Теоремы Чевы и Менелая

IX Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке

Теоремы Чевы и Менелая

Устяхин С.А. 1
1МБОУ "Бейская СОШИ"
Овчинникова Н.Ю. 1
1МБОУ "Бейская СОШИ"
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Введение

Геометрия за то и прославляется, что

заимствовав извне столь мало

основных положений,

она столь многого достигает.

Исаак Ньютон

Геометрия - одна из наиболее древних математических наук. Она предполагает систематическое изучение свойств геометрических фигур на плоскости, формирование пространственных представлений, развитие логического мышления и подготовку аппарата, необходимого для изучения смежных дисциплин и курса стереометрии. Геометрические задачи, в отличие от алгебраических, не всегда удается решить по какому-либо алгоритму, тут для успешного решения требуется не только знание всех теорем, лемм и аксиом, но и пространственное и логическое мышление, интуиция и опыт. Важно уметь замечать различные особенности фигур, делать выводы из замеченных особенностей, предвидеть возможные дополнительные построения, облегчающие анализ задачи.

Одним из интереснейших и самым сложным разделов геометрии справедливо считается геометрия треугольника. Треугольники изучаются на протяжении всего курса планиметрии. Их изучение начинается с признаков равенства треугольников, центральное место курса занимают метрические

соотношения в треугольниках, рассматривается серия теорем о «замечательных точках» в треугольниках, изучаются подобные треугольники.

Многие ученые, такие как: Пифагор, Фалес Милетский и др., изучали геометрию на протяжении всей своей жизни. Все они доказали теоремы, которые используются нами для решения множества задач , в том числе и задач о треугольниках . Это теоремы: теорема Пифагора, теорема Фалеса ,теорема косинусов и т.д.

Но в геометрии треугольника много и таких теорем, авторы которых остались в истории науки только «благодаря треугольникам». Речь идет о двух таких теоремах – теореме Чевы и теореме Менелая. Теоремы Чевы и Менелая можно назвать «двойственными» они, похоже, формулируются и доказываются. Изучая их, я увидел геометрию с новой, неожиданной стороны: интересные задачи, новые факты, тонкое построение.

Предмет исследования: теоремы Чевы и Менелая.

Объект исследования: учащиеся 8-х классов МБОУ «Бейская СОШИ», учащиеся 11 класса МЮОУ «Бейская СОШИ», учителя математики МБОУ «Бейская СОШИ»

Гипотеза:

Знание теорем Чевы и Менелая один из способов простого и изящного решения сложных планиметрических задач.

Цель:

ознакомиться с теоремами Чевы и Менелая ;

исследовать способы доказательства теорем;

Задачи исследования:

расширить кругозор знаний по геометрии;

провести исследование среди обучающихся 8-х МБОУ «Бейская СОШИ».

проверить эффективность применения теорем при решении задач по сравнению с другими теоремами;

Актуальность темы:

Данная тема является дополнением изученных в курсе геометрии. Применение опыта решения задач с использованием различных теорем помогает повысить уровень пространственного воображения.

Методы исследования:

источниковедческий анализ литературы;

математическая обработка данных;

поиск и решение задач по данной теме;

обобщение.

I. Теоретическая часть

I. I «Замечательные точки треугольника»

Прежде чем перейти к доказательству теорем я начну с замечательных точек треугольника. К числу таких точек, изучаемых в школьном курсе геометрии, относятся:

а) точка пересечения биссектрис (центр вписанной окружности), которая находится внутри треугольника;

б) точка пересечения высот (Для остроугольного треугольника ортоцентр находится внутри треугольника, а в тупоугольном – вне.)

в) точка пересечения медиан , которая находится внутри треугольника.

г) точка пересечения серединных перпендикуляров (центр описанной окружности).

Тот факт, что все три отрезка пересекаются в одной точке, можно доказать при рассмотрении двух теорем, а именно: Теоремы Менелая и Чевы.

I. Теоретическая часть

I. II Теорема Чевы

Д жованни Чева - итальянский математик и инженер, доказавший теорему Чевы о геометрии треугольника.

Основной заслугой является

построение учения о секущих, которое положило

начало новой

синтетической геометрии. Оно изложено в сочинении

«О взаимопересекающихся прямых».

Сформулируем теорему.

