IX Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

Задача, которая определила судьбу Симеона Пуассона

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Прончатова К.А. 1

---

1МБОУ "СОШ №24"

Паршева В.В. 1

---

1МБОУ "СОШ №24"

Работа в формате PDF

4.5 MB

Автор работы награжден дипломом победителя II степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность выбранной темы: Задачи на переливание - один из видов старинных задач. Они до сих пор вызывают интерес у любителей математики, и их часто можно встретить в олимпиадных заданиях 5-6 классов. Задача на переливание сыграла особую роль в определении судьбы будущего ученого Пуассона. К сожалению, до нас не дошло решение задачи Пуассоном. Поиск методов и способов решения этой задачи определил актуальность работы.

Объект исследования: Задача Пуассона на переливание

Предмет исследования: Различные методы решения задачи Пуассона

Гипотеза: Выполнив работу, мы научимся применять различные методы решения задач на переливания к задаче Пуассона и, сравнив эти методы между собой, установим наиболее рациональный, оптимальный.

Цель работы: Установить различные методы и способы решения задачи Пуассона, провести их сравнение и установить наиболее оптимальный.

Задачи работы:

Проанализировать и обобщить информацию о методах и способах решения задач на переливания.

Применить информацию о методах и способах решения задач на переливание к задаче Пуассона.

Методы исследования

Анализ справочной математической литературы и интернет - ресурсов.

Моделирование математических объектов с помощью ИГС GeoGebra.

Анализ, сравнение, сопоставление и обобщение объектов, полученных в результате моделирования.

Проверка выдвинутых гипотез.

Аналитические рассуждения.

ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

Задача, которая определила судьбу Симеона Пуассона

Пуассон: зарождение интереса к математике

Симеон Дени Пуассон - великий французский математик, механик и физик. Родился в семье нотариуса. Отец намеривался сделать из него нотариуса, но, поразмыслив, решил, что этот вид работы будет сыну непосилен, так как здесь, помимо знаний, надо еще иметь врожденную ловкость и изворотливость. После долгих размышлений отец остановился на ремесле цирюльника, но Пуассон был неловким. Симеон, рано полюбивший чтение, читал «Журнал Политехнической школы», в котором много места отводилось математике, и он решал помещенные в нем задачи. С каждым годом ему становилось все труднее и труднее находить задачи, которые заставляли бы его много думать, но вот однажды юный Пуассон заехал в Фонтенбло и встретился со своим старым другом Ванло. Пуассон поделился со своей проблемой, и Ванло предложил ему задачи, которые давались в Центральной школе. Одна из задач вызвала огромный интерес у Симеона Пуассона.

Задача Пуассона: Один человек имеет в бочонке 12 пинт меда (пинта – старинная французская мера объема, 1 пинта ≈ 0,568 л) и хочет подарить половину меда, но у него нет сосуда в 6 пинт, однако имеются два пустых сосуда объемом 8 пинт и 5 пинт. Как с их помощью отлить ровно 6 пинт меда?

Мы не знаем, как Симеон Пуассон решал эту задачу: с помощью схематичных рисунков, таблицы или с помощью рассуждений.

Обобщение информации о методах и способах решения задач на переливание

1.В результате анализа информации установили, что существует два типа задач на переливание.

Все задачи на переливание делятся на два типа.

Первый -это когда мы имеем много жидкости (озеро, река, бочка), и мы можем наполнять доверху сосуды множество раз, т.е. количество жидкости не ограничено. Кроме того, мы можем спокойно выливать воду из сосудов.

Второй- это когда мы имеем столько жидкости, сколько было налито изначально в сосудах. Также чаще всего нам нельзя выливать жидкость из сосуда, кроме тех случаев если некий персонаж может выпить ее.

Пришли к выводу, что задача Пуассона - задача второго типа. При анализе источников информации было установлено, что существует 11 методов решения задач на переливания. Применим установленные методы решения задач на переливания к задаче Пуассона.

