IX Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Математические фокусы без обмана
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
В современном мире существует много вариантов проведения свободного времени – посещение музеев, театров, библиотек, концертов и цирковых шоу, просмотр фильмов и развлекательных передач, настольные и компьютерные игры и многое другое. Я задал себе вопросы: «Но ведь так было не всегда? Как проводили время в давние времена? Что могло развлечь и удивить наших предков?». Ответы на эти вопросы я начал получать, работая над проектом «Математические развлечения» в рамках домашней индивидуальной работы по математике. Я работал с научно - популярной литературой, учебными пособиями следующих авторов: Я. И. Перельмана, В. В. Трошина, Б. А. Кордемского, Ф. Ф. Нагибина, Е. С. Канина, И. Я. Депмана, С. Н. Лабзовского.
В давние времена, когда не было ни телевидения, ни радио, ни Интернета, у наших предков одним из популярных развлечений были математические числовые фокусы. Оказывается, в те времена, умения выполнять обыкновенные математические действия над числами, знакомые теперь каждому ученику, составляло искусство образованных людей и казалось остальным удивительной способностью.
Цель:
Исследоватьматематическиефокусы
Задачи:
Изучить литературу и материалы Интернета по заявленной теме;
Выбрать наиболее популярные математические фокусы в давние времена;
Создать математический фокус;
Показать выбранные мною математические числовые фокусы для родных, друзей, одноклассников;
Выяснить «разгадки» рассмотренных математических фокусов.
Объект моего исследования: математические фокусы, основанные на свойствах натуральных чисел, действий над числами, математических законах.
Методы исследования
Работа с различными источниками информации, изучение и анализ, синтез полученной информации, практическое применение полученных мною знаний.
Новизна проекта
Математические фокусы можно использовать как форму досуга, так и стимул к изучению математики.
Практическая значимость
Математические фокусы развивают:
1) внимание
2) память
3) устный счет
4) сообразительность
5) логическое мышление
6) эрудицию.
Гипотеза: Математика – поучительная, интересная и занимательная наука.
Основная часть
Математический фокус в «Арифметике» Л.Ф.Магницкого
В книге «Занимательная арифметика» Я. И. Перельмана я нашел фокус, который был описан еще в «Арифметике» Леонтия Филипповича Магницкого, автора первого учебника по математике, вышедшем в России в 1703 г.
Это учебное пособие содержит начала знаний по математике тех времён: по арифметике, геометрии, алгебре и тригонометрии. Основную часть Магницкий посвящает арифметике, в конце книги содержится много различных таблиц по морскому делу. При правлении Петра I, именно тогда вышла в свет книга, в России происходил активный рост промышленности и торговли.
Россия нуждалась в образованных людях в значительно большем количестве, чем в предшествующие десятилетия. Создавались технические учебные заведения. В 1701 г. в Москве в Сухаревой башне одной из первых была открыта школа навигацких и математических наук. Для обучающихся в ней в первую очередь и создавалась книга Магницкого, по которой два столетия учились будущие офицеры армии и флота. Надо отметить, что «Арифметика» Магницкого была написана достаточно простым языком и стала пособием для всех русских людей, стремившихся к математическому образованию.
Об авторе этой замечательной книги известно немного. Леонтий Филиппович Магницкий родился 9 июня 1669 года, умер в 1739 году. Магницким он стал именоваться по велению Петра I, с которым они многократно беседовали о математических науках. Петр I считал, что своей учёностью Леонтий Филиппович притягивает отроков к обучению и к себе, как магнит. «Какое он имел прозвище до этого, то даже ближним его не известно», - читаем в раннем его жизнеописании.
Фокусы или как их называет Магницкий – забавы, составляют в его книге особый раздел (Приложение №1 ) «О утешных неких действах, чрез арифметику употребляемых», начинающихся с указания, что, следуя примеру арифметиков, автор помещает его в свою книгу для утехи и особенно для изощрения ума учащихся.
Самое поразительное для меня было то, что учебник содержит целую главу, посвященную исключительно «математическим забавам». И вот одна из них (Приложение №2).
Забава первая. Один из восьми человек берёт кольцо и надевает его на любой сустав одного из пальцев (рис. 1). Отгадывающий должен назвать у кого из восьми участников, на каком пальце и на каком суставе надето кольцо.
Рисунок 1
Пусть номер человека, у которого находится кольцо, будет «x», номер его пальца – «y», номер его сустава – «z». Выполним все указанные действия над числами x, y, z. Фокусник просит произвести следующие действия:
удвоить номер человека,
прибавить число 5 к полученному результату,
умножить на число 5 полученный результат,
прибавить еще номер пальца,
приписать к полученному числу справа 0,
прибавить номер сустава,
вычесть число 250.
Фокусник просит назвать результат. Узнаём результат.
