IX Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Возводить в квадрат легко и просто
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение.
Математика – очень древняя наука. Многие понятия, правила, законы, формулы уже известны давно, и открыть что-то новое, просто невозможно. Всё равно на уроке математики мы открываем для себя новые знания. Из года в год наши знания увеличиваются. Например, при изучении темы «Степень» узнали, что произведение одинаковых множителей можно записать, как степень данного числа. Так мы познакомились с квадратом и кубом числа.
Устно возводить в квадрат однозначное число легко, для этого надо знать всего лишь таблицу умножения. А как устно возвести в квадрат двузначное число, меня очень заинтересовало.
Умея это выполнять, мы откажемся от письменного умножения. Конечно, можно посмотреть в таблицу квадратов, но она не всегда под руками.
Цель проекта: Поиск приёмов быстрого возведения чисел в квадрат.
Задачи: 1) Познакомиться с историей возникновения степени числа.
2) Изучить приёмы быстрого возведения чисел в квадрат.
3) Вывести свой способ возведения чисел в квадрат.
4) Выбрать из всех самый оптимальный способ.
Гипотеза: Применение приёмов быстрого возведения чисел в квадрат облегчает вычисления, повышает вычислительную культуру учащихся. Возводить в квадрат легко и просто.
Объект исследования: приёмы быстрого возведения чисел в квадрат.
Методы исследования: Анализ литературы. Поисковый метод. Сравнение.
Актуальность проекта: Во все времена умение производить в уме различные вычисления вызывает восхищение, это отличное упражнение, позволяющее поддержать мозг в состоянии «боевой готовности»[1]. Освоение способов устного возведения чисел в квадрат усиливает интерес к математике, развивает внимание, мышление, память, эрудицию и математические способности.
Основная часть
История возникновения квадрата числа.
Сложение, вычитание, умножение и деление идут первыми в списке арифметических действий. У математиков не сразу сложилось представление о возведении в степень как о самостоятельной операции, хотя в самых древних математических текстах Древнего Египта и Междуречья встречаются задачи на вычисление степеней[5].
В своей знаменитой «Арифметике» Диофант Александрийский [2] описывает первые натуральные степени чисел так:
«Все числа… состоят из некоторого количества единиц; ясно, что они продолжаются, увеличиваясь до бесконечности. …среди них находятся: квадраты, получающиеся от умножения некоторого числа самого на себя; это же число называется стороной квадрата, затем кубы, получающиеся от умножения квадратов на их сторону, далее квадрато-квадраты — от умножения квадратов самих на себя, далее квадрато-кубы, получающиеся от умножения квадрата на куб его стороны, далее кубо-кубы — от умножения кубов самих на себя».
П рошло много времени и у Рене Декарта[3] в его «Геометрии» (1637) мы находим современное обозначение степеней а?, а?,... Любопытно, что Декарт считал, что а*а не занимает больше места, чем а2 и не пользовался этим обозначением при записи произведения двух одинаковых множителей.
Немецкий ученый Лейбниц[4] считал, что упор должен быть сделан на необходимости применения символики для всех записей произведений одинаковых множителей и
применял знак а2[5].
Приёмы быстрого возведения чисел в квадрат.
У чись считать быстро! Для овладения этим навыком любому человеку нужны:
Способности;
Алгоритмы;
Тренировка;
Опыт.
Давайте познакомимся с некоторыми приёмами возведения в квадрат двузначных чисел, которые выполняются почти мгновенно[1].
Возведение в квадрат числа, оканчивающегося на 5.
352 = 3 · (3 + 1) · 100 + 5 · 5 = 1200 + 25 = 1225.
752 = 5600 + 25 = 5625.
852 = 7225.
Чтобы возвести в квадрат число, оканчивающееся цифрой 5, надо умножить количество его десятков на следующее за ним число и приписать к произведению 25.
Возведение в квадрат числа, первая цифра которого равна 5.
522 = (5 · 5 + 2) · 100 + 2 · 2 = 2700 + 4 = 2704.
542 = (25 + 4) · 100 + 16 = 2916.
582 = 3300 + 64 = 3364.
512 = 2601.
Чтобы возвести в квадрат двузначное число, первая цифра которого равна 5, надо к 25 прибавить число единиц и приписать квадрат числа единиц.
