Магическая лента Мёбиуса

IX Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке

Магическая лента Мёбиуса

Лохматов В.В. 1
1МОУ Многопрофильная гимназия № 12
Потапенко М.С. 1
1МОУ многопрофильная гимназия № 12
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Введение

 

В мае 2018 года на занятии кружка по математике я познакомился с Лентой Мёбиуса. Меня очень заинтересовала история открытия ленты Мёбиуса, ее свойства и, особенно, применение. Я решил подготовить научно-исследовательскую работу о ленте Мёбиуса, ее свойствах и применении.

Лента Мёбиуса — топологический объект, простейшая неориентируемая поверхность с краем, односторонняя при вложении в обычное трёхмерное евклидово пространство R3. Лист Мебиуса - это символ современной математики. Можно легко сделать модель ленты Мёбиуса: необходимо склеить противоположные концы достаточно длинной бумажной полоски, предварительно перевернув один из них. Лента Мебиуса это односторонняя поверхность, а граница листа Мёбиуса одна замкнутая кривая. Лента Мёбиуса - самая первая открытая односторонняя поверхность, которая положила начало одному из направлений в геометрии.

Наука топология основана на открытии ленты Мёбиуса, она изучает свойства таких фигур, которые не меняются при изгибе, растяжении или сжатии. Свойства листа Мёбиуса применяются и используются в физике, оптике, технике. Ряд ученых считают, что спираль ДНК тоже является фрагментом ленты Мебиуса, и из-за этого генетический код сложно расшифровать. Наиболее фантастическим предположением является то, что наша Вселенная замкнута в тот же самый лист Мёбиуса, это подтверждается теорией относительности Эйнштейна.

Существуют технические применения ленты Мёбиуса. Полоса ленточного конвейера, выполненная в виде ленты Мёбиуса, будет работать дольше, так как ее изнашивание будет происходить равномерно. Также в системах записи на непрерывную плёнку применяются ленты Мёбиуса, чтобы удвоить время записи. Во многих матричных принтерах красящая лента также имеет вид ленты Мёбиуса для увеличения её ресурса. В настоящее время многие изобретатели пользуются свойствами данной ленты для проведения экспериментов и создания новых устройств. Все это и определило актуальность темы исследования.

Целью данной работы является изучение ленты Мёбиуса, ее свойств и применения.

Для оптимального достижения данной цели необходимо решить следующие задачи:

- изучить историю открытия ленты Мёбиуса;

- проанализировать свойства ленты Мёбиуса;

- провести эксперименты с лентой Мёбиуса;

- исследовать применение ленты Мёбиуса в нашей жизни.

Объектом исследования является лента Мёбиуса, предметом исследования выступают её свойства и возможности ее применения в практической деятельности.

Для реализации поставленной цели и решения задач, я изучил научные, учебные, справочные источники информации, особенно полезными для меня оказались работы Найденова А.Н., Т.И. Усенко, Ю.Д. Бондарчука и Т.Л. Александровой.

1. История открытия ленты Мёбиуса

Лента Мебиуса была открыта в 1858 году немецкими математиками Иоганном Бенедиктом Листингом и Августом Фердинандом Мебиусом независимо друг от друга. Оба этих ученых в разное время являлись учениками великого математика Иоганна Карла Фридриха Гаусса.

Ученые того времени, считали, что любая поверхность обязательно имеет две стороны. Однако Иоганн Бенедикт Листинг и Август Фердинанд Мебиус открыли геометрический объект, у которого была всего одна сторона, и описали его свойства. Лента была названа в честь А.Мебиуса.

Рис.1. Август Мёбиус Рис. 2. Иоганн Листинг

(17.11.1790 – 26.09.1868) (25.07.1808 – 24.12.1882)

А основателем «резиновой геометрии» топологи считают И.Листинга и его труд «Предварительные исследования по топологии».

2. Свойства ленты Мёбиуса

Наличие одной стороны (односторонность):

Лента Мёбиуса обладает всего одной стороной. Этот факт легко проверить: надо взять ленту Мебиуса и попробовать закрасить внутреннюю сторону одним цветом, а внешнюю – другим. Независимо от направления, в котором проводится раскрашивание - фигура будет закрашена одним цветом.

Рис. 3. Характеристика односторонности ленты Мёбиуса

2.Непрерывность:

Любая точка этой геометрической фигуры может быть соединена с любой другой ее точкой, не пересекая границы поверхности ленты Мебиуса.

Рис. 4. Характеристика непрерывности ленты Мёбиуса

3.Связность (двухмерность):

При разрезании ленты Мёбиуса она останется цельной (из нее не получится несколько разных фигур).

Рис. 5. Характеристика связности ленты Мёбиуса

4.Неориентированность:

Человек, двигающийся по ленте Мёбиуса, вернется к началу своего пути в зеркальном отражении самого себя. Бесконечная лента Мебиуса может привести к вечному путешествию.

Рис. 6. Характеристика неориентированности ленты Мёбиуса

5.«Хроматический номер»:

Хроматический номер – это максимальное число областей, которые можно нарисовать на поверхности так, чтобы каждая из них имела общую границу со всеми другими. Хроматический номер листа Мёбиуса равен шести.

