Математика – гимнастика ума

IX Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке

Математика – гимнастика ума

Новиков И.В. 1
1Забайкальский краевой лицей-интернат
Ульзутуева С.А. 1
1ГОУ Забайкальский краевой лицей-интернат
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Введение

 

Устный счёт – в настоящее время очень редкое явление. Немногие школьники хотят или умеют считать в уме, особенно выполнять умножение двузначных чисел и т.д., так как существуют всевозможные современные устройства (калькуляторы, компьютеры, гаджеты, девайсы), способные делать сложные арифметические вычисления. Умение правильно и быстро считать используется в различных областях повседневной жизни: медицине, строительстве, бизнесе, в быту, но помимо применения идёт и развитие внимательности, наблюдательности, инициативы, мышления, т.е. развитие мыслительной деятельности личности. В процессе выполнения проекта были самостоятельно установлены правила умножении двузначных чисел, оканчивающихся на 1, на 2, на 3, на 4, на 5. Приведена таблица, обобщающая полученные результаты.

Во все времена математика была и остается одним из основных предметов в школе, потому что с математикой мы встречаемся каждый день в своей жизни. Каждый школьник, понимает, что математика необходима для решения многих жизненных задач: расчёты в магазине, оплата за коммунальные услуги, планирование семейного бюджета и т.д. Сейчас, на этапе стремительного развития информатики и вычислительной техники, современные школьники не хотят утруждать себя устным счётом.

Заинтересовавшись историей появления устного счёта, я узнал, что многие великие учёные ещё будучи детьми проявляли математические способности и подмечали закономерности, облегчающие решение различных примеров и задач. Феномен быстрого счёта в уме встречались у таких знаменитых людей, как Карл Гаусс, Андрей Николаевич Колмогоров и другие. Их называют феноменальными счётчиками.

При решении примеров на умножение различных и одинаковых двузначных чисел я узнал, что ранее были выявлены правила умножения двузначного числа на 11, а также умножения двух одинаковых чисел, оканчивающихся на 5. Меня, в свою очередь, заинтересовало, можно ли выявить закономерности умножения одинаковых двузначных чисел, оканчивающихся на 1, на 2, на 3 и на 4, а также разных двузначных чисел, заканчивающихся на 1, на 2, на 3, на 4, на 5.

Цель работы: выявить закономерности двузначных чисел при умножении.

Задачи:

проанализировать учебную и популярную литературу, а также литературу по истории математики;

выяснить какие закономерности существуют при умножении чисел;

разработать правила умножения двузначных чисел на 1, на 2, на 3, на 4, на 5.

Объект: процесс умножения двузначных чисел.

Предмет: закономерности умножения двузначных чисел, оканчивающиеся на 1, на 2, на 3, на 4, на 5.

Методы:

анализ литературы и сайтов по теме проекта;

решение примеров на умножение двузначных чисел.

В процессе выполнения проекта были выявлены закономерности, полученные при умножении двузначных чисел, оканчивающихся на 1, на 2, на 3, на 4, на 5. Приведена обобщающая таблица результатов.

Математика – гимнастика ума

Научная статья

Математика – один из сложных предметов школьной программы. Не зря говорят, что «математика– царица наук, арифметика – царица математики» (К. Ф. Гаусс). Основная сложность, наверное, в том, что немногие хотят или умеют считать в уме, это и понятно, потому что развитие современной вычислительной техники прогрессирует. Машина считает во много раз быстрее и точнее человека, но не стоит забывать, что «математику уже затем учить надо, что она ум в порядок приводит» (М. В. Ломоносов). Умение считать в уме развивает не только математические способности, но и внимательность, память, мышление, т.е. то, что необходимо для развития личности.

В процессе работы над проектом я узнал, что есть люди, которых называют феноменальными счётчиками. Их феномен заключается в особых способностях в устном счёте. Среди известных советских людей-счётчиков: Андрей Колмогоров, Давид Гольдштейн, Александр Некрасов, Арон Чиквашвили, Игорь Шелушков и другие. Среди зарубежных – Андре Ампер, Карл Гаусс и т.д. Особенно меня заинтересовала история о удивительной способности Карла Гаусса считать устно.