Если квадрат числа единиц является однозначным числом, то перед ним записать цифру нуль.
Возведение в квадрат числа, оканчивающегося на 1.
712; 71→70→702 = 4900; 712 = 4900 + 71 + 70 = 5041.
412 = 1600 + 41 + 40 = 1881.
812 = 6400 + 161 = 6561.
При возведении в квадрат числа, оканчивающегося на 1, нужно округлить число до десятков, возвести новое число в квадрат, и прибавить к этому квадрату исходное число и число, полученное при округлении.
Возведение в квадрат числа, оканчивающегося на 9.
592; 59 → 60→602 =3600; 592 = 3600 – 60 – 59 = 3600 – 119 = 3481.
292 = 900 – 29 – 30 = 841.
792 = 6400 – 159 = 6241.
При возведении в квадрат числа, оканчивающегося на 9, нужно его округлить до десятков, возвести новое число в квадрат и из этого квадрата вычесть исходное число и число, полученное при округлении.
Возведение в квадрат числа, оканчивающегося на 4.
842; 84→85→852 = 7225; 842 = 7225 – 84 – 85 = 7225 – 169 = 7056.
342 = 1225 – 34 – 35 = 1225 – 69 = 1156.
742 = 5625 – 149 = 5476.
При возведении в квадрат числа, оканчивающегося на 4, нужно заменить цифру 4 на 5, возвести новое число в квадрат и из этого квадрата вычесть исходное число и число, полученное заменой 4 на 5.
Возведение в квадрат числа, оканчивающегося на 6.
562; 56→55→552 = 3025; 562 = 3025 + 56 + 55 = 3025 + 111 = 3136.
362 = 1225 + 36 + 35 =1296.
762 = 5625 + 151 = 5776.
При возведении в квадрат числа, оканчивающегося на 6, нужно заменить цифру 6 на 5, возвести новое число в квадрат, и прибавить к этому квадрату исходное число и число, полученное заменой 6 на 5.
Возведение в квадрат числа, близкого к 50.
а) Для чисел от 40 до 50 (числа пятого десятка). Опорное число – 15.
1) 442 = (15 + 4) · 100 + (50 – 44)2 = 1900 + 36 = 1936.
2) 432 = 18 · 100 + 72 = 1800 + 49 = 1849.
3) 482 = 2300 + 4 = 2304.
Чтобы возвести в квадрат числа пятого десятка (41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49), надо к числу 15 прибавить число единиц числа, затем к полученной сумме приписать квадрат дополнения данного числа до 50.
б) Для чисел от 25 до 40 и до 50. Опорное число – 25.
1) 372 = (37 – 25) · 100 + (50 – 37)2 = 12 · 100 + 132 = 1200 + 169 = 1369.
Для этого приёма надо знать квадраты чисел от 1 до 25.
2) 282 = 3 · 100 + 222 = 300 + 484 = 784.
3) 462 = 2100 + 16 = 2116.
4) 392 = 1400 + 121 = 1521.
Чтобы возвести в квадрат число от 25 до 50, надо из данного числа вычесть 25, результат умножить на 100 и прибавить квадрат дополнения данного числа до 50.
в) Для чисел от 50 до 60 (числа шестого десятка). Опорное число – 25.
1) 572 = (25 +7) · 100 + (57 – 50)2 = 32 · 100 + 72 = 3200 + 49 = 3249.
2) 522 = 2700 + 4 = 2704.
3) 592 = 3481.
Чтобы возвести в квадрат число шестого десятка (51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59), надо к 25 прибавить число единиц, затем к полученной сумме приписать квадрат разности данного числа и 50.
Если квадрат числа единиц является однозначным числом, то перед ним записать цифру нуль.
г) Для чисел от 50 до 60 и до 75. Опорное слово – 25.
Для этого приёма надо знать квадраты чисел от 1 до 25.
1) 582 = (58 – 25) · 100 + (58 – 50)2 = 33 · 100 + 82 = 3300 + 64 = 3364.
2) 712 = 46 · 100 + 212 = 4600 + 441 = 5041.
Чтобы возвести в квадрат числа от 50 до 75, надо из данного числа вычесть 25, результат умножить на 100 и прибавить квадрат разности данного числа и 50.