В полученном числе сотни – это будет номер человека, десятки – номер пальца, единицы – это будет номер сустава.
А теперь, подробно рассмотрим алгоритм «забавы»:
x * 2 = 2x
2x + 5
(2x + 5) х 5 = 10x + 25
10x + 25 + y = 10x+ y+25
(10x + y +25) * 10 = 100x + 10y + 250
100x + 10y + 250 + z = 100x + 10y + z + 250
100x + 10y + z + 250 – 250 = 100x + 10y + z
Конечно, для произведения нужного эффекта, как я думал, необходимы актерские данные. Я тренировался. Но фактически все, что необходимо для разгадывания, называют зрители в конце фокуса.
Приведу описание этого же фокуса так, как пишет Я. И. Перельман в своей книге.
«Он же рече: кто либо от вас умножи оного, который взял через два, и к тому приложи пять, потом паки (снова) умножить через пять, также приложи перст на нем же есть перстень(то есть к полученному прибавь номер пальца с перстнем), а потом умножи через 10 и приложи сустав на нем же перстень взложен, и от сих произведенное число скажи им, по нему же искомое получиши. Они же твориша(поступили) яко же повеле им, умножаху четвертого человека, который взял перстень, и прочая вся, я же велеша им, яко же явленно есть( см. выкладки); из всего собрания пришло ему число 702, из него же он вычитал число 250, осталось 452, т.е. четвертый человек, пятый палец, второй сустав ».[1]
Математический фокус М. Ю. Лермонтова
Известный факт, что М. Ю. Лермонтов был большим любителем науки математики и в своих переездах из одного места службы в другое всегда возил с собой учебник математики.[6] Поэт часто пользовался «математической смекалочкой» [6], запросто решал математические задачи и с удовольствием демонстрировал своим сослуживцам математические фокусы на угадывание математических чисел. Сущность фокусов была в том, что задуманное число на одном из этапов, не сразу, поэт предлагал вычесть, и все математические действия сводились к действиям над названными им числами. Результат вычислений не зависел от задуманного числа. Он с лёгкостью отгадывал полученный результат.
Например, к задуманному числу требовалось прибавить 150. Из полученного результата вычесть 36, затем вычесть задуманное число, умножить полученный результат на 5 и разделить на 2. Итог вычислений 285. Эти действия можно описать с помощью следующих формул:
f+150,
f+150-36 = f+114,
f+114-f = 114,
114*5 = 570,
570:2 = 285.
Любопытные свойства чисел или математические фокусы
Итак, математические фокусы – особые свойства чисел или же магия чисел? Б. А. Кордемский пишет: «Математические фокусы появились вместе с возникновением математики уже как науки. Такие фокусы на неграмотных людей производили неизгладимое впечатление, а демонстраторам таких фокусов приписывались магические способности. Основной темой математических фокусов является угадывание задуманных чисел или результатов действий над ними. Весь секрет таких фокусов том, что «фокусник» знает и умеет использовать особые свойства чисел, а задумывающий этих свойств не знает. Математический интерес каждого фокуса и заключается в разоблачении его теоретических основ, которые в большинстве случаев довольно просты, но иногда бывают хитро замаскированы. Для обоснования большинства арифметических фокусов удобнее всего прибегнуть к алгебре».[4]
Я убедился, что математические фокусы – это фокусы без обмана. Здесь нет и доли мошенничества. Весь секрет или «разгадка» математического фокуса состоит в тщательном изучении и использовании «любопытных» свойств чисел, в близком знакомстве с их особенностями. Кто знает разгадку такого фокуса, тому всё представляется простым и ясным; а для не знающего математики и самое обычное действие кажется чем-то сверхъестественным.[1]
Разгадка большинства математических фокусов практически всегда достаточна проста.
Фокус 1.
Задумайте любую цифру от 1 до 9. Её умножьте на 37. Полученное умножьте на 3. Последнюю цифру произведения зачеркните, а оставшееся число разделите на первоначально задуманную цифру; остатка не будет.
У вас получилось число 11.
Разгадка.
Задуманное число умножалось сначала на 37, потом на 3. Но 37*3 = 111, а умножить цифру на 111 – значит составить число из трёх таких же одинаковых цифр (например, 7*37*3 = 777). Далее мы зачеркнули последнюю цифру и, следовательно, получили число из двух одинаковых цифр (77), которое, конечно, должно делиться на задуманную цифру и дать в частном 11.[3]
Фокус 2.
Если задумать двузначное число и приписать к нему справа то же число ещё раз, то у нас получится четырёхзначное число. Его мы делим на задуманное. Получаем частное без остатка, это важно. Все цифры частного сложите. У вас получилось 2. Если у вас другой ответ, то внимательно пересчитайте, проверьте свои вычисления и убедитесь, что ошиблись вы (так говорит фокусник), а не я. В чем разгадка?
