IX Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

Расчёт вероятности получения положительной отметки при решении тестовых заданий по математике

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Кокорев Е.Э. 1

---

1МБОУ «Плотавская СОШ»

Левшина О.Н. 1

---

1МБОУ «Плотавская СОШ»

Работа в формате PDF

219.8 KB

Автор работы награжден дипломом победителя II степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

Расчёт вероятности получения положительной отметки

при решении тестовых заданий по математике

Высшее назначение математики…состоит в том,

чтобы находить скрытый порядок в хаосе, который нас окружает

Н.Винер

Введение

Однажды при подготовке к контрольной работе учитель математики задала на дом пять задач по геометрии. Четыре я решил, пятая же не получилась. Я понадеялся, что учитель спросит кого-либо другого, а если и меня, то попадется одна из четырех решенных мной задач. Но учитель вызвала именно меня и спросила как раз пятую задачу. Случайность! И на этот раз не очень-то приятная! Кажется, как можно «предвидеть» наступление случайного события? Ведь оно может произойти, а может и не сбыться!

При решении самостоятельной или контрольной работы в тестовой форме, особенно по математике, информатике, физике большинство моих одноклассников надеются, что за работу можно будет получить хорошую оценку, выбирая правильные варианты ответов интуитивно, без теоретических знаний. Поэтому я решил оценить, насколько данный метод обеспечит положительную оценку, и как результаты моего исследования по теории вероятностей можно будет практически применить при тестировании.

 Актуальность

Тестирование в образовании – современный подход к оценке знаний учащихся. Тестовая форма контроля на сегодняшний день является самой востребованной: она используется на ГИА и ЕГЭ. А потому, чем раньше мы начнем приобщаться к такой форме проверки знаний, тем лучше будем подготовлены к итоговой аттестации и различного рода испытаниям в тестовой форме.

Гипотеза:

Вероятность угадать верные ответы при тестировании очень мала, а значит практически невозможно получить положительную оценку без подготовки.

Цель:

Определить вероятность получения положительной отметки при написании тестов по математике путем угадывания правильного ответа.

Для реализации цели были поставлены следующие задачи:

1) собрать, изучить и систематизировать материал о теории вероятностей, воспользовавшись различными источниками информации;

2) провести статистический эксперимент;

3) проанализировать результаты тестовых работ с применением теории вероятности.

Объект исследования: теория вероятности.

Предмет исследования: тесты по математике.

Методы исследования: анализ, синтез, сбор информации, анкетирование работа с литературой, эксперимент.

Практическая значимость данной работы состоит в том, что она нацелена помочь обучающимся осознать важность учения, так как согласно проведенному исследованию получить положительную отметку за тестовую работу путем угадывания мало вероятна.

Теоретическая часть

Глава 1. Теория вероятностей

История возникновения.

Теория вероятностей - раздел математики, изучающий случайность. Теория вероятностей используется в таких разделах математики как математическая статистика, теория случайных процессов, теория массового обслуживания. Она находит применение в физике, в анализе азартных игр, в страховании и в расчете пенсионных схем. На теории вероятностей основана разработка, применение и анализ вероятностных алгоритмов [1].

Как наука, теория вероятностей зародилась в середине XVII века с появлением азартных игр, таких как карты и кости, когда начали применять в них количественные подсчеты и прогнозирование шансов на успех. А зарождение теории вероятностей началось с того, что придворный французского короля, шевалье (кавалер) де Мерэ (1607-1648г. г. ), сам азартный игрок, обратился к французскому физику, математику и философу Блезу Паскалю (1623-1662г. г.) с вопросами к задаче об очках. (см. главы «Формулировки и основные понятия», «Примеры и решения практических задач на вероятность»). Паскаль обратился к математику Пьеру Ферма (1601-1665г. г.) и переписывался с ним по поводу этих задач. Они вдвоем установили некоторые основные положения теории вероятностей, в частности пришли к понятию математического ожидания и теоремам сложения и умножения вероятностей.

Другим толчком для развития теории вероятностей послужило страховое дело, а именно с конца XVII века на научной основе стало производиться страхование от несчастных случаев и стихийных бедствий. В XVI-XVII веках во всех странах Западной Европы получило распространение страхование судов и страхование от пожаров. В XVII веке были созданы многочисленные страховые компании и лотереи в Италии, Фландрии, Нидерландах. Затем методы теории вероятностей стали широко применять в демографии, например, при ведении статистики рождения и смерти.