Крупнейший немецкий математик Карл Гаусс (1777-1855), обучаясь в третьем классе, столкнулся с такой задачей: нужно было найти сумму всех натуральных чисел от единицы до ста. Есть ещё одна версия: в классе было около ста учеников и, соответственно, очень шумно, поэтому учитель предложил сосчитать сумму ста чисел:

81 297+81 495+81 693+…+100 899,

где каждое слагаемое на 198 больше предыдущего. Решение первого из приведенных примеров К. Гаусс написал ответ учителю, едва только тот договорил последние слова формулировки задачи. Решение было не только правильным, но и оригинальным. Гаусс заметил, что сумма каждой пары, которые отстоят одинаково от концов записанного выражения, равна 101 (1+100, 2+99, 3+98 и т.д.). А таких пар, по рассуждению мальчика, в два раза меньше, чем слагаемых, т.е. 50. Выходит, что искомая сумма равна 10150 = 5050 [1]. Также в раннем возрасте математикой был увлечен советский математик Андрей Николаевич Колмогоров. В пятилетнем возрасте он самостоятельно подметил такую закономерность:

1 = 12; 1+3 = 22; 1+3+5 = 32; 1+3+5+7 = 42 и т.д.[2].

Заразившись их положительными примерами, и недавно научившись выполнять умножение в столбик, я подумал нельзя ли придумать правила умножения двузначных чисел, используя только устный счёт.

При решении примеров на умножение различных и одинаковых двузначных чисел, я узнал, что ранее была выявлены правила умножения двузначного числа на 11. Мне было очень интересна особенность, что при умножении двузначного числа на 11 число десятков и единиц мысленно раздвигаем, и между ними вставляем сумму этих цифр. Например, 1511=165. Ещё один прием при умножении двух одинаковых чисел, оканчивающихся на 5. На конце записи числа всегда стоит 25, а впереди пишем результат, полученный при умножении цифры десятков на следующую цифру, используемую при счете. Например, 4545=2025. Можно быстро перемножить и числа вида и . В результате умножения последние две цифры произведения образуют число 24, а предыдущие цифры произведения получаются точно также как при умножении одинаковых чисел, оканчивающихся на 5. Например, 8486=7224.

Меня, в свою очередь, заинтересовало, можно ли быстро выполнить умножение одинаковых двузначных чисел, оканчивающихся на 1, на 2, на 3 и на 4, а также разных двузначных чисел, заканчивающихся на 1, на 2, на 3, на 4, на 5.

Итак, умножение одинаковых двузначных чисел, оканчивающих на 1.

Вывод был получен после решения следующих примеров:

 

1

1

       

2

1

       

3

1

         

4

1

 
 

1

1

       

2

1

       

3

1

         

4

1

 

 

1

1

     

 

2

1

     

+

 

3

1

     

   

4

1

 

1

1

 

     

4

2

 

     

9

3

 

     

1

6

4

 

 
 

1

2

1

       

4

4

1

     

 

9

6

1

       

1

6

8

1

 
                                                     
   

5

1

         

6

1

         

7

1

           
   

5

1

         

6

1

         

7

1

           

   

5

1

     

   

6

1

     

   

7

1

           

2

5

5

 

     

3

6

6

 

     

4

9

7

 

           
 

2

6

0

1

       

3

7

2

1

       

5

0

4

1

           
                                                     
   

8

1

         

9

1

                           
   

8

1

         

9

1

                           

   

8

1

     

   

9

1

                           

6

4

8

 

     

8

1

9

 

                           
 

6

5

6

1

       

8

2

8

1

                           

Видно, что в конце результата вычисления всегда цифра 1. Вторая цифра получалась следующим образом,

То есть просматривается таблица умножения на 2. Первая цифра получалась в процессе произведения цифр десятков. В результате получили:

.