Пусть дан треугольник ABC и на его сторонах AB, BC и AC

отмечены точки C1, A1 и B1
соответственно (рис. 1).
а) Если отрезки 1, BB1 и 1 пересекаются в одной точке, то

(1)
б) Если верно равенство , то отрезки 1, BB1 и 1 пересекаются в одной точке. На рисунке изображен случай, когда отрезки 1, BB1 и 1 пересекаются в одной точке
внутри треугольника. Это так называемый случай внутренней точки. Теорема Чевы
справедлива и в случае внешней точки, когда одна из точек А1, B1 или С1 принадлежит
стороне треугольника, а две другие — продолжениям сторон треугольника. В этом случаеточка пересечения отрезков 1, BB1 и 1 лежит вне треугольника .

Как запомнить равенство Чевы?

Обратим внимание на прием запоминания равенства (1). Вершины треугольника в каждом отношении и сами отношения записываются в направлении обхода вершин треугольника ABC, начиная с точки A. От точки A идем к точке B, встречаем точку С1, записываем дробь Далее от точки В идем к точке С, встречаем точку А1, записываем дробь . Наконец, от точки С идем к точке А, встречаем точку В1, записываем дробь . В случае внешней точки порядок записи дробей сохраняется, хотя две «точки деления» отрезка оказываются вне своих отрезков. В таких случаях говорят, что точка делит отрезок внешним образом. Отметим, что любой отрезок, соединяющий вершину треугольника с любой точкой прямой, содержащей противоположную сторону треугольника

называют чевианой. Сейчас мы рассмотрим один способ доказательств теорем: с помощью теоремы о пропорциональных отрезках .

Доказательство утверждения а) с помощью теоремы о пропорциональных отрезках

Пусть три чевианы AA1, BB1 и CC1 пересекаются в точке О внутри
треугольника ABC.
Идея доказательства заключается в том, чтобы отношения отрезков из равенства заменить отношениями отрезков, лежащих на одной прямой.
Через точку В проведем прямую, параллельную чевиане СС1. Прямая АА1 пересекает
построенную прямую в точке М, а прямая, проходящая через точку C и параллельная АА1,
— в точке Т. Через точки А и С проведем прямые, параллельные чевиане ВВ1. Они
пересекут прямую ВМ в точках N и R соответственно.
По теореме о пропорциональных отрезках имеем:

и


Тогда справедливы равенства
=

В параллелограммах OСTM и OСRВ отрезки TM, СOи
ВR равны как противоположные стороны параллелограмма. Следовательно, и верно равенство

Утверждение а) теоремы Чевы доказано

Доказательство утверждения б) с помощью леммы

Теперь, чтобы доказать утверждения б) мы будем использовать
следующую лемму:

Л емма 1. Если точки С1 и С2 делят отрезок ABвнутренним (или внешним) образом в одном и том же отношении, считая от одной и той же точки, то эти точки совпадают.

Пусть теперь верно равенство . Докажем, что отрезки AА1, BB1 и CС1 пересекаются в одной точке.(рис.8)

Рис.8

Пусть чевианы АА1 и ВВ1 пересекаются в точке O , проведем через эту точку отрезок CС22 лежит на отрезке AB). Тогда на основании утверждения а) получаем верное равенство

(2)

Из сравнения равенств (1) и (2) заключаем, что , т. е. точки С1 и С2 делят отрезок AB в одном и том же отношении, считая от одной и той же точки. Из леммы 1 следует, что точки С1 и С2 совпадают. Это означает, что отрезки 1, BB1 и 1 пересекаются в одной точке, что и требовалось доказать.

Утверждение б) доказано.

I. Теоретическая часть

I. III Теорема Менелая

Менелай Александрийский - древнегреческий математик и астроном. Время его жизни и деятельности определяется приведёнными в «Алмагесте» Птолемея двумя астрономическими наблюдениями, которые Менелай произвёл в Риме в первом году царствования Траяна, то есть в 98 году н. э. Главное сочинение Меналая — «Сферика» в трёх книгах, в которой он доказал теорему Менелая.

Сформулируем теорему.

Пусть дан треугольник ABC и на его сторонах AC и отмечены точки B1 и A1 соответственно, а на продолжении стороны AB отмечена точка C1.
а) Если точки А1, B1 и С1 лежат на одной прямой, то

(3)

б) Если верно равенство (3), то точки А1, B1 и С1 лежат на одной прямой.

Как запомнить равенство Менелая?

