IX Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Аликвотные дроби при решении нестандартных задач
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
Тема «Аликвотные дроби при решении нестандартных задач» является интересной темой для исследования дробей. Столкнувшись с этим термином впервые, понимаешь, почему в Древнем Египте математики «настоящими» дробями считали только аликвотные дроби.
Цель исследования:
Выяснить, какое значение имеют аликвотные дроби в нашей жизни.
Задачи исследования:
Узнать происхождение аликвотных дробей.
Рассмотреть основные операции с аликвотными дробями.
Решать олимпиадные задачи с помощью аликвотных дробей.
Составлять и решать задачи практического содержания.
Основная часть
История аликвотных дробей
Аликвота - (лат. aliquoties, «несколько раз или несколько частей»)
Аликвотная дробь- дробь, числитель которой равен единице.
Аликвотные дроби начали использоваться ещё в древности. Необходимость в дробных числах возникла в результате практической деятельности человека. Потребность в нахождении долей единицы появилась у наших предков при дележе добычи после охоты. Второй существенной причиной появления дробных чисел следует считать измерение величин при помощи выбранной единицы измерения.
Первые дроби, с которыми нас знакомит история, это дроби вида – 1/2, 1/3, 1/4 – так называемые единичные дроби, так как числитель этих дробей единица. Причиной появления этих дробей являлась необходимость разбить единицу на доли. Это нужно было для того:
1. чтобы разделить добычу после охоты, ведь, нужно было знать, сколько частей составляет целое и кому какая часть добычи станет принадлежать.
2. выразить результат измерения длины, времени, площади, массы и вести расчеты за товары
1.1 Аликвотные дроби в Древнем Египте
Аликвотные дроби появились раньше других дробей. В Древнем Египте математики «настоящими» считали только аликвотные дроби вида 1/n.
Итак, дроби вида1/n, где числитель 1, а n – натуральное число, (т.е. число, которое используется для счёта предметов), называются аликвотными дробями (от латинского aliguot-« несколько») или единичными.
В Древнем Египте «настоящими», математики, считали только аликвотные дроби. Поэтому каждую дробь стремились представить в виде суммы меньших аликвотных дробей, причём с разными знаменателями.
Например: 8/15 =1/3+1/5,
1/2 = 1/3+1/6,
1/4 = 1/5+1/20,
3/4 = 1/2+1/4,
2/11 = 1/6+1/66,
2/7 = 1/6+1/14+1/21,
2/13 = 1/8+1/52+1/104
Кроме того, для единиц измерения емкостей и объемов использовался так называемый глаз «Хора»
Он представлял собой дробь 63/64.
Так как, согласно мифам глаз Хора был выбит, а затем восстановлен на 63/64. Каждая часть глаза соответствовала определённой дробии была представлена в виде суммы аликвотных дробей таким образом:
1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64=63/64
Аликвотные дроби встречаются в древнейших, дошедших до нас математических текстах, составленных более 5000 лет тому назад, – древнеегипетских папирусах и вавилонских клинописных табличках. Они нужны были для практических целей.
Рассмотрим такую задачу: «Разделить 7 хлебов между 8 людьми» Если разрезать каждый хлеб на 8 частей, придется провести 49 разрезов (7 хлебов по 7 надрезов в каждом хлебе). А по-египетски эта задача решалась так:
7/8= 1/2+1/4+1/8
Значит, каждому человеку нужно дать половину хлеба, четверть хлеба и восьмушку хлеба. При этом, придется сделать почти в три раза меньше разрезов.
Значение аликвотных дробей в истории:
Первое понятие дроби появилось в Древнем Египте много веков назад. В русском языке это слово появилось лишь в 8 веке от слов «дробить, разбивать, ломать на части», поэтому в первых учебниках дроби называли «ломанными числами». Современное обозначение дробей берет свое начало в Древней Индии, а дробная черта появилась в записи дробей лишь 300 лет назад, до этого ставили точку между числителем и знаменателем. Сами названия «числитель» и « знаменатель» ввел в употребление греческий ученый - математик Максим Плануд.