Аналогично выполняется умножение одинаковых двузначных чисел, оканчивающих на 2.

Вывод был получен после решения следующих примеров:

 

1

2

       

2

2

       

3

2

         

4

2

 

1

2

       

2

2

       

3

2

         

4

2

 

2

4

     

 

4

4

   

   

6

4

     

   

8

4

1

2

 

     

4

4

 

   

 

9

6

 

     

1

6

8

 

 

1

4

4

       

4

8

4

     

1

0

2

4

       

1

7

6

4

                                                   
   

5

2

         

6

2

         

7

2

         
   

5

2

         

6

2

         

7

2

         

 

1

0

4

     

 

1

2

4

     

 

1

4

4

         

2

6

0

 

     

3

7

2

 

     

5

0

4

 

         
 

2

7

0

4

       

3

8

4

4

       

5

1

8

4

         
                                                   
   

8

2

         

9

2

                         
   

8

2

         

9

2

                         

 

1

6

4

     

 

1

8

4

                         

6

5

6

 

     

8

2

8

 

                         
 

6

7

2

4

       

8

4

6

4

                         

В конце результата вычисления всегда стоит цифра 4. Вторая цифра получалась следующим образом,

Т.е. таблица умножения на 4. Первая цифра получалась в процессе произведения цифр десятков. В результате получили:

.

Аналогично выполняется умножение одинаковых двузначных чисел, оканчивающих на 3.

Вывод был получен после решения следующих примеров:

 

1

3

       

2

3

       

3

3

         

4

3

 

1

3

       

2

3

       

3

3

         

4

3

 

3

9

     

 

6

9

     

+

 

9

9

     

 

1

2

9

1

3

 

     

4

6

 

     

9

9

 

     

1

7

2

 

 

1

6

9

       

5

2

9

     

1

0

8

9

       

1

8

4

9

                                                   
   

5

3

         

6

3

         

7

3

         
   

5

3

         

6

3

         

7

3

         

 

1

5

9

     

 

1

8

9

     

 

2

1

9

         

2

6

5

 

     

3

7

8

 

     

5

1

1

 

         
 

2

8

0

9

       

3

9

6

9

       

5

3

2

9

         
                                                   
   

8

3

         

9

3

                         
   

8

3

         

9

3

                         

 

2

4

9

     

 

2

7

9

                         

6

6

4

 

     

8

3

7

 

                         
 

6

8

8

9

       

8

6

4

9

                         

В конце результата вычисления всегда цифра 9. Вторая цифра получалась следующим образом,

То есть получается таблица умножения на 6. Первая цифра получалась в процессе произведения цифр десятков. В результате получили:

.

Сложнее выполнялось умножение одинаковых двузначных чисел, оканчивающихся на 4.

Вывод был получен после решения следующих примеров:

 

1

4

       

2

4

       

3

4

         

4

4

 

1

4

       

2

4

       

3

4

         

4

4

 

5

6

     

 

9

6

   

+

 

1

3

6

     

 

1

7

6

1

4

 

     

4

8

 

   

1

0

2

 

     

1

7

6

 

 

1

9

6

       

5

7

6

     

1

1

5

6

       

1

9

3

6

                                                   
   

5

4

         

6

4

         

7

4

         
   

5

4

         

6

4

         

7

4

         

 

2

1

6

     

 

2

5

6

     

 

2

9

6

         

2

7

0

 

     

3

8

4

 

     

5

1

8

 

         
 

2

9

1

6

       

4

0

9

6

       

5

4

7

6

         
                                                   
   

8

4

         

9

4

                         
   

8

4

         

9

4

                         

 

3

3

6

     

 

3

7

6

                         

6

7

2

 

     

8

4

6

 

                         
 

7

0

5

6

       

8

8

3

6

                         

В конце результата всегда стоит цифра 6. Так как 44=16, то число 1 десятков переходит в следующий разряд. Вторая цифра получается следующим образом,

То есть просматривается таблица умножения на 8. Первая группа цифр получается в результате умножения цифр десятков данных чисел. В результате получили:

.