Рис. 7. Характеристика «хроматического номера» ленты Мёбиуса

Свойства ленты Мёбиуса не меняются при ее сжимании, разрезании вдоль или сминании.

3. Научные эксперименты с лентой Мёбиуса

Для получения ленты Мёбиуса, я взял прямоугольную полоску АDВC размером 50 см х 8 см, перекрутил ее на 180 градусов и склеил противоположные стороны АD и ВC, т.е. так что совместятся точки А и С и точки В и D.

Рис. 8. Изготовление ленты Мёбиуса

Опыты с лентой Мёбиуса. Что произойдет с лентой Мёбиуса, если его разрезать на разное количество полосок?

Эксперимент 1.

«Если разрезать ленту Мёбиуса пополам, разрезая её посередине по линии, параллельной краю, то вместо двух лент получится одна длинная лента с двумя полуоборотами» [3].

Рис. 9. Эксперимент 1 с лентой Мёбиуса

Эксперимент 2. «Если разрезать ленту Мёбиуса, отступая от края приблизительно на треть её ширины, то получаются две ленты, одна короткая лента Мебиуса, другая длинная лента с двумя полуоборотами» [3].

Рис. 10. Эксперимент 2 с лентой Мёбиуса

Эксперимент 3. «При разрезании ленты Мёбиуса на четыре равные части, получим две длинные ленты с двумя полуоборотами» [3].

Рис. 11. Эксперимент 3 с лентой Мёбиуса

Эксперимент 4.» При разрезании ленты на шесть равных частей, получим три длинные ленты с двумя полуоборотами завязанные в узел» [3].

Рис. 12. Эксперимент 4 с лентой Мёбиуса

Эксперимент 5. «При разрезании ленты с тремя полуоборотами, получим ленту, завитую в узел трилистника» [3].

Рис. 13. Эксперимент 5 с лентой Мёбиуса

Эксперимент 6. «Я зацепил ленту Мёбиуса и простое кольцо и разрезал каждое звено этой цепочки вдоль по средней линии. В результате, получилась лента с двумя полуоборотами, а за эту ленту зацеплены два кольца, каждое из которых в два раза уже исходного» [3].

Рис. 14. Эксперимент 6 с лентой Мёбиуса

Опыты с лентой Мёбиуса очень увлекательны!

4.Применение ленты Мёбиуса

В настоящее время существует гипотеза, по которой Вселенная – это огромнейшая лента (петля) Мебиуса, что подтверждается теорией относительности А.Эйнштейна, согласно которой даже двигающийся прямо корабль может вернуться в ту же временную и пространственную стартовую точку.

Рис. 15. Вселенная, представленная Рис. 16. ДНК как часть

в виде ленты Мёбиуса поверхности ленты Мёбиуса

В науке рассматривают дезоксирибонуклеиновую кислоту (ДНК) как часть поверхности ленты Мебиуса, это во многом объясняет сложность с прочтения и расшифровки генетического кода.

Также, «многие оптические законы в физике основываются на свойствах ленты Мебиуса, например, существует мнение, что зеркальное отражение – это особый перенос во времени, и человек видит перед собой своего зеркального «двойника»[5].

Лента Мёбиуса широко применяется в технике, так, полосу ленточного конвейера выполняют в виде листа Мёбиуса, что дает возможность ему работать более продолжительное время из-за равномерного износа поверхности ленты. Время записи удваивается при использовании систем записи на непрерывную пленку в виде листа Мёбиуса. Ресурс красящей ленты в матричных принтерах увеличивается, если она имеет вид листа Мёбиуса.

Недавно был изобретен «электронный элемент, не имеющий собственной индуктивности - резистор Мёбиуса. Резистор Мёбиуса не оказывает влияния на другие металлические объекты, компоненты схемы или на себя самого, даже если форма готового резистора изменяется (например, при компактной намотке ленты на сердечник)»[5]. «Кроме того, если к сторонам одной ленты изолятора приклеивать не один, а два комплекта резистивных лент из фольги, расположенных на расстоянии около 1,5 мм друг от друга, то получатся два полноценных резистора Мебиуса, электромагнитно никак не влияющих друг на друга» [5].

Рис. 17. Резистор Мёбиуса

Наука топология построена на использовании свойств ленты Мебиуса, она изучает свойства фигур, не изменяющихся при их растяжении, сжатии и других деформациях, без разрывов и склеивания.

Топология основывается на изучаении поверхности тел, она считает математически родственными предметами предметы со схожими свойствами, так, например для кружки, макаронины и гайки схожим является то, что они имеют отверстие, хотя в остальном они абсолютно несхожи.

Рис. 18. Однотипные с точки зрения науки топологии предметы

Лента Мёбиуса служила вдохновением для скульпторов и графиков. Мариус Эшер был одним из авторов, особенно любивших использовать ленту Мёбиуса и посвятил этому математическому объекту несколько работ. Одна из самых известных показывает муравьев, ползающих по поверхности ленты Мёбиуса [2].