3. Метод рассуждений (проб и ошибок)

Полностью заполним сосуд восьми пинт. Из сосуда восьми пинт перельем 5 пинт в сосуд пяти пинт. Из сосуда пяти пинт перельем пять пинт в сосуд двенадцати пинт. Оставшиеся 3 пинты перельем из сосуда восьми пинт в сосуд пяти пинт. Полностью заполним сосуд восьми пинт (перельем из сосуда двенадцати пинт в сосуд восьми пинт). Из сосуда восьми пинт перельем мед, заполнив полностью сосуд пяти пинт. Из сосуда пяти пинт перельем все содержимое в сосуд двенадцать пинт. Тогда в сосудах двенадцати и восьми пинт будет по 6 пинт меда.

4. Табличный метод

Преимущества табличного метода: Наглядность; таблица помогает систематизировать всю информацию и приводить ее в некий порядок. Недостатки табличного метода: Занимает много времени; возможны частые повторения.

5 . Метод диаграмм

Способ №1: Первое переливание в больший сосуд (8 пинт)

Способ №2: Первое переливание в меньший сосуд (5пинт)

6. Применение метода математического бильярда

М еханизм умного шарика: Пусть OBCDA- «бильярдный стол», у которого клетки- равные ромбы с острыми углами в 60°. Если толкнуть шарик вдоль OA, то, отскочив от борта AD по закону(«угол падения равен углу отражения») шарик покатиться по прямой Ac3; оттолкнется от борта BC и покатиться по прямой c3a3 и т.д. Каждая точка на сторонах фигуры отделена определенным числом клеток от сторон OB и OA. Например, от точки а4- четыре клетки до OB и 0 клеток до OA. Таким образом, каждая точка на сторонах фигуры определяет два числа. Пусть 1 число(число клеток до OB, обозначает количество меда в сосуде 8-ми пинт); 2 число(число клеток до OA, обозначает количество меда в сосуде 5-ти пинт). Остальное количество меда будет в сосуде 12-ти пинт.

Способ №1 (наполнение с сосуда емкостью 8 пинт).

П устим шарик вдоль ОА, тогда первой точкой удара будет А(8;0) (3;5) (3;0) (0;3) (8;3) (6;5) (6;0). Задача решена.Перенесем полученные данные в таблицу.

Способ №2 (наполнение с сосуда емкостью 5 пинт).

П устим шарик вдоль ОВ, тогда первой точкой удара будет (0;5) (5;0) (5;5) (8;2) (0;2) (2;0) (2;5) (7;0) (7;5) (8;4) (0;4) (4;0) (4;5) (8;1) (0;1) (1;0) (1;5) (6;0) Задача решена. Перенесем полученные данные в таблицу:

Я.И Перельман в книге «Занимательная геометрия» дает ответ на проблемный вопрос "Всегда ли задачи на переливания имеют решение?"(ПРИЛОЖЕНИЕ 2).

7. Альтернативное решение задачи Пуассона в прямоугольной системе координат

П ри решении задачи методом математического бильярда возникла проблема с тем, что необходимо было нарисовать рисунок-сетку для решения задачи. Мы заинтересовались: а можно ли в прямоугольной системе координат решить задачу Пуассона?

 8. Метод координатной плоскости

Р ешение: Обозначим количество меда, которое может находится в первом сосуде за х, а во втором за у. Для дальнейшего решения построим координатную плоскость, где на оси Ох будем отмечать количество меда в сосуде 8 пинт, а на оси Оу будем отмечать количество меда в сосуде 5 пинт. Последовательность переливаний будет представлена в виде некоторой ломаной с началом в точке (8;0) и концом в точке (6;6).

9. Применение метода трилинейной системы координат

Д ля применения этого метода используют триангулированную бумагу, т.е. бумагу, на которой проведены три системы параллельных линий, разбивающих ее на маленькие равносторонние треугольники. Построим в ИГС GeoGebra большой равносторонний треугольник АВС со сторонами, проходящими по линиям сетки (ПРИЛОЖЕНИЕ 3).

Для решения данной задачи построим треугольник, составленный из 12 рядов равносторонних треугольников (всего было 12 пинт меда). Определим область операций:

0 ≤ х ≤ 12, 0 ≤ у ≤ 8, 0 ≤ z ≤ 5.