Рассмотрим умножение различных двузначных чисел, оканчивающихся на 1.

Вывод был получен после решения следующих примеров:

 

1

1

       

2

1

       

3

1

         

4

1

 

2

1

       

3

1

       

5

1

         

9

1

 

1

1

     

 

2

1

     

 

3

1

     

   

4

1

 

2

2

         

6

3

       

5

5

         

3

6

9

 
 

2

3

1

       

6

5

1

     

1

5

8

1

       

3

7

3

1

                                                   
   

5

1

         

6

1

         

7

1

         
   

6

1

         

4

1

         

2

1

         

   

5

1

     

   

6

1

     

   

7

1

         
 

3

0

6

         

2

4

4

         

1

4

2

           
 

3

0

1

1

       

2

5

0

1

       

1

4

9

1

         
                                                   
   

8

1

         

9

1

                         
   

7

1

         

8

1

                         

   

8

1

     

   

9

1

                         
 

5

6

7

         

7

2

8

                           
 

5

7

5

1

       

7

3

7

1

                         

Последняя цифра вычисления – всегда 1. Вторая цифра получалась сложением цифр десятков, а первая цифра – произведением цифр десятков. В результате получили:

Аналогично, рассмотрим умножение различных двузначных чисел, оканчивающихся на 2.

Вывод был получен после решения следующих примеров:

   

1

2

       

2

2

       

3

2

         

4

2

       
   

2

2

       

3

2

       

5

2

         

9

2

       
 

 

2

4

     

 

4

4

   

+

   

6

4

     

   

8

4

       
   

2

4

         

6

6

     

1

6

0

         

3

7

8

         
   

2

6

4

       

7

0

4

     

1

6

6

4

       

3

8

6

4

       
                                                             
     

5

2

         

6

2

         

7

2

                 
     

6

2

         

4

2

         

2

2

                 
 

 

1

0

4

     

 

1

2

4

     

 

1

4

4

                 
   

3

1

2

         

2

4

8

         

1

4

4

                   
   

3

2

2

4

       

2

6

0

4

       

1

5

8

4

                 
                                                                                                       
                                                             
     

8

2

         

9

2

                                 
       

7

2

           

8

2

                                 
 

 

1

6

4

     

 

1

8

4

                                 
   

5

7

4

         

7

3

6

                                   
   

5

9

0

4

       

7

5

4

4

                                 
                                                     

Последняя цифра результата вычисления всегда цифра 4. Вторая цифра получалась удвоенным сложением цифр десятков, а первая цифра – произведением цифр десятков.

В результате получили:

Аналогично, рассмотрим умножение различных двузначных чисел, оканчивающихся на 3.

Решим следующие примеры:

 

1

3

       

2

3

       

3

3

         

4

3

 

2

3

       

4

3

       

2

3

         

9

3

 

3

9

     

 

6

9

         

9

9

     

 

1

2

9

 

2

6

         

9

2

         

6

6

         

3

8

7

 
 

2

9

9

       

9

8

9

       

7

5

9

       

3

9

9

9

                                                   
   

5

3

         

6

3

         

7

3

         
   

6

3

         

4

3

         

2

3

         

 

1

5

9

     

 

1

8

9

     

 

2

1

9

         
 

3

1

8

         

2

5

2

         

1

4

6

           
 

3

3

3

9

       

2

7

0

9

       

1

6

7

9

         
   

8

3

         

9

3

                         
   

7

3

         

8

3

                         

 

2

4

9

     

 

2

7

9

                         
 

5

8

1

         

7

4

4

                           
 

6

0

5

9

       

7

7

1

9

                         

Последняя цифра результата вычисления всегда цифра 9. Вторая цифра получалась утроенным сложением цифр десятков, а первая цифра - произведением цифр десятков.

