IX Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Площадь фигур на решетке
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
Цель проекта: исследовать вопрос о нахождении площадей фигур на квадратной и треугольной решетке.
Задачи:
Исследовать вопрос о нахождении площадей фигур на квадратной решетке различными способами.
Применить удобный способ для вывода формулы нахождения площади квадратов и прямоугольников на решетке.
Определить, каким числом может выражаться площадь такой фигуры.
Решить аналогичные задачи для правильных треугольников на треугольной решетке.
Определить, насколько хорошо умеют учащиеся различных классов находить площади фигур на квадратной решетке. Проверить измениться ли результат после ознакомления их с результатами работы.
В ходе выполнения работы были рассмотрены четыре способа нахождения площадей фигур на квадратной решетке. С помощью способа дополнения выведены формулы для нахождения площадей квадратов, прямоугольников на квадратной решетке, для нахождения площадей правильных треугольников на изометрической сетке, сделан вывод, что площадь квадрата на квадратной решетке и площадь правильного треугольника на изометрической сетке может выражаться не любым натуральным числом. Существуют квадраты с разной базой, площади которых равны. При написании работы я использовал идеи, описанные в статье «Косые квадраты» авторов А. Сгибнева и Д. Шноль. При этом самостоятельно исследовал вопрос о треугольниках, прямоугольниках и написал соответствующие программы на языке КуМир.
1. Различные способы нахождения площадей на решетке
Р ассмотрим различные способы нахождения площадей фигур на квадратной решетке. Первый способ - использование формулы. Например, площадь прямоугольника можно найти по формуле S=a·b, а площадь треугольника можно найти по формуле S=(a·h):2. Второй способ – посчитать клеточки. Третий способ – разбить фигуру на части. Площадь фигуры равна сумме площадей ее частей. Найдем площадь фигуры(рис.1), разбив её на два прямоугольника. Получаем S=2·2+2·6=16. Четвертый способ – дополнить до простой фигуры. Надо дополнить сложную фигуру до простой фигуры(рис.2). Находим площадь большого прямоугольника и отнимаем площадь маленького прямоугольника. Пятый способ - формула Пика. S=В + Г: 2 − 1, где В — количество целочисленных точек внутри многоугольника, а Г — количество целочисленных точек на границе многоугольника. Например, площадь фигуры (рис.3) S=7+20:2-1=16.
2. Площадь фигур на квадратной решетке
Р ассмотрим квадраты и прямоугольники, вершины которых находятся в узлах решетки. Используем терминологию, описанную в статье «Косые квадраты» авторов А. Сгибнева и Д. Шноль. Прямым квадратом(рис.4) назовем квадрат, стороны которого лежат на линиях решетки. Косым квадратом назовем квадрат(рис.5), стороны которого не лежат на линиях решетки. Косой квадрат можно получить с помощью прямоугольных треугольников с катетами a и b. Назовем такой косой квадрат квадратом с базой (a, b). Рассмотрим различные способы нахождения площадей квадратов на квадратной решетке. Площадь прямого квадрата со стороной a находим по формуле S=a·a=а2. Таким образом, площадь квадрата является квадратом натурального числа.
|
a |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
|
S |
1 |
4 |
9 |
16 |
25 |
36 |
49 |
64 |
81 |
100 |
121 |
144 |
169 |
196 |
235 |
П лощадь косого квадрата найдем способом дополнения до простой фигуры (рис. 5). Сначала надо найти площадь большого квадрата и отнять от нее площади прямоугольников, которые образуются из прямоугольных треугольников катетами a и b(рис.6). Получается формула
S=(a+b)²-2ab=a²+2ав+b2-2ав=a²+b2.
Таким образом, площадь косого квадрата равна сумме квадратов двух натуральных чисел. В приложении 1 представлена таблица площадей косых квадратов.
Д ля вычисления площадей прямых и косых квадратов напишем программу №1 на языке КуМир. Эта программа представлена в приложении 2. Таким образом, в результате работы программы можно заметить, что существуют квадраты с разными базами, которые имеют одинаковую площадь. Например, площадь квадрата с базой (10, 0) равна площади квадрата с базой (6, 8); площадь квадрата с базой (4, 7) равна площади квадрата с базой (1, 8) (рис.6).