Первооткрывателями теории вероятностей считаются французские ученые Б. Паскаль и П. Ферма и голландский ученый Х. Гюйгенс (1629-1695г. г.). Стала зарождаться новая наука, вырисовываться ее специфика и методология: определения, теоремы, методы. Также теория вероятностей связана с именами известных математиков: швейцарца Якоба Бернулли (1654-1705г.г.), француза П. С. Лапласа, англичанина А. Муавра (1667-1754г. г. ) и др. Вклад в развитие теории вероятностей внесли русские и советские ученые П. Л. Чебышев, А. А. Марков, А. М Ляпунов и многие другие [2].

В XX веке выяснилось, что эта, казалось бы, легкомысленная наука играет важную роль в познании фундаментальных процессов, протекающих в микромире. Была создана современная теория вероятностей [3].

Основные понятия теории вероятностей

Основными понятиями в теории вероятностей являются испытание, событие и вероятность.

Испытание - это эксперимент, проводимый над объектом в комплексе определенных условий.

Событие - это случай или факт, который произошел или не произошел в результате испытания.

Вероятность - это численная мера степени объективной возможности наступления события.

Вероятностью события А называется отношение числа случаев наступления этого события к общему числу случаев:

, P(A) – вероятность события A, m – число случаев наступления события А, n – общее число случаев, m , 0. Данное определение принято называть классическим определением вероятности. Оно применяется, когда теоретически удается выявить все равновозможные исходы испытания и определить благоприятствующие исследуемому испытанию исходы.

При изучении явлений, мы проводим эксперименты, в ходе которых происходят различные события, среди которых различают: достоверные, случайные, невозможные, равновероятные.

Событие U называют достоверным по отношению к некоторому испытанию, если в ходе этого испытания событие U обязательно произойдет. Например, достоверным будет появление одного из шести чисел 1,2,3,4,5,6 при одном бросании игральной кости. 

Событие называют случайным по отношению к некоторому испытанию, если в ходе этого испытания оно может произойти, а может и не произойти. Событие V называют невозможным по отношению к некоторому испытанию, если в ходе этого испытания событие V не произойдет. 

Равновероятные события – это события, которые при данных условиях имеют одинаковые шансы для наступления.

Но встречаются случаи, когда без практики определить число благоприятных исходов невозможно. В таких случаях используется статистическое определение вероятности.

Статистическая вероятность (частота, относительная частота) –это отношение числа испытаний, в которых событие появилось к общему числу фактически произведенных испытаний. Определяется следующей формулой для события: P(A) = , где n – общее число фактически проведенных испытаний, m – число появлений событий. Другими словами, статистическая вероятность – это вероятность события, рассчитанная опытным путем.

Формула Бернулли - это формула в теории вероятностей, позволяющая находить вероятность появления события A при независимых испытаниях. Формула названа в честь выдающегося швейцарского математика Якоба Бернулли [4].

Теория вероятности в жизни

Людей всегда интересовало будущее. Человечество во все времена искало способ его предугадать, или спланировать. В разное время разными способами. В жизни мы часто сталкиваемся со случайными явлениями. Чем обусловлена их случайность – нашим незнанием истинных причин происходящего или случайность лежит в основе многих явлений? Случайным ли образом возникают мутации, насколько зависит историческое развитие от отдельной личности, можно ли считать Вселенную случайным отклонением от законов сохранения? [2]

Примеров реального использования теории вероятности в жизни множество. Практически вся современная экономика базируется на ней. Невозможно представить без теории вероятности жизнь брокеров на мировых рынках. Предсказывание денежного курса на денежных опционах дает возможность зарабатывать на данной теории серьезные деньги.

Теория вероятности имеет значение в начале практически любой деятельности, а также ее регулирования. Благодаря оценке шансов той или иной неполадки (например, космического корабля), мы знаем, какие усилия нам нужно приложить, что именно проверить, что вообще ожидать в тысячи километров от Земли. Возможности теракта в метрополитене, экономического кризиса или ядерной войны – все это можно выразить в процентах.

Таким образом, теорию вероятностей нельзя не применять в нашей жизни. Она имеет разные области применения такие как: биологические и химические процессы, история, экономика, кораблестроение и машиностроение, медицина и большинство различной деятельности человека. Люди применяют её как сознательно, так и подсознательно, что проявляется в обычных повседневных фразах и действиях. Разумный человек должен стремиться мыслить, исходя из законов вероятностей. Теория вероятностей – это одна из составляющих частей успеха. Если стремиться учитывать законы вероятностей и, в том случае, если вероятность неблагоприятная, предпринимать соответствующие контрдействия, то можно упростить себе жизнь в разы и сэкономить своё время, которое так ценно для каждого из нас [5].