В результате получили:

Аналогично, рассмотрим умножение различных двузначных чисел, оканчивающихся на 4.

Решим следующие примеры:

 

1

4

       

2

4

       

3

4

         

4

4

 

2

4

       

3

4

       

5

4

         

9

4

 

5

6

     

 

9

6

     

1

3

6

     

 

1

7

6

 

2

8

         

7

2

         

7

0

         

3

9

6

 
 

3

3

6

       

8

1

6

     

1

8

3

6

       

4

1

3

6

   

5

4

         

6

4

         

7

4

         
   

6

4

         

4

4

         

1

4

         

 

2

1

6

     

 

2

5

6

     

 

2

9

6

         
 

3

2

4

         

2

5

6

           

7

4

           
 

3

4

5

6

       

2

8

1

6

       

1

0

3

6

         
                                                   
   

8

4

         

9

4

                         
   

7

4

         

8

4

                         

 

3

3

6

     

 

3

7

6

                         
 

5

8

8

         

7

5

2

                           
 

6

2

1

6

       

7

8

9

6

                         

В конце результата вычисления всегда цифра 6, но 44=16. Вторая цифра получалась учетверенным сложением цифр десятков плюс один, а первая цифра - произведением цифр десятков.

В результате получили:

В результате выполнения примеров на умножение разных двузначных чисел, оканчивающихся на 5.

 

1

5

       

2

5

       

3

5

         

4

5

 

2

5

       

3

5

       

4

5

         

6

5

 

7

5

     

1

2

5

   

 

1

7

5

     

 

2

2

5

3

0

 

     

7

5

 

   

1

4

0

 

     

2

7

0

 

 

3

7

5

       

8

7

5

     

1

5

7

5

       

2

9

2

5

                                                   
   

5

5

         

6

5

         

7

5

         
   

7

5

         

8

5

         

9

5

         

 

2

7

5

     

 

3

2

5

     

 

3

7

5

         

3

8

5

 

     

5

2

0

 

     

6

7

5

 

         
 

4

1

2

5

       

5

5

2

5

       

7

1

2

5

         
                                                   
   

8

5

         

9

5

                         
   

3

5

         

3

5

                         

 

4

2

5

     

 

4

7

5

                         

2

5

5

 

     

2

8

5

 

                         
 

2

9

7

5

       

3

3

2

5

                         

Получилась следующая закономерность:

Заключение

В результате были приведены следующие таблицы 1 и 2, обобщающие и систематизирующие выше сказанное.

Таблица 1 – Умножение двузначных чисел

Одинаковые числа

 

Разные числа

 

на

1

 
 

на

2

 
 

на

3

 
 

на

4

 
 

на

5

 

Таблица 2 – Умножение двузначных чисел вида на 11.

   
   

В результате проделанной работы я понял, что числа и действия над ними таят в себе много интересного и неизведанного. В дальнейшем я планирую, посмотреть другие закономерности на 6, на 7 и т.д.

Используемая литература

Минковский В.Л. За страницами учебника математики. Пособие для учащихся 6 класса. М.:Прсвещение,1966. – 118 с.

Петраков И.С. Математические кружки в 8-10 классах: Кн. для учителя. М.:Просвещение,1987. – 224 с.

Творогов А.В. Цифровые вертушки в игровом методе обучения сложению// Проблемы управления качеством образования: сборник статей VII Всероссийской научно- практической конференции / МНИЦ ПГСХА. – Пенза: ПГСХА, 2012 г. – с. 72–79.

Творогов А.В. «Компьютер на пальцах» в игровом методе изучения таблицы умножения // Проблемы управления качеством образования: сборник статей VII Всероссийской научно- практической конференции / МНИЦ ПГСХА. – Пенза: ПГСХА, 2012 г. – с. 72–79.

http://pro444.ru/uspeh/sposoby-bystrogo-ustnogo-umnozheniya-chisel.html.

Просмотров работы: 230