Теорема Птолемея и её доказательство

IX Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке

Теорема Птолемея и её доказательство

Золотухина В.А. 1
1МБОУ «Бейской СОШИ»
Овчинникова Н.Ю. 1
1МБОУ «Бейской СОШИ»
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Введение.

Актуальность:

-Исследованные теоремы и задачи способствуют эффективному и рациональному решению задач;

-Данная работа позволяет расширить знания по геометрии, умения применения ранее неизвестных теорем при решении задач школьного курса геометрии.

Цель работы: Изучение и доказательство теоремы Птолемея, решение задач и собрание информации по данной теме.

Гипотеза: Пусть М произвольная точка окружности, описанной около равностороннего треугольника АВС. Докажите, что один из отрезков МА, МВ, МС равен сумме двух других.

Задачи:

Найти и изучить информацию о Птолемее и его трудах.

Доказать теорему различными способами посредством решения задач.

Доказать или опровергнуть гипотезу.

Методы теоретического уровня:

изучение и обобщение;

анализ и синтез информации;

Клавдий Птолемей.Клавдий Птолемей - древнегреческий астроном, астролог, математик, механик, оптик, теоретик музыки и географ занимает одно из самых почетных мест в истории мировой науки. История довольно странным образом обошлась с личностью и трудами Птолемея. О его жизни и деятельности нет никаких упоминаний у современных ему авторов. В исторических работах первых веков нашей эры Клавдий Птолемей иногда связывался с династией Птолемеев, но современные историки полагают это ошибкой, возникшей из-за совпадения имён (имя Птолемей было популярным на территории бывшего царства Лагидов). Римский номен (родовое имя) Клавдий (Claudius) показывает, что Птолемей был римским гражданином, и предки его получили римское гражданство, скорее всего, от императора Клавдия.

В честь Клавдия Птолемея названы:

Звёздное скопление

Кратер на луне

Кратер на мерсе

Астероид номер 4001

Неравенство Птолемея

Граф Птолемея

В колледже святого Иоанна  в Аннаполисе в Санта Фе имеется камень Птолемея используемый в математических курсах в двух кампусах.

Работы и исторические сведенья.До нашего времени дошло много научных трудов этого древнего грека. Они стали для историков основным источников изучения его жизни

"Великое собрание" или "Альмагест" - главный труд ученого. Это монументальное сочинение из 13 книг можно по праву назвать энциклопедией древней астрономии. Также в ней есть главы, посвященные математике, а именно тригонометрии.

"Оптика" - 5 книг, на страницах которых изложена теория о природе зрения, о преломлении лучей и зрительных обманах, о свойствах света, о плоских и выпуклых зеркалах. Там же описываются законы отражения.

"Учение о гармонии" - работа в 3 книгах. К сожалению, подлинник до наших дней не дошел. Мы можем ознакомиться только с сокращенным арабским переводом, с которого позже "Гармоника" была переведена на латынь.

"Четверокнижие" - работа по демографии, в которой изложены наблюдения Птолемея о продолжительности жизни, дано разделение категорий возрастов.

"Подручные таблицы" - хронология правления римских императоров, македонских, персидских, вавилонских и ассирийских царей с 747 года до н.э. до периода жизни самого Клавдия. Эта работа стала очень важной для историков. Верность ее данных косвенно подтверждена другими источниками.

"Тетрабиблос" - трактат посвящен астрологии, описано движение небесных тел, их влияние на погоду и на человека

"География" - свод географических сведений античности в 8 книгах.

К сожалению не все труды Клавдия Птолемея дошли до нас, некоторые были утеряны:

Геометрия - в этой области было написано минимум 2 сочинения, следов которых найти не удалось.

Работы по механике также существовали. Согласно Византийской энциклопедии 10 века, Птолемей является автором 3 книг из этой области науки. Ни одна из них до нашего времени не сохранилась.

Теорема и формулировки.

Для начала разберемся в значении слова теорема.

ТЕОРЕ́МА, -ы, ж. Математическое положение, истинность которого устанавливается путем доказательства. Теорема Пифагора. Доказать теорему.

Птолемею принадлежат три геометрические теоремы, описывающие некоторые свойства диагоналей четырёхугольника, вписанного в окружность. Но нас интересует данная теорема:

В древности звучала такПрямоугольник, построенный на диагоналях вписанного в круг четырехугольника, равен сумме прямоугольников, построенных на противоположных сторонах.

Современная формулировка:Произведение диагоналей вписанного в окружность четырехугольника равно сумме произведений его противолежащих сторон.

Примеры доказательств. Доказательство теоремы :

Близкое к доказательству самого Птолемея.

Возьмем на диагонали АС точку М (рис.1) такую, что ABM=CBD. Поскольку CDB= MAB как вписанные, треуголь­ники BCD и АВМ подобны.Поэтому  , т.е.ABCD =АМBD (1)Из того, что ABD =MBC по построению, a  BCM =ADB как вписанные, следует, что  ABD ~ МВС. Значит,   или ADВС = BDСМ (2)

Сложив почленно равенства (1) и (2), получим ABCD+ADВС= BD(AM + CM)=BDАC, что и требовалось доказать.

(Рис. 1)

Существует также редко встречающееся в литературе доказательство теоремы Птолемея (с использованием метода площадей).

И распространённое доказательство теоремы с использованием инверсии.
Инверсия – преобразование евклидовой плоскости, переводящее обобщённые окружности (окружности либо прямые) в обобщённые окружности, при котором одна из окружностей поточечно переводится в себя.

Решение задачи из учебника.

Отложим на луче  отрезок 1, равный отрезку ВМ. Тогда треугольники 1С и ВМС равны по двум сторонам и углу между ними. В треугольнике СММ1  СМ1 = СМСММ1 = СМA = СВA = 60°.  Поэтому  ММ1 = СМ.  Следовательно,   = 1 + М1М = BМ + CМ.

По теореме Птолемея. AМ  CВ = ВМ  АС + АВ  МС, а так как ВС=АС-АВ ,то МА= МС+ВМ.

Гипотеза доказана.

Заключение.

« Непреходящее значение теории Птолемея состоит в том, что она убедительно продемонстрировала мощь математики в рациональном осмыслении сложных и даже таинственных физических явлений. »

Моррис Клайн.

Работая над исследованием стояла цель: Изучение и доказательство теоремы Птолемея, решение задач и собрание информации по данной теме. Я считаю, что установленная цель выполнена, теорема Птолемея доказана, а значит и поставленная гипотеза тоже. Доказана актуальность моей работы. Были поставлены задачи:

- Найти и изучить информацию о Птолемее и его трудах.

- Доказать теорему различными способами посредством решения задач.

- Опровергнуть или доказать гипотезу.

С поставленными задачами я справилась в данной работе.

Подведем итоги:

В данном научно исследовательском проекте мы узнали, что даже если суть теоремы Птолемея довольно проста, применение данной теоремы и её обобщений охватывает обширную область математических проблем.

Список литературы.

https://kartaslov.ru/значение-слова/теорема

https://nauka.club/biografii/klavdiy-ptolemey.html

https://ru.wikipedia.org/wiki/Клавдий_Птолемей

http://hijos.ru/2011/05/25/teorema-ptolemeya/

Просмотров работы: 1004