IX Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Треугольник Рело
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
Я очень люблю математику, мне всегда было интересно решать математические задачи и находить разные способы решения. Мне нравится математика не только как интересный школьный предмет, но и как наука, которая недавно открылась мне с новой, совершенно неожиданной стороны. Я поняла, что её изучение пригодится в нашей жизни, наполненной различными наукоемкими технологиями.
На примере исследования треугольника Рело я хочу показать, насколько занимательна наука математика и как математические знания применяются в жизни человека. Возможно, это поможет проявить интерес школьников к изучению этого важного предмета.
Цель исследования.
Формирование представления о треугольнике Рело. Выяснить применение треугольника Рело в нашей жизни.
Гипотеза.
Треугольнику Рело присущи свойства круга и равностороннего треугольника, кроме того он обладает собственными свойствами, которые используются в различных отраслях деятельности человека.
Задачи исследования.
Собрать информацию о треугольнике Рело доступную для понимания учеников общеобразовательной школы.
Построить треугольник Рело в виде наглядного пособия.
При помощи наглядного пособия показать интересные свойства треугольника Рело.
Доказать, что треугольник Рело применяется в жизни человека.
Методы исследования.
Изучение, анализ и обобщение информации на данную тему на различных ресурсах.
Сбор необходимых материалов.
Создание наглядного пособия, демонстрирующего свойства треугольника Рело.
Глава 1.
Волшебство геометрии – треугольник Рело
Круглый треугольник, история.
Название фигуры треугольник Рело происходит от фамилии немецкого ученого в области теории механизмов и машин Франца Рело.
Франц Рело
Но он не является первооткрывателем «круглого треугольника», его именем назвали треугольник зато, что этот учёный подробно исследовал данную фигуру и изучил её свойства. А круглым треугольником эта фигура называется потому, что это треугольник, у которого стороны не прямые, а дуги окружности, к тому же он обладает свойствами круга.
Некоторые математики считают, что первым продемонстрировал идею треугольника из равных дуг окружностей Леонард Эйлер в XVIII веке. Тем не менее, такая фигура встречается ещё раньше. Примерно в 1514 году Леонардо да Винчи создал одну из первых карт мира. На ней поверхность земного шара была разделена экватором и двумя меридианами на восемь сферических треугольников, которые были показаны на плоскости карты треугольниками Рело (рис.1).
Рис. 1
А в XIII веке строители церкви Богоматери в Брюгге использовали треугольник Рело в качестве формы для окон (рис. 2).
Рис. 2
Но, именно Франц Рело подробно изучил свойства этого необычного треугольника и на основе своих исследований создал механизмы, которые оказали значительное влияние на развитие техники в будущем.
1.2. Построение треугольника Рело.
Построить треугольник Рело совсем несложно при помощи циркуля и линейки, но можно использовать только циркуль. Существует два способа построения.
Первый способ. С помощью одного только циркуля, не прибегая к линейке. Это построение сводится к последовательному проведению трёх равных окружностей. Центр первой окружности выбирается произвольно, далее чертим окружность с центром в любой точке первой окружности, а центром третьей окружности является любая из двух точек пересечения первых двух. Образовавшаяся негладкая замкнутая кривая АВС и есть треугольник Рело (рис. 3).
Рис. 3
Второй способ построения треугольника Рело – при помощи равностороннего треугольника. На каждой стороне треугольника при помощи циркуля нужно провести дугу окружности, радиусом равным длине стороны. Замкнутые дуги окружностей образуют фигуру треугольник Рело (рис. 4).
Рис. 4
1.3. Свойства треугольника Рело.
Треугольник Рело – это плоская выпуклая, простейшая после круга, геометрическая фигура постоянной ширины и значит, обладает всеми общими свойствами фигур этого класса.
Треугольник Рело обладает осевой симметрией. Он имеет три оси симметрии, каждая из которых проходит через вершину треугольника и середину противоположной дуги (рис. 5).