Вершины треугольника в каждом отношении и сами отношения записываются в направлении обхода вершин треугольника ABC — от вершины к вершине, проходя через точки деления От точки A идем к точке B1, встречаем точку С, записываем дробь Далее от точки Cидем к точке A1 , встречаем точку B, записываем дробь . Наконец, от точки Bидем к точке C1, записываем дробь .

Доказательство утверждения а) с помощью теоремы о пропорциональных отрезках

Рис.10

I). Идея доказательства заключается в замене отношений длин отрезков в равенстве (3) отношениями длин отрезков, лежащих на одной прямой..Пусть точки А1, B1 и С1 лежат на одной прямой. Через точку C проведем прямую СМ, параллельную прямой А1B1, она пересекает прямую АB в точке M.(рис.10)

По теореме о пропорциональных отрезках имеем:

Тогда верны равенства:

Утверждение а) теоремы Менелая доказано.

Доказательство утверждения б) теоремы Менелая

I).Пусть теперь верно равенство (3), докажем, что точки А1, B1 и С1 лежат на одной прямой. Пусть прямые АB и А1B1 пересекаются в точке С2. Так как точки A1 B1 и С2 лежат на одной прямой, то по утверждению а) теоремы Менелая:

(4)

I I).Из сравнения равенств (3) и (4) имеем откуда следует, что верны равенств:

Последнее равенство верно лишь при условии С2B = С1B, т. е. если точки С1 и С2 совпадают.

Утверждение б) теоремы Менелая доказано.

Д оказательство утверждение а) для случая внешних точек

Пусть секущая пересекает стороны треугольника ABC во внешних точках, т. е. пересекает продолжения сторон AB, BC и AC в точках C1, A1 и B1 соответственно и эти точки лежат на одной прямой. (рис. 12)

Рис.12

II) По теореме о пропорциональных отрезках имеем:

и

Тогда верны равенства

Утверждение а) теоремы Менелая доказано.

II. Практическая часть

Первым делом я решили провести интервью у учеников 11 класса МБОУ «Бейская СОШИ» , чтобы узнать: что они думают о теоремах Менелая и Чевы и считают ли они их бесполезными. Никто из них не ответил, что они бесполезны. Ответы были такие: задачи на применение этих теорем присутствуют на ЕГЭ по математике, поэтому очень важно их знать, знание теорем, в общем, намного упрощает решение сложных геометрических задач. Поэтому можно сделать вывод, что все понимают, что знание теорем – это важно.

Также я поинтересовался у учителей математики МБОУ «Бейская СОШИ» об эффективности теорем Менелая и Чевы при решении сложных планиметрических задач, при использовании их на ЕГЭ. Ответы учителей были не менее единогласны: теоремы Чевы и Менелая не изучаются в учебном курсе геометрии, но их использование может намного упростить решение некоторых задач, которые, в свою очередь, используются на ЕГЭ. По словам самих учителей, теорема – это второй способ решения задачи, первый из которых это – рассуждение. В какой-то степени это так, и в своем исследовании я хотел бы доказать поставленную в начале работы гипотезу: знание теорем Чевы и Менелая один из способов простого и изящного решения сложных планиметрических задач, а также доказать опытным путем правдивость утверждения учителей моей школы: теорема – это второй способ решения задачи.

Исследование я решил провести на примере моего класса. В проведении моего опыта выдвинулось 3 кандидатуры: Ермакова Анастасия, Золотухин Владислав, Деревягина Мария – каждому я предложил задачу, которую можно было решить путем рассуждений или, применив теорему Менелая или Чевы, прийти к умозаключению.

Путем жеребьевки, я распределил задачи между тремя моими одноклассниками: Анастасии досталась задача под № 1 (на применение теоремы Менелая) , Владиславу – под № 2 (на применение теоремы Менелая), Марии – под №3 (на применение теоремы Чевы). Соответственно, мои одноклассники не знали суть этих теорем, им оставалось лишь рассуждая, прийти к умозаключению.

Задача №1:

Точка N лежит на стороне АС треугольника АВС, причём AN:NC=2:3. Найти, в каком отношении медиана АМ делит отрезок BN.(NK II AM)

Данную задачу можно решить, применив теорему Фалеса. Ряд правильно составленных пропорций и равенств отношений сторон – слагаемые успеха решения задачи. Составим первую пропорцию:

Пусть КС = 3у, МС = 5у, т.к. медиана делит противолежащую сторону пополам, то

ВМ = МС = 5у.