Возведение в квадрат числа, близкого к 100.
972 = (97 – 3) · 100 + 32 = 9400 + 9 = 9409, где 3 – дополнение 97 до 100.
942 = (94 – 6) · 100 + 62 = 8800 + 36 = 8836.
982 = 9604.
Чтобы возвести в квадрат число, близкое к 100, надо из него вычесть дополнение данного числа до 100, к результату приписать квадрат дополнения.
Если квадрат дополнения является однозначным числом, то перед ним записать цифру нуль.
Возведение в квадрат любого двузначного числа.
а) Метод «пирамидка».
382 = (30 + 8)2 = (30 + 8) · (30 + 8) = (30 + 8) · 30 + (30 + 8) · 8 = 30 · 30 + 8 · 30 +
+ 30 · 8 + 8 · 8 = 3 · 3 · 100 + 3 · 8 · 10 + 3 · 8 · 10 + 8 · 8 = 32 · 100 + 3 · 8 · 2 · 10 + + 82 = 9 · 100 + 48 · 10 + 64 = 964 + 480 = 1444.
М ожно оформить решение так: 382 = 964 32 = 3 · 3 = 9 и 82 = 8 · 8 = 64 ⇒ 964
24 3 · 8 · 10 = 240 или 24 десятка
+ 24 3 · 8 · 10 = 240 или 24 десятка, поэтому
1444 можно под числом 964 записать два
раза число 24, сдвинув его на одну
цифру влево, получилась «пирамидка».
272 = 449 + 280 = 729.
842 = 6416 + 640 = 7056.
б) Метод «перекидки».
422 = 42 · 42 = (42 + 2) · 40 + 22 = 44 · 40 + 4 = 1760 + 4 = 1764
782 = (78 + 8) · 70 + 64 = 86 · 70 + 64 = 6020 + 64 = 6084.
в) Метод «округления».
1) Для чисел, у которых цифра единиц больше 5:
472 = 47 · 47 = 50 · (47 – 3) + 32 = 50 · 44 + 9 = 2200 + 9 = 2209.
262 = 30 · 22 + 16 = 660 + 16 = 676.
Для чисел, у которых цифра единиц меньше 5:
732 = 73 · 73 = 70 · (73 + 3) + 32 = 70 · 76 + 9 = 5320 + 9 = 5329.
822 = 80 · 84 + 4 = 6720 + 4 = 6724.
г) Метод замены квадрата числа произведением.
292 = (29 – 9) · (29 + 9) + 92 = 20 · 38 + 81 = 760 + 81 = 841.
862 = (86 – 6) · (86 + 6) + 62 = 80 · 92 + 36 = 7360 + 36 = 7396.
542 = 50 · 58 + 16 = 2900 + 16 = 2916.
д) Метод понижения числа на единицу.
282 = (28 – 1)2 + 28 + (28 – 1) = 272 + 28 + 27 = 729 + 55 = 784.
562 = 552 + 56 + 55 = 3025 + 111 = 3136.
Минус этого приёма в том, что квадрат данного двузначного числа выражаем через квадрат числа на единицу меньше, который надо либо вычислять, либо снова понижать, и так до бесконечности.
Возведение в квадрат любого двузначного числа по методу Алины.
Приёмов возведения двузначных чисел в квадрат много и все они разные. Для каждой группы чисел надо знать своё правило, а удержать все правила в уме иногда невозможно.
Собирая материал для проекта, мне захотелось вывести свой приём быстрого возведения двузначного числа в квадрат.
Очень понравился приём возведения в квадрат чисел, оканчивающихся на 5. Он быстрый и понятный. А можно ли этот приём применить для любого числа? Изучая литературу, я нигде этого способа не увидела. Применяя его для любых двузначных чисел, вот что у меня получилось.
Напомню: 352 = 3 · (3 + 1) · 100 + 52 = 1200 + 25 = 1225.
Возведём по этому способу в квадрат число 36.
Мы знаем, что 362 = 1296.
3 · (3 + 1) · 100 + 62 = 1200 + 36 = 1236, но 1236 1296. Число 1236 < 1296 на 60.
Где же взять число 60? Можно догадаться, что 60 = 30 · 2, то есть удвоенное число десятков. Тогда получаем:
362 = 3 · 4 · 100 + 62 + 30 · 2 = 1236 + 60 = 1296.