Задумав двузначное число, например 38, мы писали его дважды кряду и получили число 3838. Такой же ответ мы получим, если умножим задуманное число 38 на 101. В самом деле, 38*101 = 3838. Зная это, отгадывающий уверен, что от деления такого четырёхзначного числа на задуманное число получится 101 и что, следовательно, сумма цифр частного (1+0+1) = 2. Как видите, первые два фокуса всего лишь основаны на свойствах чисел 111 и 101.[5]
Фокус 3.
Нужно угадать, какой день недели будет задуман. Дни недели начинаем считать с воскресенья: воскресенье – будем считать первым днём, день недели понедельник – вторым днём, и так далее. Седьмой день недели - это суббота. Играющие люди задумывают день и запоминают соответствующую ему цифру.
Далее выполняют следующие действия:
удвоить номер дня,
прибавить к полученному результату 5,
умножить на 5,
приписать 0 к полученному числу справа,
отнять 250.
В конце остаётся только разделить на 100 и получить результат – день недели.
Разгадка.
Пусть задуман четверг – пятый день. Отгадывающий предлагает участнику выполнить про себя следующие действия:
5*2 = 10,
10+5 = 15,
15*5 = 75.
Приписать к произведению в конце 0 – получится 750.
Загадывающий отнимает 250, получится 750-250 = 500.
Этот результат он должен назвать отгадывающему, который делит про себя полученное число на 100. День недели вычислен.
Алгоритм данного фокуса можно представить в виде:
а*2 = 2а
(2а+5) *5*10 – 250 = 100*а +250 -250 = 100а,
100а : 100 = а.[7]
Фокус 4 (мой собственный).
Задумайте любое натуральное число, к своему задуманному числу прибавьте круглое число 100. Из полученного результата надо вычесть 40, затем вычесть и само задуманное число, умножить вами полученный результат на 10 и разделить на 6. Итог вычислений – внимание - 100!
Эти действия опишем так:
f+100,
f+100-40 = f+60,
f+60-f = 60,
60*10 = 600,
600:6 =100.
Заключение
Изучение математических фокусов оказалось интересным и полезным для меня занятием. В основе каждого математического числового фокуса лежит какая-либо особенность чисел, поэтому знакомство с такими фокусами не только поучительно, но и занимательно, что очень важно для современного школьника.
Работая над проектом, я пришел к выводу, что математические фокусы – очень наглядная форма демонстрации математических законов.
При рассмотрении «разгадки» математических фокусов и при создании собственного фокуса я применил знания по математике: воспользовался распределительным свойством умножения относительно действий сложения и вычитания, привел подобные слагаемые, использовал рациональные приемы при умножении и делении натуральных чисел.
Свой проект я представил на школьном конкурсе проектов и получил высокую оценку ребят и своего наставника. Фокусы, представленные в проекте, я показал друзьям, своей семье, научил одноклассников (Приложение №3). Таким образом, я достиг своей цели и выполнил все задачи, поставленные перед собой.
Моя гипотеза подтвердилась. Математика – поучительная, интересная и занимательная наука, а фокусы – гимнастика для ума в развлекательной форме. С их помощью тренируется память, обостряется сообразительность, вырабатываются настойчивость, способность логически мыслить, анализировать и сопоставлять.
Список используемой литературы:
Занимательная арифметика / Я. И. Перельман – Москва: Издательство АСТ – 2018. – 269, [3] с.: ил. – (Простая наука для детей)
Занимательный мир математики / Р. Вайблун. – Спб.: Дельта, 208 с., ил.
Магия чисел и фигур. Занимательные материалы по математике / авт.-сост. В. В. Трошин. – М.: Глобус, 2007. – 382 с.: ил. (Учение с увлечением)
Математическая смекалка / Б. А. Кордемский. - М., Физматгиз, 1963 г., 568 стр. с илл.
Математическая шкатулка: Пособие для учащихся 4 – 8 кл. сред. шк. – 5-е изд. / Ф. Ф. Нагибин, Е. С. Канин. – М.: Просвещение, 1988. – 160 с.: ил.
Рассказы о математике / И. Я. Депман – Л.: Детгиз, 1954 г. - 145 с.
Семь старух идут в Рим… : кн. о математике / С. Н. Лабзовский. – М. : Мнемозина, 2010. – 191 с.
Самая большая электронная читалка Рунета https://bookree.org/reader?file=567924&pg=405.
Дата обращения: 5 января 2020 г.
ПРИЛОЖЕНИЯ
Приложение №1
Страница из «Арифметики» Л.П.Магницкого
«О утешных неких действах, чрез арифметику употребляемых»
Приложение №2
Страница из «Арифметики» Л.П.Магницкого
с описанием числового фокуса
Приложение №3
Представление математических фокусов для одноклассников