Вероятностно–статистические методы играют важную роль в практической деятельности - это контроль качества продукции, техническая диагностика оборудования, технология производства, обеспечения надежности оборудования, организация массового обслуживания, военное дело (стрельба, бомбометание, тактика, теория боеприпасов), получение достоверных результатов измерений, астрономические наблюдения и многое другое.

Глава 2. Практическая часть

2.1 Исследование

Сейчас обучение в любом классе начинается с входного тестирования, сопровождается текущим контролем с помощью заданий в тестовой форме и заканчивается объективным тестированием учебных достижений.

Кроме того, тесты позволяют наладить самоконтроль - самую полезную для обучения и гуманную форму контроля знаний, а также организовать рейтинг - эффективное средство повышения учебной мотивации.

Мы провели социологический опрос среди учащихся 7-9 классов. В связи малой накаляемостью учащихся в классах нашей школы (5-6 учащихся – средняя накаляемость класса), в анкетировании принимали участие 15 человек. Учащимся предложили ответить на вопросы:

можно ли сдать тест, экзамен без подготовки методом угадывания?

можно ли угадать, например, 6 заданий из 10, таким образом, решив тестовое задание по математике без подготовки?

По первому вопросу из 15 респондентов 9 человек (60%) ответили «да», 6 человек ( 40%) ответили «нет», т. е. считают, что таким способом сдать экзамен или решить тест нельзя.

По второму вопросу результаты такие: 80% учащихся 7 класса считают, что можно угадать 6 заданий из 10, 8кл. - 60%, 9кл. - 33%.

Вывод: чем старше класс, тем меньше веры в случай. (Приложение 1)

2.2 Теоретический расчет успешного решения тестового задания

Определить вероятность угадывания верного ответа можно по формуле Бернулли.

Пусть событие А – это правильно выбранный ответ из четырех предложенных в одном задании теста. Вероятность события А определена как отношение числа случаев, благоприятствующих этому событию (т.е. правильно угаданный ответ, а таких случаев 1), к числу всех случаев (таких случаев 4).

Тогда p=1/4, а q=1-p=3/4.

Вероятность получения положительной оценки:

Р₁₀(7)= С₁₀ ⁵ р⁵ q^10-5 , где

= = 2 3 7 = 252

Р₁₀(5)=252 = 0,0583991 0,058

То есть, вероятность благополучного исхода очень низкая, примерно 5,8%

Вывод: мало шансов решить тест или сдать экзамен на положительную оценку без подготовки. Из 10000 человек только 5- 6 могут получить положительную оценку.

2.3 Эксперимент: расчет вероятности получения положительной отметки по алгебре

Для подтверждения гипотезы исследования в 7-9 классах мы воспользовались материалами сайта «Контроль знаний» [6]. Учащимся предложили решить тесты по алгебре по следующим темам¹:

Тест по алгебре 7 класс: Степень и её свойства (10 вопросов)²

Тест по алгебре 8 класс: «Решение неравенств с одной переменной» (10 вопросов)³.

Алгебра 9: Квадратный трехчлен(10 вопросов)⁴.

В каждом тесте 10 заданий с выбором ответа по алгебре. Один ответ из четырех верный. Чтобы получить положительную оценку необходимо правильно угадать 6 ответов (60%).

Результаты эксперимента показывают, что угадал 6 ответов только один ученик (Приложение 2).

Произведем расчеты по формуле.

Пусть событие А– это правильно выбранный ответ из четырех предложенных в одном задании. Вероятность события Аопределена как отношение числа случаев, благоприятствующих этому событию (то есть правильно угаданный ответ, а таких случаев 1), к числу всех случаев (таких случаев 4). Тогда p = P(A)=1/4.

Вероятность противоположного события q = P(Ā)=1- p = 3/4.

Вероятность получения положительной отметки вычислим по формуле Бернулли, где n = 10, m = 6.

Вероятность получения положительной оценки:

Р₁₀(6)= С₁₀ ⁶ р⁴ q^10-6 , где

= = 10 3 7= 210

Р₁₀(6) = 210 = 0,016222 0,02

Таким образом, максимальное количество правильно угаданных ответов

равно 4, что не позволяет ученику получить положительную отметку за тест по алгебре. Это же подтверждают теоретические вычисления – вероятность угадывания правильных ответов – достаточно мала, в данном случае только 0,02.. Процент правильно угаданных ответов - 13,3% (Приложение 2).