Рассмотрим другие примеры.
562 = 5 · 6 · 100 + 62 + 50 · 2 = 3000 + 36 + 100 = 3036 + 100 = 3136.
462 = 2036 + 40 · 2 = 2036 + 80 = 2116.
Я много раз возводила числа в квадрат и увидела такую закономерность:
Выпишем цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
В этом ряду цифра 5 занимает середину; 4 и 6 отличаются от 5 на 1, они стоят на первом месте от 5; 3 и 7 – на втором; 2 и 8 – на третьем; 1 и 9 на четвёртом.
Пусть, например, надо возвести в квадрат число 39. Цифра 9 стоит на четвёртом месте от цифры 5, число 4 удваиваем, это будет 8, а теперь применяем приём:
392 = 3 · 4 · 100 + 92 + 30 · 8 = 1200 + 81 + 240 = 1281 + 240 = 1521.
240 можно представить так: 30 · 2 · 4, то есть десятки числа удвоить и умножить на номер места цифры единиц от цифры 5.
А как возвести в квадрат число, если цифра единиц меньше 5. Например, 732.
Число 73 < 75, значит, применяя приём возведения в квадрат для 75, квадрат числа 73 будет меньше.
732 = 5329;
732 = 5609 – применяя приём возведения в квадрат для числа, оканчивающегося на 5. Но 5329 5609.
Решим уравнение: 732 = 5609 – х
5329 = 5609 – x
х = 5609 – 5329
х = 280, где 280 = 70 · 2 · 2, первая двойка удваивает число десятков в числе; вторая двойка обозначает номер места цифры 3 от цифры 5.
Эврика! Способ найден!
732 = 7 · 8 ·100 + 3 · 3 – 70 · 2 · 2 = 5609 – 280 = 5329.
М ожно оформить решение и так: 732 = 5609 7 · 8 = 56; 3 · 3 = 9 ⇒ 5609
- 28 70 · 2 · 2 = 280; это 28
5329 десятков, поэтому второе
число можно подписать
под первым, сдвинув его влево на одну цифру.
Чтобы возвести любое двузначное число в квадрат, надо количество десятков умножить на следующее число и приписать квадрат числа единиц. К полученному результату прибавить (или из полученного результата вычесть) удвоенное произведение десятков числа, умноженное на порядковый номер места цифры единиц в числовом ряду 14, 23, 32, 41, 5, 61, 72, 83, 94 от цифры 5.
Если квадрат числа единиц является однозначным числом, то перед ним записать цифру нуль.
Какой приём возведения двузначного числа в квадрат наиболее простой? Для себя я выбрала два приёма. Мне они оба понятные и несложные.
682 = 62 · 100 + 82 + 60 · 8 + 60 · 8 = 3664 + 480 + 480 = 3664 + 960 = 4624.
682 = 6 · 7 · 100 + 82 + 60 ·2 · 3 = 4264 + 360 = 4624.
Какой приём выберите вы, думайте сами. Вам решать.
Заключение.
Владение приёмами быстрого возведения двузначного числа в квадрат даёт возможность выбрать в каждом отдельном случае наиболее рациональные и эффективные пути вычислений, что приводит:
к сокращению времени на вычисления;
к защите от массы вычислительных ошибок;
к ведению записи в строчку и отказа от традиционного письменного умножения.
Считаю, что возводить двузначные числа в квадрат легко и просто. Гипотеза доказана.
Умение считать в уме остаётся полезным навыком для современного человека, несмотря на то, что он владеет всевозможными устройствами, способными считать за него.
Возможность обходиться без калькулятора и в нужный момент оперативно решить поставленную арифметическую задачу – это здорово[5]!
Литература
Умножай с умом. Учебно-методическое пособие для учащихся общеобразовательных учреждений /Лаптева Т.П. – М.: Перо, 2017.
https://ru.wikipedia.org/wiki/Диофант_Александрийский
https://ru.wikipedia.org/wiki/Геометрия_(Декарт)
https://ru.wikipedia.org/wiki/Лейбниц,_Готфрид_Вильгельм
https://mirurokov.ru/открытый-урок/возведение-в-степень/история-возникновения-степени-числа.html
14