По теореме Фалеса:

Ответ:

Также, эту задачу можно решить другим способом, применив теорему о пропорциональных отрезках: параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от его сторон пропорциональные отрезки. Составим пропорцию:

Параллельные прямые АМ и NK пересекают стороны угла NBC, следовательно:

Те же прямые пересекают стороны угла АСВ, поэтому:

Заметим, что точка М - середина стороны ВС, значит, ВМ=МС; кроме того, АС:АN=5:2, таким образом:

из этого следует то, что:

Задача №1 выпала Ермаковой Анастасии. Данную задачу она решила, использовав теорему о пропорциональных отрезках:

Параллельные прямые АМ и NK пересекают стороны угла NBC, следовательно:

Так же прямые пересекают стороны угла АСВ, поэтому:

Заметим, что АМ – медиана, проведенная к стороне ВС, значит, ВМ=МС; кроме того, АС:АN=2:3, таким образом:

Из этого следует то, что:

Д анная задача решена неверно. Ее ошибка заключается в том, что отношение она записала неверно.

В условии задачи говорилось, что - значит весь отрезок AС равен сумме AN и NC, то есть 5, а AN равно 2 и из чего можно сделать вывод, что

Рис.1

Далее я предложил ей решить эту же задачу более простым способом, а точнее с использованием теоремы Менелая. Она, ознакомившись с теоремой, принялась за решение задачи:

1)По теореме Менелая:

Рис.1

Ответ:

Недочетов в решении данным способом не обнаружено: равенство по теореме Менелая составлено верно. И из чего можно сделать вывод, что Анастасия поняла значение этой теоремы.

Задача №2:

Точки D и F лежат на сторонах АВ и ВС треугольника АВС, при этом AD:DB=1:2, при этом BF:FC=2:3. Прямая DF пересекает прямую АС в точке К. Найти отношение АК:КС.

Эта задачу можно решить, лишь немного поразмышляв, и, соответственно, с применением теоремы Менелая. Не зная этих теорем, моим одноклассниками оставалось, лишь размышляя, прийти к выводу, к умозаключению:

1 ) Начнем с того, чтобы решить эту задачу требуется дополнительное построение, для этого мы проведем прямую ВН параллельную КС.

Рассмотрим ∆ BFH и ∆ KFC:

KFC = ∠ BFН т.к. углы вертикальные

FKC = ∠ KНB т.к. углы накрестлежащие

Из 2 следует то, что ∆ BFH ~ ∆ KFC по I признаку

Если ∆ BFH ~ ∆ KFC, то:

И из чего следует то, что КС= 3

2) Рассмотрим ∆ KAD и ∆ DBH:

KDA = ∠ BDF т.к. углы вертикальные

DKA = ∠ DНB т.к. углы накрестлежащие

Из 5 следует то, что ∆ KAD ~ ∆ DBH по I признаку

Если ∆ KAD ~ ∆ DBH, то:

И из чего следует то, что АК= 1

3)

Ответ:

Э ту задачу Владислав решил, применив I признак подобия треугольников: если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то треугольники подобны:

1) Проведем отрезок ВМ, параллельный КС, тогда:

KFC = ∠ BFМ т.к. углы вертикальные

FKC = ∠ KМB т.к. углы накрестлежащие

Из чего следует то, что ∆ BFH ~ ∆ KFC

Если ∆ BFМ ~ ∆ KFC, то:

КС= 3

2) ∠ KDA = ∠ BDF т.к. углы вертикальные

DKA = ∠ DМB т.к. углы накрестлежащие

Из чего следует то, что ∆ KAD ~ ∆ DBH

Если ∆ KAD ~ ∆ DBH, то:

А К= 3 Ответ:

Данная задача решена верно.

Рис.1

Теперь, когда Владислав решил данную мной задачу, я предложил ему ознакомиться с теоремой Менелая. Он, ознакомившись с теоремой, принялась за решение задачи:

1) По теореме Менелая:

Ответ:

Недочетов в решении данным способом нет: равенство по теореме Менелая составлено верно. И из чего можно сделать вывод, что Владислав тоже понял значение этой теоремы.

Задача №3:

Д окажите, что биссектрисы углов треугольника пересекаются в одной точке.

Решить данную задачу можно несколькими способами : с помощью свойства биссектрисы треугольника: точка лежит на биссектрисе тогда и только тогда, когда она равноудалена от сторон угла или же с помощью теремы Чевы, применив при этом теорему о биссектрисах треугольника: биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.