Областью операции будет являться пятиугольник, ограниченный линиями х=0 (прямая ВС) вершина х=12; у=0 (прямая АС) и у=8 (прямая от точки(4;8;0) до (0;8;4); z=0 (прямая АВ) И z=5 (прямая от точки (0;7;5) до (7;0;5). Точка А (12;0;0) соответствует количеству меда в 12 пинт. Точка F(0;8;4) – это бочонок емкостью 8 литров. Точка E(0;7;5) – это бочонок емкостью 5 литров.

Способ №1(наполнение с сосуда 8 пинт)

И з точки А переходим в точку G(4;8;0), т.е. мы перелили во второй бочонок 8 пинт меда, а в 1 бочонке осталось 4 пинты меда. Затем переходим в точку N(4;3;5), т.е. 1 бочонок остаётся без изменений, а из 2 бочонка переливаем мед в 3 бочонок. Следовательно, в 1 бочонке-4 пинты, во 2 бочонке-3 пинты, а в 3 бочонке 5 пинт.

Способ №2 (наполнение с сосуда 5 пинт)

Из точки Н (7;0;5) переходим в точку (7;5;0), т.е. переливаем из 3 бочонка во 2 бочонок 5 пинт меда. Далее следуем в точку (2;5;5), т.е. переливаем из 1 бочонка в 3 бочонок 5 пинт меда. Следующим действием в точку (2;8;2), т.е. переливаем из 3 бочонка во 2 бочонок 3 пинты меда. (В 1 бочонке 2 пинты меда, 2 бочонок полный, в 3 бочонке 2 пинты меда).

1 0. Метод векторов

В физике и математике вектор - это величина, которая характеризуется своим численным значением и направлением.

Чтобы решить задачу методом векторов, построим прямоугольную систему координат хОу. Наполнение жидкости будем показывать векторами, направленными вертикально вниз. Переливание из сосуда в сосуд будем показывать векторами, направленными по диагонали вниз, а, чтобы показать переливание в больший сосуд, воспользуемся векторами, направленными вертикально вверх.

1 1. Метод графов

На уроках информатики мы познакомились с графами, и мы применили данный метод к задаче Пуассона. Решение осуществляется с помощью графических схем, состоящих из точек, соединенных между собой стрелками. Используя этот метод для решения задачи, мы можем рассмотреть всевозможные способы ее решения.

12. Метод блок-схем

Н а уроке информатики в 7 классе мы познакомились с понятием блок-схема и научились их составлять. Еще одним методом решения задач на переливание считаются блок-схемы, которые широко используются в программировании. Что же такое блок-схема? Блок-схема- способ графического представления алгоритма, в котором шаги изображаются в виде блоков различной формы, соединенных между собой стрелками. Решим задачу Пуассона методом составления блок-схем. Для этого введем обозначения: п12-переливание в сосуд 12 пинт; п8-переливание в сосуд 8 пинт; п5-переливание в сосуд 5 пинт.

13.Как мог решать задачу Пуассон

В работе рассмотрено десять методов решения задачи Пуассона. Каким же методом мог решать задачу Пуассон? Как известно, отец сам стал его обучать, когда Симеон достиг отроческого возраста. Но он был убежден, что у сына нет способностей к умственным занятиям.

Юноша, рано полюбивший чтение, неожиданно пристрастился к решению математические задачи. Он нигде никогда этому не учился, но он с легкостью решал их одну за другой.

В Политехнической школе он стал обучаться, когда ему уже исполнилось 17 лет (1798г.) Поэтому можно предположить, что он решал эту задачу методом рассуждений, может быть табличным методом. А может с помощью перекладывания камушек (или палочек).

1

2

4

3

6

5

1

7

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В результате выполнения работы были реализованы цель и задачи. Истинность гипотезы подтверждена: мы применили различные методы и способы решения задач на переливания для решения задачи Пуассона. При поиске методов решения задач на переливания был установлен еще один метод решения задач на переливания решение задач с помощью программирования в среде Кумир) с применением исполнителя «Водолей» (ПРИЛОЖЕНИЕ 4).