Рис. 19. Литография Мариуса Эшера «Лента Мёбиуса II»

Лента Мёбиуса постоянно используется в сюжетах научной фантастики, так» Артура Кларк построил на ней сюжет рассказа «Стена темноты». В рассказе А. Дж. Дейча, в Бостоне была построена новая линия метро, маршрут которой стал настолько запутанным и превратился в ленту Мёбиуса, после чего начали исчезать поезда, появляясь снова только через несколько месяцев»[2].

Лента Мебиуса представляет собой символ международной переработки.

Рис. 20. Символ международной переработки

В Казахстане существует проект библиотеки, «изгибы которой образуют ленту Мебиуса, так что пространство внутреннее перемещается во внешнее и наоборот, так же стены перемещаются в крышу, а крыша трансформируется обратно в стену»[6]. “Солнечные лучи проникают во внутренние коридоры через геометрические отверстия во внешней оболочке, создавая освещенные пространства, хорошие для чтения книг»[6]. В китайском городе Тайчанге есть «необычный буддийский храм, выполненный в форме ленты Мебиуса, она отражает основные принципы философии буддизма и идею реинкарнации»[6].

Рис. 21. Проект библиотеки Рис. 22. Буддийский храм,

в Казахстане, выполненной в виде выполненный в виде

ленты Мёбиуса ленты Мёбиуса (Китай)

Существует множество памятников, посвященных ленте Мёбиуса.

Рис. 23. Памятники, посвященные ленте Мёбиуса (Беларусь и Россия).

Не обошли вниманием ленту Мёбиуса и поэты. Мне особенно понравилось стихотворение Ивановой Н.Ю., на мой взгляд, оно наиболее точно отражает характеристики этого геометрического объекта и наиболее близко мне по духу:

«Лист Мебиуса – символ математики,

Что служит высшей мудрости венцом…

Он полон неосознанной романтики:

В нем бесконечность свернута кольцом».

Заключение

В ходе написания работы, теоретического анализа научных, учебных, справочных источников получены следующие результаты и сделаны следующие выводы:

- проанализированы свойства ленты Мёбиуса;

- рассмотрены перспективы использования свойств ленты Мёбиуса в нашей жизни.

Я узнал, что лента Мебиуса была открыта в 1858 году немецкими математиками Иоганном Бенедиктом Листингом и Августом Фердинандом Мебиусом независимо друг от друга.

Лента Мёбиуса имеет следующие свойства: наличие одной стороны; односторонность; непрерывность; связность (двухмерность); неориентированность; «хроматический номер» ленты Мёбиуса равен шести. Свойства ленты Мёбиуса не меняются при ее сжимании, разрезании вдоль или сминании.

Я провел несколько экспериментов с лентой Мёбиуса, особенно мне понравился эксперимент при котором, разрезая ленту Мёбиуса с тремя полуоборотами, получим ленту, завитую в узел трилистника.

Я узнал, что на использовании свойств ленты Мебиуса строится наука топология, которая изучает свойства таких фигур, которые не изменяются при их растяжении, сжатии и других деформациях, при которых не допускаются разрывы и склеивания.

Лента Мёбиуса широко применяется в технике, она используется в работе ленточного конвейера, систем записи на непрерывную и в матричных принтерах. В науке рассматривают ДНК как часть поверхности ленты Мебиуса.

Лента Мёбиуса служит вдохновением для множества художественных объектов и произведений.

Таким образом, цель, поставленная в работе, в ходе написания работы была достигнута, задачи полностью выполнены.

Список литературы

1.Боголюбов, А. Н.  Математики. Механики. Биографический справочник / А.Н. Боголюбов, Киев: Наукова думка, 1983. 639 с.

2.Бондарчук, Ю.Д. Лента Мёбиуса / Ю.Д. Бондарчук, Т.Л. Александрова. В сборнике: Студенческая наука - устойчивому развитию экономики. Материалы Всероссийской студенческой научной конференции. ФГБОУ ВПО "Ижевская государственная сельскохозяйственная академия". 2015. С. 389-392.

3.Гарднер, М. Математические чудеса и тайны / М.Гарднер, М.: Наука, 1978 г. 128 с.

4.Иванова, Н.Ю. Лист Мёбиуса / Н.Ю. Иванова https://www.stihi.ru/2006/04/13-2219 (по состоянию на 03.05.2020 г.)

4.Квант: научно-популярный журнал.-1975, № 7; 1977, № 7.

5.Найденов, А.Н. Бесконечная лента Мёбиуса / А.Н. Найденов, Т.И. Усенко В сборнике: Научно-техническое творчество студента как инновационный ресурс современного общества сборник научных трудов Всероссийской студенческой научно-технической конференции. 2011. С. 260-262.

6.Ульянова, Д.В. Лента Мёбиуса / Д.В. Ульянова, С.В. Микова, в сборнике: Современные вопросы естествознания и экономики сборник трудов Международной научно-практической конференции. Ответственные ред.: Пушкина О. В. . Прокопьевск, 2019. С. 229-231.

7.Фоменко, А.Т. Курс гомотопической топологии / А.Т. Фоменко, Д.Б. Фукс, М.: Наука, 1989.

15

Просмотров работы: 470