Определим, каким числом может выражаться площадь квадрата. Занесем в таблицу числа от 1 до 100 и выделим желтым цветом ячейки с числом, которым не может выражаться площадь квадрата.
|
1 |
5 |
9 |
13 |
17 |
21 |
25 |
29 |
33 |
37 |
41 |
45 |
49 |
53 |
57 |
61 |
65 |
69 |
73 |
77 |
81 |
85 |
89 |
93 |
97 |
|
2 |
6 |
10 |
14 |
18 |
22 |
26 |
30 |
34 |
38 |
42 |
46 |
50 |
54 |
58 |
62 |
66 |
70 |
74 |
78 |
82 |
86 |
90 |
94 |
98 |
|
3 |
7 |
11 |
15 |
19 |
23 |
27 |
31 |
35 |
39 |
43 |
47 |
51 |
55 |
59 |
63 |
67 |
71 |
75 |
79 |
83 |
87 |
91 |
95 |
99 |
|
4 |
8 |
12 |
16 |
20 |
24 |
28 |
32 |
36 |
40 |
44 |
48 |
52 |
56 |
60 |
64 |
68 |
72 |
76 |
80 |
84 |
88 |
92 |
96 |
100 |
Аналитически можно доказать, что площадь квадрата не может выражаться числом, которое при делении на 4 дает остаток 3.
Исследуем вопрос о нахождении площадей прямоугольников на квадратной решетке. Рассмотрим прямоугольники, стороны которых лежат на линиях решетки (рис.7). Площадь таких прямоугольников легко найти по формуле S=a·b, где а и в длины сторон прямоугольника. Получаем, что площадь может выражаться любым натуральным числом, так как одно из измерений можно взять за единицу, а второе измерение – любое натуральное число. Косые прямоугольники на квадратной решетке получаются из косых квадратов с базой (а; в) путем увеличения их сторон в несколько раз (рис.8). Чтобы найти площадь косого прямоугольника нужно умножить площадь исходного косого квадрата на некоторое натуральное число n. Получается формула S=n· (a²+b2).
3. Площадь фигур на изометрической решетке
Р ассмотрим равносторонние треугольники на треугольной решетке. Площадь будем измерять в единичных треугольниках. Прямым равносторонним треугольником назовем треугольник стороны, которого лежат на линиях решетки. Площадь такого треугольника можно найти умножив сторону на себя то есть S=а·а=а². Действительно, S1=1, S2=1+3=4=22, S3=1+3+5=9=32,…, Sa=1+3+5+…+2а-1=(1+2a-1)·0,5a=2a·0,5a=a². Косым равносторонним треугольником назовем треугольник, стороны которого не лежат на линиях решетки. Такие треугольники удобно получать, вписывая их в прямые треугольники. Для этого сторону каждого прямого треугольника разделим в одинаковом отношении. Полученные точки и будут вершинами косого треугольника. Чтобы найти площадь косого треугольника нужно отнять от площади описанного треугольника площади трех равных треугольников. Площадь одного такого треугольника равна a·b, а таких треугольников 3, значит площадь трех треугольников равна 3ab. Получаетсяформула
S=(a+b)²-3ab=a²+2ab+b²-3ab=a²+b²-ab.
В приложении 3 представлена таблица площадей косых треугольников. Для вычисления площадей прямых и косых треугольников напишем программу №2. Программа представлена в приложении 4.
Занесем в таблицу числа от 1 до 60 и выделим желтым цветом числа, которыми не может выражается площадь косого треугольника.
|
1 |
5 |
9 |
13 |
17 |
21 |
25 |
29 |
33 |
37 |
41 |
45 |
49 |
53 |
57 |
|
2 |
6 |
10 |
14 |
18 |
22 |
26 |
30 |
34 |
38 |
42 |
46 |
50 |
54 |
58 |
|
3 |
7 |
11 |
15 |
19 |
23 |
27 |
31 |
35 |
39 |
43 |
47 |
51 |
55 |
59 |
|
4 |
8 |
12 |
16 |
20 |
24 |
28 |
32 |
36 |
40 |
44 |
48 |
52 |
56 |
60 |
Можно предположить, что площадь треугольника не может выражаться числом, которое при делении на 4 дает остаток 2. Докажем это утверждение.
а=4n , b=4m. S=(4n)2+(4m)2-4n·4m=16n2+16m2-16mn. Остаток при делении на четыре равен нулю. R=0.
а=4n , b=4m+1. S=(4n)2+(4m+1)2-4n·(4m+1)=16n²+16m²+8m-16nm-4n+1. R=1.
а=4n , b=4m+2. S=(4n)2+(4m+2)2-4n·(4m+2)=16n²+16m²+16m-16mn-8n+4. R=0.
