 2012

10 Четыре в ряд. Крестики-нолики в кубе. // «Занимательные головоломки». Коллекция логических игр от DeFGOSTINI. Выпуск №2, 2012

11 Шестигранная колючка. // «Занимательные головоломки». Коллекция логических игр от DeFGOSTINI. Выпуск №4, 2012

Приложение А

Таблица А.1 – Геометрические головоломки

Название

Изображение

Автор и год создания

Ссылка на источн.

1

Кубик Рубика

 

1974, Эрнё Рубик

https://ru.wikipedia.org/wiki/Кубик_Рубика

2

Танграм

 

Первое печатное упоминание о нём встречается в китайской книге, изданной в 1813 году

https://ru.wikipedia.org/wiki/Танграм, [8]

3

Пентамино

 

Пик популярности пришелся на конец 60-х годов

https://ot2do6.ru/247-pentamino.html

4

Стомахион

 

Архимед (287—212 годы до н. э.)

https://ru.wikipedia.org/wiki/Стомахион

5

Пираминкс

 

Головоломка была изобретена и запатентована в 1972 году (до изобретения кубика Рубика) немцем Уве Меффертом

https://ru.wikipedia.org/wiki/Пирамидка_Мефферта

6

Металличес-кие головоломки

 

Основной пик популярности приходится на 20-й век

Принцип головоломок – разделение на части.

https://cccstore.ru/catalog/golovolomki/hanayama-huzzle-cast-donuts/

7

Мегаминкс

 

Мегаминкс, или Волшебный додекаэдр (Magic Dodecahedron), был одновременно изобретён разными людьми и выпускался несколькими различными производителями с небольшими различиями в конструкции.

https://ru.wikipedia.org/wiki/Мегаминкс

8

Удивитель-ный многогранник

 

1571 – 1630 гг. Иоганн Кеплер после изучения пчелиных сот изобрёл головоломку.

https://ru.wikipedia.org/wiki/Малый_звёздчатый_додекаэдр#/media/Файл:Small_stellated_dodecahedron.png, [3]

Название

Изображение

Автор и год создания

Ссылка на источн.

9

Овальный танграм

 

«Колумбово яйцо» - второе название. 1879 г. братья Отто и Густо Лилиенталь.

http://nacekomie.ru/forum/viewtopic.php?f=73&t=5984, [7]

10

Крестики – нолики в кубе

 

В 1974 г. появилась игра «четыре в ряд».

http://partvork.ru/zanimatelnye-golovolomki-1-chetyre-v-ryad-krestiki-noliki-v-kube.html, [10]

11

Шестигранная «колючка»

 

В 1964 г. Билл Катлер изобрёл шестигранную «колючку».

http://nacekomie.ru/forum/viewtopic.php?t=3364, [11]

12

Магадаскар-ские шашки

 

XVII один из узников Бастилии во Франции.

http://nacekomie.ru/forum/viewtopic.php?f=73&t=3363, [6]

13

Монгольская игра

 

Старинная головоломка. Дата появления и автор неизвестны.

https://infourok.ru/tangram-kolumbovo-yayco-mongolskaya-igra-3914620.html

14

Головоломка Пифагора

 

Пифагор (570—490 гг. до н. э.)

http://pedagogic.ru/books/item/f00/s00/z0000010/st014.shtml

15

Волшебный круг

 

Старинная головоломка. Дата появления и автор неизвестны.

https://infourok.ru/schet-i-vichisleniya-v-predelah-3117601.html

16

Геометрические головоломки со спичками

 

Головоломки со спичками появились около 3 тысяч лет назад в Китае, задолго до появления самих спичек.

https://4brain.ru/blog/задачи-и-головоломки-со-спичками/

17

3D головоломки с невозмож-ными фигу-рами

 

Был открыт в 1934 году шведским художником Оскаром Реутерсвардом.

Мауриц Корнелис Эшер изобрёл невозможный куб середине 20-го века

https://ru.wikipedia.org/wiki/Невозможный_трезубец

https://ru.wikipedia.org/wiki/Треугольник_Пенроуза

https://ru.wikipedia.org/wiki/Невозможный_куб

Название

Изображение

Автор и год создания

Ссылка на источн.