Рис. 5
Если к треугольнику Рело провести две параллельных опорных прямых, то независимо от выбранного направления расстояние между ними будет постоянным. Это расстояние называется шириной треугольника Рело. Треугольник Рело постоянно касается обеих прямых. Действительно, одна точка касания всегда расположена в одном из «углов» треугольника Рело, а другая – на противоположной дуге окружности. Значит, ширина всегда равна радиусу окружностей, т.е. длине стороны изначального правильного треугольника (рис. 6).
Рис. 6
С каждой из своих опорных (параллельных) прямых треугольник Рело имеет лишь по одной общей точке (рис. 7).
Рис. 7
Расстояние между двумя любыми точками треугольника Рело не может превышать его ширины d(рис. 8).
Рис. 8
Через любую точку границы треугольника Рело проходит, по крайней мере, одна опорная прямая. Отрезок, соединяющий точки касания двух параллельных опорных прямых к треугольнику Рело, перпендикулярен к этим опорным прямым (рис. 9).
Рис. 9
Треугольник Рело, как и любую другую фигуру постоянной ширины, можно вписать в квадрат, в котором треугольник Рело будет вращаться, постоянно касаясь всех четырёх сторон (рис. 10).
Рис. 10
Есть у треугольника Рело и своё, особенное свойство, его ещё называют экстремальным. Среди всех фигур постоянной ширины у треугольника Рело наименьшая площадь. Это утверждение носит название теоремы Бляшке – Лебега, по фамилиям немецкого геометра Вильгельма Бляшке, опубликовавшему теорему в 1915 году, и французского математика Анри Лебега, который сформулировал её в 1914 году. Доказательство этой теоремы не входит в задачи проекта, поэтому экстремальное свойство треугольника Рело показано наглядно, графически.
Фигура, обладающая противоположным экстремальным свойством – круг. Среди всех фигур постоянной ширины его площадь максимальна. Площадь соответствующего треугольника Рело меньше примерно на 10% (рис.11)
Рис. 11
Глава 2. Практическая часть
2.1. Изготовление наглядного пособия.
Для того чтобы демонстрировать основные свойства треугольника Рело было принято решение изготовить наглядное пособие в виде колес формы круглого треугольника соединенных попарно осью. И ещё изготовить пару колёс в виде обычного круга диаметром, равным высоте этих треугольных колес (рис. 12).
Рис. 12
Если собрать простейшую двухосную тележку на таких колесах, то прекрасно видно как она катится без каких-либо колебаний. Ещё нагляднее это можно подтвердить, поставив на эту тележку стакан с водой. При движении тележки поверхность воды остается ровной, без волн, что свидетельствует об отсутствии колебаний, а значит постоянстве ширины треугольника Рело, который по праву можно назвать «круглым треугольником». А если одну пару треугольных колес заменить обычными, то это свойство видно ещё нагляднее.
2.2. Треугольник Рело в архитектуре.
Несколько веков назад люди уже применяли форму треугольника Рело в архитектуре. Окна в форме треугольника Рело можно обнаружить в городе Брюгге на церкви Богоматери и на Соборе Святого Сальватора (рис.13).
Рис. 13
На церкви Святого Михаила, в Люксембурге, конструкция окна из двух дуг треугольника Рело образует характерную для готического стиля стрельчатую арку (рис. 14)
Рис. 14
Форма треугольника Рело встречается и в современной архитектуре, которая уже не относится к готическому стилю. Так в 2006 году, в Кёльне, был построен деловой центр. Это многоэтажное здание высотой 103 метра имеет в сечении форму треугольника Рело и получило название «Кёльнский треугольник» (рис. 15).
Рис. 15
А всемирно известная компания «Мерседес-Бенц» построила для широкой публики музей в городе Штудгарт. Здание этого музея основано на уникальной концепции в форме треугольника Рело (рис. 16).
Рис. 16
И даже внутри здания музея видна концепция треугольника Рело (рис. 17).
Рис. 17
2.3. Крышки для люков.
Мы привыкли видеть крышки для люков круглой формы, и это не случайно. Именно постоянная ширина круга не дает провалиться крышке внутрь люка, если её случайно уронить. Но в некоторых странах их делают в форме треугольника Рело, потому что он также как и круг является фигурой постоянной ширины, но при этом имеет меньшую площадь. Это позволяет экономить материал для его изготовления. Так, например, в городе Сан-Франциско крышки люков изготовлены в форме треугольника Рело (рис. 18).