Долгое время дроби считались самым трудным разделом математики. У немцев даже сложилась поговорка «Попасть в дроби», что означало оказаться в трудном положении.
Формулы аликвотных дробей
Задачи с использованием аликвотных дробей составляют обширный класс нестандартных задач. Сюда относятся, прежде всего задачи, в которых требуется разделить какие-либо ресурсы на несколько частей с наименьшим количеством действий. Для этого необходимо представить какое-либо число в виде суммы аликвотных дробей.
Например:1/3 = 1/4+1/12,
1/5 = 1/6+1/30,
1/8 = 1/9+1/72
Из данных примеров следует, что знаменатель первой дроби на 1 больше знаменателя данной дроби. Произведение же знаменателя первой дроби и знаменателя данной дроби соответствует знаменателю второй дроби.
Где n – знаменатель данной дроби является натуральным числом, тогда мы можем представить формулу в таком виде как:
+
Доказать это равенство можно, приведя дроби к общему знаменателю и после сокращений увидеть, что формула верна.
Кроме того, следует отметить, что аликвотные дроби можно как складывать, так и вычитать.
Поэтому, разложить в виде суммы двух аликвотных дробей можно по формуле:
+ .
Если преобразовать формулу + ,
то получим следующие равенства:
= и -
Если разложить в виде разности двух аликвотных дробей по формуле: -
то мы увидим, что аликвотную дробь можно представить разностью двух аликвотных дробей, знаменателями которых являются последовательные числа равные их произведению.
Так, например: 1/6 = 1/(2*3) = 1/2-1/3
1/2 = 1/(1*2) = 1/1 – 1/2
1/56 = 1/(7*8) = 1/7-1/8
Решение нестандартных задач
№1. Представить число 1 в виде сумм различных аликвотных дробей.
а) трёх слагаемых:
1= 1/2+1/2=1/2+(1/3+1/6) = 1/2+1/3+1/6
б) четырёх слагаемых:
1=1/2+1/2=1/2+(1/3+1/6)=1/2+1/3+1/6=1/2+1/3+(1/7+1/42)=1/2+1/3+1/7+1/42
в) пяти слагаемых:
1= 1/2+1/2=1/2+(1/3+1/6)=1/2+(1/4+1/12)+(1/7+1/42)=1/2+1/4+1/12+1/7+1/42
г) шести слагаемых:
1=1/2+1/2=1/2+(1/3+1/6)=1/2+1/3+1/6=1/2+(1/4+1/12)+(1/7+1/42)=1/2+1/4+1/12
+((1/8+1/56)+1/42))=1/2+1/4+1/12+1/8+1/56+1/42
№2. Представьте дробь 1/2020 в виде аликвотных дробей.
Существует 2 способа представления дроби 1/2020 в виде суммы и один из них - в виде разности аликвотных дробей.
Это, опять-таки, из-за простоты числа 2020.
1/2020=1/2020+1/4082420=1/4040+1/4040=1/2019-1/4078380
№3. Найти сумму аликвотных дробей 1/2+1/((2*3))+1/((3*4))+1/((4*5))+⋯+1/((19*20))
Решение: воспользуемся формулой для разложения аликвотной дроби в виде разности
1/2=1/((1*2))=1/1-1/2;
1/6=1/((2*3))=1/2-1/3;
1/12=1/((3*4))=1/3-1/4 и т.д.
1/20=1/((4*5))=1/4-1/5;
1/380=1/((19*20))=1/19-1/20.