а=4n , b=4m+3. S=(4n)2+(4m+3)2-4n·(4m+3)=16n²+16m²+24m-16mn-12n+9.R=1.
а=4n+1, b=4m+1. S=(4n+1)2+(4m+1)2-(4n+1)(4m+1)=16n²+16m²+4m+4n-16mn+1.R=1.
а=4n+1, b=4m+2. S=(4n+1)2+(4m+2)2-(4n+1)(4m+2)=16n²+16m²+12m-16mn+3.R=3.
а=4n+1 , b=4m+3. S=(4n+1)2+(4m+3)2-(4n+1)(4m+3)=16n²+16m²+20m-4n+7.R=3.
а=4n+2 , b=4m+2. S=(4n+2)2+(4m+2)2-(4n+2)(4m+2)=16n²+16m²+8m+8n-16mn+4.R=0.
а=4n+2 , b=4m+3. S=(4n+2)2+(4m+3)2-(4n+2)(4m+3)=16n²+16m²+16m+4n-16nm+7.R=3.
а=4n+3 , b=4m+3. S=(4n+3)2+(4m+3)2-(4n+3)(4m+3)=16n²+16m²+12m+12n-16nm+9.R=1.
4. Нахождение площадей фигур на решетке учениками разных классов
Для учащихся 4, 7, 10 классов я подготовил эксперимент для того, чтобы определить, насколько хорошо умеют учащиеся различных классов находить площади фигур на квадратной решетке и проверить, измениться ли результат после ознакомления их с результатами моей работы. Ученикам было предложено найти площади прямого квадрата, косого квадрата, прямоугольника, косого прямоугольника, остроугольного и тупоугольного треугольника. Задание представлено в приложении 5. Полученные результаты я поместил в таблицу, которая представлена в приложении 6. Несмотря на то, что в каждой параллели результат улучшился, вопрос о нахождении площади фигур вызывает у учеников трудности и даже в 10 классе не все ребята могут найти площадь косого квадрата, прямоугольника, треугольника.
Заключение.
В ходе работы я изучил разные способы нахождения площадей фигур на квадратной решетке: с помощью формулы, посчитать клеточки, разбить на части, дополнить сложную фигуру до простой фигуры, с помощью формулы Пика. Наиболее удобным способом для вывода формулы нахождения площади квадратов и прямоугольников на решетке оказался способ дополнения. Вывел формулу площади косого квадрата с базой (а; в) на квадратной решеткеS=a²+b2. В случае прямого квадрата одно из слагаемых равно нулю. Площадь прямоугольника на решетке можно посчитать по формуле S=n· (a²+b2). Сделал вывод, что площадь квадрата на квадратной решетке не может выражаться числом, которое при делении на 4 дает остаток 3. Существуют квадраты с разной базой, площади которых равны. Была получена формула нахождения площади правильного прямого треугольника со стороной а на треугольной решеткеS=a2 и формула для нахождения площади косого правильного треугольника с базой (а; в) S=a2+b2-ab. В результате сделан вывод, что площадь правильного треугольника не может выражаться числом, которое при делении на четыре дает остаток два.
Литература.
Журнал «Математика», Издательский дом «Первое сентября», №1, 01. 2017
Геометрия. 7-9 классы: учеб.для общеобразоват. организаций./Л.С.Атанасян [и др.]. – М.:Просвещение, 2013.-383с.
Приложение 1. Значения площадей косых квадратов.
|
a/b |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
|
1 |
2 |
5 |
10 |
17 |
26 |
37 |
50 |
65 |
82 |
101 |
122 |
145 |
170 |
|
2 |
5 |
8 |
13 |
20 |
29 |
40 |
53 |
68 |
85 |
104 |
125 |
148 |
173 |
|
3 |
10 |
13 |
18 |
25 |
34 |
45 |
58 |
73 |
90 |
109 |
130 |
153 |
178 |
|
4 |
17 |
20 |
25 |
33 |
41 |
52 |
65 |
80 |
97 |
116 |
137 |
160 |
185 |
|
5 |
26 |
29 |
34 |
42 |
50 |
61 |
74 |
89 |
106 |
125 |
146 |
169 |
194 |
|
6 |
37 |
40 |
45 |
53 |
61 |
72 |
85 |
100 |
117 |
136 |
157 |
180 |
205 |
|
7 |
50 |
53 |
58 |
65 |
74 |
85 |
98 |
113 |
130 |
149 |
170 |
193 |
218 |
|
8 |
65 |
68 |
73 |
80 |
89 |
100 |
113 |
128 |
145 |
164 |
185 |
208 |
233 |
|
9 |
82 |
85 |
90 |
97 |
106 |
117 |
130 |
145 |
162 |
181 |
202 |
225 |
250 |
|
10 |
101 |
104 |
109 |
116 |
125 |
136 |
149 |
164 |
181 |
200 |
221 |
242 |
267 |
|
11 |
122 |
125 |
130 |
137 |
146 |
157 |
170 |
185 |
202 |
221 |
242 |
265 |
290 |
|
12 |
145 |
148 |
153 |
160 |
169 |
180 |
193 |
208 |
225 |
244 |
265 |
288 |
313 |
|
13 |
170 |
173 |
178 |
185 |
194 |
205 |
218 |
233 |
250 |
269 |
290 |
313 |
338 |
Приложение 2. Программа для вычисления площадей прямых и косых квадратов.
