IX Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Теорема Птолемея и её доказательство
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение.
Актуальность:
-Исследованные теоремы и задачи способствуют эффективному и рациональному решению задач;
-Данная работа позволяет расширить знания по геометрии, умения применения ранее неизвестных теорем при решении задач школьного курса геометрии.
Цель работы: Изучение и доказательство теоремы Птолемея, решение задач и собрание информации по данной теме.
Гипотеза: Пусть М произвольная точка окружности, описанной около равностороннего треугольника АВС. Докажите, что один из отрезков МА, МВ, МС равен сумме двух других.
Задачи:
Найти и изучить информацию о Птолемее и его трудах.
Доказать теорему различными способами посредством решения задач.
Доказать или опровергнуть гипотезу.
Методы теоретического уровня:
изучение и обобщение;
анализ и синтез информации;
Клавдий Птолемей.Клавдий Птолемей - древнегреческий астроном, астролог, математик, механик, оптик, теоретик музыки и географ занимает одно из самых почетных мест в истории мировой науки. История довольно странным образом обошлась с личностью и трудами Птолемея. О его жизни и деятельности нет никаких упоминаний у современных ему авторов. В исторических работах первых веков нашей эры Клавдий Птолемей иногда связывался с династией Птолемеев, но современные историки полагают это ошибкой, возникшей из-за совпадения имён (имя Птолемей было популярным на территории бывшего царства Лагидов). Римский номен (родовое имя) Клавдий (Claudius) показывает, что Птолемей был римским гражданином, и предки его получили римское гражданство, скорее всего, от императора Клавдия.
В честь Клавдия Птолемея названы:
Звёздное скопление
Кратер на луне
Кратер на мерсе
Астероид номер 4001
Неравенство Птолемея
Граф Птолемея
В колледже святого Иоанна в Аннаполисе в Санта Фе имеется камень Птолемея используемый в математических курсах в двух кампусах.
Работы и исторические сведенья.До нашего времени дошло много научных трудов этого древнего грека. Они стали для историков основным источников изучения его жизни
"Великое собрание" или "Альмагест" - главный труд ученого. Это монументальное сочинение из 13 книг можно по праву назвать энциклопедией древней астрономии. Также в ней есть главы, посвященные математике, а именно тригонометрии.
"Оптика" - 5 книг, на страницах которых изложена теория о природе зрения, о преломлении лучей и зрительных обманах, о свойствах света, о плоских и выпуклых зеркалах. Там же описываются законы отражения.
"Учение о гармонии" - работа в 3 книгах. К сожалению, подлинник до наших дней не дошел. Мы можем ознакомиться только с сокращенным арабским переводом, с которого позже "Гармоника" была переведена на латынь.
"Четверокнижие" - работа по демографии, в которой изложены наблюдения Птолемея о продолжительности жизни, дано разделение категорий возрастов.
"Подручные таблицы" - хронология правления римских императоров, македонских, персидских, вавилонских и ассирийских царей с 747 года до н.э. до периода жизни самого Клавдия. Эта работа стала очень важной для историков. Верность ее данных косвенно подтверждена другими источниками.
"Тетрабиблос" - трактат посвящен астрологии, описано движение небесных тел, их влияние на погоду и на человека
"География" - свод географических сведений античности в 8 книгах.
К сожалению не все труды Клавдия Птолемея дошли до нас, некоторые были утеряны:
Геометрия - в этой области было написано минимум 2 сочинения, следов которых найти не удалось.
Работы по механике также существовали. Согласно Византийской энциклопедии 10 века, Птолемей является автором 3 книг из этой области науки. Ни одна из них до нашего времени не сохранилась.
Теорема и формулировки.
Для начала разберемся в значении слова теорема.
ТЕОРЕ́МА, -ы, ж. Математическое положение, истинность которого устанавливается путем доказательства. Теорема Пифагора. Доказать теорему.
Птолемею принадлежат три геометрические теоремы, описывающие некоторые свойства диагоналей четырёхугольника, вписанного в окружность. Но нас интересует данная теорема:
В древности звучала так: Прямоугольник, построенный на диагоналях вписанного в круг четырехугольника, равен сумме прямоугольников, построенных на противоположных сторонах.
Современная формулировка:Произведение диагоналей вписанного в окружность четырехугольника равно сумме произведений его противолежащих сторон.
Примеры доказательств. Доказательство теоремы :
Близкое к доказательству самого Птолемея.
Возьмем на диагонали АС точку М (рис.1) такую, что ABM=CBD. Поскольку CDB= MAB как вписанные, треугольники BCD и АВМ подобны.Поэтому , т.е.ABCD =АМBD (1)Из того, что ABD =MBC по построению, a BCM =ADB как вписанные, следует, что ABD ~ МВС. Значит, или ADВС = BDСМ (2)
Сложив почленно равенства (1) и (2), получим ABCD+ADВС= BD(AM + CM)=BDАC, что и требовалось доказать.
(Рис. 1)
Существует также редко встречающееся в литературе доказательство теоремы Птолемея (с использованием метода площадей).
И распространённое доказательство теоремы с использованием инверсии.
Инверсия – преобразование евклидовой плоскости, переводящее обобщённые окружности (окружности либо прямые) в обобщённые окружности, при котором одна из окружностей поточечно переводится в себя.
Решение задачи из учебника.
Отложим на луче AМ отрезок AМ1, равный отрезку ВМ. Тогда треугольники AМ1С и ВМС равны по двум сторонам и углу между ними. В треугольнике СММ1 СМ1 = СМ, ∠СММ1 = ∠СМA = ∠СВA = 60°. Поэтому ММ1 = СМ. Следовательно, AМ = AМ1 + М1М = BМ + CМ.
По теореме Птолемея. AМ CВ = ВМ АС + АВ МС, а так как ВС=АС-АВ ,то МА= МС+ВМ.
Гипотеза доказана.
Заключение.
« Непреходящее значение теории Птолемея состоит в том, что она убедительно продемонстрировала мощь математики в рациональном осмыслении сложных и даже таинственных физических явлений. »
Моррис Клайн.
Работая над исследованием стояла цель: Изучение и доказательство теоремы Птолемея, решение задач и собрание информации по данной теме. Я считаю, что установленная цель выполнена, теорема Птолемея доказана, а значит и поставленная гипотеза тоже. Доказана актуальность моей работы. Были поставлены задачи:
- Найти и изучить информацию о Птолемее и его трудах.
- Доказать теорему различными способами посредством решения задач.
- Опровергнуть или доказать гипотезу.
С поставленными задачами я справилась в данной работе.
Подведем итоги:
В данном научно исследовательском проекте мы узнали, что даже если суть теоремы Птолемея довольно проста, применение данной теоремы и её обобщений охватывает обширную область математических проблем.
Список литературы.
https://kartaslov.ru/значение-слова/теорема
https://nauka.club/biografii/klavdiy-ptolemey.html
https://ru.wikipedia.org/wiki/Клавдий_Птолемей
http://hijos.ru/2011/05/25/teorema-ptolemeya/