2.4 Эксперимент: расчет вероятности получения положительной отметки по геометрии

При повторном эксперименте учащимся предложили решить тесты по геометрии по следующим темам:

Геометрия 7 класс. Свойства параллельных прямых⁵.

Геометрия 8. Признаки подобия треугольников⁶

Геометрия 9. Треугольники⁷

В каждом тесте 12 заданий с выбором ответа по геометрии. Один ответ из четырех верный. Чтобы получить положительную оценку необходимо правильно угадать не менее 50% от всего теста, т.е. угадать не менее 6 ответов.

Вероятность получения положительной отметки вычислим по формуле Бернулли, где n = 12, m = 6.

Вероятность получения положительной оценки:

Р₁₂(6)= С₁₂ ⁶ р⁶ q^12-6 , где

= = 11 3 = 924

Р₁₂(6) = 924 = 0,0401494 0,04. Вероятность угадывания правильных ответов выше, чем в первом эксперименте. Процент правильно угаданных ответов 17% (Приложение 3).

Вывод: данные теории вероятностей и результаты эксперимента показывают, что способом угадывания правильного ответа в тестовом задании по алгебре и геометрии получить положительную отметку почти невозможно.

Заключение

В результате проделанной работы, были достигнуты поставленные задачи:

была изучена научная литература по теме «Теория вероятностей» - это огромный раздел науки математики;

в ходе работы был проведен эксперимент, позволяющий определить вероятность успешного выполнения тестов по математике обучающимися 7-9 классов путем угадывания правильного ответа, применяя теорию вероятностей.

При проведении эксперимента наибольший процент правильно угаданных ответов был получен при написании тестовой работы по геометрии. Это, возможно, связано с тем, что обучающиеся использовали те знания, которые они получили на уроках и в повседневной жизни. Им было легче сориентироваться при выборе ответа, на уровне подсознания.

Таким образом, ранее выдвинутая гипотеза нашла свое подтверждение в проведенном исследовании. Полученные данные позволяют сделать вывод, что только планомерная, вдумчивая и добросовестная учеба в школе позволит учащимся успешно писать тестовые контрольные работы, хорошо подготовиться к участию в ГИА и успешно решить судьбоносную проблему при переходе на более высокий уровень обучения в ВУЗ.

С результатами данного исследования можно ознакомить будущих выпускников во время проведения классных часов, внеклассных мероприятий, с целью пропаганды подготовки их к экзаменам.

Вывод

Результаты практических экспериментов и их теоретическое обоснование подтверждают правильность выдвинутой гипотезы.

Литература

Савельева Р. Ю. Основы теории вероятностей и математической статистики [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://открытыйурок.рф/статьи/526665/ (дата обращения – 24.01.2018)

Гатауллина Л. Теория вероятности в жизни [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://nsportal.ru/ap/library/nauchno-tekhnicheskoe-tvorchestvo/2012/01/07/teoriya-veroyatnosti-v-zhizni (дата обращения - 6.02.2018)

Кибзун А. И. Теория вероятностей и математическая статистика. Базовый курс с примерами и задачами [Текст]: учебное пособие/А. И. Кибзун, Е. Р. Горяинова, А. В. Наумов, А. Н. Сиротин. – Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2002. – 224 с.

Теория вероятностей и основные понятия теории [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://bookmaker-ratings.ru/wiki/teoriya-veroyatnostej-i-osnovny-e-ponyatiya-teorii/ (дата обращения 24.01.2018) 

Вишня Ю. Теория вероятности в жизни [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://allowwonder.com/teoriya-veroyatnosti-v-zhizni/ (дата обращения – 6.02.2018)

http://контрользнаний.рф/geometriya-7-test-za-ii-chetvert/

Приложение 1

Анкетирование

Можно ли сдать тест, экзамен без подготовки методом угадывания?

Рис. 1. Результаты анкетирования респондентов

Можно ли угадать, например, 6 заданий из 10, таким образом, решив тестовое задание по математике без подготовки?

Приложение 2

Результаты статистического эксперимента: выбор учащимися 7-9 классов правильного ответа в тесте по алгебре

Выбор правильных ответов по алгебре

Приложение 3.

Результаты статистического эксперимента: выбор учащимися 7-9 классов правильного ответа в тесте по геометрии

Выбор правильных ответов по геометрии