Рис. 18
У нас крышки такой формы не встречаются. Вероятно, это связано с технологией их изготовления. Крышку круглой формы изготовить легче, чем крышку в форме треугольника Рело, и многие считают, что простота изготовления выше экономии.
2.4. Кинопроекторы.
В механике треугольник Рело применяется для построения различных устройств. Ярким примером такого устройства является грейферный механизм – один из узлов старинного кинопроектора «Луч-2» (рис. 19).
Рис. 19
В те времена, когда не было компьютеров, изображение на экранах кинотеатров получали при помощи плёнки и кинопроектора. Кинопроектор проецировал изображение с плёнки на большой экран, но при этом требовалось поочерёдное и быстрое перемещение кадров в объективе проектора. Для этого и был создан грейферный механизм, главная деталь которого выполнена в виде треугольника Рело, вращающегося в квадратной рамке (рис.20).
Рис. 20
2.5. Сверление квадратных отверстий.
Фраза просверлить отверстие в обычном понимании подразумевает проделать в чём-либо отверстие круглой формы но, при помощи треугольника Рело можно сверлить квадратные отверстия. Такое сверло в 1914 году изобрёл английский инженер Гарри Джеймс Уаттс. Сверло Уаттса представляет собой треугольник Рело, в котором прорезаны углубления для отвода стружки и заточены режущие кромки. В основе изобретения лежит свойство вписаться в квадрат, в котором треугольник Рело будет вращаться, постоянно касаясь всех четырёх сторон (рис. 21).
Рис. 21
2.6. Автомобильный двигатель.
Ещё один пример применения треугольника Рело можно найти в трудах немецкого инженера Феликса Ванкеля. Этот инженер разработал роторно-поршневой двигатель внутреннего сгорания (рис. 22).
Рис. 22
В рабочей камере этого двигателя по сложной траектории движется трёхгранный ротор-поршень – треугольник Рело. Двигатель получился небольших размеров, но при этом очень мощным. Разработку инженера Ванкеля внедрили в производство различные производители автомобилей. Самый известный автомобиль с таким двигателем – это модель RX-7 от японской фирмы Mazda (рис. 23).
Рис. 23
2.7. Треугольник Рело рядом с нами.
Применение треугольника Рело было обнаружено мной в повседневной школьной жизни. Это ручка для письма, приобретенная в магазине канцелярских товаров. Я обратила внимание на то, что для руки удобна именно треугольная форма ручки, так как мы её держим тремя пальцами, а постоянная ширина предмета добавляет комфорта. Получается, что треугольник постоянной ширины – идеальная форма для ручки.
Не зря некоторые производители ручек придают своему изделию форму треугольника Рело и по праву называют его «Набор ручек для правильного письма» (рис. 24).
Рис. 24
А если взять две таких ручки, сверху положить школьную линейку и прокатить по парте, то вы своей рукой ощутите всё волшебство круглого треугольника, и предмет математика покажется вам намного интереснее, чем вы думали.
Заключение
Изучив литературу, просмотрев видео материалы, я нашла большое количество областей, где возможно применение треугольника Рело и получила интересный результат. А заключается он в том, что применение данного треугольника в окружающем нас мире, может быть гораздо большем, чем можно подумать.
Очень познавательной оказалась информация о геометрических характеристиках, истории изобретения, а также сферах применения «круглого» треугольника и не только в технике, но и в архитектуре, литературе, музыке, машиностроении.
Выдвинутая мною гипотеза о свойствах этой фигуры, а также о применении этих свойств на благо человека нашла свое подтверждение.
Работая над проектом, я поняла, что, несмотря на то, что треугольник называют простейшей фигурой, он скрывает в себе еще много тайн, которые только предстоит разгадать ученым-математикам.
Литература
1.Электронный ресурс https://ru.wikipedia.org Треугольник Рело
2.Электронный ресурс https://www.etudes.ru/ru/etudes/reuleaux-triangle
3.Электронный ресурс youtube.com>watch?v=0m-HT5Gjckw