Поскольку площади квадратов с базой (а, в) и (в, а) равны, в программе потребуем в≥а. Тогда программа будет считать только площади неравных квадратов.
алг
нач
.цел а,в,s
.нц для а от0до15
..нц для в от а до15
...s:=а*а+в*в
...выводs, " "
..кц
..вывод нс
.кц
кон
Результат работы программы.
0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 196 225
2 5 10 17 26 37 50 65 82 101 122 145 170 197 226
8 13 20 29 40 53 68 85 104 125 148 173 200 229
18 25 34 45 58 73 90 109 130 153 178 205 234
32 41 52 65 80 97 116 137 160 185 212 241
50 61 74 89 106 125 146 169 194 221 250
72 85 100 117 136 157 180 205 232 261
98 113 130 149 170 193 218 245 274
128 145 164 185 208 233 260 289
162 181 202 225 250 277 306
200 221 244 269 296 325
242 265 290 317 346
288 313 340 369
338 365 394
392 421
450
Первая строка содержит последовательность площадей прямых квадратов (в=0). Остальные строки – последовательности площадей косых квадратов (в=1,2…15).
Приложение 3. Значения площадей косых треугольников.
|
a/b |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
|
1 |
1 |
3 |
7 |
13 |
21 |
31 |
43 |
57 |
|
2 |
3 |
4 |
7 |
12 |
19 |
28 |
39 |
52 |
|
3 |
7 |
7 |
9 |
13 |
19 |
27 |
37 |
49 |
|
4 |
13 |
12 |
13 |
16 |
21 |
28 |
37 |
48 |
|
5 |
21 |
19 |
19 |
21 |
25 |
31 |
39 |
49 |
|
6 |
31 |
28 |
27 |
28 |
31 |
36 |
43 |
52 |
|
7 |
43 |
39 |
37 |
37 |
39 |
43 |
49 |
57 |
|
8 |
57 |
49 |
49 |
48 |
49 |
52 |
57 |
64 |
Приложение 4. Программа для вычисления площадей прямых и косых треугольников.
алг
нач
.цел а,в,s
.нцдля а от0до15
..нцдля в от а до15
...s:=а*а+в*в-а*в
...выводs
..кц
..выводнс
.кц
Кон
Результат программы.
0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 196 225
1 3 7 13 21 31 43 57 73 91 111 133 157 183 211
4 7 12 19 28 39 52 67 84 103 124 147 172 199
9 13 19 27 37 49 63 79 97 117 139 163 189
16 21 28 37 48 61 76 93 112 133 156 181
25 31 39 49 61 75 91 109 129 151 175
36 43 52 63 76 91 108 127 148 171
49 57 67 79 93 109 127 147 169
64 73 84 97 112 129 148 169
81 91 103 117 133 151 171
100 111 124 139 156 175
121 133 147 163 181
144 157 172 189
169 183 199
196 211
225
Приложение 5. Задание на нахождение площадей фигур на квадратной решетке.
Приложение 6. Таблица результатов выполнения работы на нахождение площадей фигур на квадратной решетке.
|
I |
II |
III |
IV |
V |
VI |
|
|
4 класс (до) |
25% |
0% |
17% |
0% |
0% |
0% |
|
4 класс (после) |
72% |
4,5% |
100% |
25% |
17% |
0% |
|
7 класс (до) |
85,5% |
9% |
81% |
31,5% |
18% |
18% |
|
7 класс (после) |
85,5% |
9% |
85,5% |
36% |
22,5% |
31,5% |
|
10 класс (до) |
100% |
40% |
85% |
65% |
55% |
15% |
|
10 класс (после) |
100% |
60% |
100% |
80% |
70% |
55% |
15