18

Оригами

 

Древний Китай

https://www.adme.ru/tvorchestvo-dizajn/14-potryasayuschih-primerov-kotorye-pogruzyat-nas-v-mir-3d-origami-1295965/

19

Фишер куб

 

Тони Фишер – 80-е года

https://ruwix.com/twisty-puzzles/3x3x3-rubiks-cube-shape-mods-variations/fisher-cube/

20

Зеркальный куб

 

Зеркальный кубик - это довольно известная современная головоломка

https://cubemarket.ru/blog/kak-sobrat-zerkalnyj-kubik-rubika

21

2x2 – 33x33 кубы

 

2x2 – 17x17 – разные компании

33x33 – Greg Puzzles (напечатан на 3D принтере!)

https://zen.yandex.ru/media/id/59de27b255876b1befac465a/vidy-kubikov-rubika-ili-25-sposobov-sebia-razvlech-5a8033f0a8673134168a672e

22

Змейка Рубика

 

Эрнё Рубик, 70-е годы 20-го века

https://ru.wikipedia.org/wiki/Змейка_Рубика

23

Головоломки с узелками

 

Упоминания о веревочных головоломках были еще до нашей эры, например, знаменитый узел, оставленный потомкам фригийским царём Гордием.

https://ru.wikipedia.org/wiki/Верёвочные_головоломки

24

Разрезание клетчатой поверхности

 

Арабский астроном и математик из Хорасана Абу аль – Вефа( 940 – 998 н.э. )

https://otvet.mail.ru/question/187637830

25

Головоломки с лентой

 

Август Фердинанд Мёбиус и Иоганн Бенедикт Листинг в 1858 г.

https://ru.wikipedia.org/wiki/Лента_Мёбиуса

26

Шахматы

 

Истории шахмат около полутора тысяч лет. Старейшим предком шахмат является индийская игра чатуранга.

https://ru.wikipedia.org/wiki/Шахматы

Название

Изображение

Автор и год создания

Ссылка на источн.

27

Шашки

 

Достоверных сведений об изобретении шашек история не сохранила.

https://ru.wikipedia.org/wiki/Шашки

28

Ханойская башня

 

Эту игру придумал французский математик Эдуард Люка в 1883 году, её продавали как забавную игрушку.

https://ru.wikipedia.org/wiki/Ханнойская башня, [9]

29

Фрактальные головоломки (пазлы)

 

Бенуа Мандельброт, 1965 г.

https://ru.wikipedia.org/wiki/Фрактал

30

Куб Призрак

 

Автор этого куба (в оригинале Ghost Cube) - знаменитый изобретатель Adam G Cowan.

https://playlab.ru/toys/mefferts/GhostCube/

Приложение Б

Буклет-путеводитель «Геометрические головоломки»

Приложение В

Таблица Д.1 – Оценка себестоимости головоломки

№ п/п

Наименование материала

Стоимость упаковки, руб.

Кол-во в упаковке, шт.

Стоимость 1 шт.

Кол-во штук

Сумма расходов, руб

1

Бумага для черчения А4

58,00

24

2,42

3

7,26

2

Клей-карандаш Еrich krause, 8 г

30,00

1

30,00

1

30,00

ИТОГО:

37,26

Таблица Д.2 – Оценка себестоимости контейнера

№ п/п

Наименование материала

Стоимость упаковки, руб.

Кол-во в упаковке, шт.

Стоимость 1 шт.

Кол-во штук

Сумма расходов, руб

1

Пластик А4 для печати на принтерах

450,00

10

45,00

1

45,00

2

Моментальный клей «Секунда»

15,00

1

15,00

1

15,0

ИТОГО:

60,00

Таблица Д.3 – Оценка себестоимости буклета-путеводителя

№ п/п

Наименование материала

Стоимость упаковки, руб.

Кол-во в упаковке, шт./листов печати

Стоимость 1 шт.

Кол-во штук/листов печати

Сумма расходов, руб

1

Бумага A4 cactus CS-GA420050ED

282,00

50

5,64

1

5,64

2

Цветные картриджи для принтера

1280,00

200

6,40

1

6,4

ИТОГО:

12,04

Просмотров работы: 1720