IX Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Кривая Гаусса
Автор работы награжден дипломом победителя I степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
В современном мире жизнь каждого учащегося во многом зависит от сдачи экзаменов, ведь именно этот способ проверки знаний ставят в приоритет большинство учебных заведений.
Актуальность. Многие ученики считают, что результаты, которые они получают в ходе этих тестов, недостоверно отражают уровень их интеллекта. Изучив эту проблему более глубоко, мы узнали, что составители общероссийских тестов пользуются кривой Гаусса, т.е. кривой нормального распределения, а это значит, что их результаты должны ей соответствовать. Поэтому, в своей научно-исследовательской работе мы решили определить соответствуют ли задания ОГЭ, ЕГЭ и ВПР гауссовой кривой.
Цель работы: изучить применение кривой Гаусса составителями контрольных тестов и выяснить, соответствуют ли общепринятые экзамены кривой нормального распределения
Задачи:
1)Анализ литературы и сбор информации по теме «Кривые линии. Кривая Гаусса»
2)Проведение общепринятых школами тестов для обучающихся экзаменуемых классов
3)Произведение статистического анализа результатов теста
4)Сравнение полученных графиков с кривой Гаусса
5)Обобщение и систематизация полученных результатов
Методы исследования:
1)Изучение литературы и интернет источников
2)Статистический анализ
4)Тестирование учащихся
5)Построение графиков
6)Сравнение
7)Синтез полученной информации
Объект исследования: кривая Гаусса
Предмет исследования: тесты для учащихся 5, 9 и 11 классов
Глава 1. Теоретические аспекты исследования кривых линий
1.1. Понятие кривой линии
Кривая линия - это множество точек пространства, координаты которых являются функциями одной переменной. Термин "кривая" в разных разделах математики определяется по-разному.
Кривую линию можно рассматривать как траекторию движения точки на плоскости или в пространстве, а также как совокупность точек, удовлетворяющих определенному уравнению. Кривая линия может являться результатом пересечения между собой кривых поверхностей или кривой поверхности и плоскости..
Каждая кривая включает в себя геометрические элементы, которые составляют её определитель, т.е. совокупность независимых условий, однозначно определяющих эту кривую.
Различны и способы задания кривых:
Аналитический - кривая задана математическим уравнением;
Графический - кривая задана визуально на носителе графической информации;
Табличный - кривая задана координатами последовательного ряда точек.
Уравнением кривой линии называется такое соотношение между переменными, которому удовлетворяют координаты точки, принадлежащей кривой.
В основу классификации кривых положена природа их уравнений.
1.2. Алгебраические и трансцендентные кривые линии
Кривые подразделяются на алгебраические и трансцендентные в зависимости от того, являются ли их уравнения алгебраическими или трансцендентными в прямоугольной системе координат.
Закономерные линии описываются уравнениями и делятся на алгебраические второго и высшего порядков и трансцендентные, описываемые тригонометрическими функциями. Кривая линия, представленная в декартовых координатах уравнением n- й степени, называется алгебраической кривой n-го порядка.
Порядок плоской алгебраической кривой линии определяется наибольшим числом точек её пересечения прямой линией. Любая прямая линия может пересекать алгебраическую кривую линию n-го порядка не более чем в n точках.
Трансцендентные кривые в отличие от алгебраических могут иметь бесконечное количество точек пересечения с прямой, точек перегиба, вершин и т.п.
Кривая линия как траектория движущейся точки должна быть непрерывной.
Движущаяся точка в любом положении должна иметь определенное направление движения. Это направление указывает прямая (касательная), проходящая через рассматриваемую точку
Кривизна произвольной кривой линии в различных точках различна, в отдельных точках она может быть равна нулю. Такие точки называются точками спрямления.
Кривизна в каждой из точек плоской кривой а определяется с помощью соприкасающейся в этой точке окружности.
1.3. Кривая Гаусса
Распределением называется закономерность встречаемости признака и разных его значений. Форма распределения является некоторой обобщенной характеристикой выборки.
Распределение частоты полученных результатов в виде графиков и гистограмм дает важную предварительную информацию о форме распределения признака, а именно о том, какие значения встречаются реже, какие чаще, насколько выражена изменчивость признака. Выделяют следующие типичные формы эмпирического распределения.
Равномерное распределение — когда все значения встречаются с одинаковой частотой.
Симметричное распределение — когда с одинаковой частотой встречаются крайние значения признака.
Асимметричное распределение — может быть левосторонним (когда преобладает частота малых значений) или правосторонним (когда преобладает частота больших значений).
Нормальное распределение — идеальный стандарт распределения, когда крайние значения встречаются редко и частота встречаемости постепенно повышается от крайних к серединным значениям признака.
Нормальный закон распределения играет важнейшую роль в применении математико-статистических методов в психологии. Он лежит в основе измерений, разработки тестовых шкал, методов проверки гипотез.
