От разложения натуральных чисел на простые множители к разложению многочлена на множители

IX Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке

От разложения натуральных чисел на простые множители к разложению многочлена на множители

Ворончихина А.В. 1
1МБОУ "ООШ № 12" Асбестовского городского округа
Самофалова В.В. 1
1МБОУ "ООШ № 12"
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Введение

 

В начале 6 класса на уроках математики мы изучили тему «Разложение натуральных чисел на простые множители».

 

Оказалось, что разложение натуральных чисел на простые множители не всегда бывает легко: хорошо, если натуральное число делится на такие простые числа как 2, 3, 5, так как есть признаки делимости на 2, 3, 5 и они помогают, не выполняя непосредственного деления понять, делится натуральное число на них или нет.

Если натуральное число не делится ни на 2, ни на 3, ни на 5, то возникает двойная проблема: с одной стороны про каждое следующее натуральное число трудно понять, является ли оно простым; с ругой стороны не понятно, делится ли данное простое число на это простое число.

Несмотря на все проблемы, связанные с разложением натуральных чисел на простые множители, трудно недооценить огромное практическое значение этого умения, так как разложение натуральных чисел на простые множители я использовала при выполнении многих заданий в шестом классе и продолжаю использовать это умение при выполнении заданий в седьмом классе.

В 7 классе на уроках алгебры мы сначала учились раскрывать скобки, умножая одночлен на многочлен и многочлен на многочлен, затем стали учиться раскладывать многочлены на множители и это оказалось гораздо сложнее. Чтобы успешно раскладывать многочлен на множители, нужно знать различные способы разложения многочлена на множители, уметь применять изученные способы в комплексе.

Цель проекта: установить связь между разложением натуральных чисел на простые множители и разложением многочлена на множители.

Задачи:

Систематизировать знания о разложении натуральных чисел на простые множители.

Придумать и решить интересные задания, в которых без разложения натуральных чисел на простые множители трудно было бы обойтись.

Начать изучать способы разложения многочлена на множители.

Придумать и решить задания на разложение многочлена на множители с применением разложения натуральных чисел на простые множители.

Познакомиться с различными типами заданий, в которых применяется разложение на множители.

Гипотеза: приступив к изучению темы «Разложение многочлена на множители» не стоит забывать о теме «Разложение на простые множители натуральных чисел».

1. Теоретическая часть

1.1 Разложение натуральных чисел на простые множители

Натуральные числа это числа, которые мы используем при счете, то есть натуральные числа:

Простые числа это натуральные числа, которые имеют только два натуральных делителя: единицу и само это число, то есть простые числа: 2, 3, 5, Например, простое число, так как делится только на и на

Составные числа это натуральные числа, которые имеют больше двух натуральных делителей, то есть составные числа: Например, составное число, так как делится не только на и на , а еще, например, на .

1 - натуральное число, которое не относят ни к простым числам, ни к составным числам.

Разложить число на простые множители, значит представить его в виде произведения простых множителей (обычно произведение одинаковых множителей в разложении числа на простые множители заменяют степенью), например: , то есть .

Раскладывая составное число на простые множители удобно использовать:

Признаки делимости на 2, на 3 и на 5:

если запись натурального числа оканчивается четной цифрой, то это натуральное число делится нацело на 2;

если сумма цифр в записи натурального числа делится нацело на 3, то это натуральное число делится нацело на 3;

если последняя цифра в записи натурального числа 0 или 5, то это натуральное число делится нацело на 5;

Правило: одно натуральное число делится на другое натуральное число, если его можно представить в виде суммы слагаемых, каждое из которых делится на это натуральное число (например, 784 делится нацело на 7, так как 784 можно представить в виде суммы слагаемых 770 и 14, каждое из которых делится на 7);

Таблицу простых чисел.

Разложение составного числа на простые множители удобно осуществлять в «числовой столбик», придерживаясь следующего алгоритма:

сначала делим данное составное число на 2 (если делится) и делим до тех пор, пока делится;

как только данное составное число перестало делиться на 2, делим его (если делится) на следующее простое число, то есть на 3 и делим до тех пор, пока делится;

и так далее делим на 5, 7, 11, 13, …

Пример разложения составного числа на простые множители в виде «числового столбика»:

2

9

4

0

2

1

4

7

0

2

 

7

3

5

3

 

2

4

5

5

   

4

9

7

     

7

7

     

1

 

Разложение составного числа на простые множители удобно использовать:

при нахождении наибольшего общего делится натуральных чисел;

Наибольший общий делитель натуральных чисел это наибольшее натуральное число, на которое делится без остатка каждое из данных натуральных чисел (например, наибольший общий делитель 72 и 16, так как это наибольшее натуральное число, на которое 72 и 16 делятся без остатка).

Чтобы найти наибольший общий делитель натуральных чисел с помощью разложения натуральных чисел на простые множители, нужно разложить эти числа на простые множители и в наибольший общий делитель взять каждый простой множитель в наименьшей степени.