Изучая литературу по истории математического бильярда, мы выяснили, что с момента появления в Европе эта азартная игра послужила предметом серьезных научных исследований, в результате которых появилась теория математического бильярда или теории траекторий. Теория математического бильярда нашла прекрасное применение для решения задач на переливания. Используя метод математического бильярда, можно не только решить задачу, но легко выяснить, имеет ли задача решение. Попытки установить авторство каждого метода не дала полного ответа (ПРИЛОЖЕНИЕ 5).

Решив задачу Пуассона различными методами, мы сравнили методы, для чего составили "Критерии оценки методов решения задач на переливания". На основании этих критериев установили наиболее оптимальные методы (метод математического биллиарда и альтернативный метод решения задачи в прямоугольной системе координат) и представили таблицу сравнения всех методов решения задачи на переливания (ПРИЛОЖЕНИЕ 7).

ИСТОЧНИКИ ИНФОРМАЦИИ

Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф.. Кадомцев С.Б., Геометрия, 7-9.- М.:Просвещение,2014;

Гаврилова Т.Л. Занимательная математика (Как сделать уроки не скучными): «Метод трилинейных координат». – Волгоград: Учитель, 2008;

Гальперин Г.А., Земляков А.Н. Математические бильярды. Библиотечка «Квант», выпуск 77. - М.: Наука,- 1990;

Коксетер Г.С. и Грейтцер С.Л. «Задача о трех кувшинах». Журнал «Квант» – 1978.- №7;

Перельман Я.И. Занимательная геометрия. Гл. 10. Геометрия без измерений и без вычислений. «Умный» шарик). - М.: ГИФМЛ, 1959. 

Савина Л.А. Задача о трех кувшинах. Журнал «Квант» - 1978.- №5;

Чистяков В.Д. Рассказы о математиках. - Минск: Вышейшая школа, 1966. 

ИНТЕРНЕТ-РЕСУРСЫ

Два типа задач на переливание olimpiada2x2.ru (дата обращения 8.09.19)

Как составить блок-схему? kakprosto.ru (дата обращения 12.09.19)

Среда Кумир исполнитель «Водолей» pskumir.blogspot.com (дата обращения 19.09.19)

Решение задач методом векторов mat.1sept.ru (дата обращения 10.10.19)

П РИЛОЖЕНИЕ 1.Метод математического бильярда

В книге Перельмана Я.И. мы нашли еще один метод решения задач на переливание, который называется «Метод биллиардного шара». Можно послать биллиардный шар в лузу прямым ударом, а вот заставив его отпрыгнуть от одного, двух или даже трех бортов стола - это значит, прежде всего, решив «в уме» геометрическую задачу на построение». Важно правильно «на глаз» найти первую точку удара о борт; дальнейший путь упругого шара на хорошем столе будет определяться законом («угол падения равен углу отражения»).

Суть метода заключается в представлении последовательности переливаний аналогично движению бильярдного шарика, отражающегося от бортов стола, имеющего форму параллелограмма, на котором нанесена сетка из одинаковых равносторонних треугольников.

Задача: Какие геометрические представления могут помочь нам найти направление удара, чтобы шар, находящийся, например, в середине биллиардного стола, после трех отскоков попал в лузу А?

Решение задачи.

1) Нам надо вообразить, что к биллиардному столу вдоль короткой стороны приставлены еще три таких же стола, и целиться в направлении самой дальней лузы третьего из воображаемых столов.

2) Пусть ОabcA-путь шара. Если опрокинуть “стол” ABCD вокруг CD на 180 градусов, он займет положение 1; если затем его так же опрокинуть вокруг A1D и еще раз вокруг В2С1, то он займет положение 3.В результате луза A окажется в точке, отмеченной буквой A2.

3) Исходя из очевидного равенства треугольников, мы легко докажем, что ab1=ab, b1c1=bc и c1A2=cA, т. е. что длина отрезка OA2 равна длине ломаной OabcA.

4) Следовательно, целясь в воображаемую точку A2, вы заставите катиться шар по ломаной OabcA, и он попадет в лузу A.