Нормальное распределение — вид распределения переменных, характеризуемый тем, что крайние значения признака в нем появляются достаточно редко, а значения, близкие к средней величине, — достаточно часто. Нормальным такое распределение называется потому, что оно очень часто встречалось в естественнонаучных исследованиях и казалось «нормой» всякого массового проявления признаков. Это распределение следует закону, открытому в разное время: Муавром в 1733 г. в Англии, Гауссом в 1809 г. в Германии и Лапласом в 1812 г. во Франции.
Процентное распределение случаев под нормальной кривой
График нормального распределения представляет симметричную унимодальную колоколообразную кривую (верхняя часть колокола), осью которой является вертикаль (ордината), проведенная через точку 0.
Закон нормального распределения имеет следующую формулировку: «Если индивидуальная изменчивость некоторого свойства есть следствие действия множества причин, то распределение частот для всего многообразия проявлений этого свойства в генеральной совокупности соответствует кривой нормального распределения» (Наследов А. Д., 2007, с. 51).
Чтобы установить, подчиняется ли эмпирическое распределение изучаемой величины нормальному закону, необходимо сопоставить сведения о свойствах этой величины и условиях ее изучения со свойствами функций нормального распределения. Это сопоставление вначале является качественным, а потом осуществляется специальными количественными методами (Сыромятников И. В., 2005).
Подтверждение нормального закона распределения будет означать, что полученная эмпирическая кривая не требует нормализации. Распределение можно рассматривать как репрезентативное по отношению к генеральной совокупности и на его основе определить репрезентативные оценочные нормы.
Если распределение отличается от нормального, то это означает, что либо выборка нерепрезентативна генеральной совокупности, либо измерения произведены не в шкале равных интервалов.
Наиболее важным общим свойством разных кривых нормального распределения является одинаковая доля площади под кривой между одними и теми же двумя значениями признака, выраженными в единицах стандартного отклонения.
М ± о соответствует 68 % (точно — 68,26 %) площади;
М ± 2о соответствует 95 % (точно — 95,44 %) площади;
М±3а соответствует 100 % (точно — 99,72 %) площади.
Полезно знать, что если распределение является нормальным, то:
90 % всех случаев располагается в диапазоне значений М ± 1,64 о;
95 % всех случаев располагается в диапазоне значений М± 1,96 а;
99 % всех случаев располагается в диапазоне значений М±2,58 о.
График функции y=ϕ(x) называют гауссовой кривой. Это «колоколообразная» кривая. Она имеет единственную точку максимума, симметрична относительно оси ординат, площадь под этой кривой равна единице. Она очень быстро асимптотически приближается к оси абсцисс.
Графики функций выравнивающих гистограммы похожи друг на друга. Все эти кривые распределения получаются из гауссовой кривой. Её часто называют кривой нормального распределения.
1.4. Правила построения кривой нормального распределения
Один из способов построения нормальной кривой по опытным данным наблюдений (либо экспериментов) заключается в следующем:
* находят и например, по методу произведений;
* находят ординаты (выравнивающие частоты) теоретической кривой по формуле где сумма наблюдаемых частот, разность между двумя соседними вариантами
и
* строят точки в прямоугольной системе координат и соединяют их плавной линией.
Близость выравнивающих частот к наблюдаемым подтверждает правильность допущения о том, что обследуемый признак распределен нормально.
В качестве иллюстрации, рассмотрим следующий пример.
Построим нормальную кривую по данным
|
варианта |
15 |
20 |
25 |
30 |
35 |
40 |
45 |
50 |
55 |
|
частота |
6 |
13 |
38 |
74 |
106 |
85 |
30 |
10 |
4 |
|
Рис. 5. |
На рис. 4 построена нормальная (теоретическая) кривая по выравнивающим частотам (см. рис. 4) и полигон наблюдаемых частот (они изображены на рис. 5).
Сравнение графиков визуально показывает, что построенная теоретическая кривая удовлетворительно отражает данные наблюдений.
Для того, чтобы более уверенно считать, что данные наблюдений свидетельствуют о нормальном распределении признака, необходимо использовать специальные правила (их называют критериями согласия)
Глава 2. Практическое исследование соответствия кривой Гаусса контрольным тестам
Изучив теоретический материал по данной теме, мы приступили к практической части. Для анализа были взяты 150 учеников МАОУ «Гимназия №6»: 36 учеников 11-х классов, 55 учеников 9-х классов и 59 учеников 5-х классов. В нашей школе были проведены тесты ОГЭ, ЕГЭ и ВПР в соответствующих параллелях, на основе результатов этих тестов были составлены графики, сопоставляемые с гауссовой кривой. На оси ординат графиков расположено кол-во человек, получивших тот или иной балл, а на оси абсцисс – результат, переведенный из первичных баллов в стобалльную систему
2.1. Статистический анализ тестов ТЕГЭ (ЕГЭ)
Результаты первой группы (результаты ТЕГЭ среди 11-х классов)
На полученных нами графиках видно, что, если мы учитываем небольшую погрешность, то результаты ТЕГЭ по русскому языку и математике соответствуют кривой Гаусса. Значит, задания для проверки знаний одиннадцатиклассников составлены верно и показывают реальный уровень подготовки учеников по данному предмету.