Подставив, уже разложенные выражения в сумму, получим:
1/1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+…-1/19+1/19-1/20=1/1-1/20=19/20 1/2+1/((2*3))+1/((3*4))+1/((4*5))+⋯+1/((19*20))=19/20
Ответ: 19/20
№4. Найти сумму аликвотных дробей 1/20+1/30+1/42+1/56+1/72+1/90+1/110+1/132
Решение: воспользуемся формулой для разложения аликвотной дроби в виде разности
1/20=1/(4*5)=1/4-1/5;
1/30=1/(5*6)=1/5-1/6;
1/42=1/(6*7)=1/6-1/7;
1/56=1/(7*8)=1/7-1/8;
1/72=1/(8*9)=1/8-1/9;
1/90=1/(9*10)=1/9-1/10;
1/110=1/(10*11)=1/10-1/11;
1/132=1/(11*12)=1/11-1/12
1/4-1/5+1/5-1/6+1/6-1/7+1/7-1/8+1/8-1/9+1/9-1/10+1/10-1/11+1/11-1/12=1/4-1/12= (3-1)/12=2/12=1/6 1/20+1/30+1/42+1/56+1/72+1/90+1/110+1/132=1/6
Ответ: 1/6
№5. Решить уравнение (1/(25*26)+1/(26*27)+1/(27*28)+1/(28*29)+1/(29*30))*150+1,03:[10,3*(х-1)]=11 Решение: упростим уравнение и найдем сумму аликвотных дробей: 1/(25*26)+1/(26*27)+1/(27*28)+1/(28*29)+1/(29*30)
Представим каждую дробь в виде разности аликвотных дробей
1/(25*26)=1/25-1/26; 1/(26*27)=1/26-1/27;
1/(27*28)=1/27-1/28;
1/(28*29)==1/28-1/29;
1/(29*30)=1/29-1/30;
1/25-1/26+1/26-1/27+1/27-1/28+1/28-1/29+1/28-1/29+1/29-1/30=1/25-1/30==(6-5)/150=1/150 1/(25*26)+1/(26*27)+1/(27*28)+1/(28*29)+1/(29*30)=1/150
После нахождения суммы, уравнение примет следующий вид
1/150*150+1,03:[10,3(х-1)]=11
1+1,03:[10,3(х-1) ]=11
1,03:[10,3(х-1) ]=10
[10,3(х-1) ]=1,03:10
10,3(х-1) = 0,103
х-1 = 0,01
х =1,01
Ответ: 1,01
№6. Найти сумму
1/(10*11)+1/(11*12)+…+1/(98*99)+1/(99*100)=?
Чтобы найти решение данной задачи необходимо найти сумму
1/(1*2)+1/(2*3)+…+1/(98*99)+1/(99*100)=99/100
И вычесть из нее сумму
1/(1*2)+1/(2*3)+…+1/(8*9)+1/(9*10)=9/10
99/100-9/10=(99-90)/100=9/100=0,09
Заключение
Таким образом, при разработке данной темы, я узнала, что первыми дробями, которыми оперировали люди, были аликвотные дроби.
Задачи с использованием аликвотных дробей составляют обширный класс нестандартных задач. Аликвотные дроби используются тогда, когда требуется что-то разделить на несколько частей с наименьшим количеством действий для этого.
Разложение дробей на две аликвотные дроби систематизировали в виде формулы, преобразовав которую, легко решили олимпиадные задачи по математике разных лет.
Решив проблему разложения аликвотных дробей на две аликвотные дроби, мы пришли к выводу, что разложение на три, четыре, пять и т.д. аликвотных дробей можно произвести, разложив одно из слагаемых на две дроби, следующее слагаемое еще на две аликвотные дроби и т.д.
Поэтому решения задач с применением аликвотных дробей – это занимательный процесс, развивающий мышление и логику, который помогает решать нестандартные и олимпиадные задачи по математике разных лет.
Список использованных источников и литературы
Баженов И.И, А.Г.Порошкин А.Г. и др. Задачи для школьных математических кружков. - Сыктывкар, 1994.
Бородин А.И. Из истории арифметики, Головное издательство «Ваша школа» - К., 1986
Гаврилова Т.Д. Занимательная математика, 5-11классы. - Волгоград: Учитель, 2008.
Левитас Г.Г. Нестандартные задачи по математике. - М.: ИЛЕКСА, 2007.
Петерсон Л. Г. Математика, 5класс. – М.:Ювента, 2016.
Фарков А. В. Математические олимпиады в школе, 5-11классы. – М.: Айрис-пресс, 2012.
Фарков А.В. Математические олимпиады 5-6 классы.- М: Издательство «Экзамен». – М.:2019
Энциклопедический словарь юного математика для среднего и старшего школьного возраста, М.: Педагогика,1989.