М еханизм умного шарика: Пусть OBCDA- «бильярдный стол», у которого клетки- равные ромбы с острыми углами в 60°. Если толкнуть шарик вдоль OA, то, отскочив от борта AD по закону («угол падения равен углу отражения») шарик покатиться по прямой Ac3; оттолкнется от борта BC и покатиться по прямой c3a3 и т.д. Каждая точка на сторонах фигуры отделена определенным числом клеток от сторон OB и OA. Например, от точки а4- четыре клетки до OB и 0 клеток до OA. Таким образом, каждая точка на сторонах фигуры определяет два числа. Пусть 1 число(число клеток до OB, обозначает количество меда в сосуде 8-ми пинт); 2 число(число клеток до OA, обозначает количество меда в сосуде 5-ти пинт). Остальное количество меда будет в сосуде 12-ти пинт.

П РИЛОЖЕНИЕ 2. Всегда ли задачи на переливания жидкости имеют решение?

Проблема: возможно ли, не решая задачи, ответить на вопрос "Данная задача имеет решение?"

Решение этой проблемы сразу позволит избежать затрат времени на ее решение. Если для задачи доказано, что она не имеет решения и это доказательство имеет смысл закона, то можно не тратить усилия на поиск решения.

Понятие разрешимости задач

Неразрешимая задача - задача, для которой невозможно построить процедуру решения.

Установлен критерий решения задачи (условие, при котором задача имеет решение).

Проблема разрешимости: существует ли правило (алгоритм), позволяющее установить, что проблема является общезначимой, выполнимой или ложной (невыполнимой).

Проблема разрешимости решения задач впервые была поставлена на II Международном конгрессе математиков в 1900году.

Разрешимость задач на переливание

Я. И. Перельман в книге «Занимательная геометрия» (Глава 10. Геометрия без измерений и без вычислений. «Умный» шарик") утверждает, что «Если объемы двух меньших сосудов не имеют общего делителя (т.е. взаимно просты), а объем третьего сосуда больше или равен сумме объемов двух меньших, то с помощью этих трех сосудов можно отмерить любое целое число литров». Например, НОД(8, 5)=1, НОД(5, 3) =1, НОД(7, 3)=1. Я.И. Перельман доказывает свое умозаключение с помощью «Умного» шарика—способа решения задач на переливание методом бильярда.

З адача 1. Сколько литров воды можно налить из водоема с помощью двух сосудов 7л. и 3л.?

Два способа решения:

1. Сначала наполнили семилитровое ведро. 2. Первоначально налили трехлитровое ведро.

В ывод. С помощью сосудов емкостью 7л. и 3л.(НОД(7 и 3)=1) можно налить 1л., 2л., 4л, 5л., 6л. Проблема решена методом геометрического моделирования.

Задача 2. Сколько литров воды можно налить из водоема с помощью двух сосудов емкостью 6л. и 3л.?

Механизм решения задачи показывает, что, сделав четыре отскока «умный» шарик возвращается в исходную, начальную точку. Соответствующая таблица показывает, что в этом случае отлить 1литр, 2 литра, 4литра или 5 литров невозможно!

Подумаем над обобщением задачи: Пусть имеются два пустых сосуда а литров и b литров, объем третьего наполненного жидкостью сосуда с литров и a<b<c с≥(а+b). Если а и b взаимно простые числа, то задача всегда имеет решение, с помощью этих трех сосудов можно отмерить любое целое число литров, начиная с 1 литра и кончая объемом среднего сосуда .1. Задача не имеет решения, a и b имеют общий делитель.

1

21

2. Задача имеет решение, т.к. a и b взаимно простые числа.

ПРИЛОЖЕНИЕ 3. Метод трилинейной системы координат

Очень интересный способ решения задач на переливания описан в журнале «Квант» № 7 за 1978 год в статье Г.С.М. Коксетер, С.Л.Грейтцер «Задача о трех кувшинах».

Д ля применения этого метода используют триангулированную бумагу, т.е. бумагу, на которой проведены три системы параллельных линий, разбивающих ее на маленькие равносторонние треугольники. Построим в ИГС GeoGebra большой равносторонний треугольник АВС со сторонами, проходящими по линиям сетки.

Для произвольной точки М в этой плоскости определим числа x, y, z как расстояния от этой точки до прямых ВС, СА и АВ соответственно, причем для каждой из этих прямых расстояние будем считать положительным, если точка лежит по ту же сторону от этой прямой, что и треугольник АВС, и отрицательным в противном случае. Полученную тройку чисел (x, y, z) будем называть трилинейными координатами точки М относительно треугольника АВС.