2.2.Статистический анализ тестов ТОГЭ (ОГЭ)
Результаты второй группы (ТОГЭ среди 9-х классов)
Проверив группу девятых классов, можно сделать вывод, что тест ТОГЭ по математике составлен правильно, т.к. результаты по этому предмету выстраиваются в кривую Гаусса. А тест по русскому языку, напротив, отражает, что экзамен оказался слишком простым для учеников гимназии, вследствие чего выявлено слишком большое количество высоких показателей.
Также мы решили узнать, соответствуют ли результаты ОГЭ-2019 по Российской Федерации получившимся в ходе исследования выводам. Поскольку статистика учеников по России находится в общем доступе, мы ее проанализировали и составили графики:
Проведя статистический анализ, мы видим, что получен аналогичный итог: результаты по русскому языку много выше результатов по математике, а значит, тест ОГЭ-2019 по русскому языку оценивает учеников необъективно.
2.3.Статистический анализ тестов ВПР
Результаты третьей группы (ВПР и промежуточный тест для 5-х классов)
Проанализировав графики третьей группы, можно сказать, что результаты схожи с результатами в девятых классах: тест по математике составлен таким образом, что объективно оценивает знания учеников, его результаты соответствуют гауссовой кривой, а тест по русскому языку показал слишком большое количество высоких результатов (его можно считать составленным неверно)
Заключение
Выводы
Проделав научно-исследовательскую работу, можно сделать следующие выводы:
1)Кривая Гаусса довольно часто используется создателями тестов, ведь статистический анализ работ, соответствующих ей, показывает более достоверные результаты оценки знаний учащихся.
2)Тесты ТЕГЭ (а значит и ЕГЭ) составлены верно, т.к. они легко сопоставляются с кривой Гаусса. Это говорит о том, что при поступлении в ВУЗы учитывается объективный уровень изучения предмета.
3)Графики, составленные по ТОГЭ и ВПР, говорят о том, что тесты имеют упрощенный уровень по русскому языку, ведь детей, сдавших экзамен на оценку «отлично» значительно больше, нежели имеющих не проходной балл или оценку «удовлетворительно».
Можно сделать предположение, что экзамен по русскому языку учащиеся сдают на более высокий балл, потому что это их родной язык. Но в таком случае составителям заданий нужно учитывать этот критерий и подбирать задания сложнее, чем на данный момент, если они хотят добиться высокого уровня подготовки по данному предмету.
Список использованных источников и литературы
1) Гаусс, К.Ф. Труды по теории чисел / Пер. с англ. Под ред. И.М. Виноградова. - М.: ЁЁ Медиа, 2012 – 978 с.
2) Гауссова кривая, закон больших чисел [Электронный ресурс] // Кривая Гаусса. URL: https://www.yaklass.ru/p/algebra/11-klass/matematicheskaia-statistika-9176/gauscova-krivaia-zakon-bolshikh-chisel-10288/re-161d12ad-5034-4bae-8bcb-204dcd940823 / (дата обращения - 07.01.2020)
3) Инженерная графика [Электронный ресурс] // Кривые линии, общие сведения о кривых линиях и проецировании. URL: https://studme.org/84071/tehnika/krivye_linii / (дата обращения - 11.01.2020)
4) Казарян, М.Э. Алгебраические кривые по направлению к пространствам модулей / М.Э. Казарян, С.К. Ландо, В.В. Прасолов. – М:. - МЦНМО, 2019 – 274 с.
5) Мир математики: в 40т. Т.4: Жуан Гомес. Когда прямые искривляются. Неевклидовы геометрии. / Пер. с англ. – М.: - Де Агостини, 2014 – 160с.
6) Начертательная геометрия [Электронный ресурс] // Лекция №7-1. Кривые линии . URL:https://vuzlit.ru/843223/-_krivye_linii#369/ (дата обращения: 11.01.2020)
7) Построение нормальной кривой распределения по опытным данным [Электронный ресурс] // URL: http://po-teme.com.ua/vysshaya-matematika/prikladnaya-matematika/2038-postroenie-normalnoj-krivoj-raspredeleniya-po-opytnym-dannym. / (дата обращения - 07.01.2020)
8) Психодиагностика ребенка [Электронный ресурс] // Кривая нормального распределения Гаусса и гистограмма. URL: https://studref.com/415556/psihologiya/krivaya_normalnogo_raspredeleniya_gaussa_gistogramma / (дата обращения - 04.01.2020)
9) Харрис, Дж. Модули кривых. Вводный курс / Дж. Харрис, Я. Моррисон. – М:. – Мир, 2004 - 448 с.