Например, найти наибольший общий делитель чисел 1960 и 4125.

Решение:

1

9

6

0

2

 

9

8

0

2

 

4

9

0

2

 

2

4

5

5

   

4

9

7

     

7

7

     

1

 

4

1

2

5

3

 

1

3

7

5

5

 
 

2

7

5

5

 
   

5

5

5

 
   

1

1

1

1

     

1

   

Ответ: 5

при нахождении наименьшего общего кратного натуральных чисел;

Наименьшее общее кратное натуральных чисел это наименьшее натуральное число, которое делится на каждое из двух данных натуральных чисел без остатка (например, наименьшее общее кратное 72 и 16, так как наименьшее натуральное число, которое делится на 72 и на 16).

Чтобы найти наименьшее общее кратное двух натуральных чисел с помощью разложения на простые множители, нужно разложить эти числа на простые множители и в наименьшее общее кратное взять каждый простой множитель в наибольшей степени.

Например, найти наименьшее общее кратное чисел 1960 и 4125.

Решение:

1

9

6

0

2

 

9

8

0

2

 

4

9

0

2

 

2

4

5

5

   

4

9

7

     

7

7

     

1

 

4

1

2

5

3

 

1

3

7

5

5

 
 

2

7

5

5

 
   

5

5

5

 
   

1

1

1

1

     

1

   

Ответ: 1617

Разложение натуральных чисел на простые множители можно использовать при выполнении следующих заданий:

сократить дробь (чтобы сократить дробь, можно разложить числитель и знаменатель на простые множители и сократить на одинаковые множители в разложении);

привести дроби к наименьшему общему знаменателю (наименьший общий знаменатель дробей это наименьшее общее кратное знаменателей);

сравнить дроби (чтобы сравнить дроби можно привести их к наименьшему общему знаменателю);

выполнить сложение/вычитание дробей с разными знаменателями (чтобы выполнить сложение/вычитание обыкновенных дробей с разными знаменателями, нужно привести их к наименьшему общему знаменателю);

выполнить умножение/деление дробей (при умножении/делении дробей можно сокращать, поэтому можно использовать разложение натуральных чисел на простые множители);

решить уравнение (можно упростить уравнение, разделив обе части уравнения на одно и то же, отличное от нуля, число; или избавиться от дробей в уравнении, умножив обе части уравнения на наименьший общий знаменатель дробей);

и так далее.

1.2 Разложение многочлена на множители

Способы разложения многочлена на множители (изучаемые в 7 классе):

вынесение за скобку общего множителя;

Например, вынести за скобку общий множитель

способ группировки;

Например, разложить на множители

Разложение на множители по формулам сокращенного умножения:

разложение на множители по формуле разность квадратов

Например,

разложение на множители по формуле квадрат суммы

Например,

разложение на множители по формуле квадрат разности

Например,

разложение на множители по формуле сумма кубов

Например,

разложение на множители по формуле разность кубов

Например,

разложение на множители по формуле куб суммы

Например,

разложение на множители по формуле куб разности

Например,

Разложение многочлена на множители можно использовать при выполнении следующих заданий:

сократить алгебраическую дробь;

привести алгебраические дроби к наименьшему общему знаменателю;

сложить или отнять алгебраические дроби;

умножить или разделить алгебраические дроби;

решить уравнение;

и так далее.

2. Практическая часть

2.1 Применение разложения натуральных чисел на простые множители

1

Решение:

1

4

2

8

2

       

2

1

4

2

2

 
 

7

1

4

2

       

1

0

7

1

3

 
 

3

5

7

3

         

3

5

7

3

 
 

1

1

9

7

         

1

1

9

7

 
   

1

7

1

7

         

1

7

1

7

     

1

               

1

   

сократили на 2, на 3, на 7 и на 17

от 1428 осталось 2

от 2142 осталось 3

числитель

       

знаменатель

   

2

1

6

2

   

1

2

2

5

5

       

1

2

5

5

   

8

6

4

2

   

1

0

8

2

     

2

4

5

5

         

2

5

5

   

4

3

2

2

   
 

5

4

2

       

4

9

7

           

5

5

   

2

1

6

2

   
 

2

7

3

         

7

7

           

1

     

1

0

8

2

   
   

9

3

         

1

                       

5

4

2

   
   

3

3

                                   

2

7

3

   
   

1

                                       

9

3

   
                                             

3

3

   
                                             

1

     

2

Решение:

1

1

8

8

2

 
 

5

9

4

2

 
 

2

9

7

3

 
   

9

9

3

 
   

3

3

3

 
   

1

1

1

1

     

1

   
 

6

9

3

3

 
 

2

3

1

3

 
   

7

7

7

 
   

1

1

1

1

     

1

   

в наименьший общий знаменатель (также как и в наименьшее общее кратное) берем каждый просто множитель в наибольшей степени

нахождение дополнительных множителей:

3

Решение:

8

4

2

 

8

8

2

2

 

1

2

6

2

   

4

2

2

 

4

4

1

3

   

6

3

3

   

2

1

3

 

1

4

7

3

   

2

1

3

   
 

7

7

   

4

9

7

     

7

7

   
 

1

       

7

7

     

1

     
           

1

               

заметим, что обе части уравнения можно разделить на 2, на 3 и на 7, то есть обе части уравнения можно разделить на 42

4

Решение:

5

7

6

2

 

1

2

9

6

2

 

2

1

6

2

2

8

8

2

   

6

4

8

2

 

1

0

8

2

1

4

4

2

   

3

2

4

2

   

5

4

2

 

7

2

2

   

1

6

2

2

   

2

7

3

 

3

6

2

     

8

1

3

     

9

3

 

1

8

2

     

2

7

3

     

3

3

   

9

3

       

9

3

     

1

 
   

3

3

       

3

3

         
   

1

         

1

           

2.2 Разложение многочлена на множители с применением разложения натуральных чисел на простые множители

1

Вынести за скобку общий множитель

Решение:

 

1

5

6

2

   

5

8

5

3

 
   

7

8

2

   

1

9

5

3

 
   

3

9

3

     

6

5

5

 
   

1

3

1

3

   

1

3

1

3

     

1

         

1

   

общие множители 3 и 13 общий множитель 39

от 156 остались множители 2 и 2, то есть 4

от 585 остались множители 3 и 5, то есть 15

Итак,

2

Разложить на множители способом группировки

Решение:

3

1

5

3

   

4

0

5

3

   

3

0

8

2

   

3

9

6

2

 

1

0

5

3

   

1

3

5

3

   

1

5

4

2

   

1

9

8

2

 
 

3

5

5

     

4

5

3

     

7

7

7

     

9

9

3

 
   

7

7

     

1

5

3

     

1

1

1

1

   

3

3

3

 
   

1

         

5

5

       

1

       

1

1

1

1

               

1

                     

1

   

для 315 и 405 общий множитель равен

для 308 и 396 общий множитель равен

Итак,

3

Разложить на множители по формуле разность квадратов

Решение:

5

1

8

4

2

 

1

2

2

5

5

 

2

5

9

2

2

   

2

4

5

5

 

1

2

9

6

2

     

4

9

7

 
 

6

4

8

2

       

7

7

 
 

3

2

4

2

       

1

   
 

1

6

2

2

             
   

8

1

3

             
   

2

7

3

             
     

9

3

             
     

3

3

             
     

1

               

Итак,

4

Разложить на множители по формуле квадрат суммы

Решение:

3

9

6

9

3

   

1

5

7

5

0

2

   

1

5

6

2

5

5

1

3

2

3

3

     

7

8

7

5

3

     

3

1

2

5

5

 

4

4

1

3

     

2

6

2

5

3

       

6

2

5

5

 

1

4

7

3

       

8

7

5

5

       

1

2

5

5

   

4

9

7

       

1

7

5

5

         

2

5

5

     

7

7

         

3

5

5

           

5

5

     

1

             

7

7

           

1

 
                     

1

                 

Итак,

Заключение

Благодаря проделанной работе, я еще раз осознала важность умения раскладывать натуральные числа на простые множители и открыла новые возможности применения этого умения.

Я поняла, что не стоит забывать о разложении натуральных чисел на простые множители и в 7 классе. Разложение натуральных чисел на простые множители помогает увидеть общие множители, помогает представить натуральные числа в виде квадрата, куба другого натурального числа, помогает при работе с различными выражениями, содержащими степени натуральных чисел и так далее.

Мне удалось придумать интересные примеры, показывающие важность умения раскладывать натуральные числа на простые множители, и примеры, показывающие применение разложения натуральных чисел на простые множители при изучении темы «Разложение многочлена на множители».

Работая над проектом, я осознала сложность и важность темы, которую мне еще только предстоит изучить. «Разложение многочленов на множители» это тема, которую мы только начали изучать в 7 классе, и будем продолжать изучать в 8 и 9 классах. Я поняла, что мне еще предстоит: познакомиться с множеством способов разложения многочленов на множители, научиться пользоваться этими способами, познакомиться с множеством заданий, в которых применяется разложение многочлена на множители.

Возможно, «Разложение многочленов на множители» - это тема моего будущего проекта.

Мой проект может быть полезен выпускникам для подготовки к ОГЭ. Например, на репетиционном ОГЭ по математике, которое состоялось 23 января 2020 года, в одном варианте нужно было найти наименьшее общее кратное чисел 12; 34; 30; в другом варианте - наибольший общий делитель чисел 24; 108; 252.

Список использованной литературы

Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 6. – М.: Мнемозина, 2012.

Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики. – М.: Просвещение, 1989.

Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Математика 6 класс. – Гимназия. 2006.

Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7 класс. ? М.: Вентана-Граф, 2017

Просмотров работы: 87