П РИЛОЖЕНИЕ 4. Решение задачи в среде Кумир (Исполнитель «Водолей»)

Решить задачу на переливания можно с помощью программирования в среде Кумир с применением исполнителя «Водолей». Среда исполнителя содержит три сосуда, обозначенные латинскими буквами «A», «B», «C», а также верхнюю панель, на котором находится меню «Задание». При запуске исполнителя создаются два окна: окно водолея и окно пульта. В этой среде была решена и задача Пуассона.

ПРИЛОЖЕНИЕ 5. Из истории теорий по решению задач на переливания.

В одном средневековом сочинении, восходящим к середине 13-го столетия, предлагается такого рода задача: Господин послал своего слугу в ближайший город купить 8 мер вина. Когда слуга, выполнив поручение, собирался домой, ему повстречался другой слуга, которого господин тоже послал за вином. «Сколько у тебя вина?» — спрашивает второй слуга. «8 мер», — отвечает тот. «Мне тоже нужно купить вина». «Ты уже ничего не получишь, так как в городе больше вина нет», — заявляет первый. Тогда второй слуга просит его поделиться с ним вином и показывает ему имеющиеся при нём два сосуда, один в 5, другой в 3 меры. Как произвести делёж при помощи этих трёх сосудов? (т. е. у каждого из слуг должно получиться ровно по 4 меры вина)». Нам не известно, как была решена эта задача.

В конце XVIII века задачей на переливание заинтересовался Пуассон, который будучи ученым - математиком говорил: «Эта задача определила мою судьбу. Я решил, что непременно буду математиком». Методрешения задачи Пуассоном также не известен.

В 1835 году французский физик Гаспар Густав Кориолис за год до избрания его академиком Парижской академии наук написал книгу "Theorie mathematique du jeu de billard" ("Математическая теория явлений бильярдной игры"). Однако работа Кориолиса, в которой автор использовал элементы теории вероятностей, теории пределов и общего анализа, не заинтересовала ни игроков, ни математиков. Лишь через 150 лет теория биллиардов стала неотъемлемой частью теории динамических систем, соединяя разные разделы математики.

С 70-х годов XX столетия современная теория бильярдов в России послужила предметом серьезных научных исследований в области математики и механики, стала одним из актуальных направлений математической физики. Ее основы были заложены советским математиком Яковом Григорьевичем Синаем и его школой. Синай Я.Г. (д.р.1935 г.) - доктор физико-математических наук, академик РАН, действительный член Американского математического общества, работает в России и Америке, в 2014 году получил премию Абеля за фундаментальный вклад в изучение динамических систем. Синай Я.Г., ученик Колмогорова А.Н., родился в 1935 году в Москве, закончил физмат МГУ, по настоящее время ведет плодотворную творческую работу и в России, и в Америке. В 2014 году Яков Григорьевич получил премию Абеля за фундаментальный вклад в изучении динамических систем. Его ученик Земляков А.Н. вместе с Гальпериным Г.А., учеником Колмогорова А.Н., в 1990 году написали книгу «Математические бильярды», которая лежит в основе каждой работы по исследованию математической теории бильярдов.

ПРИЛОЖЕНИЕ 6. Критерии оценки методов решения задач на переливания

Затрата времени.

Уровень сложности рассуждений.

Наглядность.

Необходимость знаний законов алгебры и формул.

Возможность контролировать ход действий.

Наличие алгоритма решения.

Возможность быстро оценить результаты решения.

Затрата времени на подготовительные работы (выполнить рисунки, построить диаграммы, начертить таблицу, построить математический бильярдный стол, начертить трилинейную систему координат).

Возможность компьютерной реализации.

Роль метода в оценке разрешимости.

ПРИЛОЖЕНИЕ 7 Сравнение методов решения задач на переливания

Вывод. Сравнив рассмотренные способы решения задач на переливания, можно сделать вывод, что самый надежный, оптимальный способ – метод бильярда (или Альтернативный метод решения в прямоугольной системе координат) .