Лишь немного поразмышляв, можно прийти к верному выводу этой задачи:

Пусть O – точка пересечения биссектрис треугольника ABC, проведённых из вершин B и C. Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла B, то она равноудалена от прямых AB и BC. В то же время точка O лежит на биссектрисе угла C, поэтому она равноудалена от прямых AC и BC. Значит, точка O равноудалена от прямых AB и AC. Так как она находится внутри треугольника ABC, то лежит и на биссектрисе угла A.

Данная задача была предложена Марии. Она решила ее, применив характеристическое свойство биссектрисы угла: точка лежит на биссектрисе тогда и только тогда, когда она равноудалена от сторон угла:

Если AA1, BB1 и CC1 - биссектрисы углов треугольника и О - точка пересечения AA1 и BB1, то эта точка равноудалена от AB и AC, так как она лежит на первой биссектрисе, и равноудалена от BA и BC, так как она лежит на второй биссектрисе. Следовательно, она равноудалена от сторон CA и CB и поэтому она лежит на третьей биссектрисе. Доказано.

Данная задача решена верно: размышления Марии были верны.

Теперь, когда Мария решила эту задачу, я предложил ей ознакомиться с теоремой Менелая. Ознакомившись, она принялась за решение этой же задачи, но с использованием теоремы Чевы:

1 ) По теореме о биссектрисах треугольника:

2) Перемножив равенства из 1, мы получим:

Полученное равенство соответствует теореме Чевы:

Из чего следует то, что биссектрисы пересекаются в одной точке.

Недочетов в решении данным способом нет: равенство по теореме Чевы составлено верно. И из чего можно сделать вывод, что Мария тоже поняла значение этой теоремы.

Заключение

Гипотеза, выдвинутая мной в начале исследования, подтвердилась: знание теорем Чевы и Менелая один из способов простого решения сложных планиметрических задач. Действительно, в ходе исследования я убедился в том, что решение задач, применяя теоремы Чевы и Менелая, намного эффективнее, чем без них. Вообще, гипотеза: знание теорем Чевы и Менелая один из способов простого решения сложных планиметрических задач – касается не только этих теорем, я лишь решил доказать на примере этих теорем тот факт, что знание теорем – это способ простого решения сложных задач.

Теоремы Чевы и Менелая просты в понимании. Но трудности, связанные с освоением этих теорем, оправданы их применением при решении задач.

Замечательным свойством теорем является то, что они могут служить отправной точкой при повторении основных свойств треугольника в 9 классе. В частности, с их помощью легко доказываются следующие утверждения:

Медианы треугольника пересекаются в одной точке.

•Высоты треугольника пересекаются в одной точке.

•Биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке.

Одним из замечательных свойств геометрических задач является многообразие методов их решения. Поэтому остановимся на том, когда же имеет смысл применять теорему Менелая при решении задач? Возможность применить теоремы Менелая имеет смысл, когда в условии задачи:

1.Идёт речь, отношении отрезков (иногда завуалированном: доказать равенство отрезков, доказать, что точка является серединой отрезка).

2.Если на чертеже имеются элементы, присутствующие в теореме Менелая (треугольник и прямая, пересекающая его стороны или их продолжения).

3.Иногда полезно применять обратную теорему (если необходимо доказать, что какие-нибудь точки лежат на одной прямой). А также при доказательстве теорем.

Применение опыта решения планиметрических задач с использованием теорем Чевы и Менелая даёт дополнительные возможности при изучении геометрии, помогает повысить уровень пространственного воображения и уровень логической культуры.

Теоремы Чевы и Менелая помогают решить задачи более рационально, чем их решение другими способами, например векторным, которое требует дополнительных действий ; быстро и оригинально решить задачи повышенной сложности.

Данная работа содержит геометрический материал достаточный для того, чтобы использовать его на элективных курсах и как дополнительный материал для учащихся интересующихся математикой. Данную работу можно продолжить, изучив применение этих теорем в пространстве.

Список литературы

Энциклопедия для детей. Том 11. Математика. М.: Аванта +, 2002.

Прасолов В. В. Задачи по планиметрии: Ч.1. М.: Наука, Физматлит, 1995.

Сканави М. И. Сборник задач по математике для поступающих во Втузы. М.: Высшая Школа, 1995.

26

Просмотров работы: 608